Trung học phổ thông Tĩnh Gia I đề thi học sinh giỏi môn toán có đáp án chi tiết, thời gian 180 phút
Sở GD & ĐT thanh hóa Trờng THPT tĩnh gia 3 =========***========= Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán Thời gian: 180 phút Câu1: (6 điểm) Cho hàm số y= x 3 + 4x 2 + 4x +1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Cho M(x 0 ;y 0 ) trên đồ thị. Một đờng thẳng d thay đổi đi qua M cắt đồ thị tại M 1 và M 2 khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn M 1 M 2 . c) Tìm a sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc a của đồ thị hàm số, gọi các tiếp điểm là M 3 và M 4 . Viết phơng trìng đờng thẳng chứa M 3 và M 4 . Câu 2: ( 5 điểm) Giải các phơng trình sau: a) tgxsin 2 x - 2sin 2 x = 3 (Cos2x + sinxcosx) (1) b) 2 4 X = (2x 2 x +1)2 x (2) Câu 3: ( 4 điểm) Tính tích phân sau: I = dx xx x + 2 0 33 cossin sin Câu 4: ( 5 điểm) Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp O. Tìm các điểm M trong không gian sao cho 4 trọng tâm của tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC cách đều điểm O. Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 12 Môn: Toán Câu 1: ( 6 điểm) a) ( 2 điểm) TXĐ: D =R (0,25đ) Chiều biến thiên: y = 3x 2 + 8x + 4 y = 0 <=> x = -2; x= - 3 2 Hàm số đồng biến (- ; -2) ); 3 2 ( + , nghịch biến ) 3 2 ;2( (0.25). Cực đại, cực tiểu: Cực đại tại :) x CĐ = -2; y CĐ = 1. Cực tiểu tại: x CT = - 3 2 ; y CT = - 27 5 Giới hạn += +x ylim ; = y x lim (0.25đ) Tính lồi lõm và điểm uốn: y = 6x + 8 = 0 <=> x= - 3 4 Hàm sô lồi từ (- 3 4 ; ), lõm (- 3 4 ; + ) Điểm uốn: I(- 27 11 ; 3 4 ) (0.25đ) Bảng biến thiên: (0,5đ) x - ∞ -2 - 3 4 - 3 2 + ∞ y’ + 0 - - 0 + y 1 + ∞ 27 11 - ∞ 27 5− • §å thÞ (0,5 ®) b) ( 2®iÓm) Gäi d qua M cã hÖ s« gäc k : d: y=k(x-x 0 ) + y 0 (0,25®) Hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ víi ®êng th¼ng d lµ nghiÖm cña ph- ¬ng tr×nh: x 3 + 4x 2 + 4x +1 = k(x-x 0 ) + x 0 3 + 4x 0 2 + 4x 0 +1 <=> x=x 0 (0, 5 ®) x 2 + ( 4 + x 0 )x + x 0 2 + 4x 0 + 4 – k = 0(1) 4 2 -2 -4 -6 -5 5 A Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình (1) => x 1 , x 2 lần lợt là hoành độ của M 1, M 2 => x I = - 2 4 0 +x (0,75 đ) y I = y 0 + k( 2 43 0 +x ) I x = 2 4 0 +x Giới hạn: (1) có 2 nghiệm phân biệt <=> 0> f(x 0 ) 0 k > 4 83 0 2 0 xx + (0,5) k 48 0 2 0 ++ xx c) ( 2đ) Để thỏa mãn YCBT: <=> y = 3x 2 + 8x + 4 = a có 2 nghiệm phân biệt (0,25đ) <=> a> - 3 4 (0,25đ) Nhận xét: x 3 + 4x 2 + 4x + 1 = (3x 2 + 8x +4)( 9 4 8 + x )- 9 78 +x (0,5đ) Gọi M 3 (x 3 ; y 3 ), M 4 (x 4 ; y 4 ) y 3 = a( 9 78 ) 9 4 8 33 + + xx (0,5đ) y 4 = a( 9 4 8 4 + x )- 9 78 4 +x Vậy phơng trình đờng thẳng đi qua M 3 ; M 4 là: y= a( 9 4 8 + x ) + 9 78 +x (0,5đ) Câu 2: (4 đ) Đ/K : x )( 2 zkk + (0,25đ) Chia 2 vế của phơng trình cho cos 2 x (1) <=> tg 3 x -2tg 2 x = 3(1-tg 2 x+tgx) (1đ) <=> tgx=-1 <=> x=- k+ 4 (k z ) (0,5đ) tgx= 3 x= k+ 3 (k z ) (0,5đ) Vậy nghiệm của phơng trình : x=- k+ 4 (k z ) x= k+ 3 (k z ) (0,25đ) a) (2) <=> 122 22 2 += xx xx (0.5đ) Đặt 2x 2 x = t (t 8 1 ) (0.25đ) Phơng trình trở thành: 12 += t t <=> 012 = t t Khảo sát f(t) = 12 t t (0.25đ) f(t) = 2 t ln2 1 =0 <=> 2 t = 2ln 1 = t f(t) - 0 + f(t) Quan sát bản bíên thiên nhận thấy phơng trình có tối đa 2 nghiệm t. (1đ ) Mặt khác f(0) = f(1) = 0 Phơng trình có 2 nghiệm t = 0; t= 1 (0.25đ) x= 0 ; x= 2 1 ; x=1 (0.25đ ) Câu 3: (4 đ) Xét J= dx xx x + 2 0 33 cossin cos (0.25đ) Ta CM đợc I = J (đặt x= t 2 ) (0.75đ) I+J = 2 0 xxxx dx 22 coscossinsin + = + 2 4 2 4 0 2 1cotcot cot 1 gxxg gxd tgxxtg dtgx (0.75đ) Đặt tgx(cotgx) = t I + J = + 1 0 2 1 2 tt dt =2 + 1 0 2 4 3 ) 2 1 ( ) 2 1 ( t td (0.75đ) Đặt t - 2 1 = tgy 2 3 => I + J = 33 4 (0.75đ) => I= 33 2 (0.75) Câu 4: ( 6 điểm) Đặt OGOMx 4+= (0.5đ) Gọi A, B, C, D lần lợt là trọng tâm của các tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC Ta có OAxOAOGOMODOCOBOMOA =+=+++= 4'4 (1đ) 4 'OB = OBx ODxOD ='4 (1đ) Ta có: OA =OB= OC = OD 2222 '16'16'16'16 ODOCOBOA === ODxOCxOBxOAxODxOCxOBxOAx ====== 2222 )()()()( OCxOC = '4 => 0=x (1.5®) => OOMOM =+ 4 => GOGM 5= (0.5®) VËy cã 1 ®iÓm M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Ò ra. (0.5®) . dx xx x + 2 0 33 cossin cos (0.25đ) Ta CM đợc I = J (đặt x= t 2 ) (0.75đ) I+J = 2 0 xxxx dx 22 coscossinsin + = + 2 4 2 4 0 2 1cotcot cot 1 gxxg gxd tgxxtg dtgx (0.75đ) Đặt tgx(cotgx). thanh hóa Trờng THPT tĩnh gia 3 =========***========= Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán Thời gian: 180 phút Câu1: (6 điểm) Cho hàm số y= x 3 + 4x 2 + 4x +1. a) Khảo sát sự biến thi n. (0,25đ) a) (2) <=> 122 22 2 += xx xx (0.5đ) Đặt 2x 2 x = t (t 8 1 ) (0.25đ) Phơng trình trở thành: 12 += t t <=> 012 = t t Khảo sát f(t) = 12 t t (0.25đ) f(t) = 2 t ln2