Trung học phổ thông Quảng Xương, đề thi học sinh giỏi khối A Bảng A môn toán có đáp án
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo
Thanh Hóa kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
-
-Môn thi Toán bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
-Bài 1 (4 điểm)
1 Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số
1
2
x
x
2 Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi: y log2x; x + y = 3; y = 0
Bài 2 (4 điểm)
0 7 7
0 2 2
2 2
m x m x
m x m x
có nghiệm
Bài 3 (4 điểm)
1 Giải phơng trình cos6x – cos4x + 4cos3x + 4 = 0
2 Trong tam giác ABC, chứng minh rằng:
6
13 cos
cos cos
1 cos
cos
C B
A C
B
Bài 4 (4 điểm)
1 Giải phơng trình x 3 log3x 5 log5x 3 x 2
2 Tính
x
x x
x
1 3 1 2 1
0
Bài 5 (4 điểm)
1 Lập phơng trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua đờng thẳng
0 1 2 2
0 3 2
2
z y
x
z y
x
có hai mặt phẳng vuông góc với nhau tiếp xúc với mặt cầu
2 Với a, b, c dơng và 1 ≤ R, chứng minh rằng:
1 1
1 1
1
1 1
1 1
b a
c a
c
b c
b
a b
a
c a
c
b c
b a
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh số báo danh
Trang 2Hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn: toán - bảng A
(đáp án này có 3 trang)
Bà
I
1
TXĐ D = R\{1}
trình: y = k(x – x0) ()
k x
x x
x x k x
x
2 2
0 2
1 2 1
có nghiệm
2 2
1
2
x x x
x
1 1
2 0
0 0
0 Voi x x
x x
x
Với x0 = 0 k = 0,
Với x0 =
1
2
0
0
x
x
k =
2 0
0
1
4
x x
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:
2 1
2 1 0
1
45
k k
k k tg
2 0
0
1
4
x
x
= ± 1
x0 3 2 2
M1(3 2 2; 0), M2(3 2 2; 0)
0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ
2
3
2
2 2
1
2
1 2
dx x
2
1
2 ln
=log2e.2 ln 2 1
V2 = x dx
3
2
2
3 1
V=[
3
1
+log2e.2 ln 2 1] (đvtt)
0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ
II
1
) 2 ( 0
7 7
) 1 ( 0
2 2
2
2
m x m x
m x m x
1 = (m – 2)2 ≥ 0 và 2 = (m – 7))2 ≥ 0 m = 2 hoặc m = 7) thì hệ
phơng trình vô nghiệm
Với
7 2
m m
và m 0thì tập nghiệm của (1) là D1 R+ và tập
Với m < 0 tập nghiệm D1= (m; 2) và tập nghiệm D2= (-7); -m)
hệ phơng trình luôn có nghiệm
Hệ phơng trình luôn có nghiệm với m < 0
0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ
x
13 1 0 3 0
x x x x x
17 3 0 2 3 1 1
x x x x x
0.5đ 0.5đ
y
O 1 2 3 x
1
Trang 3Kết luận:
2
13 1
2
17
3
0.5đ
III
1
x
2cos 3 1 2 sin 2 2 0
x
0 2
sin
1 3
cos
x x
2 3 2 3
l x
k x
KL: Nghiệm x = + 2k
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
2
đặt cosA cosB cosC= 1+
2
sin 2
sin 2 sin
2 3
Xét f(t) = t1t trên (1; 23 ], có f’(t) = 2
1 1
t
biến trên (1;
2
3
]
t (1; 23 ] thì f(1) < f(t) ≤ f(
2
3
) =136
Vậy
6
13 cos
cos cos
1 cos
cos
C B
A C
B A
Dấu bằng xảy ra khi: cosA cosB cosC=
2
0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ
IV
1
Pt log3x 5 log5x 3=
3
2
x
x
với x > 5
Hàm số y = log3x 5 log5x 3 đồng biến trên (5; + )
Hàm số y =
3
2
x
x
có y’=
32
5
phơng trình có nghiệm duy nhất x = 8
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
2
L =
x
x x
x x
x
1 3 1 3 1 3 1 2 1 lim
3 3
3 0
=
x
x x
x
1 2 1 3 1 lim 3
0
x
x
x
1 3 1 lim
3 0
= L1 + L2
L1 =
x
x x
x
1 2 1 3 1 lim 3 0
2 3
1 lim 3
x x
L2 =
x
x
x
1 3 1 lim
3 0
3 lim
3 2 3
x
Vậy L = 2
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
) ( 0
1 2 2
) ( 0
3 2
2
Q z
y x
P z
y x
ta nhận thấy
) ( ) (
Q I
P I
và (P) (Q))
hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q)) làm mặt phẳng
phân giác 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cũng là
hai mặt phẳng phân giác của góc sinh bởi (P) và (Q)) Nên phơng trình
2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là:
0 4 -3z
-x 3
0 2 -z 4y
x
Bán kính mặt cầu cần lập: R = d(I/) =
3
2 1 4
1
=
3 4
0.5đ
0 5đ 0.5đ 0.5đ
Trang 49
16 1 1
12 2 2
x
2
Giả sử a ≥ b ≥ c > 0
0
1 1
1 1
1
1 1
1
1
b a
c b
a
c a
c
b a
c
b c
b
a c
b a
0 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1 1
b a b a
c c
a c a c
b b
c b c b
a a
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1
b c a c
a c b a c a c
a c a c
a b a c b c b c
b c b
c a c b a b a
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1
1 1 1
1 1
1
1 1 1
1 1
1
a b c b b
a b a a c a c
b a b a a
c a c c b c b
a c a c c
b c b b a b a
Điều này luôn đúng với mọi a ≥ b ≥ c > 0 và > 1, R
dấu bằng xảy ra khi a = b = c > 0
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ