SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: 2 9 3 2 1 . 5 6 2 3 x x x P x x x x a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức P là số nguyên. Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình: 2 2 1 3 0. 1x m x m a. Chứng minh rằng với m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 12 ,xx . b. Tìm các giá trị của m để 22 12 xx đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3 (3,0 điểm) a. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 3x 2x 5x 2 0yy . b. Trong một hộp có 2012 viên sỏi. Hai người A và B tham gia trò chơi bốc sỏi như sau: Mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất 1 viên và nhiều nhất 30 viên sỏi. Người nào bốc được viên sỏi cuối cùng sẽ thắng cuộc. Hỏi ai luôn thắng cuộc và chỉ ra thuật chơi. Câu 4 (1 điểm) Từ 1 đến 2013 có bao nhiêu số tự nhiên biểu diễn được dưới dạng hiệu bình phương của hai số nguyên (dạng 22 ab ). Câu 5 (2 điểm) Cho tam giác ABC , lấy điểm M nằm trong tam giác ABC , các đường thẳng ,,AM BM CM cắt các cạnh ,,BC CA AB tương ứng tại ', ', '.A B C a. Chứng minh rằng: ' ' ' 1. AA' ' ' MA MB MC BB CC b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . MA' ' ' MA MB MC f MB MC Hết Họ và tên thí sinh: SBD: ĐÁP ÁN MÔN TOÁN CHUYÊN TIN. Câu Nội dung Điểm Câu 1 a (1 điểm) Điều kiện: 0 4* 9 x x x 0,25 2 9 3 2 1 23 23 x x x P xx xx 0,25 2 9 3 3 2 1 2 2 2 3 2 3 x x x x x xx x x x x 1 2 1 . 2 3 3 x x x x x x 0,5 b (1 điểm) Với điều kiện (*) 4 1 3 P x 0,25 Với x , để P thì 3 1; 2; 4x 0,25 4; 2; 5;1; 7x 0,25 1;4;16; 25;49x 0,25 Câu 2 a (1 điểm) Ta có 2 2 ' 1 3 3 4m m m m 0,5 = 2 37 0, . 24 mm 0,5 b (1 điểm) Ta có 12 12 21 3 x x m x x m 0,25 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2x 4 1 2 3 4 10 10x x x x x m m m m 0,25 = 2 5 15 15 2. 2 4 4 m 0,25 Vậy 22 12 xx đạt giá trị nhỏ nhất là 15 4 khi 5 . 4 m 0,25 Câu 3 a (1,5 điểm) Phương trình đã cho tương đương với 2 2x 1 3x 5x 2y 0,25 Vì x nên 2x 1 0 do đó 22 3x 5x 2 12x 20x 8 1 4 4 6x 7 2x 1 2x 1 2x 1 y y y 0,25 Do ,xy nên 1 2x 1 là số nguyên, do đó 2x 1 1 hoặc 0,5 A B C M A' B' C' 2x 1 1 Từ đó tìm được 2 nghiệm 1;0 , 0; 2 . 0,5 b (1,5 điểm) Ta thấy 2012 1 30 .64 28 0,5 Người A đi trước sẽ thắng cuộc bằng cách 0,5 Lần đầu bốc 28 viên sỏi. Những lần sau bốc số viên sỏi cộng với số viên sỏi người B vừa bốc bằng 31 viên. 0,5 Câu 4 (1 điểm) + Ta có 22 x y x y x y . Đây là tích của hai số nguyên có cùng tính chẵn, lẻ. Suy ra 22 xy hoặc là số lẻ hoặc khi là số chẵn thì sẽ chia hết cho 4. 0,5 + Ngược lại - Nếu n lẻ thì 2 2 2 1 1n k k k . - Nếu n chia hết cho 4 thì 22 4 1 1n k k k . Vậy điều kiện cần và đủ để một số biểu diễn dưới dạng hiệu bình phương của hai số nguyên là: Số đó là số lẻ hoặc chia hết cho 4. 0,5 + Trong các số tự nhiên từ 1 đến 2013 có 1007 số lẻ và 503 số chia hết cho 4. Vậy tổng số có 1510 số 0,5 Câu 5 a (1 điểm) Gọi 1 2 3 ; ; ; ABC MBC MCA MAB S S S S S S S S 0,25 1 2 3 1 2 3 ' ' ' 1 AA' ' ' MA MB MC S S S S S S BB CC S S S S 0,75 b (1 điểm) Ta có 1 2 3 1 1 1 AA' ' AA' 11 ' ' ' MA MA S S S S S MA MA MA S S S Tương tự ta có 3 1 1 2 23 ; '' MB S S MC S S MB S MC S 0,5 Do đó 2 3 3 1 1 2 2 1 3 2 1 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 6 S S S S S S S S S S S S f S S S S S S S S S 0,25 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 2 3 S S S M là trọng tâm của tam giác ABC . 0,25 Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác so với đáp án mà vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa. . TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) . thức: . MA' ' ' MA MB MC f MB MC Hết Họ và tên thí sinh: SBD: ĐÁP ÁN MÔN TOÁN CHUYÊN TIN. Câu Nội dung Điểm Câu 1 a (1 điểm) Điều kiện: 0 4* 9 x x x . hoặc chia hết cho 4. 0,5 + Trong các số tự nhiên từ 1 đến 2013 có 100 7 số lẻ và 503 số chia hết cho 4. Vậy tổng số có 1 510 số 0,5 Câu 5 a (1 điểm) Gọi 1 2 3 ; ; ; ABC MBC