Bài 6 1,5 điểm Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong một đường tròn.. Chứng minh K1 là trực tâm của tam giác K2K3K4.. Trên cung nhỏ EF lấy điểm C.. Gọi P là giao điểm của AC và BF, gọi
Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN THI: TOÁN
(dành cho các thí sinh thi Chuyên Toán)
Ngày thi: 30/6/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1
1,5 điểm
Chứng minh :
1.2.3….1005.1006.1007 + 1008.1009….2013.2014 chia hết cho 2015
Bài 2
1,5 điểm
Chứng minh rằng phương trình 2013x2 + 2 = y2 không có nghiệm nguyên
Bài 3
1 điểm
Kí hiệu [x] dùng để chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá x
Ví dụ [3,47] = 3; [5] = 5; [ -2,75] = -3 …
Hãy giải phương trình 4 3x 5x 5
Bài 4
2 điểm Cho biểu thức
3
P
a Tìm x để P > 0
b Tìm giá trị của P khi 53
9 2 7
x
Bài 5
1 điểm Ta viết dãy phân số
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 Hỏi phân số 2012
2013 đứng ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy trên
Bài 6
1,5 điểm
Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong một đường tròn Gọi K là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AD ( K không trùng với A hoặc D), gọi K1,K2,K3,K4 lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ K xuống AD, AB, CD, CB
Chứng minh K1 là trực tâm của tam giác K2K3K4
Bài 7
1,5 điểm
Trong hình tròn tâm O, bán kính R dựng hai đường kính vuông góc AE và
BF Trên cung nhỏ EF lấy điểm C Gọi P là giao điểm của AC và BF, gọi Q
là giao điểm của AE và CB
Chứng minh diện tích của tứ giác APQB bằng R2
… Hết…
Họ và tên: Số báo danh:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN
NĂM HỌC 2012-2013
Bài 1
1,5 điểm
Chứng minh :
1.2.3….1005.1006.1007 + 1008.1009….2013.2014 chia hết cho 2015
Giải: 1008.1009….2013.2014 = (2015-1007)(2015-1006)…(2015-2)(2015-1)
= A.2015 – 1007.1006…3.2.1
=>ĐPCM
Bài 2
1,5 điểm
Chứng minh rằng phương trình 2013x2 + 2 = y2 không có nghiệm nguyên Giải : Nhận thấy rằng x và y cùng tính chẵn, lẻ
+) y chẵn : VP ≡ 0(mod4), VT ≡ 2(mod4)
+) y lẻ : VP ≡ 1(mod8),VT ≡ 7(mod8)
Bài 3
1 điểm
Kí hiệu [x] dùng để chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá x
Ví dụ [3,47] = 3; [5] = 5; [ -2,75] = -3 …
Hãy giải phương trình 4 3x 5x 5
Giải:Phương trình đã cho tương đương với
x
5x 5
Bài 4
2 điểm Cho biểu thức
3
P
c Tìm x để P > 0
d Tìm giá trị của P khi 53
9 2 7
x
Giải: Rút gọn P = x2 x1 với điều kiện x > 1
a P > 0 (x 1) 2 x 1 1 0 2
( x 1 1) 0 x 1 1 0 x ≠2 Vậy P > 0 khi x lớn hơn 1, x khác 2
81 28
9 2 7
Bài 5
1 điểm Ta viết dãy phân số
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 Hỏi phân số 2012
2013 đứng ở vị trí thứ mấy trong dãy trên
Giải:
Ta phân chia dãy đã viết thành các nhóm như sau: nhóm thứ nhất có 1 phân
số, nhóm thứ hai có 2 phân số, nhóm thứ ba có 3 phân số,…
Phân số thứ nhất (thuộc nhóm thứ nhất) có tổng của tử và mẫu bằng 2, hai phân số tiếp theo (thuộc nhóm thứ hai) có tổng của tử và mẫu bằng 3, ba
Trang 3phân số tiếp theo (thuộc nhóm thứ ba) có tổng của tử và mẫu bằng 4, bốn phân số tiếp theo (thuộc nhóm thứ bốn) có tổng của tử và mẫu bằng 5…
Như vậy, phân số 2012
2013 ở vị trí thứ 2013 trong nhóm các phân số có tổng của tử và mẫu bằng 4025 ( bằng 2012 + 2013), tức là nhóm các phân số
Số các phân số từ phân số thứ nhất cho đến nhóm này là
1 + 2 +…+ 4023 = 4023.4024 4023.2012
Vậy phân số 2012
2013 ở vị trí thứ 4023.2012 + 2013 = 8096289 trong dãy Bài 6
1,5 điểm
Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong một đường tròn Gọi K là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AD ( K không trùng với A hoặc D), gọi K1,K2,K3,K4 lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ K xuống AD, AB, CD, CB
Chứng minh K1 là trực tâm của tam giác K2K3K4
Giải: Gọi I là giao của KC và K3K4 Kẻ
K2K1 cắt K3K4 tại E ĐPCM K2E
vuông góc với K3K4.
Vì tứ giác AK1KK2 nội tiếp nên góc
K1K2K= góc K1AK (1)
Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên góc
K1AK= góc KCK3 (2)
Vì tam giác IKK3 cân nên góc IKK3 =
góc IK3K (3)
Vì tam giác KCK3 vuông nên góc IKK3 +
góc KCK3 = 1v (4)
Từ (1), (2), (3),(4) có góc EK2K3 + góc
EK3K2 = 1v hay góc K2EK3 = 1v
Bài 7
1,5 điểm
Trong hình tròn tâm O, bán kính R dựng hai đường kính vuông góc AE và
BF Trên cung nhỏ EF lấy điểm C Gọi P là giao điểm của AC và BF, gọi Q
là giao điểm của AE và CB Chứng minh diện tích của tứ giác APQB bằng
R2
Giải: ĐPCM 2
2
AQ BP
R
) 2
s cung C
Từ đó AB BP
AQ BA hay AQ.BP = 2R2 vì 2
ABR
Ghi chú : Học sinh giải đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa
Tổ chấm cần thảo luận kỹ về thang điểm cho từng phần để thống nhất trong quá trình chấm
A
D
∙
K
K4
K1
K 3
K2
. I
E
E
A
B
F C
P
Q