Đề thi học sinh giỏi toán 10 có đáp án chi tiết

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN THÁNG 04 NĂM 2016 ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG TOÁN 10 NĂM HỌC : 2015 – 2016 Thời gian làm : 180 phút Câu (2.0 điểm) Cho phương trình : x3  3 m  1 x2   m2  4m  1 x  4m  m  1  Tìm giá trị m để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt lớn Câu (1.5 điểm) Giải phương trình : x    x  x  x  13  3x  y  2x  y  x   y  Câu (1.5 điểm) Giải hệ phương trình :   y 3x  y  x  y  x  y  Câu (1.5 điểm) Cho tam giác ABC, cạnh AB, AC lấy điểm M, 1 N cho AM  AB , BN  BC Gọi I giao AN CM Chứng minh BI vuông 3 góc với CM Câu (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang ABCD vuông A D, có CD  AB  AD Gọi E điểm thuộc đoạn AB cho AB  AE , điểm F thuộc đoạn BC cho tam giác DEF cân E Biết E  2;4  , đường thẳng EF có phương trình x  y   đỉnh D thuộc đường thẳng 3x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD Câu (1.0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức : Q  abc  5ab  9bc  8ca   4a  3b  5b  4c  3c  5a  HẾT ĐÁP ÁN KHẢO SÁT HSG TOÁN 10 THÁNG 04 NĂM 2016 CÂU NỘI DUNG VẮN TẮT ĐIỂM 2 Câu Cho phương trình : x  3 m  1 x   m  4m  1 x  4m  m  1  Tìm giá trị m để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt lớn 2.0 x3  3 m  1 x   m2  4m  1 x  4m  m  1  1   x    x   3m  1 x  2m  m  1  x    x   3m  1 x  2m  m    x  m 1    m  1  2    x  2m  Câu  2  1  m     m  ĐK toán 1  2m     m   2m m   Giải phương trình : x    x  x  x  13 * ĐK : 1  x  Cách : VT *  x    x  1  1 x    x   1.5 VP *   x  x      x  3     x 1   x  x   tm  Do *   x     Cách : *   x2  x  9   x     x  3     x   2    y  2  x      x    x   tm    7x 2 Cách : Liên hợp lần  x 1    y   y   Câu  3x  y  2x  y 1  x   y  Giải hệ phương trình :   y 3x  y  x  y  x    y  3x  y 0 ĐK : y  0, y  x 1 x x x  a         y y y y  y Hệ   Đặt , ta có hệ  x x x b           y y y y  y   a  2b   3a  2a     3a  2a  4ab    a  2b  1  3a  2a  2a  4ab   a  2b  1    3a  2a   a   2b    3a  2a  a   2b   y  x    x  y  thay vào 1 y y 3  y  3  y  2 y    y   y  1   1 y y y 2  y  y 0 2 y 2 y  4. 0   y 2  y  y   y 4  y   x  o  14 y   x   11 11 Thử lại có  x; y    0;2  thỏa mãn 1  3a  4a   3a  2a    a 1 x  y a  Thay vào 1  x    x  x   y  Kết luận : Hệ cho có hai nghiệm  x; y    0;2  ,  x; y    4;4  1.5 Câu Cho tam giác ABC, cạnh AB, AC lấy điểm M, N 1 cho AM  AB , BN  BC Gọi I giao AN CM Chứng minh 3 BI vuông góc với CM 1.5 y B N M I A O Gọi O trung điểm AC  AC  OB x C  Chọn hệ tọa độ Oxy cho O  0;0  , C 1;0  , B 0;    1   A  1;0  , M   ; , N  ;  3 3     Phương trình CM : x  y   ; AN : x  y   Câu   3  x  5y   Tọa độ I nghiệm hệ   I  ;    7   x  2y   3 3  5 , IB  Ta có CM   ;   ;   7 3 3    5 CM IB       CM  IB   3 Lưu ý : Thí sinh chứng minh vuông góc theo sơ cấp phương pháp véc tơ Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang ABCD vuông A D, có CD  AB  AD Gọi E điểm thuộc đoạn AB cho AB  AE , điểm F thuộc đoạn BC cho tam giác DEF cân E Biết E  2;4  , đường thẳng EF có phương trình x  y   đỉnh D thuộc đường thẳng 3x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD 1.5 P A E B F D C Gọi P điểm đối xứng với D qua A Do BA  AD  AP nên DBP vuông B, DBC vuông B, suy P, B, C thẳng hàng Vì EP  ED  EF nên E tâm đường tròn ngoại tiếp PDF  AED  DFP  DEBF nội tiếp  DEF  DBF  900  DE  EF Phương trình DE : x  y    D  2;2  DE  AD2  AE  10 AE  AE  A a;8  3a  , AE   A1;5 EB  2 EA  B  4;2  Câu DC  AB  C  4; 4  Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn abc  5ab  9bc  8ca  biểu thức : Q   4a  3b  5b  4c  3c  5a  1.0  x, y , z   Đặt x  , y  , z    a b c x  y  z     3x  y  z a b c Q       x  y  y  z  z  x          a b  b c  c a  3x  y  z  3.Q  y  z  x  y  x  z  2 x  y    x  z   1  3.Q     2y z  x  y  x  z   1       x  y y  z z  x  1 1 3 2          8 x y y z z x  1         8 x y z  Q 16 3 5 Dấu = xảy  x; y; z    2;2;2    a; b; c    ;2;  2 2 Vậy maxQ  đạt  a; b; c    2;2;2  16 ...ĐÁP ÁN KHẢO SÁT HSG TOÁN 10 THÁNG 04 NĂM 2016 CÂU NỘI DUNG VẮN TẮT ĐIỂM 2 Câu Cho phương trình : x  3 m  1 x   m  4m  1 x  4m  m  1  Tìm giá trị m để phương trình cho có ba... x  2m  m    x  m 1    m  1  2    x  2m  Câu  2  1  m     m  ĐK toán 1  2m     m   2m m   Giải phương trình : x    x  x  x  13 * ĐK : 1  x... 14 y   x   11 11 Thử lại có  x; y    0;2  thỏa mãn 1  3a  4a   3a  2a    a 1 x  y a  Thay vào 1  x    x  x   y  Kết luận : Hệ cho có hai nghiệm  x; y    0;2