Đề thi học sinh giỏi lớp 12 số 7 có đáp ánĐề thi học sinh giỏi lớp 12 số 7 có đáp ánĐề thi học sinh giỏi lớp 12 số 7 có đáp ánĐề thi học sinh giỏi lớp 12 số 7 có đáp ánĐề thi học sinh giỏi lớp 12 số 7 có đáp ánĐề thi học sinh giỏi lớp 12 số 7 có đáp ánĐề thi học sinh giỏi lớp 12 số 7 có đáp án
Trang 1Sở GD-ĐT Thanh hóa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
Trường THPT H.Hóa 2 (Thời gian làm bài 180’- Không kể thời gian phát đề)
MÔN THI: TOÁN
Bài 1 ( 2 điểm)
Cho hàm số f(x) =
Chứng minh rằng 1 x sin xdx
4
4
2
= f’(0)
Bài 2 ( 2 điểm)
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền
khi quay quanh trục oy
Bài 3 ( 2 điểm)
Tìm m để bất phương trình: mx2 + mx + m -2 0 có nghiệm x(1;2)
Bài 4 ( 2 điểm)
Giải và biện luận phương trình: 4x+1+2(m-1)x-1=(m+1) 4 2 3 1
x x
theo tham số m
Bài 5 ( 2 điểm)
Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = -12
Bài 6 ( 2 điểm)
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có:
2
3 sin
1 sin
1 sin
1 cos
cos
C B
A C
B
Bài 7 ( 2 điểm)
Tìm giới hạn:
x
x
x sin 2
1 3
0
2
Bài 8 ( 2 điểm)
Giải và biện luận theo m bất phương trình:
( 1) ( )log ( 3)
3 1 2
x
Bài 9 ( 2 điểm)
Trong mặt phẳng oxy cho hypebol (H): 1
9 2 2
y
x và đường tròn (C): x2+y2=9
1 Viết phương trình tiếp tuyến của (H) kẻ qua điểm M(3;1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến chung của (H) và (C)
Bài 10 ( 2 điểm)
Cho elip (E): 1
4 2 2
y x
và hai đường thẳng (d1): x-ky=0, (d2): kx+y=0 (d1) cắt elip (E) tại A và C, (d2) cắt elip (E) tại B và D
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD
Nguồn gốc đề thi: Tự sáng tác.
Sở GD-ĐT Thanh hóa ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP
12 THPT
Trường THPT H.Hóa 2 ( NGÂN HÀNG ĐỀ THI )
x2sin 2
1
x khi x0
0 khi x=0
y=x2-6x+5 y=0
Trang 2MÔN THI : TOÁN
f’(0)=
2 0
2 2
0
1 sin lim
1 sin lim
x
x x
x x
x
vì -∆x ∆x sin 12
x
∆x và lim0
x (-∆x)= lim0
x (∆x)=0
lim sin 12 0
x x x f’(0)=0 (1)
4
4
2 sin 1
xdx
0
4
2 sin 1
xdx x
4
0
2 sin 1
xdx x
Đặt x=-t thì dx=-dt , với x=-/4 thì t=/4, với x=0 thì t=0
4
4
2 sin
1
xdx
0
4
2 sin 1
dt t
4
0
2 sin 1
xdx x
4
0
2 sin
1
tdt
4
0
2 sin 1
xdx
4
0
2 sin 1
xdx
4
0
2
xdx
Từ (1) và (2) suy ra diều phải chứng minh
0,25 0,25 0,50 0,25 0,25
0,25 0,25
Vẽ đồ thị hàm số y=x2-6x+5
Cung AB có phương trình x = y 4 3
Cung BC có phương trình x = y 4 3
0
4
2 0
4
2
) 3 4 ( 3
y
3 0
4
) 4 ( 8 4
y dy
0
4 = 64
0,5
0,5 0,5 0,5
Gián tiếp loại bỏ f(x) = mx2 + mx + m -2 <0, x(1;2)
m(x2+x+1)<2 m<
1
2
2
x
x x(1;2) Xét g(x) = 2 2 1
x
0 ) 1 (
) 1 2 ( 2
2
2 x x
x
hàm số nghịch biến trong khoảng (1 ;2)
0,5 0,5 0,5
-4
5 3
1
C B
A O y
x
Trang 3 m Min
2 ) (
2
;
1x
g
Vậy m > 72 thì bất phương trình có nghiệm x(1;2)
0,5
Điều kiện 4x2-3x-10
Phương trình 4 11
x
x
- (m+1)
1
1 4
x
x +2(m-1) = 0 Đặt t = 4 11
x
x
điều kiện Phương trình trở thành
Giải ra ta được
Nghiệm t2 thỏa mãn
Theo cách đặt ta tính được x =
3 2
2 2
2 2
m m
m m
Kết luận: thì PT vô nghiệm
1m3 thì PT có nghiệm duy nhất x =
3 2
2 2
2 2
m m
m m
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
0,25
Nhận thấy sin 2x =0 x=k2 (kZ) không phải nghiệm của PT) không phải nghiệm của PT
PT 2cosxsin 2x +2cos2xsin2x +2cos3xsin 2x +2cos4xsin 2x =-sin 2x
sin9x2 =0 9x2 =t x=29t (tZ) không phải nghiệm của PT)
KL: x=29t (tZ) không phải nghiệm của PT)
0,25 0,50
0,50
Ta có cosA+cosB+cosC+
C B
1 sin
1 sin
1
=
C B
A C
B A
C B
A
sin
1 sin
1 sin
1 4
3 1 sin
1 sin
1 sin
1 4
3 2
sin 2
sin
2
sin
4
C B
A C
B A C
B A
sin
1 sin
1 sin
1 4
3 1 sin
1 sin
1 sin
1 4
3 2 sin 2 sin 2 sin
4
3 4
2 cos 1 2 cos 1 2 cos
1 4
3 1 2
cos 2
cos 2 cos
8
.
16
3 3 4
1
1,0
x1 x
4
1
t0 t2
t2-(m-1)+2(m-1)=0 0t2
t1=2
t2=m-1
m1 m3
m<1 m=3
Trang 4 2 2 3
3 2
cos 2
cos 2 cos
1 3
4
3 1
2
1
.
4
1
C B A
Dấu ‘=’ xảy ra khi
A=B=C ∆ABC đều
0,5
0,5
x x
e x
x x
x
2 2
3 ln 0 2
3 ln
3 ln
1 lim
2 sin
1 3 lim
2 2
ln 3
4
1
1,5
0,5
Điều kiện x>-3
Bất PT (x-m)x-1+log3(x+3) 0
Đặt f(x)= x-1+log3(x+3) f(x) đồng biến trong (-3;+)
f(0)=0, nên x0 f(x) f(0)=0 hay f(x) cùng dấu với x
Do đó BPT
Từ đó suy ra
Nếu m0 thì nghiệm của BPT là:
Nếu -3<m<0 thì nghiệm của BPT là:
Nếu m=-3 thì nghiệm là x0
Nếu m<-3 thì nghiệm là x0
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
1 Phương trình đường thẳng qua M có dạng : a(x-3)+b(y-1)=0 (a2+b20)
ax+by-3a-b=0 đường thẳng này tiếp xúc với (H)
b=0 chọn a=1,b=0 PT tiếp tuyến là : x-3=0
0,25 0,25 0,5
8
3 3 2
cos 2
cos 2 cos
2 cos
1 2 cos
1 2 cos
1 sin
1 sin
1 sin
1
sin 4
3 sin
4
3 sin
4
3 2
sin 2
sin 2 sin 4
C B A
C B
A C
B A
C B
A
C B A
(x-m)x0 x>-3
-3<x0 xm
-3<xm x0
9a2-b2=(3a+b)2
3a+b0 2b(b+3a)=0
3a+b0
Trang 52 Xét tiếp tuyến cùng phương với oy có PT : x-a=0.
Để đường thẳng nay tiếp xúc với (H) và (C) thì a=3
Có hai tiếp tuyến chung thỏa mãn bài toán là x-3=0 và x+3=0
Xét tiếp tuyến không cùng phương với oy có PT y=kx+b kx-y+b=0
Để đường thẳng nay tiếp xúc với (H) và (C) hệ sau có nghiệm:
9k2-1=b2
b=3 2 1
k Hệ vô nghiệm
b0
KL: có 2 tiếp tuyến chung là: x-3=0 và x+3=0
0,25
0,25 0,25
0,25
Tọa độ giao điểm của (d1) và (E) là nghiệm của hệ :
ky x
y x
4 2 2
2 4
2
k y
ky x
AC2 = 2 2
4
) 1 ( 16
k
k
Tọa độ giao điểm của (d2) và (E) là nghiệm của hệ :
kx y
y x
4 2 2
2 4 1
2
k x
kx y
BD2 = 2 2
4 1
) 1 ( 16
k
k
Vì (d1) (d2) nên AC BD 4S2 = AC2.BD2 = (416 (21)(1 4) 2)
2 2 2
k k
k
Đặt x=k20, xét f(x)= (4162x(1)(1 x)42x)
, f’(x)=( 1 4 ) 2 ( 4 ) 2
) 9 9 )(
1 (
x x
x x
f’(0)=0 x=1
Chú ý rằng: lim ( ) 14
f x
x
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên Max
1 ) (
; 0
x
f khi x=0 k=0 Min
4 ) (
; 0
x
f khi x=1 k=1 Vậy Max SABCD=4 khi k=0, Min SABCD=165 khi k=1
0,50
0,50
0,25
0,25
0,50
9=a2
a=3 a0
9k2=b2+1 9k2+9=b2
25
4 14 4
1 - 0 +
+
1 0
f(x) f’(x) x