Đề thi Học sinh giỏi lớp 12 Năm học 95-96 Câu 1: Giải hệ phơng trình : =+ =+ xy yx 21 21 2 2 Câu 2: Cho bất phơng trình : 01172)12(172 4 22 >+++++ mxxmxxm (1) 1.Giải phơng trình (1) với m = 1 2.Với giá trị nào thì bất phơng trình (1) : a.Nghiệm đúng với mọi giá trị x ? b.Có nghiệm ? Câu 3: Cho parabol y = 0,5x 2 và một điểm M(x 0 ,y 0 ) với y 0 < 0,5 x 0 2 . Các tiếp tuyến kẻ từ M tới parabol tiếp xúc với parabol tại N 1 (x 1 ,y 1 ) và N 2 (x 12 ,y 2 ) 1. Chứng minh : y 0 + y 1 = x 0 x 1 ; y 0 + y 2 = x 0 x 2 2. Giả sử rằng M chạy trên đờng thẳng y = - 0,5 . Chứng minh khi đó đờng thẳng N 1 N 2 đi qua một điểm cố định . Tìm toạ độ của điểm cố định đó . Câu 4: Cho đờng tròn có pt: x 2 + y 2 = R 2 ( R. 0 ) , ABCD là một hình thoi ngoại tiếp đg tròn . M ( Rcosa ; Rsina) ; N (Rcosb; Rsinb) (với sin( a b ) khác 0) lần lợt là tiếp điểm của các cạnh AB và BC với đờng tròn . 1 . Viết phơng trình các cạnh của hình thoi ABCD. Tính diện tích hình thoi theo R ; a ; b Câu 5: Cho S n = 2 2 2 2( 1) 2( 2) 2( ) ( 1) 1 ( 2) 1 ( ) 1 n n n n n n n n + + + + + + + + + + + + Với n = 1,2,3 Tìm giới hạn nếu có của S n khi n + Năm học 96-97 Câu 1: 1. Lập bảng biến thiên ( không vẽ đồ thị ) của hàm số y=2x 4 +(1 2x ) 4 2. Giải phơng trình : 2x 4 +( 1- 2x) 4 = 27 1 Câu 2: Cho elip (E) có phơng trình 1 49 22 =+ yx 1. Lập phơng trình các tiếp tuyến kẻ từ M ( 0; )13 tới (E) . Xác định góc của 2 tiếp tuyến đó 2. Tìm tập hợp các điểm N sao cho các tiếp tuyến kẻ từ N tới (E) vuông góc với nhau Câu 3: ABC là một tam giác bất kì có 3 góc nhọn . Chứng minh ABC là tam giác đều khi và chỉ khi : + + + + + =++ 3 2 cos 3 2 cos 3 2 coscoscoscos ACCBBA CBA - 1 - Câu 4: 1. Chứng minh với mọi m 0 hàm số f(t) = 3 2mtm đồng biến trên tập xác định của nó 1. Cho hệ phơng trình : =+ =+ =+ 3 3 3 3 3 3 2.2 2.2 2.2 mxmz mzmy mymx a. Giải hệ khi m = 0 b. Giải hệ khi m = 3 Năm học 97-98 Câu 1: Cho hàm số : f(x) = x 3 12x-20 (1) 1. Khảo sát , lập bảng biến thiên ( không vẽ đồ thị ) của hàm số (1) 2. Tính ( ) 3 3 164 +f 3. Chứng minh: 3 3 3 3 69 4 16 70< + < Câu 2: Cho hệ phơng trình : mxx mxx 414 12 2 2 1. Giải hệ với m =1 2. Giải và biện luận hệ theo m Học sinh đợc chọn một trong hai câu 3a , 3b sau: Câu 3a: Cho A(x 0 ,y 0 ) là một điểm bất kì thuộc đờng tròn x 2 +y 2 =25 (E) là elíp có phơng trình : 1 916 22 =+ yx 1. Chứng tỏ rằng A nằm ngoài (E) 2. Chứng minh từ A ta có thể kẻ đợc haitiếp tuyến của (E) và hai tiếp tuyến đó vuông góc . Gọi tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đó với (E) là B và C 3. Giả sử h là khoảng cách từ A đến đờng thẳng BC . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của h Câu 3b: Cho ABCDlà một tứ diện đều với các cạnh bằng 1 . Hai điểm M và N chuyển động trên các cạnh AB và AC sao cho tnp(DMN) )(ABCmp 1. Chứng minh tnp(DMN)luôn đi qua một đờng thẳng cố định 2. Đặt AM=x và AN=y . Tính theo x,y diện tích AMN và chứng minh : x + y = 3xy 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất thể tích V của tứ diện ADMN Câu 4:Cho các số a,b,c thoả mãn : 0 2,, cba và a + b + c =3 1. Chứng minh : a 4 + b 4 + c 4 17 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : a 1997 + b 1997 + c 1997 Năm học 98-99 Câu 1: Cho hàm số : y = - 4x 3 + 3x (1) - 2 - 1. Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số (1) và tìm điểm cực đại , cực tiểu của đồ thị hàm số đó 2. Chứng minh bất đẳng thức : 75 26 20sin 3 1 0 << Câu 2: Cho phơng trình )2(180016093 8 cos 2 = ++ xxx 1. Giải phơng trình (2) 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của (2) Học sinh đợc chọn 1 trong 2 câu 3a hoặc 3b dới đây Câu 3a: Cho elip (E) có phơng trình 1 916 22 =+ yx và hai điểm M (4cos ; 3sin ) ; N(4cos sin3; )trong đó ; thay đổi thoả mãn hệ thức : 0sinsin16coscos9 =+ 1. Chứng minh các điểm MvàN đều thuộc (E) 2. Chứng minh các tiếp tuyến của (E) tại Nvà M vuông góc với nhau 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đoạn thẳng MN Câu 3b: Hình chóp S.ABCcó 3 mặt SAB,SBC và SCA là các tam giác vuông tại S . Kẻ SH )(ABCmp với )(ABCmpH 1. Chứng minh H là trực tâm của ABC 2. Chứng minh hệ thức : 2222 1111 SCSBSASH ++= 3. Giả sử SA = a , SB = b , SC = c thay đổi sao cho ab + bc + ca không đổi . Tìm GTLN của đoạn thẳng SH Câu 4: A,B,C là 3 góc của một tam giác bất kì .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = cos A + cos B + cos C + 2 sin 2 sin 2 sin 1 CBA ++ năm 1999-2000 Câu1(6đ): Cho hàm số : y=xlnx (1) 1. Tìm tập xác định và khoảng đồng biến nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số. 2. CMR : e x x 1 ln 2 x lnx khi x > 0 3. Tính đạo hàm của hàm số f(x)= 0 khi x=0. Câu2( 4đ): Giải bất phơng trình sau: log 3 (x 2 +1)+ log 5 (x 4 +1) 0 Câu3a(6đ): - 3 - Giả sử A (x 0 ; y 0 ) là một điểm bất kỳ thuộc đờng tròn x 2 + y 2 =25; (E) là elip có phơng trình : 1 916 22 =+ yx . a. Chứng minh từ A có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (E) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Gọi tiếp điểm của chúng là B và C. b. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC. Câu 3b(6đ):Tứ diện ABCD chỉ có cạnh AD lớn hơn 1 . đặt BC =x . dựng DH và AK vuông góc với BC ( H ,K đều thuộc cạnh BC ). 1. Gọi V là thể tích của tứ diện ABCD chứng minh V DHBCAK 6 1 . 2. Chứng minh : DH 4 1 2 x . 3. Tìm x để thể tích V của tứ diện ABCD là lớn nhất . Câu 4(4đ): Cho phơng trình : x 4 = 4 114 4 ++x (2) 1. Giả sử x 0 là nghiệm của phơng trình (2) chứng minh x 0 > 1 2. Giải phơng trình (2). Năm học 2000-2001 Câu1. Cho hàm số : F(x) = 3 ( 1) khi x 1 1 a khi x=1 x x . Với giá trị nào của a thì hàm số có đạo hàm tại x=1 ? vơí giá trị của a tìm đợc tìm F(1). Câu 2 : Cho tam giác ABC . biết rằng trên mặt phẳng (ABC) có điểm M sao cho MA=1 ;MB=MC=6. gọi S là diện tích tam giác ABC . Chứng minh rằng : S 510 dấu bằng xẳy ra khi nào ? Câu3: Cho A(-a;0); A(a;0)và elip có phơng trình (E): 1 2 2 2 2 =+ b y a x . Với a > b > 0 . Trên (E) lấy điểm M bất kỳ . tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MA A khi điểm M di chuyển trên (E) . Câu 4 : iải hệ sau : sinx + ysin 1 = siny + 2000sin 1 = sin 2000 + xsin 1 . Câu 5 : Cho hai phơng trình sau : 3 (x 2 +a 2 ) =1 - (9a 2 - 2)x (1); x +(3a -2 ) 2 . 3 x =(8 a -4)log 3 (3 a - 1/2) - 3 x 3 (2). Tìm a để số nghiệm của phơng trình (1) không vợt quá số nghiệm của (2) Năm học 2001-2002 Câu1 :Giải hệ phơng trình sau x.2 x-y+1 + 3y 2 2x+y =2 2x . 2 2x+y + 3y. 8 x+y =1 . - 4 - Câu2 : Tìm m để phơng trình sau vô nghiệm (4m-3) 3+x + (3m -4) x1 =1-m. Câu 3 :Gọi A,B,C là ba góc của tam giác ABC a.CMR : (1+ tg 2 A )(1+tg 2 B )(1+ tg 2 C )=2+2 tg 4 A tg 4 B tg 4 B . b. Xác định các giá trị của A,B,C để biểu thức sau đạt giá lớn nhất T=(1+ tg 2 A )(1+tg 2 B )(1+ tg 2 C ) Câu 4 :Trên mặt phẳng toạ độ cho họ đờng thẳng : y= x m m + 1 )1(2 + 2 )1( )3)(1( m mm + + với m >0. Tìm tất cả các điểm mà qua mỗi điểm đó có đúng hai đờng thẳng của họ đi qua và hai đờng thẳng này vuông góc với nhau Câu5: không dùng máytính so sánh hai số sau A =log 2000 2001 và B= log 2001 2002 Năm học 2002-2003 Câu1: Cho hàm số : f(x) = x 3 3x 2 7x + 6 (1)và M(x 0 ;y 0 )là điểm thuộc đồ thị hàm số(1) . Tiếp tuyến tại M của đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại A và cắt trục tung tại B . Tìm toạ độ của M sao cho các điều kiện sau đồng thời đợc thoả mãn : 1. Hoàng độ của A là số dơng 2. Tung độ của B là số âm 3. OB = 2OA ( O là gốc toạ độ Câu2: 1. Tìm nghiệm dơng nhỏ nhất của phơng trình : 2 2 cos cos ( 2 1)x x x = + + 2. Giải bất phơng trình : 3 1 3 3 1 8 2 4 2 5 x x x + + + + > Câu3: Cho 2 họ đờng tròn có phơng trình : (C m ): x 2 +y 2 - 2mx+2(m+1)y-1=0; (K m ): x 2 + y 2 -x+(m-1)y+3=0 1. Tìm trục đẳng phơng của đờng tròn 2. Chứng minh rằng khi m thay đổi , trục đẳng phơng luôn đi qua một điểm cố định . Câu4 : Giả sử tham số a thuộc đoạn [ 0; ] 4 và hàm số ; f(x) = 3x 4 + 4x 3 (cosa sina)-3x 2 sin2a xác định trên [-sina ; cosa]. Tìm a để giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá trị lớn nhất . Năm học 2003-2004 Câu1 (5đ):Giải bất phơng trình sau : (3 x -2x-1)( )23 +x >0. - 5 - Câu 2(6đ): 1. Cho phơng trình : x 6 +3x 5 -6x 4 + a x 3 - 6x 2 +3x+1 =0 tìm a để ph- ơng trình có đúng hai nghiệm phân biệt. 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m hệ luôn có nghiệm (x ; y): mx -2y >m x 2 + y 2 -2mx + y =0 Câu3 (6đ): Trong không gian cho hai đờng thẳng d 1 ,d 2 sao cho 0x ,d 1 ,d 2 đôi một chéo nhau và vuông góc với nhau 1. Xét đờng thẳng d bất kỳ đi qua 0 . gọi ,, thứ tự là góc giữa d với các đờng 0x ,d 1 ,d. Chứng minh tg 2 tg 2 tg 2 - (tg 2 +tg 2 +g 2 ) =2. 2. Biết rằng khoảng cách giữa ba đờng thẳng bất kỳ trong ba đờng 0x ,d 1 ,d 2 cùng bằng 2 đơn vị độ dài . một hình hộp ABCD.ABCD thoả mãn : B và d thuộc 0x ; A và C thuộc d 1 ;A và D thuộc d 2 . Tính thể tích hình hộp ABCD,ABCD. Câu 4(3đ):Cho a,b dơng chứng minh rằng : (a + 1)ln(a+1) + e b (a +1) (b+1) Năm học 2004 - 2005 Câu I ( 6 điểm) Cho hàm số f(x) = 2 2 2 2mx x x m + + , với m là tham số. 1)Khi m = 3 2 ; hãy tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số. 2)Xác định m để hàm số nghịch biến trên R . Câu II ( 4 điểm) Tính tích phân I = 2 1 4 2 1 1 ( 1)( 1) x x dx x x e + + + + Câu III (7 điểm)Trên mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy; cho đ- ờng parabol (P) có phơng trình: y = x 2 và đờng tròn (C) có phơng trình: x 2 + y 2 2x 6y + 1=0 1)Chứng minh rằng (P) và (C) có đúng 4 giao điểm phân biệt. 2)Cho điểm A(1, 6) thuộc đờng tròn (C) . Hãy lập phơng trình đờng tròn đi qua điểm M( 2, - 1) và tiếp xúc với đờng tròn (C) tại điểm A. 3)Giả sử đờng thẳng (d) thay đổi đi qua điểm A sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt T 1 , T 2 . Gọi (d 1 ) , (d 2 ) thứ tự là tiếp tuyến của (P) tại tiếp điểm T 1 , T 2 . Biết rằng (d 1 ) cắt (d 2 ) ở điểm N; hãy chứng minh điểm N nằm trên một đờng thẳng cố định. Câu IV (3 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực x thuộc khoảng ( 0 ; 1 2 ) , - 6 - ta ®Òu cã: 3 3 3 cos .sin( 1) cos( 1).sin cos .cos( 1)x x x x x x + − + > + - 7 - . Đề thi Học sinh giỏi lớp 12 Năm học 95-96 Câu 1: Giải hệ phơng trình : =+ =+ xy yx 21 21 2 2 Câu 2: Cho bất phơng trình : 01172 )12( 172 4 22 >+++++ mxxmxxm . =+ =+ =+ 3 3 3 3 3 3 2.2 2.2 2.2 mxmz mzmy mymx a. Giải hệ khi m = 0 b. Giải hệ khi m = 3 Năm học 97-98 Câu 1: Cho hàm số : f(x) = x 3 12x-20 (1) 1. Khảo sát , lập bảng biến thi n ( không vẽ đồ thị ) của hàm số (1) 2. Tính ( ) 3 3 164. 16 70< + < Câu 2: Cho hệ phơng trình : mxx mxx 414 12 2 2 1. Giải hệ với m =1 2. Giải và biện luận hệ theo m Học sinh đợc chọn một trong hai câu 3a , 3b sau: Câu 3a: Cho A(x 0 ,y 0 )