§Ò to¸n hay 1) Cho a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n: (a + b - c)3 + (b + c- a)3 + (c + a - b)3 = a3 + b3 + c3 Chøng minh r»ng a = b = c. Lêi gi¶i: §Æt a + b - c = x, b + c - a = y, c + a - c = z ⇔b= x+ y y+z x+z ;c= ;a= 2 2 2 ⇔ 8(x3 + y3 + z3) = (x + z)3 + (x + y)3 + (y + z)3 ⇔ 2(x3 + y3 + z3) = xz(x + z) + xy(x + y) + yz(y + z) ⇔ (x + y)(x - y)2 + (x + z)(x - z)2 + (y + z)(y - z)2 = 0 2) Cho A lµ sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè, B lµ sè viÕt ngîc l¹i c¸c ch÷ sè cña A vµ S lµ tæng c¸c ch÷ sè cña A. T×m sè A nÕu A = 2B + S . 1)A = 100a+10b+c, 1≤ a, b, c ≤ 9 B = 100c + 10b + a ⇒ 100a+10b+c = 200c + 20b + 2a + a +b +c 97a - 200c = 11b ⇒ 97a - 200c chia hÕt cho 11⇒ 2(c+a) chia hÕt cho 11 ⇒ c+a chi hÕt cho 11 ⇒ c+a =11 (*) MÆt kh¸c 97a - 200c - 2b = 11b ⇒ 2(a+b+c) chia hÕt cho 9 tõ (*) ⇒ b =7 97a - 200c =11.7 ⇒ -(4c+a) + 96a-196c chia hÕt cho 7 ⇒ 4c+a chia hÕt cho 7 ⇒ 4a+c = 7, 14, 21, 28, 35, 42 kÕt hîp (*) ⇒c=8⇒a=3 vËy sè cÇn t×m lµ 378 KiÓm tra l¹i kh«ng tho¶ m·n vËy kh«ng tån t¹i sè nh vËy 3.Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c. Chøng minh: b a +b 2 2 c + b +c 2 2 a + c +a 2 2 ≤3 2 2 hdÉn: P= b a2 + b2 + c b2 + c2 + c c2 + a2 Chia c¶ tö vµ mÉu víi mçi sè h¹ng a, b, c ⇒P= 1 1+ x2 + 1 1+ y2 + 1 1+ z2 x, y, z nh nhau chøng minh Tõ (a+b)2 ≤ 2(a2+b2) ⇒ chøng minh 2( ; ( x = a/b; y = b/c; z = a/z ⇒ xyz = 1) 1 1+ x2 1 1+ x2 + + 1 1+ y2 1 1+ y2 ≤ 2 1 + xy ≤ 2( víi 0 < xy ≤1; 1 1 + ) 2 1+ x 1+ y2 2 1 1 2 1 1 + ≤ + )≤ ⇔ 2 2 2 2 1 + xy 1 + xy 1+ x 1+ y 1+ x 1+ y qui ®ång: 1 (2+x2+y2)(1+xy) ≤ 2(1+x2+y2+x2y2) ⇔ x2+y2 +2x2y2- (x2+y2)xy – 2xy ≥ 0 (xy - 1)(x - y)2 ≥ 0 dÊu b»ng khi x = y hoÆc xy = 1 Tõ 0 < xy ≤1 ⇒ z ≥ 1 ⇒ Q = ⇒Q= t 1+ t 2 + 2 1+ t ≤ 1 1+ z 2 + 2 1 do xyz =1 ; ®Æt t = 1 + xy z 2t 2 2t 2 1 + t + + = ; ( v× 1+t ≤ 2(1 + t 2 ) ) 1+ t 1+ t 1+ t 1+ t 2 2t 2 1 + t 3 2 ⇔ 2t + 2 2(1 + t ) ≤ 3t + 3 b×nh ph¬ng cã (t - 1) ≥ 00,50 + ≤ 1+ t 1+ t 2 4.Cho ba sè thùc a, b, c tho¶ m·n: 1 1 1 a ≥ b ≥ c > 0 ; abc = 1 vµ a + b+ c > + + a b c Chøng minh a + b > ab + 1. HD: 1 1 1 , a ≥ b ≥ c > 0 ⇒ b ≤ vµ c ≤ a b c 1 1 1 a + b + c ≤ + + m©u thuÉn a b c a≤1⇒a≤ 0,50 a>1 1 1 ; b - 1≥ 1 a b 1 1 (a - 1)(b - 1) ≥ (1 − )(1 − ) a b 1 1 1 ab - a - b + 1 ≥ 1 - − + a b ab 1 1 1 -a–b≥- − +c c a b 1 1 1 + + ≥ a + b + c m©u thuÉn a b c NÕu b ≥1 ⇒ a - 1 > 1 - ⇒ b < 1 ⇒ (a - 1)(b - 1) < 0 ⇒ ab - a - b + 1 < 0 a + b > ab + 1 0,25 0,25 0,25 0,25 Bµi 5 Cho biÓu thøc: (a + a 2 + 2005 )(b + b 2 + 2005 ) = 2005 TÝnh tæng a + b. Bµi 6 a) Ph©n tÝch ®a thøc a3 + b3 +c3 - 3abc thµnh nh©n tö ; b) Trôc c¨n thøc ë mÉu sè cña biÓu thøc sau: 1 3 4 −3 2 +3 Bµi 7 Cho tam gi¸c vu«ng ABC (A = 900), AD lµ ph©n gi¸c cña gãc A (D thuéc BC). Chøng minh: 2 AD AD + = 2 AB AC Bµi 8 Chøng minh r»ng: sin22030' = 1 2− 2 2 Híng dÉn Bµi 5 (a + a 2 + 2005 )(b + b 2 + 2005 )( a 2 + 2005 − a ) = 2005( a 2 + 2005 − a) 2005(b + b 2 + 2005 ) = 2005( a 2 + 2005 − a ) a + b = a 2 + 2005 − b 2 + 2005 (1) (a + a 2 + 2005 )(b + b 2 + 2005 )( b 2 + 2005 − b) = 2005( b 2 + 2005 − b) 2005(a + a 2 + 2005 ) = 2005( b 2 + 2005 − b) a + b = b 2 + 2005 − a 2 + 2005 (2) Céng (1) víi (2) a + b = 0 Bµi 6 1) Ph©n tÝch a3 + b3 +c3 - 3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2 - ab - bc- ca) 2) ¸p dông nh©n tö vµ mÉu sè víi Tö sè 3 16 + 3 4 + 9 + 3 4 3 2 − 33 4 + 33 2 MÉu sè ( 3 16 + 3 4 + 9 + 3 4 3 2 − 33 4 + 33 2 )( 3 4 − 3 2 + 3) = 4 - 2 +27 + 3 4 3 2 .3 =35 Bµi 7 Tõ D kÎ DM ⊥AB vµ DN⊥AC Chøng minh tø gi¸c AMDN lµ h×nh vu«ng ⇒ DM = DN = AD 2 dt(ABC) = dt(ABD) + dt(ADC) AB. AC = (AB + AC)DM = (AB + AC) Chia ca hai cho AB. AC (®pcm) AD 2 Bµi 8 Dùng tam gi¸c vu«ng c©n ABC (A= 900), kÎ BD lµ ph©n gi¸c cña gãc B AD (*) BD AD AB AB 1 = = = TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c DC BC AB 2 2 AD 1 ⇒ DC + AD = 2 +1 0 ' ∠ABD = 22030' ⇒ sin 22 30 = AD = AB 1 2 +1 ⇒ AD = AB 2 +1 ⇒ AB = AD( 2 + 1) BD 2 = AB2+AD2 = AD2[( 2 +1)2 + 1] ⇒ BD = AD 4 + 2 2 thay vµo (*) 3 0 ' ⇒ sin 22 30 = AD = BD 1 = 4+2 2 Bµi 9 Chøng minh r»ng sin 18 0 = 1 = 2( 2 + 2 ) 2− 2 = 2.2 2− 2 2 5 −1 4 B D A C Dùng tam gi¸c c©n cã gãc ®Ønh 360 (AB = AC), kÎ ph©n gi¸c BD. TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c CD BC BC. AC ⇒ CD = = AD AB BC + AB MÆt kh¸c ∆ABC ∼ ∆BCD ⇒ AB AB BC = ⇒ AB.CD = BC2 ⇒ BC CD BC. AC 2 2 2 = BC 2 ⇒ AB = BC + AB.BC chia hai vÕ cho AB ⇒ BC + AB 2 2 BC BC BC BC − 1 = 0 ⇒ 4 −1 = 0 + + 2. AB 2 AB AB 2 AB ⇒ 4 sin 2 18 0 + 2 sin 18 0 − 1 = 0 => sin 18 0 = 5 −1 4 Bài 10 Cho a, b, c là các số thực thoả mãn các điều kiện: a < b < c ; a + b + c = 6 ; ab + bc + ca = 9. C/ minh : 0 < a < 1 < b < 3 < c < 4 HD: a +b+c = 6⇒ a +b = 6−c 9 = ab + bc + ac = ab + c ( a + b ) = ab + c ( 6 − c ) ⇒ ( c − 3) = ab , tương tự ( b − 3) = ac , ( a − 3) = bc + Ta có a, b, c không thể cùng âm vì a + b + c = 6 2 2 2 2 2 2 a+b + a, b ≤ 0 vô lí ⇒ a, b, c > 0, ab < ÷ với mọi a, b ⇒ 4 ( c − 3) < ( 6 − c ) 2 2 ⇒ c − 4c < 0 ⇒ c ( c − 4 ) < 0,c > 0 ⇒ c < 4 + c ≤ 2 do a < b < c ⇒ a + b + c 2 2 + c > 2 ⇒ 2 < c < 4 ⇒ −1 < c − 3 < 1 , do ab = ( c − 3) ⇒ ab < 1 ⇒ a 4, c < 4 ⇒ b > 1 b ≥ 3 ⇒ a + b + c > b + c > 2b ≥ 6 ⇒ vô lí ⇒ b < 3 2 ( a − 3) ( b − 3) ( c − 3) = abc − 3 ( ab + bc + ac ) + 9 ( a + b + c ) − 27 = abc > 0 c - 3 >0 ⇒ c > 3 ⇒0 ... đối chiếu đề bài, ta có: A = x + y = x + y 3 = 1 1 x + y = x + y ( x + y) = x = y = x= y= 2 3 Chú ý: Bài tập có cách giải khác cách xét hai trờng hợp: 1) x 0, y 2) x 0, y Bài ( Ta có: x... x +1 x x +1 với x 6/Rút gọn A= x+ + x + + x Các tập vận dụng BĐT a + b a + b dấu xảy khi: ab (*) Vào rút gọn, tính giá trị biểu thức Bài 1: Cho biểu thức: A= x+ y x+ y 1 xy + + xy x... 0,25 0,25 Bài Cho biểu thức: (a + a + 2005 )(b + b + 2005 ) = 2005 Tính tổng a + b Bài a) Phân tích đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc thành nhân tử ; b) Trục thức mẫu số biểu thức sau: +3 Bài Cho tam