Số học THCS...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
lêi nãi ®Çu Toán học môn học chiếm vò trí quan trọng nhà trường phổ thông nói chung, bậc THCS nói riêng Dạy Toán dạy cho học sinh phương pháp suy luận khoa học - lô gíc Học Toán tức rèn khả tư ứng dụng nhằm trang bò vốn kiến thức hoàn chỉnh Chính việc giải toán phương tiện tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ xảo Thực tiễn giảng dạy nhà trường phổ thông có nhiều dạng Toán khác nhau, dành cho đối tượng học sinh Khá giỏi Nhưng dạng Toán Giáo viên đưa mà học sinh nắm bắt kiến thức vận dụng Vì vậy, người thầy cần cho em tiếp cận nhiều toán dạng, hình thức giảng dạy theo chuyên đề Từ em dần trang bò hoàn chỉnh mặt kỹ năng, kỹ xảo việc giải toán Qua nhiều năm học tập, nhận thấy tính đa dạng muôn màu muôn vẻ toán học, thật khó lòng đúc kết nguyên tắc, dựa vào mà tìm "chìa khóa" để giải vấn đề nêu Dẫu ý tưởng để hình thành cho em biết hình thành khai thác tối đa kiến thức mới, vận dụng kó cần thiết để giải tập điều thành công em Thiết nghó dạng toán khai thác triệt để phạm vi ảnh hưởng tác dụng lớn Chính mạnh dạn sưu tầm tập để trình bày thành số chuyên đề dùng cho bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Đó sở quan trọng việc hình thành sáng tạo cho học sinh học tiếp lớp cao hơn, bậc học cao NỘI DUNG CHÍNH A Chuyªn ®Ị: sè häc TÍNH CHẤT CHIA HẾT Nếu tất số hạng tổng chia hết cho số tổng chia hết cho số Nếu có số hạng tổng không chia hết cho số, số hạng chia hết cho số tổng không chia hết cho số Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c Nếu a b chia hết cho m a+b a-b chia hết cho m Nếu số a b chia hết cho m số lại không chia hết cho m a+b a-b không chia hết cho m Nếu tổng hiệu hai số chia hết cho m hai số chia hết cho m số lại chia hết cho m Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n ab chia hết cho mn Nếu a chia hết cho b an chia hết cho bn 10 Nếu số chia hết cho số nguyên tố chia hết cho tích hai số 11 Nếu tích ab chia hết cho m, b m hai số nguyên tố a chia hết cho m 12 Số chia hết cho số a ( a khác ) 13 Số a chia hết cho a ( a khac ) 14 Mọi số tự nhiên chia hết cho CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT Dấu hiệu chia hết cho : Một số chia hết cho chữ số tận chữ số chẵn Dấu hiệu chia hết cho 3: Một số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho 3 Dấu hiệu chia hết cho 4: Một số chia hết cho số tạo hai chữ số tận chia hết cho 4 Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho chữ số tận 5 Dấu hiệu chia hết cho 8: Một số chia hết cho số tạo ba chữ số tận chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 9: Một số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn chia hết cho 11 Dấu hiệu chia hết cho 25: Một số chia hết cho 25 số tạo hai chữ số tận chia hết cho 25 Dấu hiệu chia hết cho 125: Một số chia hết cho 125 số tạo ba chữ số tận chia hết cho 125 10 Tổng n số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho n, n số lẻ 11 Tổng n số tự nhiên liên tiếp số không chia hết cho n, n số chẵn 12 Trong số tự nhiên liên tiếp, có số số chẵn, số lại số lẻ Trong số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Trong số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho … 13 Tổng tất số có ba chữ số số vửa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 14 Nếu hai số chia cho có số dư hiệu chúng chia hết cho 15 Trong ba số tự nhiên luôn chọn hai số có hiệu chia hết cho Trong sáu số tự nhiên chọn hai số có hiệu chia hết cho 16 Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 17 Tích bao số tự nhiên liên tiếp vừa chia hết cho 2, cho 3, cho 18 Tích năm số tự nhiên liên tiếp vừa chia hết cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6, cho 8, cho 10, cho 12, cho 15, cho 20, cho 24, cho 30, cho 40, cho 60, cho 120 lo¹i 1: Chøng minh mét sè kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph−¬ng Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 Trong chương trình Toán , em học toán liên quan tới phép chia hết số tự nhiên cho số tự nhiên khác đặc biệt giới thiệu số phương, số tự nhiên bình phương số tự nhiên (chẳng hạn : ; ; ; ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …) Kết hợp kiến thức trên, em giải toán : Chứng minh số số phương Đây cách củng cố kiến thức mà em học Những toán làm tăng thêm lòng say mê môn toán cho em nh×n ch÷ sè tËn cïng Vì số phương bình phương số tự nhiên nên thấy số phương phải có chữ số tận chữ số ; ; ; ; ; Từ em giải toán kiểu sau : Bài toán : Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 số phương Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 ; ; ; Do số n có chữ số tận nên n số phương Chú ý : Nhiều số cho có chữ số tận số ; ; ; ; ; số phương Khi bạn phải lưu ý thêm chút : Nếu số phương chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p2 Bài toán : Chứng minh số 1234567890 số phương Lời giải : Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0) không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số 1234567890 số phương Chú ý : Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), không chia hết cho (vì hai chữ số tận 90) nên 1234567890 không số phương Bài toán : Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số số phương Lời giải : Ta thấy tổng chữ số số 2004 nên 2004 chia hết cho mà không chia hết nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà không chia hết cho 9, số số phương dïng tÝnh chÊt cđa sè d− Chẳng hạn em gặp toán sau : Bài toán : Chứng minh số có tổng chữ số 2006 số phương Chắc chắn em dễ bò “choáng” Vậy toán ta phải nghó tới điều ? Vì cho giả thiết tổng chữ số nên chắn em phải nghó tới phép chia cho cho Nhưng lại không gặp điều “kì diệu” toán Thế ta nói điều số ? Chắc chắn số chia cho phải dư Từ ta có lời giải Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 Lời giải : Vì số phương chia cho có số dư mà (coi tập để em tự chứng minh !) Do tổng chữ số số 2006 nên số chia cho dư Chứng tỏ số cho số phương Tương tự em tự giải toán : Bài toán : Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 số phương Bài toán : Chứng minh số : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không số phương Bây em theo dõi toán sau để nghó tới “tình huống” Bài toán : Chứng minh số : n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không số phương Nhận xét : Nếu xét n chia cho 3, em thấy số dư phép chia 1, không “bắt chước” cách giải toán ; ; ; Nếu xét chữ số tận em thấy chữ số tận n nên không làm “tương tự” toán ; Số dư phép chia n cho dễ thấy nhất, Một số phương chia cho cho số dư ? Các em tự chứng minh kết : số dư Như em giải xong toán ”kĐp” sè gi÷a hai sè chÝnh ph−¬ng “liªn tiÕp” Các em thấy : Nếu n số tự nhiên số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 k không số phương Từ em xét toán sau : Bài toán : Chứng minh số 4014025 không số phương Nhận xét : Số có hai chữ số tận 25, chia cho dư 1, chia cho dư Thế tất cách làm trước không vận dụng Các em thấy lời giải theo hướng khác Lời giải : Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042 Chứng tỏ 4014025 không số phương Bài toán : Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không số phương với số tự nhiên n khác Nhận xét : Đối với em làm quen với dạng biểu thức nhận A + số phương (đây toán quen thuộc với lớp 8) Các em lớp 6, lớp chòu khó đọc lời giải Lời giải : Ta có : A + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2 Mặt khác : (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 Điều hiển nhiên n ≥ Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 < A < A + = (n2 + 3n +1)2 ❂ A không số phương Các em rèn luyện cách thử giải toán sau : Bài toán 10 : Hãy tìm số tự nhiên n cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n số phương Gợi ý : Nghó đến (n2 - n + 1)2 Bài toán 11 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không số phương Gợi ý : Nghó đến phép chia cho phép chia cho Bài toán 12 : Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, mảnh bìa ghi số số từ đến 1001 cho hai mảnh ghi số giống Chứng minh : Không thể ghép tất mảnh bìa liền để số phương Bài toán 13 : Chứng minh : Tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp số phương Gợi ý : Nghó tới phép chia cho Bài toán 14 : Chứng minh số 333333 + 555555 + 777777 không số phương Gợi ý : Nghó đến phép chia cho … chục (?) Bài toán 15 : Lúc đầu có hai mảnh bìa, cậu bé tinh nghòch cầm mảnh bìa lên lại xé làm bốn mảnh Cậu ta mong làm đến lúc số mảnh bìa số phương Cậu ta có thực mong muốn không ? Để kết thúc viết này, muốn chúc em học thật giỏi môn toán từ đầu bậc THCS cho nói riêng với quý thầy cô : nguyên tắc chung để chứng minh số tự nhiên không số phương, dựa vào điều kiện cần để số số phương (mà quý thầy cô biết : điều kiện cần đời dùng để … phủ đònh !) Từ quý thầy cô sáng tạo thêm nhiều toán thú vò khác lo¹i 2: chøng minh mét sè lµ sè chÝnh ph−¬ng Các bạn giới thiệu phương pháp chứng minh số số phương TTT2 số Bài viết này, muốn giới thiệu với bạn toán chứng minh số số phương ph−¬ng ph¸p 1: dùa vµo ®Þnh nghÜa Ta biết rằng, số phương bình phương số tự nhiên Dựa vào đònh nghóa này, ta đònh hướng giải toán Bài toán : Chứng minh : Với số tự nhiên n an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 Lời giải : Ta có : an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Với n số tự nhiên n2 + 3n + số tự nhiên, theo đònh nghóa, an số phương Bài toán : Chứng minh số : số phương Lời giải : Ta có : Vậy : số phương ph¦¥ng ph¸p 2: dùa vµo tÝnh chÊt ®Ỉc biƯt Ta chứng minh tính chất đặc biệt : “Nếu a, b hai số tự nhiên nguyên tố a.b số phương a b số phương” Bài toán : Chứng minh : Nếu m, n số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n m - n 4m + 4n + số phương Lời giải : Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2 (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*) Gọi d ước chung lớn m - n 4m + 4n + (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d ✁✂ 8m + chí hết cho d Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 =✂ m chia hết cho d Từ 8m + chia hết cho d m chia hết cho d ta có chia hết cho d =✂ d = Vậy m - n 4m + 4n + số tự nhiên nguyên tố nhau, thỏa mãn (*) nên chúng số phương Cuối xin gửi tới bạn số toán thú vò số phương : 1) Chứng minh số sau số phương : 2) Cho số nguyên dương a, b, c đôi nguyên tố nhau, thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/c Hãy cho biết a + b có số phương hay không ? 3) Chứng minh rằng, với số tự nhiên n 3n + không số phương 4) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 số phương 5) Chứng minh : Nếu : n hai số tự nhiên a số phương lo¹i 3: t×m ch÷ sè tËn cïng Tìm chữ số tận số tự nhiên dạng toán hay Đa số tài liệu dạng toán sử dụng khái niệm đồng dư, khái niệm trừu tượng chương trình Vì có không học sinh, đặc biệt bạn lớp lớp khó hiểu tiếp thu Qua viết này, xin trình bày với bạn số tính chất phương pháp giải toán “tìm chữ số tận cùng”, sử dụng kiến thức THCS Chúng ta xuất phát từ tính chất sau : tÝnh chÊt 1: a) Các số có chữ số tận 0, 1, 5, nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận không thay đổi Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 b) Các số có chữ số tận 4, nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận không thay đổi c) Các số có chữ số tận 3, 7, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận d) Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận Việc chứng minh tính chất không khó, xin dành cho bạn đọc Như vậy, muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x = am, trước hết ta xác đònh chữ số tận a - Nếu chữ số tận a 0, 1, 5, x có chữ số tận 0, 1, 5, - Nếu chữ số tận a 3, 7, 9, am = a4n + r = a4n.ar với r = 0, 1, 2, nên từ tính chất 1c ✄☎ chữ số tận x chữ số tận ar - Nếu chữ số tận a 2, 4, 8, trường hợp trên, từ tính chất 1d =☎ chữ số tận x chữ số tận 6.ar Bài toán : Tìm chữ số tận số : a) 799 b) 141414 c) 4567 Lời giải : a) Trước hết, ta tìm số dư phép chia 99 cho : 99 - = (9 - 1)(98 + 97 + … + + 1) chia hết cho ✄☎ 99 = 4k + (k thuộc N) =☎ 799 = 74k + = 74k.7 Do 74k có chữ số tận (theo tính chất 1c) =☎ 799 có chữ số tận b) Dễ thấy 1414 = 4k (k thuộc N) =☎ theo tính chất 1d 141414 = 144k có chữ số tận c) Ta có 567 - chia hết cho ✄☎ 567 = 4k + (k thuộc N) ✄☎ 4567 = 44k + = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận nên 4567 có chữ số tận Tính chất sau =☎ từ tính chất tÝnh chÊt 2: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận không thay đổi Chữ số tận tổng lũy thừa xác đònh cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng Bài toán : Tìm chữ số tận tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009 Lời giải : Nhận xét : Mọi lũy thừa S có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc ④2, 3, …, 200✹✆) Theo tính chất 2, lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận tổng : Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 (2 + + … + 9) + 199.(1 + + … + 9) + + + + = 200(1 + + … + 9) + = 9009 Vậy chữ số tận tổng S Từ tính chất tiếp tục =❃ tính chất tÝnh chÊt 3: a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n + không thay đổi chữ số tận Bài toán : Tìm chữ số tận tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011 Lời giải : Nhận xét : Mọi lũy thừa T có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc ✝2, 3, …, 200✞✟) Theo tính chất 23 có chữ số tận ; 37 có chữ số tận ; 411 có chữ số tận ; … Như vậy, tổng T có chữ số tận chữ số tận tổng : (8 + + + + + + + 9) + 199.(1 + + + + + + + + 9) + + + + = 200(1 + + + + + + + + 9) + + + = 9019 Vậy chữ số tận tổng T * Trong số toán khác, việc tìm chữ số tận dẫn đến lời giải độc đáo Bài toán : Tồn hay không số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000 Lời giải : 19952000 tận chữ số nên chia hết cho Vì vậy, ta đặt vấn đề liệu n2 + n + có chia hết cho không ? Ta có n2 + n = n(n + 1), tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận n2 + n ; ; =❃ n2 + n + tận ; ; ✠❃ n2 + n + không chia hết cho Vậy không tồn số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000 Sử dụng tính chất “một số phương tận chữ số ; ; ; ; ; 9”, ta giải toán sau : Bài toán : Chứng minh tổng sau số phương : a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn) b) N = 20042004k + 2003 Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn tận chữ số ; ; ; 9”, ta tiếp tục giải toán : Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 Bài toán : Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh : p8n +3.p4n - chia hết cho * Các bạn giải tập sau : Bài : Tìm số dư phép chia : a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho Bài : Tìm chữ số tận X, Y : X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010 Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016 Bài : Chứng minh chữ số tận hai tổng sau giống : U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013 V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015 Bài : Chứng minh không tồn số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : 19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004 * Các bạn thử nghiên cứu tính chất phương pháp tìm nhiều chữ số tận số tự nhiên, tiếp tục trao đổi vấn đề * Tìm hai chữ số tận Nhận xét : Nếu x Є N x = 100k + y, k ; y Є N hai chữ số tận x hai chữ số tận y Hiển nhiên y ≤ x Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x thay vào ta tìm hai chữ số tận số tự nhiên y (nhỏ hơn) Rõ ràng số y nhỏ việc tìm chữ số tận y đơn giản Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x = am sau : Trường hợp : Nếu a chẵn x = am ⋮ 2m Gọi n số tự nhiên cho an - ⋮ 25 Viết m = pn + q (p ; q Є N), q số nhỏ để aq ⋮ ta có : x = am = aq(apn - 1) + aq Vì an - ⋮ 25 =✡ apn - ⋮ 25 Mặt khác, (4, 25) = nên aq(apn - 1) ⋮ 100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận aq Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận aq Trường hợp : Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an - ⋮ 100 Viết m = un + v (u ; v Є N, ≤ v < n) ta có : x = am = av(aun - 1) + av Vì an - ⋮ 100 =✡ aun - ⋮ 100 Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 10 = x − − ( x − 3) − ( x − 2) ( x − 2)( x − 3) = x −8− x +3− x + ( x − 2)( x − 3) = x −3 ( x − 2)( x − 3) = x −2 KÕt ln : VËy víi x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ x−5 ⇔ = x −2 x−5 th× P= x −2 b) P(x) = ( §K: x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9, x ≠ ) ⇔ x −5 = x −8 ⇔ x−4 x +3= §Ỉt x=y §K: Ta cã ph−¬ng tr×nh : y≥0 y2 − y + = C¸c hƯ sè: a + b +c = 1- + =0 ⇒ y1 = ; y2 = (tháa m·n ®iỊu kiƯn y > Víi y1 = = x ⇒ x = ( tháa m·n §KX§) y2 = = x ⇒ x = ( kh«ng tháa m·n §KX§) • KÕt ln: NghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh P(x)= x −5 lµ x = VÝ dơ 7:( §Ị thi tun sinh chuyªn H¹ Long n¨m häc 1999-2000) Cho biĨu thøc: x ( x + 2) x + 32 − + : (1 − ) P= ( x + 1) + − x − x x + x a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P víi x = − Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 85 c) T×m c¸c gi¸ trÞ chÝnh ph−¬ng x ®Ĩ P cã gi¸ trÞ nguyªn (3 ®) Gi¶i: x + 1) ≥ ∀ x ≥ nªn : a) XÐt: ( ( x + 1)2 + ≥ + x ≥ 2∀x ≥ − x x = 23 − ( x )3 = (2 − x )(4 + x + x ) • x ≥ x ≥ ⇔ − x ≠ x ≠ §KX§: Víi x ≥ 0, x ≠ th× P cã nghÜa Cã: − 2+ x −2 x = = 2+ x 2+ x 2+ x §iỊu kiƯn ®Ĩ phÐp chia thùc hiƯn ®−ỵc lµ x ≠ VËy §KX§ cđa P lµ : x > vµ x • Víi x > vµ x ≠4 ≠4 ta ®Ỉt P =A : B x ( x + x + 4) x + 32 − + x + x + + − x (2 − x )(4 + x + x) A= =( x x + x + x )(2 − x ) − 4( x + x + 4) + x + 32 ) (2 − x )( x + x + 4) = 2( x )3 + x + x − x − 4( x )3 − x − x − x − 16 + x + 32 (2 − x )( x + x + 4) = −2( x )3 − x + x + 16 (2 − x )( x + x + 4) −( x )3 (2 + x ) + 8( x + 2) = (2 − x )( x + x + 4) (2 + x ) 8 − ( x )3 = (2 − x )(4 + x + x) = 2+ x (2 + x ) = VËy P = + x : 2+ x x x (2 + x ) Víi x > vµ x ≠ th× P = x Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 86 b) x = − = − 2.2 = ( − 2) ⇒ x= 5−2 = 5−2 Thay x = − vµo P ta ®−ỵc : (2 + − 2)2 5( − 2) = = = 5 + 10 P= 5−4 5−2 −2 * Víi x = − th× P = 5 + 10 c) Theo kÕt qu¶ phÇn a ta cã: P= = = (2 + x ) x 4+4 x + x x + x + x x = +4+ x x x x x ∈ N, x ∈ N V× x lµ sè chÝnh ph−¬ng nªn P cã gi¸ trÞ nguyªn ⇔ x cã gi¸ trÞ nguyªn ⇔ x∈P x (4) ⇔ x ∈ {±1, ±2, ±4} x x -1 -2 -4 Kh«ng x® Kh«ng x® 16 Kh«ng x® Víi x =1 vµ x = 16 tháa m·n ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh phÇn a x = kh«ng tháa m·n ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh phÇn a * Víi c¸c sè chÝnh ph−¬ng x = hc x = 16 th× P cã gi¸ trÞ nguyªn VÝ dơ 8:( §Ị «n thi tèt nghiƯp THCS cđa SGD) Chøng minh: ( x x+y y x+ y Sinh viªn thùc hiƯn: − xy ) : ( x − y ) + µg µ y x+ y =1 - Líp C®sp To¸n Tin K48 87 Gi¶i: • §iỊu kiƯn ®Ĩ ®¼ng thøc cã nghÜa: x, y ≥ x, y ≥ ⇔ x ≠ y x ≠ y • Víi ( x x+y y x+ y =( =( x ≥ 0, y ≥ 0, x ≠ y biÕn ®ỉi vÕ tr¸i: − xy ) : ( x − y ) + ( x )3 + ( y ) x+ y y x+ y − xy ) : ( x − y ) + ( x + y )( x − xy + y ) x+ y y x+ y − xy ) : ( x − y ) + = ( x − xy + y − xy ) : ( x − y ) + = x + y − xy y + x− y x+ y = x + y − xy + y ( x − y ) x− y y x+ y y x+ y x + y − xy + xy − y x− y x− y = x− y =1 = Sau biÕn ®ỉi, vÕ tr¸i cã kÕt qu¶ b»ng vÕ ph¶i, ®¼ng thøc ®−ỵc chøng minh C MéT Sè BµI TO¸N VỊ RóT GäN BIĨU THøC Bµi 1:( §Ị thi tun sinh líp 10 chuyªn H¹ Long n¨m häc 2000 - 2001) Cho biĨu thøc: A = y2 − 3y x + 2x y x−x a) Rót gän biĨu thøc A b) TÝnh gi¸ trÞ cđa A x = −4 Sinh viªn thùc hiƯn: µg + vµ y = 20 − + 11 − (2 ®) µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 88 Bµi 2:(§Ị thi tun sinh líp 10 chuyªn H¹ Long n¨m häc 2003 – 2004) x x 3x + x − + − ):( − 1) x +3 x −3 x −9 x −3 Cho biĨu thøc: P = ( a) Rót gän P b) T×m x ®Ĩ P < − c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa P (2®) Bµi 3:( §Ị thi tun sinh líp 10 chuyªn H¹ Long n¨m häc 2002 – 2003) Cho biĨu thøc: P= 3(a + a − 1) a +1 a −2 − − víi a ≥ 1, a ≠ a+ a −2 a +2 a −1 a Rót gon biĨu thøc b T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ biĨu thøc P nhËn gi¸ trÞ nhá nhÊt (2,5®) Bµi 4:( §Ị thi tèt nghiƯp líp n¨m häc 2001 – 2002) a Cho biĨu thøc: A = x − x −1 + : x x + x −1 Rót gän biĨu thøc b Víi gi¸ trÞ nµo cđa k, ph−¬ng tr×nh sau cã nghiƯm ph©n biƯt: kx − x + = (2,5®) Bµi 5:( §Ị thi dù bÞ tèt nghiƯp líp n¨m häc 2001 – 2002) Cho biĨu thøc: A = 1− x + víi x >0, x ≠ 1− x x−x a Rót gän biĨu thøc b Víi gi¸ trÞ nµo cđa x th× A = (2®) Bµi 6:( §Ị thi tèt nghiƯp líp n¨m häc 2000 – 2001) Cho biĨu thøc: A= x 2x − x − + víi x > x −1 x ( x + 1) a Rót gän biĨu thøc A b TÝnh c¸c gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A x = − c T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ biĨu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 (2,5®) 89 Bµi 7:( §Ị thi tèt nghiƯp líp n¨m häc 2003 – 2004) a.Thùc hiƯn phÐp tÝnh b Gäi 2( 50 − + 10) − x1 , x2 lµ nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh : x + x + m = T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ: x1 − x2 = 11 (2®) Bµi 8:( §Ị thi tèt nghiƯp líp n¨m häc 2004 – 2005) 1 + 5−2 5+2 1.TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc Cho ph−¬ng tr×nh bËc 2: x − mx − = 0(*) a Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cđa tham sè m, ph−¬ng tr×nh (*) lu«n cã nghiƯm ph©n biƯt b Gäi x1 ; x2 lµ nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh (*), h·y tÝnh: x12 x2 + theo m x2 x1 (2,5®) Bµi 9:( §Ị thi tèt nghiƯp cđa Hµ Néi n¨m häc 2000 – 2001) Cho biĨu thøc: x +4 x +2 x + : − P = x ( x − 2) x − x x − a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cđa P biÕt x = − c T×m c¸c gi¸ trÞ cđa n ®Ĩ cã x tháa m·n: ( ) x +1 P > x + n (2,5®) Bµi 10:( §Ị thi tèt nghiƯp cđa Hµ Néi n¨m häc 2003 – 2004) x −1 − x x − + : Cho biĨu thøc: P = x x x + x a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cđa P biÕt x = 2+ c T×m gi¸ trÞ cđa x tháa m·n: P x = x − − Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ x−4 - Líp C®sp To¸n Tin K48 (2,5®) 90 d chuyªn ®Ị : ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiƯm nguyªn i ph−¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt chia hÕt 1/ Ph−¬ng ph¸p ph¸t hiƯn tÝnh chia hÕt: VÝ dơ 1: T×m nghiƯm nguyªn cđa ph−¬ng tr×nh : 3x + 17y = 159 (1) Gi¶i: Gi¶ sư x, y lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh (1) Ta thÊy 159 vµ 3x ®Ịu chia hÕt cho nªn 17y còng chia hÕt cho 3, ®ã y chia hÕt cho (v× 17 vµ nguyªn tè cïng nhau) §Ỉt y = 3t ( t lµ sè nguyªn) Thay vµo ph−¬ng tr×nh (1), ta ®−ỵc: 3x + 17.3t = 159 ⇔ x + 17t = 53 => x =53 - 17t x = 53 − 17t ( t ∈Z) Do ®ã y = 3t §¶o l¹i thay c¸c biĨu thøc cđa x vµ y vµo (1) ph−¬ng tr×nh ®−ỵc nghiƯm ®óng VËy ph−¬ng tr×nh (1) cã v« sè nghiƯm nguyªn (x; y) ®−ỵc biĨu thÞ bëi c«ng thøc: x = 53 − 17t y = 3t 2/ Ph−¬ng ph¸p ®−a vỊ ph−¬ng tr×nh −íc sè: ( t ∈Z) VÝ dơ 2: T×m nghiƯm nguyªn cđa ph−¬ng tr×nh : x.y - x - y = Gi¶i: Ta cã: x.y - x - y = ⇔ x.( y -1) - y = ⇔ x (y - 1) - (y - 1) = ⇔ (x -1) (y - 1) = Do x, y lµ c¸c sè nguyªn nªn x - 1, y - còng lµ c¸c sè nguyªn vµ lµ −íc cđa Suy c¸c tr−êng hỵp sau: x − = x −1 = x − = −1 x − = −3 ; ; ; y −1 = y −1 = y − = −3 y − = −1 Gi¶i c¸c hƯ nµy ta cã nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0) 3/ Ph−¬ng ph¸p t¸ch gi¸ trÞ nguyªn: VÝ dơ 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh ë vÝ dơ b»ng c¸ch kh¸c Gi¶i: Ta cã: x.y - x - y = ⇔ x.(y-1) = y+2 Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 91 Ta thÊy y ≠ ( v× nÕu y=1 th× x.0 = v« nghiƯm ) Do ®ã x = y+2 = 1+ y −1 y −1 Do x nguyªn nªn nguyªn => y-1 lµ −íc cđa => y-1=3; y-1=-3; y-1=1; y-1=-1 y −1 Ta còng cã ®¸p sè nh− ë vÝ dơ ii ph−¬ng ph¸p xÐt sè d− tõng vÕ VÝ dơ 4: Chøng minh r»ng c¸c ph−¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiƯm nguyªn: a/ x2- y2 = 1998 b/ x2+ y2 = 1999 Gi¶i: 2 a/ Ta thÊy x ; y chia cho chØ cã sè d− lµ: ; nªn x2 - y2 chia cho cã sè d− lµ : ; ; cßn vÕ ph¶i 1998 chia cho d− VËy ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiƯm nguyªn b/ T−¬ng tù ta cã x2 + y2 chia cho cã sè d− lµ : 0; 1; cßn vÕ ph¶i 1999 chia cho d− VËy ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiƯm nguyªn VÝ dơ 5: T×m nghiƯm nguyªn cđa ph−¬ng tr×nh : 9x + = y2+y (1) Gi¶i: Ta cã ph−¬ng tr×nh (1) 9x+2 = y(y+1) Ta thÊy vÕ tr¸i cđa ph−¬ng tr×nh lµ sè chia cho d− nªn y.(y+1) chia cho còng d− ChØ cã thĨ: y = 3k+1; y+1 = 3k+2 ( k ∈ Z ) Khi ®ã: 9x+2 = (3k+1).(3k+2) ⇔ 9x = 9k (k + 1) ⇔ x = k ( k + 1) Thư l¹i: x= k.(k+1); y = 3k+1 tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh ®· cho VËy ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm tỉng qu¸t: x = k ( k + 1) y = 3k + ( k ∈ Z) iii ph−¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc Ph−¬ng ph¸p s¾p thø tù c¸c Èn: VÝ dơ 6: T×m sè nguyªn d−¬ng cho tỉng cđa chóng b»ng tÝch cđa chóng Gi¶i: Gäi c¸c sè nguyªn d−¬ng ph¶i t×m lµ x, y, z Ta cã: x + y + z = x.y.z (1) Do x, y, z cã vai trß nh− ë ph−¬ng tr×nh (1) nªn cã thĨ s¾p thø tù c¸c Èn nh− sau: 1≤ x ≤ y ≤ z Do ®ã : x.y.z = x + y +z ≤ 3z Chia c¶ hai vÕ cho sè d−¬ng z ta ®−ỵc: Sinh viªn thùc hiƯn: µg x.y ≤ µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 92 Do ®ã: x.y = {1; 2; 3} +Víi x.y =1 => x=1, y=1thay vµo (1)ta ®−ỵc +z = z lo¹i +Víi x.y = =>x=1, y=2 thay vµo (1) ta ®−ỵc x = +Víi x.y = => x=1, y=3 thay vµo (1) ta ®−ỵc z = lo¹i v× tr¸i víi s¾p xÕp y ≤ z VËy ba sè ph¶i t×m lµ 1; 2; Ph−¬ng ph¸p xÐt tõng kho¶ng gi¸ trÞ cđa Èn: VÝ dơ 7: T×m c¸c nghiƯm nguyªn d−¬ng cđa ph−¬ng tr×nh 1 + = x y Gi¶i: Do vai trß b×nh ®¼ng cđa x vµ y Gi¶ sư x ≥ y , dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ĩ giíi h¹n kho¶ng gi¸ trÞ cđa sè nhá y Ta cã: 1 < ⇒ y > (1) y MỈt kh¸c x ≥ y ≥ ⇒ 1 ≤ x y Do ®ã 1 1 2 = + ≤ + = ⇒ ≥ x y y y y y nªn y ≤ (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : < y ≤ Do y ∈ Z+ ⇒ y = {4; 5; +Víi y =4 ta ®−ỵc: + Víi y = ta ®−ỵc: } 1 = − ⇒ x = 12 x 1 lo¹i v× x kh«ng lµ sè nguyªn = − = x 15 1 = − ⇒x=6 x VËy c¸c nghiƯm nguyªn d−¬ng cđa ph−¬ng tr×nh lµ: (4; 12), (12; 4) , (6; 6) 3/ Ph−¬ng ph¸p chØ nghiƯm nguyªn: + Víi y = ta ®−ỵc: VÝ dơ 8: T×m sè tù nhiªn x cho 2x+3x=5x Gi¶i: x Chia hai vÕ cho , ta ®−ỵc: x x 2 3 + = (1) +Víi x=0 ⇒ vÕ tr¸i cđa ph−¬ng tr×nh (1) b»ng (lo¹i) + Víi x = th× vÕ tr¸i cđa ph−¬ng tr×nh b»ng ( ®óng) + Víi x ≥ th×: x x 3 2 < ; < Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 93 x x 2 3 Nªn: + < + = ( lo¹i) 5 5 5 VËy nghiƯm nhÊt cđa ph−¬ng tr×nh lµ x = 4/ Sư dơng ®iỊu kiƯn ∆ ≥ cđa ph−¬ng tr×nh bËc hai cã nghiƯm Ta viÕt ph−¬ng tr×nh f(x; y) = d−íi d¹ng ph−¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét Èn ®· chän Ch¼ng h¹n chän Èn x, ®ã y lµ tham sè, ®iỊu kiƯn cÇn ®Ĩ ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm lµ ∆ ≥ , ®Ĩ cã nghiƯm nguyªn cßn cÇn ph¶i ∆ lµ sè chÝnh ph−¬ng VÝ dơ 9: T×m c¸c nghiƯm nguyªn cđa ph−¬ng tr×nh : x+y+xy = x2+y2 (1) Gi¶i: Ph−¬ng tr×nh (1) t−¬ng ®−¬ng víi: x2-(y+1)x+(y2-y) = §iỊu kiƯn ®Ĩ (2) cã nghiƯm lµ ∆ ≥ (2) ∆ = ( y + 1)2 − 4( y − y ) = −3y + 6y + ⇒ ∆ ≥ ⇔ −3y + 6y + ≥ ⇔ 3y − 6y − ≤ ⇔ 3( y − 1)2 ≤ Do ®ã (y-1)2 ≤ => y-1 = 0; y-1 = -1; y-1 = => y=(0; 1; 2) +Víi y=0 thay vµo (2) ta ®−ỵc: x2-x = => x1=0; x2=1 +Víi y=1 thay vµo (2) ta ®−ỵc: x2-2x=0 => x3=0; x4=2 +Víi y=2 thay vµo (2) ta ®−ỵc: x2-3x+2=0 => x5=1; x6=2 Thư l¹i c¸c gi¸ trÞ trªn nghiƯm ®óng víi ph−¬ng tr×nh (1) §¸p sè:nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh (1) lµ:(0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2) 5/ Sư dơng bÊt ®¼ng thøc C«si, Bunhia Copxiki: VÝ dơ 10: T×m nghiƯm nguyªn d−¬ng cđa ph−¬ng tr×nh : xy yz xz + + =3 (1) z x y Gi¶i: Ph−¬ng tr×nh (1) ⇔ 3xyz = x y + y z + z x ≥ 3 x y z = 3xyz xyz ( ¸p dơng B§T C«si) ⇒ xyz ≤ ⇒ x = y = z = VËy ph−¬ng tr×nh (1) c0s nghiƯm nguyªn d−¬ng lµ (1; 1; 1) iv ph−¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt cđa mét sè chÝnh ph−¬ng 1/Sư dơng tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét sè chÝnh ph−¬ng: • C¸c tÝnh chÊt th−êng dïng: sè chÝnh ph−¬ng kh«ng tËn cïng b»ng 2, 3, 7, Sè chÝnh ph−¬ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× chia hÕt cho p2 Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 94 Sè chÝnh ph−¬ng chia cho th× cã sè d− lµ 0; 1, chia cho cã sè d− lµ 0; 1, chia cho cã sè d− lµ 0; 1; VÝ dơ 11: T×m c¸c sè nguyªn x ®Ĩ 9x+5 lµ tÝch cđa hai sè nguyªn liªn tiÕp Gi¶i: Gi¶ sư 9x+5 = n(n+1) víi n nguyªn th× 36x+20 = 4n2+4n => 36x+21= 4n 2+4n+1 => 3(12x+7) = (2n+1)2 (1) Tõ (1) => (2n+1)2 ⋮3 , lµ sè nguyªn tè => (2n+1)2 ⋮ MỈt kh¸c ta cã 12x+7 kh«ng chia hÕt cho nªn 3(12x+7) kh«ng chia hÕt cho VËy chøng tá kh«ng tån t¹i sè nguyªn x ®Ĩ 9x+5 lµ tÝch cđa hai sè nguyªn liªn tiÕp 2/ T¹o b×nh ph−¬ng ®óng: VÝ dơ 12: T×m c¸c nghiƯm nguyªn cđa ph−¬ng tr×nh: 2x2+4x+2 = 21-3y (1) Gi¶i: ( Ph−¬ng tr×nh (1) ( x + 1) = − y 2 ) (2) Ta thÊy vÕ tr¸i chia hÕt cho => 3(7-y2) ⋮ ⇒ − y ⋮ ⇒ y lỴ Ta l¹i cã 7-y2 ≥ (v× vÕ tr¸i ≥ 0) nªn chØ cã thĨ y2 = Khi ®ã ph−¬ng tr×nh (2) cã d¹ng 2(x2+1) = 18 ⇒ x + = ±3 ⇒ x = {−4; 2} C¸c cỈp sè (2; 1), (2; -1), (-4; 1), (-4; -1) tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh (2) nªn lµ nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh ®· cho 3/ XÐt c¸c sè chÝnh ph−¬ng liªn tiÕp: HiĨn nhiªn gi÷a hai sè chÝnh ph−¬ng liªn tiÕp kh«ng cã sè chÝnh ph−¬ng Do ®ã víi mäi sè nguyªn a, x ta cã: Kh«ng tån t¹i x ®Ĩ a2 z2=xy=(ab)2 ®ã z=ab x = ta Nh− vËy : y = tb víi t > z = tab §¶o l¹i ta thÊy c«ng thøc trªn tho¶ m·n (1) VËy c«ng thøc trªn lµ nghiƯm nguyªn d−¬ng cđa (1) 5/ Sư dơng tÝnh chÊt: " nÕu hai sè nguyªn liªn tiÕp cã tÝch lµ mét sè chÝnh ph−¬ng th× mét hai sè nguyªn liªn tiÕp ®ã b»ng " VÝ dơ 15: T×m c¸c nghiƯm nguyªn cđa ph−¬ng tr×nh : x2+xy+y2=x2y (1) Gi¶i: Thªm xy vµo hai vÕ cđa ph−¬ng tr×nh (1), ta ®−ỵc: x2+2xy+y2=x2y2+xy ⇔ ( x + y ) = xy( xy + 1) (2) Ta thÊy xy vµ xy+1 lµ hai sè nguyªn liªn tiÕp cã tÝch lµ mét sè chÝnh ph−¬ng nªn tån t¹i mét sè b»ng NÕu xy = tõ (1) => x2+y2=0 nªn x=y=0 NÕu xy+1=0 => xy= -1 nªn (x; y)=(1;-1) hc (x;y)=(-1;1) Thư c¸c cỈp sè (0;0), (1;-1), (-1;1) ®Ịu lµ nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh (1) v ph−¬ng ph¸p lïi v« h¹n (nguyªn t¾c cùc h¹n) VÝ dơ 16: T×m nghiƯm nguyªn cđa ph−¬ng tr×nh : x3+2y3=4z3 (1) Gi¶i: Tõ (1) ta thÊy x ⋮ , ®Ỉt x=2x1 víi x1 nguyªn hay vµo (1) råi chia hai vÕ cho ta ®−ỵc 4x31+y 3=2z3 (2) Tõ (2) ta thÊy y⋮ , ®Ỉt y=2y1 víi y nguyªn thay vµo (2) råi chia hai vÕ cho ta ®−ỵc: 2x 1+4y 31=z3 (3) Tõ (3) ta thÊy z⋮ ®Ỉt z = 2z1 víi z1 nguyªn Th©y vµo (3) råi chia hai vÕ cho 2, ta (4) ®−ỵc: x13+2y13= 4z13 Nh− vËy nÕu (x; y; z) lµ nghiƯm cđa (1) th× (x1; y1; z1 ) còng lµ nghiƯm cđa (1) Trong ®ã x = 2x1; y = 2y 1; z = 2z1 LËp ln t−¬ng tù nh− vËy ta ®i ®Õn x, y, z chia hÕt cho 2k víi k ∈ N §iỊu nµy chØ x¶y x = y = z = VËy ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm nhÊt : x = y = z = C Bµi tËp: Bµi 1: T×m nghiƯm nguyªn c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a 5x-y = 13 b 23x+53y= 109 Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 96 c 12x-5y = 21 d 12x+17y = 41 Bµi 2: T×m nghiƯm nguyªn c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a/ 1+y+y 2+y3 = t3 b/ 1+y+y2+y3+y4 = t4 Bµi 3: T×m nghiƯm nguyªn d−¬ng cđa c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a/ 5(x+y)+2 = 3xy b/ 2(x+y) = 5xy c/ 3x+7 = y(x-3) Bµi 4: T×m nghiƯm nguyªn d−¬ng cđa ph−¬ng tr×nh sau: 5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt Bµi 5: T×m 12 sè nguyªn d−¬ng cho tỉng cđa chóng b»ng tÝch cđa chóng Bµi 6: Chøng minh r»ng, víi n lµ sè tù nhiªn kh¸c 0, ph−¬ng tr×nh : x1+x2+x3+…+xn= x1x2x3 …xn Ýt nhÊt còng cã mét nghiƯm tËp hỵp sè tù nhiªn kh¸c Bµi 7: T×m nghiƯm nguyªn d−¬ng cđa ph−¬ng tr×nh : xy yz zx + + =3 z x y Bµi 8: T×m nghiƯm nguyªn d−¬ng cđa c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a/ 4(x+y+z) = xyz b/ x+y+z+9-xyz = Bµi 10: Chøng minh ph−¬ng tr×nh 2x2-5y 2=7 kh«ng cã nghiƯm nguyªn Bµi 11: T×m nghiƯm nguyªn d−¬ng cđa ph−¬ng tr×nh : x + y − z + z + = 2( x + y − xy ) Bµi 12: T×m nghiƯm nguyªn d−¬ng cđa ph−¬ng tr×nh: 1 1 + + + =1 x y z t Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 97 Tµi liƯu tham kh¶o S¸ch gi¸o khoa líp 8, c¶i c¸ch C¸c ®Ị thi tèt nghiƯp líp cđa Qu¶ng Ninh C¸c ®Ị thi tèt nghiƯp líp cđa Hµ Néi C¸c ®Ị thi tun sinh chuyªn H¹ Long 36 bé ®Ị To¸n cđa Vâ §¹i Mau Chuyªn ®Ị båi d−ìng häc sinh giái m«n to¸n cđa Vâ §¹i Mau Bµi tËp n©ng cao ®¹i cđa Vò H÷u B×nh To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ị to¸n cđa Ngun Ngäc §¹m Lun tËp ®¹i sè cđa Ngun B¸ Hßa 10 Bµi tËp n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ị to¸n cđa Bïi V¨n Tuyªn Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 98 Mơc lơc Lêi nãi ®Çu NéI DUNG CHÍNH A Chuyªn ®Ị: sè häc Lo¹i 1: Chøng minh mét sè kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph−¬ng Lo¹i 2: Chøng minh mét sè lµ sè chÝnh ph−¬ng Lo¹i 3: T×m ch÷ sè tËn cïng Lo¹i 4: Mét d¹ng to¸n vỊ −❝ln vµ bcnn 14 Lo¹i 5: Nguyªn lÝ §i - rÝch - lª 16 Lo¹i 6: Nguyªn lÝ §i - rÝch - lª & nh÷ng bµi to¸n h×nh häc thó vÞ 18 Lo¹i 7: Bµn vỊ bµi to¸n “ba vÞ thÇn” 20 Lo¹i 8: So s¸nh gi¸ trÞ cđa mét biĨu thøc víi mét sè 23 Lo¹i 9: So s¸nh ph©n sè 25 Lo¹i 10: So s¸nh hai l thõa 32 B Chuyªn ®Ị: TÝnh tỉng 34 I ThĨ lo¹i to¸n vỊ sè nguyªn 34 D¹ng 1: d·y sè mµ c¸c sè h¹ng c¸ch ®Ịu 34 D¹ng : d·y sè mµ c¸c sè h¹ng kh«ng c¸ch ®Ịu 37 II ThĨ lo¹i to¸n vỊ ph©n sè: 42 C Chuyªn ®Ị: biĨu thøc ®¹i sè vµ c¨n thøc 47 I BiĨu thøc ®¹i sè 47 A Mét sè d¹ng bµi tËp th−êng gỈp: 47 1/ Lo¹i 1: T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ biĨu thøc cã nghÜa: 47 2/ Lo¹i 2: Rót gän biĨu thøc ®¹i sè: 48 3/ Lo¹i 3: TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc ®¹i sè 49 4/ Lo¹i 4: T×m ®iỊu kiƯn cđa biÕn sè x ®Ĩ biĨu thøc A(x) tho¶ m·n mét ®iỊu kiƯn nµo ®ã 49 5/Lo¹i 5: Chøng minh biĨu thøc kh«ng phơ thc vµo gi¸ trÞ cđa biÕn sè x 50 6/ Lo¹i 6: Chøng minh ®¼ng thøc A(x)= B(x) 50 B Bµi tËp tr¾c nghiƯm: 50 C Bµi tËp tù ln: 53 D Bµi tËp Tù lµm 68 II D·y sè cã quy lt 69 III Rót gän biĨu thøc vµ c¸c bµi to¸n cã liªn quan 77 A Ph−¬ng ph¸p gi¶i 77 B C¸c vÝ dơ minh ho¹ 77 C Mét sè bµi to¸n vỊ rót gän biĨu thøc 88 D Chuyªn ®Ị :Ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiƯm nguyªn 91 I Ph−¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt chia hÕt 91 II Ph−¬ng ph¸p xÐt sè d− tõng vÕ 92 III Ph−¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc 92 IV Ph−¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt cđa mét sè chÝnh ph−¬ng 94 V Ph−¬ng ph¸p lïi v« h¹n (nguyªn t¾c cùc h¹n) 96 Tµi liƯu tham kh¶o 98 Mơc lơc 99 Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 99 [...]... được quy luật của dãy số, tìm được số hạng tổng quát, ngoài ra cần phải kết hợp những công cụ giải toán khác nhau nữa Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính, đó là: - Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách đều - Dạng thứ hai: Dãy số với các số hạng không cách đều Sau đây là một số bài tập được phân thành các thể loại, trong... => mn. 162 = 240. 16 suyy ra mn = 15 Bài toán 2 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 2 16 và (a, b) = 6 Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b Do (a, b) = 6 ✔✓ a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n Vì vậy : ab = 6m.6n = 36mn =✓ ab = 2 16 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18 Bài toán 3 : Tìm hai số nguyên... vì7 > 5 7 5 Vì 10 10 2 5 < ⇒ < 25 24 5 7 −3 6 & ? 4 7 −3 3 6 6 6 = = & = ; 4 −4 −8 7 −7 Vì 6 6 −3 6 > ⇒ > 4 7 −8 −7 Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương ■■■/ CÁCH 3: (Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương ) +Nếu a.d>b.c thì a c > b d + Nếu a.d 41 410 413 53 530 = Xét phần bù đến đơn vò 57 570 e)Chú ý: phần bù đến đơn vò là: 1 1010 1010 = > ) 26 262 60 262 61 Bài tập 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu , hãy dùng tính chất của phân số để so sánh các phân số sau: a) A = 244.395 − 151 423134.8 462 67 − 423133 &B = 244 + 395.243 423133.8 462 67 + 423134 Hướng... qua việc tìm hai chữ số tận cùng Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh) tÝnh chÊt 5: Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu : + A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ; + A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ; + A có chữ số hàng đơn vò khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ; + A có chữ số hàng đơn vò là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ; + A có hai chữ số tận cùng là lẻ Bài... 31 32 33 60 & Q = 1.3.5.7 59 ? 2 2 2 2 31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33 .60 ).(1.2.3 30) = = 2 2 2 2 230 230.(1.2.3 30) (1.3.5 59).(2.4 .6 60) = = 1.3.5 59 = Q 2.4 .6 60 P= Vậy P = Q Bài tập 9: So sánh M = Sinh viªn thùc hiƯn: µg 7.9 + 14.27 + 21. 36 37 &N = ? 21.27 + 42.81 + 63 .108 333 µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 30 7.9 + 14.27 + 21. 36 7.9.(1 + 2.3 + 3.4) 37 : 37 1 = &N = = 21.27 + 42.81 + 63 .108 21.27.(1... và 825 về luỹ thừa cùng cơ số 2 - Giải : So sánh 161 9 và 825 Ta có : 161 9 = ( 24 )19 = 24.19 = 2 76 825 = ( 23 )25 = 23.25 = 275 Vì 2 76 ✪ 275 nên 161 9 ✪ 825 Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 32 Ví dụ 2 : So sánh 2300 và 3200 - Cách giải: Ta thấy các số mũ 300 và 200 đều chia hết cho 100 nên ta tìm cách đưa 2 số 2 300 và 3200 về 2 cơ số có luỹ thừa bậc 100 - Giải: So sánh 2300 và 3200... hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là Ta có : 1 4 12 12 1 19 19 1 12 19 > = & < = ⇒ > 47 48 4 77 76 4 47 77 Bài tập áp dụng : Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh : 11 16 58 36 12 19 18 26 & ; b) & ; c ) & ; d ) & 32 49 89 53 37 54 53 78 13 34 25 74 58 36 e) & ;f) & ; h) & 79 204 103 295 63 55 a) Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 27 V/ CÁCH 5: Dùng... 60 60 60 40 40 ⇒ S> 10 10 10 37 36 3 + + tức là : S > > Vậy S > (2) 40 50 60 60 60 5 Từ (1) và (2) suy ra :đpcm lo¹i 10: so s¸nh hai l thõa i ph−¬ng ph¸p: Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ - Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số ( lớn hơn 1 ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn Nếu m ✪ n thì am ✪ an ( a ✪ 1 ) - Nếu hai luỹ thừa có cùng số. .. học lớp 6, sau khi học các khái niệm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng toán tìm hai số nguyên dương khi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN và BCNN ph−¬ng ph¸p chung ®Ĩ gi¶i Sinh viªn thùc hiƯn: µg µ - Líp C®sp To¸n Tin K48 14 1/ Dựa vào đònh nghóa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số 2/ Trong một số trường