Nhưng để phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiệnnay, học sinh cần được rèn luyện câu hỏi dưới nhiều mức độ khác nhau nhậnbiết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao trong một khoảng
Trang 11 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.
Toán học là môn khoa học cơ bản, có vai trò quan trọng trong việc pháttriển tư duy sáng tạo cho học sinh Hiện nay, trong xu thế đổi mới của ngànhgiáo dục về phương pháp giảng dạy cũng như phương pháp kiểm tra đánh giákết quả giảng dạy và thi tuyển Cụ thể là phương pháp kiểm tra đánh giá bằngphương tiện trắc nghiệm khách quan đang trở thành phương pháp chủ đạo trongkiểm tra đánh giá chất lượng dạy và học trong trường Trung học phổ thông
Năm học 2016 -2017 trở đi, Bộ giáo dục và đào tạo đưa hình thức thi trắcnghiệm khách quan của môn Toán vào kì thi Trung học phổ thông quốc gia.Điều này khiến cho việc dạy của thầy và việc học của trò cũng có sự thay đổingay từ năm lớp 10 Học sinh cần được tiếp cận với nhiều phương pháp giảikhác nhau cho một bài toán, để từ đó tìm ra cách giải nhanh và chính xác nhất
Trước đây, với hình thức thi tự luận thì Bài toán cực trị trong mặt phẳngtoạ độ được đưa vào đề thi Đại học – Cao đẳng ở mức vận dụng cao, chủ yếucho học sinh khá, giỏi Nhưng để phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiệnnay, học sinh cần được rèn luyện câu hỏi dưới nhiều mức độ khác nhau (nhậnbiết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao) trong một khoảng thời gian ngắn.Thực tế, trong Sách giáo khoa Hình học 10, Bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ
độ ít được khai thác dẫn đến ban đầu tiếp cận các em còn lúng túng Một số em
bỏ qua không có hứng thú, một số em tự làm nhưng còn chậm, chưa hiểu rõ bảnchất vấn đề kể cả những bài tập cơ bản
Chính vì vậy, với suy nghĩ làm thế nào để giúp các em học sinh lớp 10được làm quen với nhiều hướng tư duy khác nhau nhằm tìm ra cách giải nhanhnhất cho bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ Đồng thời lôi cuốn được nhiềuhọc sinh tham gia vào quá trình giải bài tập để các em cảm thấy đơn giản hơntrong việc giải bài tập trắc nghiệm môn Toán Mặc khác giúp cho quý Thầy, Cô
và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có thêm một tài liệu tham khảo trong quá trìnhgiảng dạy bộ môn của mình Vì vậy, tôi chọn đề tài:
" TÌM CÁCH GIẢI TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ NHẰM GIÚP HỌC SINH LỚP 10 VẬN DỤNG VÀO THI TRẮC NGHIỆM HIỆN NAY "
1.2 Mục đích nghiên cứu.
- Giúp các em học sinh lớp 10 từ việc thụ động khi gặp bài toán cực trị trongmặt phẳng toạ độ chuyển sang chủ động, ham thích được khám phá nhiều cáchkhác nhau Từ đó, lựa chọn cách giải nhanh khi thi trắc nghiệm
- Rèn luyện kĩ năng giải toán, giúp các em phát triển, nâng cao năng lực tư duy
- Nghiên cứu phương pháp giảng dạy môn Toán với quan điểm tiếp cận mới
'' Phương pháp trắc nghiệm khách quan".
- Chia sẻ kinh nghiệm dạy học với quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp
1.3 Phương pháp nghiên cứu.
Trang 2- Phương pháp nghiên cứu lí luận: nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu thamkhảo, các đề thi.
- Phương pháp điều tra thực tiễn, thực nghiệm sư phạm: Quan sát việc dạy vàhọc phần bài tập này thông qua tiết dạy tự chọn, dạy bồi dưỡng
- Phương pháp thống kê
1.4 Đối tượng nghiên cứu.
- Đề tài nghiên cứu các phương pháp giải và tìm phương pháp giải tối ưu cho bàitoán cực trị trong mặt phẳng toạ độ khi vận dụng vào thi trắc nghiệm
- Đối tượng áp dụng: Đề tài này áp dụng cho học sinh lớp 10 của trường THPTNhư Thanh trong năm học 2016 – 2017
1.5 Điểm mới trong nghiên cứu
- Nghiên cứu bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ theo cách tiếp cận mới :vận dụng vào thi trắc nghiệm Chính vì vậy, hệ thống các ví dụ phân tích và câuhỏi trắc nghiệm đưa ra theo các mức độ khác nhau nhằm hướng đến nhiều đốitượng học sinh giải quyết được bài toán này
- Nghiên cứu bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ theo các cách giải khácnhau nhằm giúp học sinh tìm được cách giải nhanh cho từng loại câu hỏi
Trang 32 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận.
Hiện nay, nền giáo dục nước ta đang áp dụng những phương pháp giáodục hiện đại, nhằm phát huy năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo, và nănglực giải quyết vấn đề của người học
Giải bài tập Toán học là một biện pháp quan trọng để thực hiện nhiệm vụdạy học, giúp học sinh đào sâu và mở rộng kiến thức một cách sinh động, phongphú Thực tiễn giảng dạy cho thấy việc thực hiện giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau, giúp học sinh không những nắm vững kiến thức mà còn hoàn thiện
kỹ năng và hình thành kỹ xảo
Sự khác biệt giữa hình thức thi tự luận và hình thức thi trắc nghiệm kháchquan là: Hình thức thi tự luận yêu cầu học sinh phải tự trình bày lời giải mộtcách tuần tự với đầy đủ các bước để tìm ra ẩn số của bài toán mà không bị bóbuộc nhiều về thời gian Trong khi đó, hình thức thi trắc nghiệm khách quan yêucầu kiến thức có phạm vi rộng với nhiều dạng, ở nhiều mức độ và giải quyếttrong một khoảng thời gian ngắn.Vì vậy, học sinh phải vận dụng cả kiến thức, kĩnăng, tư duy để tìm ra đáp án nhanh và chính xác nhất
Phương pháp giải tối ưu của một bài toán trắc nghiệm là phương phápngắn gọn, dễ hiểu và cho kết quả nhanh nhất
Bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất có liên quan đến các đối tượng hình học phẳng ( điểm, đường thẳng,đường tròn, elíp, hyperbol, parabol)
2.2 Thực trạng của vấn đề.
Thực trạng học môn Toán hiện nay ở các trường THPT là một bộ phậnkhông nhỏ các học sinh học toán nhưng không hiểu rõ bản chất, gặp các bài toánkhó thường bỏ qua, không có hứng thú
Trong quá trình giảng dạy chương trình Toán lớp 10 (năm học
2016-2017) của trường THPT Như Thanh, tôi nhận thấy " bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ" ít được sách giáo khoa đề cập đến Ban đầu, học sinh chưa được
tiếp cận với nhiều phương pháp giải nên chưa biết cách tìm phương pháp giải tối
ưu cho bài tập này dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm Điều này, khiến tôi mạnh dạnchọn đề tài này nhằm tháo gỡ các khúc mắc mà các em gặp phải Từ đó, trang bịnhiều hướng tư duy khác nhau giúp các em thích ứng với thi trắc nghiệm hiệnnay
2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện.
2.3.1 Giải pháp để giải quyết vấn đề được nêu.
Bước 1 Tổ chức cho học sinh nắm bắt các kiến thức cơ bản liên quan.
Bước 2 Tổ chức hướng dẫn học sinh tìm cách giải khác nhau và lựa chọn cách
giải tối ưu cho hai bài toán sau:
- Bài toán cực trị trong mặt toạ độ liên quan đến khoảng cách
Trang 4- Bài toán cực trị trong mặt toạ độ liên quan đến biểu thức.
Ở mỗi bài toán, học sinh được định hướng tư duy theo hai hoặc ba cách để họcsinh khai thác được tối đa kỹ năng làm toán Cụ thể: phương pháp hình học,phương pháp đại số hoá (sử dụng các bất đẳng thức, sử dụng tính chất của hàm
số bậc hai, sử dụng lượng giác hoá) Từ đó, so sánh để tìm cách làm nhanh nhấtvào các dạng câu hỏi trắc nghiệm
(Chú ý: có bài phải kết hợp giữa các phương pháp)
Bước 3 Tổ chức cho học sinh làm bài tập vận dụng dưới dạng câu hỏi trắc
nghiệm (giáo viên tổng hợp, nhận xét, đánh giá kết quả làm bài của học sinh)
2.3.2 Tổ chức thực hiện giảng dạy nội dung
Phần1 Hệ thống các kiến thức cần ghi nhớ.
1/ Một số tính chất về hình học phẳng :
- Tính chất đường xiên và hình chiếu
- Cách tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng d.
- Cách tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua đường thẳng d.
- Cách xét hai điểm A, B nằm cùng phía (hoặc khác phía) đối với đường thẳng d
2/ Các bất đẳng thức :
- Bất đẳng thức Côsi: a b 2 ab (điều kiện a 0, b0) Dấu "=" xảy ra khi
a = b.
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ax + by) 2 (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ).
Dấu "=" xảy ra khi a x
b y
- Bất đẳng thức về độ dài véctơ:
u v u v , dấu "=" xảy ra khi , u v cùng hướng
u v u v , dấu "=" xảy ra khi , u v cùng hướng
- Bất đẳng thức về lượng giác: 1 sin 1; 1 cos 1;
a2b2 a sinbcos a2b2 (dấu "=" xảy ra khi sin cos
2
b x a
2
b x a
5/ Vectơ và các phép biến đổi vectơ:
- Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì: IA IB 0
và với mọi điểm M ta
Trang 5Phần2 Các bài toán và ví dụ cụ thể
Bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ liên quan đến khoảng cách
Bài toán 1 Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho M cách điểm A cho trước
Ví dụ Cho điểm A(1; 0) và đường thẳng d: x +y +1 =0 Tìm trên đường thẳng
d điểm M sao cho MA ngắn nhất.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Gọi H là hình chiếu của A lên d.
Khi đó: AM ≥ AH = d(A, d) = 2
Vậy AM nhỏ nhất bằng 2 khi M ≡ H
Phương trình đường thẳng d' đi qua A và d'd là: - x + y + 1 = 0 Toạ độ H là
nghiệm của hệ phương trình: 1
Nhận xét 1 Cách 3 có phần tư duy khó hơn, đòi hỏi kỹ thuật tách ghép các
biến hợp lí song lại tạo hứng thú cho các em học sinh khá giỏi khi sử dụng bất đẳng thức Cách 2 đa số học sinh thấy dễ hiểu nhưng phải khéo léo khi gọi toạ
độ của M theo phương trình của d Khi sử dụng cách 1 học sinh rút ra được AM ngắn nhất bằng d(A, d) khi M chính là hình chiếu của A lên d.Việc tìm điểm
M trở nên đơn giản, phù hợp với câu hỏi trắc nghiệm
Bài toán 2 Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và d cách điểm B
cho trước một khoảng lớn nhất
Trang 6Ví dụ Cho điểm A( -1; 2), B( 1; 1) Lập phương trình đường thẳng d đi qua A
sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.
Một số học sinh đã bắt đầu tự tìm cách tư duy hình học dựa vào tính chất đường xiên và hình chiếu hoặc tìm cách đại số hoá dựa vào bất đẳng thức
Bunhiacopxki tương tự Bài toán 1 Sau đó so sánh các cách để tìm ra cách giải
nhanh.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Gọi H là hình chiếu của B lên d Ta
có d(B, d) = BH ≤ AB = 5 Suy ra, BH min=
Vậy d(B, d)min = 5 khi
a = -2b Thay vào (1) ta được phương trình đường thẳng d là: -2x + y – 4 = 0.
Nhận xét 2 So sánh giữa hai cách thì cách 1 cho kết quả nhanh hơn vì học sinh rút ra được đường thẳng d đi qua A sao cho d( B, d ) lớn nhất khi d AB tức
là đường thẳng d nhận AB
làm vectơ pháp tuyến.
Bài toán 3 Cho điểm M nằm trong đường tròn (C) Lập phương trình đường
thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài lớn nhất, nhỏ
nhất
Phân tích
Giả sử d đi qua M và cắt (C) theo dây cung AB.
Gọi H là trung điểm của AB, khi đó:
AB=2HA = 2 R2 IH2
Cách 1: ( Phương pháp hình học)
+ ABmaxkhi IHmin tức là I ≡ H Khi đó đường
thẳng d đi qua tâm I
+ ABminkhi IHmax d I d( , )max, khi đó M ≡ H
Trang 7đường tròn (C) Gọi H là hình chiếu của I lên d Giả sử d cắt (C) theo dây cung.
Ta có: AB = 2 HA = 2 R2 IH2
Cách 1: Theo Phân tích trên ta được:
+ AB lớn nhất khi I trùng H Khi đó đường thẳng d đi qua hai điểm I, M cóphương trình: 2x – y + 1 = 0.
+ AB nhỏ nhất khi IH lớn nhất Do IH IM suy ra IH lớn nhất khi H ≡ M Đường thẳng d lúc này đi qua M và d IM có phương trình: x + 2y -2 =0.
Cách 2: Gọi phương trình đường thẳng d đi qua M(0; 1) và có véctơ pháp tuyến
Lưu ý: khi M nằm trên hoặc nằm ngoài đường tròn(C) thì không xảy ra
trường hợp đường thẳng d đi qua M và cắt (C) theo dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Bài toán 4 Tìm điểm M trên đường tròn (C) sao cho M cách điểm A cho trước
Như vậy, MA nhỏ nhất, lớn nhất khi M thuộc
d là đường thẳng đi qua tâm I và A.
Hướng dẫn giải:
Trang 8Gọi d là đường thẳng IA Phương trình đường thẳng d: 1 2
0;2 Gọi M( 1 sin; 2 cos ) ( )C
AM = (sin 2 (cos ) 2 5 4sin , do 1 sin1 nên
1 5 4sin 9 hay 1AM 3 Kết luận : AMmin 1 khi sin cos 0 ta được M( 0; 2) và AMmax 3 khisin cos 0 ta được M(- 2; 2).
Nhận xét 4 Nếu Bài toán 4 cho dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm thì khi dùng cách 1 học sinh không phải trình bày phân tích 1 mà chỉ cần chỉ ra MA nhỏ nhất, MA lớn nhất khi M thuộc đường thẳng đi qua tâm I và A Song nếu câu hỏi trắc nghiệm chỉ yêu cầu kết quả của khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất thì việc dùng cách 2 để đánh giá 1AM 3 sẽ nhanh hơn.
Bài toán 5 Tìm điểm M trên đường tròn (C) sao cho M cách đường thẳng d cho
Trang 9+ Phương pháp hình học: Ta có d(I, d) >R
nên d không cắt (C)
Gọi d' là đường thẳng đi qua tâm I, d' d tại
H và d' cắt (C) tại hai điểm M 1 , M 2 sao cho
+ Phương pháp lượng giác hoá : ( tương tự Phân tích 2 – Bài toán 4)
Giải hệ phương trình giữa d' và (C) ta được t1;t1
Với t 1 ta được M 1 (3; 2), với t 1 ta được M 2 (1; 4).
Nhận xét 5 Việc yêu cầu học sinh giải Bài toán 5 bằng ba cách nhằm phát huy
nhiều hướng tư duy cho học sinh Cách 1 thuận lợi khi câu hỏi trắc nghiệm chỉ
yêu cầu tìm điểm M (vì học sinh chỉ cần ghi nhớ d( M, d ) nhỏ nhất, d( M, d) lớn nhất khi M thuộc d' là đường thẳng đi qua tâm I và d' vuông góc với d).
Trang 10Lưu ý: khi d cắt (C) thì d(M, d) nhỏ nhất luôn bằng 0 khi M trùng với giao điểm
của d và (C) Nhưng nếu câu hỏi trắc nghiệm chỉ hỏi kết quả của khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất thì việc đánh giá bất đẳng thức theo cách 3 nhanh hơn( vì lúc này không phải tìm điều kiện để dấu " = '' xảy ra).
Bài toán 6 Tìm trên Elíp (E) :
0;2 rồi đưa về đánh giá biểu thức lượng giác
Ví dụ Cho Elíp (E) có phương trình: 2 2 1
Cách 1: Gọi M(a; b) thuộc (E):
a
a b
M b
Trang 112 3
3
d M d (vì 2 2 sin 2 cos2)
Nhận xét 6 Việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá theo cách 2 dễ dàng hơn
( vì học sinh không cần phải tách ghép các biến như cách 1).
Bài toán 7 (Trích đề thi đại học khối A – năm 2009)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):
2 2 4 4 6 0
x y x y và đường thẳng : x + my -2m +3 = 0,với m là tham
số thực Gọi I là tâm của đường tròn (C) Tìm m để cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Phân tích
- Đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi d I( , ) R
- Để xét diện tích tam giác IAB lớn nhất, ta phân tích hai cách như sau:
Đường tròn (C) có tâm I(- 2; -2), bán kính R 2
Điều kiện để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B là ( , ) d I 2.
Cách 1: Theo phân tích trên, diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng 1 khi
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi Theo phân tích trên diện tích tam giác
IAB lớn nhất bằng 1 khi IH 1 d I( , ) 1 Ta được 0; 8
15
Trang 12Nhận xét 7 Cả hai cách đều quy về tìm điều kiện của m để ( , ) 2
2
R
d I Nếu bài toán này hỏi dưới dạng trắc nghiệm thì rõ ràng việc tìm SIAB lớn nhất bằng
2
2
R theo cách 1 nhanh hơn, dễ hiểu hơn.
Bài toán cực trị trong mặt toạ độ liên quan đến biểu thức
Bài toán 1 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d Tìm trên d điểm
điểm I của d với đường thẳng AB.
Trường hợp2: A, B nằm cùng phía đối với
d
Lấy A' đối xứng với A qua d, khi đó:
MA +MB = MA' +MB A'B (khôngđổi)
(MA+ MB) min =A'B khi A', B, M thẳng
hàng hay M trùng với giao điểm I của A'B
và d.
+ Sử dụng bất đẳng thức về độ dài vectơ: Để áp dụng được bất đẳng thức
u v u v học sinh cần khéo léo chọn được u v , sao cho u v MA MB
Trang 13+ Khi sử dụng hình học, đưa bài toán về một
trong hai trường hợp.
Trường hợp1: A, B nằm về cùng phía đối với d.
Khi đó MA MB AB MA MB lớn nhất
bằng AB khi A, B, M thẳng hàng và M nằm
ngoài đoạn AB hay M trùng với giao điểm I của
AB và d.
Trường hợp2: A, B nằm về hai phía đối với d.
Lấy A' đối xứng với A qua d Khi đó
lớn nhất bằng A'B khi A', B, M thẳng hàng và
M nằm ngoài đoạn A'B hay M trùng với M o là
giao điểm của d và A'B.
+ Sử dụng bất đẳng thức về độ dài vectơ: Để áp dụng được bất đẳng thức
u v u v học sinh cần khéo léo chọn được u v , sao cho
u v MA MB và u v không đổi.
Ví dụ Cho đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0, A(1; 2), B(0; -1) Tìm điểm M thuộc
d sao cho MA MB lớn nhất
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Nhận thấy A, B cùng phía đối với d Theo TH1, MA MB 10, khi
M là giao điểm của AB và d suy ra M(2; 5).