Sử dụng phương pháp tọa độ để giúp học sinh giải một số bài toán về tích vô hướng trong chương trình hình học lớp 10 và một số ứng dụng khác, một cách nhanh chóng, chính xác và hiệu quả hơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG TRONG CHƯƠNG TR

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10 VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC, MỘT CÁCH NHANH CHÓNG, CHÍNH XÁC VÀ HIỆU QUẢ HƠN

Người thực hiện: Lê Anh Tuấn Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán học

THANH HÓA NĂM 2016

MỤC LỤC

Trang

2.3 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

2.4.1 Tác dụng của SKKN đến chất lượng giảng dạy và giáo dục của

2.4.2 Đánh giá kết quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với học sinh 17

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi nhận thấy nội dung của chương 2

“Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” (Hình học 10) có một số bài tập mà

ta có thể sử dụng được phương pháp tọa độ để giải một cách hiệu quả hơn, học sinh cũng tiếp thu một cách dễ dàng và hứng thú hơn Nhưng phương pháp này

ít được giáo viên và học sinh quan tâm đến

Tôi thiết nghĩ nếu chúng ta hướng dẫn cho học sinh tiếp cận phương pháp toạ độ trong mặt phẳng để giải quyết một số bài toán về tích vô hướng còn làm cho học sinh thấy được cái hay, cái đẹp của toán học Nó còn cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa các chương các phần trong sách giáo khoa và là cơ sở để học sinh học tốt các phần tiếp theo Ngoài ra phương pháp này còn cung cấp thêm cho học sinh một công cụ mới để giải toán Ngoài ra phương pháp này cũng được sử dụng nhiều trong giải phương trình, bất phương trình, chứng minhbất đẳng thức , chứ không riêng gì phần hình học Thực tế một số năm gần đây

tỉ lệ đề thi vào đại học cũng như các kì thi học sinh giỏi có bài tập ứng dụng phương pháp này cũng rất nhiều

Nhà toán học G.Polya và nhiều công trình nghiên cứu đã khẳng định sự cần

thiết của hoạt động của người thầy: “ Nếu người thầy khêu gợi được tính tò mò

của học sinh bằng cách đưa ra cho học sinh những bài tập hợp trình độ, giúp họ giải các bài toán bằng cách đặt ra câu hỏi gợi ý, thì người thầy có thể mang lại cho họ các hứng thú của sự suy nghĩ độc lập và những phương tiện để đạt được kết quả” Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, thường chỉ nặng về các hoạt động

của thầy mà chưa chú trọng đúng mức đến các hoạt động của học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải bài tập Toán

Vì những lý do trên đây, tôi chọn Đề tài nghiên cứu là: “Sử dụng phương

pháp tọa độ để giúp học sinh giải một số bài toán về tích vô hướng trong

chương trình hình học lớp 10 và một số ứng dụng khác, một cách nhanh chóng, chính xác và hiệu quả hơn”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

- Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp tọa độ vào một số bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ, nhằm nâng cao năng lực nhận thức của học sinh

- Tạo hứng thú học tập, nghiên cứu tìm tòi sáng tạo trong khi giải toán của các

em và học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Đề tài tập trung nghiên cứu một số bài toán liên quan tới tích vô hướng và một

số ứng dụng trong việc giải phương trình, bất phương trình và một số bài toán khác

- Học sinh nắm được phương pháp tọa độ hóa, áp dụng được vào một số dạng

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã sử dụng những phương pháp sau:

- Khảo sát điều tra: Tìm hiểu thái độ học tập của học sinh, tìm hiểu đánh giá của

giáo viên và học sinh về tác dụng và hiệu quả của phương pháp

- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm tại một số lớp 10 ở trường THPT Đông Sơn 2 để thấy được ứng dụng của phương pháp tọa độ khi giải một

số bài toán về tích vô hướng trong chương trình hình học lớp 10.

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận

Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp tọa độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ Phương pháp toạ độ ra đời

đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực

Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Bước 2: Xây dựng thuật giải

Bước 3: Thực hiện thuật giải

Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1 Thuận lợi

- Qua việc giảng dạy môn toán nhiều năm, tôi đã kinh qua việc giảng dạy nhiều đối tượng học sinh với lực học chênh lệch nhau, được giao nhiệm vụ bồi dưỡng đội tuyển thi học sinh giỏi toán 10, 11, 12 đồng thời có năm được phân công phụđạo học sinh yếu nên ít nhiều tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm cho bảnthân trong việc hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ để giải toán

- Việc được góp ý sau những lần dự giờ, được trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp đã giúp tôi ngày càng tích lũy, học hỏi được một số kinh nghiệm trong việc giảng dạy về hướng dẫn học sinh giải bài tập một cách chủ động

- Qua việc tôi được điều động chấm thi tốt nghiệp THPT hàng năm cũng đã ít nhiều giúp tôi có được cách nhìn khái quát về những ưu, khuyết trong việc học sinh thực hiện việc vận dụng phương pháp tọa độ vào giải toán

2.2.2 Khó khăn

- Lực học của học sinh trong một lớp thường có sự chênh lệch lớn nên việc thực hiện giảng dạy toán trên lớp cũng gặp khó khăn trong việc làm sao cho mọi đối tượng học sinh trong lớp đều nắm vững phương pháp qua tiết dạy

- Vì đây là phương pháp mới đối với học sinh mà trong sách giáo khoa đề cập đến rất ít và khá đơn giản, nên khi đưa phương pháp này vào bước đầu học sinh chưa quen và có phần ngại tiếp nhận phương pháp mới

2.3 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

3 Tích vô hướng của hai vectơ:

a Tích vô hướng của hai vectơ:

b Biểu thức toạ độ của tích vô hướng:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho 2 vectơ ta có:









B Phương pháp giải một bài toán sử dụng phương pháp tọa độ:

Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông đặc biệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về tọa độ điểm, tọa độ vectơ và các công thức có liên quan vào giải toán Để giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1: Thực hiện việc chọn hệ trục tọa độ phù hợp, chuyển bài toán đã cho về

bài toán hình học giải tích

Bước 2: Giải bài toán hình học giải tích nói trên

Bước 3: Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất

hình học tương ứng

Tuy nhiên qua thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình trừu tượng hóa và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải toán

Vậy vuông góc với

Do đó ta có:

Vậy:

c Do nên

Ta có:

Suy ra:

Như vậy: không phụ vào vị trí của điểm

 Sử dụng phương pháp tọa độ để giải ví dụ 1

D M

N

- Qua ví dụ 1 ta thấy nếu giải bài toán trên theo cách giải thông thường như lời

giải trong sách “Để học tốt toán 10” - Của nhóm tác giả: Nguyễn Quang Hanh

– Thái Bình – Lê Thống Nhất thì bài làm quá dài dòng và trở khó hiểu đối với

học sinh nhất là từ đối tượng học sinh trung bình trở xuống

- Còn nếu chúng ta “sử dụng phương pháp tọa độ” để giải bài toán trên thì có ưu

điểm: + Bài làm ngắn gọn, dễ hiểu

+ Phù hợp với trình độ của nhiều đối tượng học sinh

Ví dụ 2: (Bài tập hình học10- Sách chuẩn- Trang 82)

Cho hình chữ nhật có độ dài cạnh và Gọi là trung điểm cạnh Chứng minh rằng vuông góc với

Lời giải:( Theo sách: Bài tập hình học 10 - Sách chuẩn)

Gọi là trung điểm của cạnh

O

Mà : Vậy:

Ví dụ 3: Cho hình thang vuông đường cao , cạnh đáy

Tìm điều kiện giữa để:

Bài giải:

C B

I

x y

O

Ta chọn hệ trục như sau:

R

B D

A

B O

y

x

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ

Gốc ( là trung điểm của )

- Nếu quỹ tích điểm là tập rỗng

Ví dụ 7: Cho tam giác cân đỉnh Gọi là trung điểm của là trọng tâm tam giác Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh

Gọi là trung điểm cạnh đáy

Đặt:

Dựng hệ toạ độ như hình vẽ sau

Khi đó:

Ta có: và

Gọi là trung điểm cạnh

Do là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân đỉnh

Ví dụ 8: Cho tam giác vuông tại , có ( cho trước),

di động trên trục , di động trên trục Tìm quỹ tích điểm

A

O

F E I

Thay (2), (3) vào (1) ta được: Theo (2) ta có:

Theo (3) ta có:

Như vậy quỹ tích điểm gồm hai đường chéo của hình chữ nhật

với

Ví dụ 9: Các đường cao của tam giác nhọn cắt nhau ở Trên đoạn

H

Chọn hệ trục như hình vẽ

Do tam giác vuông cân tại

Nên gọi toạ độ của là

Do thuộc tia đối của tia và

Nên gọi toạ độ của là

Ta có:

Vậy vuông góc với

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Ví dụ 1: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh năm 2004 -2005)

Gọi là ba góc tạo bởi đường thẳng (d) theo thứ tự với ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác đều Chứng minh rằng :

Bài giải:

Chọn hệ toạ độ như hình vẽ Giả sử

tam giác đều cạnh có độ dài là 2

x O

(d)

(ĐPCM)

* Nhận xét: Qua ví dụ trên ta thấy:

- Đây cũng là một trong các ứng dụng của phương pháp toạ độ

- Khi giải theo phương pháp tọa độ bài toán trở nên tương đối đơn giản Còn nếugiải bài toán theo phương pháp đại số thông thường thì tương đối dài và khó khăn với học sinh

Mà ta có: Nên đẳng thức (1) xảy ra khi:

- Hoặc một trong hai véc tơ , là vectơ nhưng điều này không xảy ra do các véc tơ có thành phần khác không

- Hoặc hai véc tơ cùng hướng tức là

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Ví dụ3: Cho 8 số thực chứng minh rằng trong 6 số sau đây:

có ít nhất một số không âm

Khả năng 1: Nếu có một trong 4 điểm

trùng với gốc toạ độ, giả sử thì

 bài toán hiển nhiên đúng

Khả năng 2: Cả 4 điểm không trùng với

gốc toạ độ, khi đó ta có:

(Chú ý hình vẽ chỉ có tính chất tượng trưng, còn vị trí

là tuỳ ý)

Khi đó 6 số đã cho tương ứng với 6 tích vô hướng

Bốn véc tơ chia góc 3600 thành 4 góc theo nguyên lý Diriclê thì có ít nhất một góc 900 , tương ứng với góc đó thì

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD kẻ BK vuông góc với AC Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của AK và CD

a Chứng minh BM vuông góc với MN

b Tìm điều kiện của hình chữ nhật để tam giác BMN vuông cân

Bài 2: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, AB = AD = 2a, BC = 4a Gọi I,

J theo thứ tự là trung điểm của AB và AD

a Tính theo các vectơ và

b Tính cosin của góc tù tạo bởi hai đường thẳng CJ và DI

Bài 3: Cho tam giác ABC đều cạnh a Tìm tập hợp điểm những M sao cho:

a MA2 + MB2 + MC2 = 4a2

Bài 4: Cho hình vuông ABCD Từ A kẻ một đường thẳng bất kì Đường thẳng

này cắt BC, DC tương ứng tại E và F Gọi I là trung điểm của BE

a Chứng minh: FI tiếp xúc với đường tròn nội tiếp hình vuông

b Giả sử DE cắt FI tại M Chứng minh M nằm trên đường tròn ngoại tiếp hìnhvuông

Bài 5: Cho 2 điểm A, B cố định Tìm quỹ tích điểm M sao cho:

- Xây dựng được hệ thống bài tập về tích vô hướng

- SKKN đã được đồng nghiệp đánh giá cao về tính khoa học, hiệu quả và thiếtthực Đặc biệt SKKN đã được đồng nghiệp đem áp dụng ở các lớp dạy và chohiệu quả khá cao

2.4.2 Đánh giá kết quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với học sinh

+ Đánh giá định tính

Việc sử dụng phương pháp đã xây dựng có tác dụng lớn trong việc bồidưỡng tư duy cho học sinh, đặc biệt là kỹ năng tổng hợp kiến thức giúp học sinhnâng cao hiệu quả học tập

Giúp học sinh có một cách giải cho nhiều dạng bài toán về tích vô hướng

+ Đánh giá định lượng

Các bài kiểm tra của lớp thực nghiệm sau khi thực hiện, được tiến hànhchấm, xử lí kết quả theo phương pháp thống kê toán học thông qua việc đánh giácác số liệu thống kê:

Bảng 3.1 Bảng thống kê các điểm số kết quả bài kiểm tra

Thông qua tiến hành thực nghiệm sư phạm và xử lý kết quả thực nghiệmtôi đưa ra một số kết luận sau:

- Điểm của HS lớp thực nghiệm lần kiểm tra sau cao hơn lần kiểm tratrước, chứng tỏ dạy học theo phương pháp đã nêu thực sự có hiệu quả

- Tần suất lũy tích cho thấy chất lượng lớp thực nghiệm thực sự tốt khi ápdụng phương pháp đã nêu

- Học sinh đều rất thích thú với tiết học được tiến hành theo phương pháp,đặc biệt với những HS khá giỏi, đã kích thích được sự say mê, hứng thú đối vớicác em

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận:

Xuất phát từ kinh nghiệm của bản thân, từ thực tế nhiều năm giảng dạy ởtrường THPT, bản thân tôi đúc rút thành kinh nghiệm mong rằng sẽ giúp chohọc sinh dễ dàng định hướng được cách giải các dạng toán khác nhau về tiếptuyến của đồ thị hàm số

Bên cạnh những bài tập vận dụng có hướng dẫn, tôi đưa ra những bài tập

đề nghị nhằm giúp các em học sinh lựa chọn cách giải phù hợp để rèn luyện kỹnăng và phương pháp làm bài

Đề tài này đã được áp dụng cho học sinh lớp 10A6, 10A5 - Trường THPTĐông Sơn 2, năm học 2015 – 2016 và những học sinh khóa học trước, hầu hếthọc sinh đã nắm được phương pháp và vận dụng rất tốt trong việc giải các bàitập liên quan

Do thời gian có hạn nên chắc không tránh được những thiếu sót Vì vậyrất mong được sự góp ý của quý thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tàiđược hoàn thiện hơn và được áp dụng phổ biến hơn trong những năm học tới

3.2 Kiến nghị :

Tổ chức các buổi hội thảo để triển khai các SKKN đạt giải tới giáo viên,

để từ đó giáo viên có thêm cơ hội học tập nâng cao trình độ chuyên môn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA Thanh Hoá, ngày 04 tháng 05 năm 2016

viết, không sao chép nội dung của người khác.

Lê Anh Tuấn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá năm 2004-2005

2 Toán nâng cao hình học 10 – 279 bài toán chọn lọc – Võ Đại Ma

3 Toán nâng cao cho học sinh hình học 10 - Phan Huy Khải

4 Sách bài tập giáo khoa hình học 10 (Sách chuẩn)

5 Sách để học tốt toán 10 - Nguyễn Quang Hanh – Thái Bình – Lê Thống

Nhất)

6 Giải toán hình học 10 - Trần Thành Minh –Trần Quang Nghĩa