SKKN PHÂN LOẠI và PHƯƠNG PHÁP GIẢI các DẠNG bài tập về TÍCH vô HƯỚNG của HAI VECTƠ

Tên đề tài: PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ I.. - Giúp cho các em học sinh mới bắt đầu chương trình toán lớp 10 thấy được những kiến thức n

Tên đề tài:

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

- Mục tiêu dạy học của bộ môn toán nói chung, hình học nói riêng,

không chỉ đòi hỏi người giáo viên cần phải truyền đạt những tri thức mà còn

phải giúp cho các em rèn luyện các kĩ năng cơ bản, phát triển tư duy

- Qua nhiều năm dạy học, qua nhiều đợt kiểm tra học kỳ I của khối 10,

bản thân tôi nhận thấy bài “ Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng ” là rất

quan trọng, nó chiếm trên hai phần ba số điểm của phần hình học trong bài

kiểm tra học kỳ I Thể loại toán về “ tích vô hướng” vô cùng rộng lớn và

phong phú cả về thể loại, nội dung cũng như mức độ yêu cầu của từng thể loại

Loại bài tập này vận dụng được cho nhiều đối tượng học sinh trong khối Đặc

biệt, có một vài dạng được đánh giá là loại bài nhằm phát triển tư duy của học

sinh Nó thường được đóng vai trò làm câu khống chế điểm 9, điểm 10 trong

đề thi hằng năm Bên cạnh đó, bài học này là bài cuối cùng của học kỳ I nên

các em không có thời gian rèn luyện nhiều, chưa có đủ thời gian để “ ngấm”

- Giúp cho các em học sinh mới bắt đầu chương trình toán lớp 10 thấy

được những kiến thức nào là trọng tâm, nắm vững được những dạng toán cơ

bản và phương pháp giải quyết các dạng toán ấy Ngoài ra, các em còn được

tiếp cận với những kiến thức có tính nâng cao để chuẩn bị cho các kì thi sau

này

- Để có những hiểu biết sâu sắc để truyền thụ cho học sinh về mảng

kiến thức liên quan đến “ tích vô hướng ” có hiệu quả nhất, chúng tôi chọn

chuyên đề nghiên cứu là “ Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về

tích vô hướng ” Chuyên đề được trình bày thành năm dạng toán, mỗi dạng

toán có các yêu cầu cụ thể như sau:

+ Kiến thức cần nhớ: Phần này tóm tắt các khái niệm, định nghĩa, định

lý, tính chất và các công thức hoặc phương pháp giải phục vụ cho việc giải

quyết các bài toán tương ứng của từng phần

+ Các bài toán minh họa: Trên cơ sở lý thuyết, phần này phân loại và

chỉ ra các dạng toán cơ bản thường gặp trong chương trình cùng với phương

pháp giải Lời giải các bài toán được trình bày chi tiết hoặc gợi ý, hướng dẫn

Ngoài ra còn có các nhận xét, rút kinh nghiệm, các cách giải khác giúp cho

các em dễ hiểu, dễ vận dụng để giải được các bài toán tương tự

+ Bài tập đề nghị : Hệ thống các bài toán có cùng cách giải, cùng mạch

tư duy Bên cạnh đó còn có các bài tập có tính mở rộng, nâng cao để giúp các

em khá, giỏi có điều kiện rèn luyện, mở rộng kiến thức để nâng cao năng lực

giải toán của mình

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận:

- Các kiến thức về tích vô hướng được tổng hợp từ sách giáo khoa và sách

bài tập hình học 10

- Kĩ năng giải các bài toán đòi hỏi tư duy, sáng tạo

- Do trong mỗi bài của sách giáo khoa bao gồm nhiều vấn đề lý thuyết khác

nhau nên việc phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập theo hướng nâng

dần mức độ phức tạp và rèn kĩ năng suy luận là rất thiết thực đối với học sinh Để

từ đó các em học sinh tích cực chủ động trong học tập có điều kiện luyện tập khắc

sâu kiến thức

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:

A NỘI DUNG

Vấn đề 1: Kiến thức cơ bản

Phương pháp

- Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ ar

và br

là một số, được xác định bởi công thứca br.r  a br r.cos a br,r

- Các tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ , ,a b cr r r bất kỳ và mọi số k ta có:

a br r b ar.r

 

a br rcr a br ra cr r

 ka br r k a b r.r a kbr. r

2

0

ar 

2

ar   ar r

2

2

a br  r ar  a br rbr

2

2

a br r ar  a br rbr

ar br ar br ar br

Lời giải

Đặt uuurAB m AC, uuur n, góc giữa hai vectơ uuurAB và ACuuur

là  Khi đó

AB AC  AB AC m n

uuur uuur

AB AC  m n  m n m n

uuur uuur

Bài toán 1: Cho ba điểm A, B, C phân biệt So sánh giá trị của hai biểu thức

AB AC

uuur uuur

và uuur uuurAB AC2 2 Khi nào thì chúng bằng nhau ?

Vậy  2 2 2

AB AC  AB AC

uuur uuur uuur uuur

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi cos2 1

cos  1

0 hay 180

Điều đó xảy ra khi và chỉ khi ba điểm A, B, C thẳng hàng

Lời bàn: Bài toán này tuy đơn giản nhưng đa số học sinh mắc sai lầm ở chỗ

cố nhiên cho  2 2 2

AB AC  AB AC

uuur uuur uuur uuur

vì nhầm lẫn với tính chất 2 2  2

m n  m n với

m ,n là những số thực chứ không phải vectơ

Lời giải

1) Ta có a br r là một số thực, chẳng hạn a br r m m, R Khi đó  a b cr.r r m c.r

là một vectơ cùng phương với vectơ cr

Tương tự, b cr r

là một số thực, chẳng hạn b cr r n n, R Khi đó

 

a b cr r r n ar là một vectơ cùng phương với vectơ ar

Nói chung đẳng thức trên không đúng Nó chỉ đúng trong một trường hợp

rất hiếm hoi là khi mcr nar

2) Biểu thức ar b cr.r có nghĩa vì nó là số thực

ar   br er ar b cr r e cr r  k R

Biểu thức arb cr.r không có nghĩa vì b cr r

là một số thực, ar

là một vectơ nên tổng này không thực hiện được

Bài tập đề nghị

1) Cho ba vectơ , ,a b cr r r khác 0r

Trong trường hợp nào đẳng thức sau đây đúng

 a b cr.r r a b cr r.r ?

2) Trong trường hợp nào tích vô hướng a br r có giá trị dương, có giá trị âm,

bằng 0 ?

3) Với hai vectơ ,a br rbất kì Chứng minh:

Bài toán 2: Cho ba vectơ , ,a b cr r r

1) Đẳng thức  a b cr.r r a b cr r.r có đúng không ? Vì sao ?

2) Trong hai biểu thức arb cr.r và ar b cr.r , biểu thức nào có nghĩa ?

Vì sao ?

a) 1 2 2 2

2

a br r  ar br  ar  br

4

a br r  ar br  ar br

2

a br r  ar  br  ar br

Vấn đề 2: Tính tích vô hướng của hai vectơ

Trong phần này ta phải đặc biệt quan tâm đến định nghĩa và các tính chất

của tích vô hướng để giải được các bài toán hình học đơn giản

Lời giải

60

B'

B

A

C

1) Tam giác ABC vuông tại A có Bˆ 60 0nên Cˆ 30 0, từ đó ta có

1

4 2

AB BC  vàAC2 BC2AB2 48 Do đó AC4 3

Vậy CACBuuur uuur CACB .cosC 48

2) Vẽ vectơ uuurBB'uuurAB ( tức kéo dài AB một đoạn BB’ về phía B sao cho

BB’ = AB ) Khi đó

0

1

2

AB BC BB BC BB BC

uuur uuur uuur uuur

Lời bàn: Sai lầm thường gặp ở học sinh là coi góc giữa hai vectơ

à

AB v BC

uuur uuur

là góc ·ABC Thực ra nó là góc giữa hai vectơ BA v BCuuur àuuur Từ nhận

xét này ta có cách tính khác

4.8.1 16

2

AB BC  BA BC    

uuur uuur uuur uuur

Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , có góc B bằng 600và cạnh

huyền BC = 8 Tính tích vô hướng của các cặp vectơ

1) CA CBuuur uuur

2)uuur uuurAB BC

Phân tích bài toán

Với giả thiết cho ba điểm M, N, P thẳng hàng thì sẽ có hai khả năng xảy ra:

- Thứ nhất, điểm M nằm ngoài đoạn NP Lúc đó 2 vectơ MN v MPuuuur à uuur cùng

hướng nên góc giữa chúng bằng 0

0

- Thứ hai, điểm M nằm trong đoạn NP Lúc đó 2 vectơ MN v MPuuuur àuuur ngược

hướng nên góc giữa chúng bằng 0

180

Lời giải

Ta phân biệt hai trường hợp

Trường hợp 1: Điểm M nằm ngoài đoạn NP Khi đó   0

MN NP 

uuuur uuur

nên

0

5.7.cos 0 35

uuuur uuur

Trường hợp 2: Điểm M nằm trong đoạn NP Khi đó   0

MN NP 

uuuur uuur nênMN NPuuuur uuur 5.7.cos1800  35

Lời bàn: Cũng tương tự như ví dụ trên, một sai lầm thường gặp là chỉ

xét ba điểm M, N, P nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó, điều này càng dễ

nhầm lẫn khi giả thiết cho MN  5 MP7

Lời giải

I

Ta có: JMuuur JIuurIMuuur

và JNuuuruurJI INuur uurJI IMuuur (vì IM INuuur uur, là hai vectơ đối nhau)

JM JN  JI IM JI IM  JI IM R a

uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur

Bài tập đề nghị

Bài toán 2: Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng Biết MN= 5, MP = 7 Tính

MN MP

uuuur uuur

Bài toán 3: Cho đoạn thẳng MN2a, I là trung điểm của MN Với điểm J tùy

ý, đặt đoạn IJ R.Tính uuur uuurJM JN theo a và R

1) Cho tam giác ABC có BC a CA, b AC, b Tính

AB BC BC CA CA AB theo a b c

uuur uuur uuur uuur uuur

Đáp số: 1 2 2 2

2

AB BC  b a c

uuur uuur

2) Cho tam giác ABC đều cạnh a Tính:

)a AB ACuuur uuur

b ABuuur uuurAB BCuuur

Đáp số:

2

2

a

AB AC

uuur uuur

3) Cho tam giác ABC đều có cạnh AB=10 Kẻ đường cao AH Tính

AB AC BA BH AH AC AH HB CA AB BA AH , , , , ,

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

4) Cho tam giác ABC vuông cân, có cạnh ABACa Tính

AB AC BA BC AC CB

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

5) Cho hình vuông ABCD, có cạnh ABa và tâm là O Tính

AB AC BA BO AO CA AC BD CA AB

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

6) Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB4 ,a AD2 a Lấy điểm M thuộc

AB sao choAM a Tính MC MDuuuur uuuur

Vấn đề 3: Tập hợp điểm thỏa một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài

Phương pháp: Đưa đẳng thức về các dạng sau:

 Dạng 1: AMuuuurkv r ( k thay đổi, A cố định, vr không đổi )

Tập hợp các điểm M là đường thẳng qua A và cùng phương với vr

 Dạng 2: MAuuur  MBuuur (A,B cố định )

Tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB

 Dạng 3: AM2 k ( k: hằng số, A cố định)

Nếu k < 0 thì tập hợp các điểm M là 

Nếu k = 0 thì tập hợp các điểm M là  A

Nếu k > 0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính R k

 Dạng 4: uuuur uuurAM BC k ( A cố định, uuurAB không đổi, k là hằng số )

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A và M trên đường thẳng BC

Nếu k = 0 thì tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với BC tại F

Nếu k 0 : Dùng công thức hình chiếu ta có:

AM BC  k EF BCk

uuuur uuur uuur uuur

Khi k0 : , (*)

EF BC

HK

BC





  





uuur uuur uuur uuur

Khi k0 :

,

EF BC

HK

BC





  







uuur uuur uuur uuur

Do E cố định ( vì A và BC cố định) , k không đổi, từ (*)suy ra F cố định Vậy

tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với BC tại F định bởi (*)

Lời giải

A

J

I

1) Gọi I là trung điểm của AB Ta có MA MBuuuruuur 2MIuuur

Tương tự, gọi J là trung điểm của BC Ta có MBuuur MCuuuur2MJuuur

Suy ra MI MJuuur uuur  0 MI MJ

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính IJ

2) Ta có

MA MB MA MC

MA MB MC

MA CB

MA CB



uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur

uuur uuur

Do A,B, C cố định nên tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông

góc với BC

Bài toán 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho

1) MA MBuuuruuur  MBuuur MCuuuur0

2) MA MBuuur uuur MA MCuuur uuuur

3) MAuuur2 MB MCuuur uuuur

cùng hướng

ngược hướng

3)

F

I

E

A

B

C M

Ta có:

2

MA MB MC

uuur uuur uuuur

2

MA ME EB ME EC

uuur  uuuruuur uuuruuur ( với E là trung điểm của BC)

2

MA ME EB ME EB

 uuur  uuur uuur uuuruuur

MA ME EB

uuur uuur uuur

EB ME MA

uuur uuur uuur

2

EB ME MA ME MA

uuur  uuuruuur uuuruuur

2

2

4

BC

MI AE

 uuur uuur  (với I là trung điểm của AE )

2

8

BC

MI AE

uuur uuur 

Gọi F là hình chiếu của M lên AE, ta có:

IM EAuuur uuur IF EAuur uuur

Vì A, B, C, E, I cố định nên F cố định

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với AE tại F định bởi

2

8

BC

IF

EA



uur

Lời bàn: Câu 3 này là dạng toán nâng cao, dành cho học sinh khá, giỏi

Các em có dịp làm quen với các dạng bài tập này nhằm giúp cho các em có điều

kiện rèn luyện để nâng cao kĩ năng giải toán

Lời giải

1)

Bài toán 2: Cho tam giác ABC.Tìm tập hợp các điểm M sao cho

1) MA MBuuur uuurMCuuuur  MA MBuuuruuur

2) MA MBuuur uuurMCuuuur  2MA MBuuuruuurMCuuuur

G

C A

B

Ta có

3

MA MB MC MG

uuur uuur uuuur uuuur

( G là trọng tâm của tam giác ABC)

MA MB BA

uuur uuur uuur

Do đó 3MGuuuur  BAuuur

1 3

MG AB

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G, bán kính

3

AB

R

2)

l

D

B

A

C

Ta có MA MBuuuruuurMCuuuurMA CBuuuruuur

Dựng điểm D sao cho ADuuur CBuuur

Khi đó MA MB MC MA AD MDuuuruuuruuuuruuuruuur uuuur (1)

Mặt khác:

2MA MBuuuruuurMCuuuurMA MBuuuruuur  MA MCuuuruuuurBA CBuuuruuur (2)

Từ (1), (2) và từ hệ thức đề bài cho ta được MDuuuur  uuurABuuurAC

Dựng hình bình hành ABIC, ta có ABuuuruuurAC uurAI

Do đó MDuuuur  uurAI

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm D, bán kính

2

AI

R

Bài toán 3: Cho hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp các điểm M

thỏa mãn MA MBuuur uuur k

Lời giải

Đặt AB  a, I là trung điểm của AB

Ta có

MA MBuuur uuur k

MI IA  MI IC k

 uuuruur uuuruur 

MI IA  MI IA k

 uuuruur uuuruur 

2

4

a

MI k IA k

*Nếu

2

4

a

k 

 thì tập hợp các điểm M là 

*Nếu

2

4

a

k  

thì tập hợp các điểm M là tập gồm một điểm M

*Nếu

2

4

a

k  

thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính

2

4

a

R k

Chú ý: Ta cũng có thể lập luận theo hướng khác

MA MBuuur uuur k

2

2

AB  uuuurAM MBuuur MAuuur MBuuur  MA MBuuur uuur)

Mặt khác, với I là trung điểm của AB, ta có

2

2

2

AB

MA MB  MI  (2)

Từ (1) và (2) suy ra

2 2

4

a

MI  k AB  a

Tương tự như cách trên ta tìm được tập hợp các điểm M tùy theo k

Bài tập đề nghị

1) Cho ar 0, điểm A cố định.Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn MA auuur r k

2) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức

MA2MB2MC2MD2 k (k 0) với A, B, C, D là bốn điểm cố định

cho trước

3) Tìm tập hợp các điểm M sao cho 2 2

MA  MB k kR với A, B cố định cho trước và AB  a

Hướng dẫn

Gọi C là điểm thỏa hệ thức CAuuur2CBuuur 0r C cố định

a

Từ đó tìm được tập hợp các điểm M

4) Cho hai điểm cố định A và B có khoảng cách bằng a

a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA MBuuur uuur k

b) Tìm tập hợp các điểmN sao cho uuur uuurAN AB 2a2

5) Cho điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng , H là hình chiếu của A lên

 Với mỗi điểm M trên , lấy điểm N trên tia AM sao chouuur uuuurAN AM  AH2

Tìm tập hợp các điểm N

Vấn đề 4: Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng

Chứng minh một đẳng thức các độ dài

Phương pháp

- Sử dung tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép cộng các

vectơ

- Sử dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng hoặc trừ vectơ, ví dụ

nhưuuurABBCuuur uuur uuurAC AB, OB OAuuuruuur

- Chứng minh sự vuông góc của hai vectơ: sử dụng tính chất của tích vô

hướng là ar  br a br r 0

Chú ý: 2  2

2

AB uuurAB  MA MBuuuruuur với điểm M tùy ý

Phân tích:

1) Biến đổi tương đương đẳng thức uuur uuurBA BC  AB2 để đạt được uuur uuurAB AC 0

hoặc BC2 AB2AC2

2) Viết giả thiết của bài toán dưới dạng các đẳng thức vectơ rồi biến đổi

tương đương để được 2

BA BC AB

uuur uuur

Lời giải

Cách 1:

Ta có

BA BCuuur uuur  AB2

BA BA AC AB

uuur uuuruuur 

BA AC

uuur uuur 

BA AC do BA AC

  uuurr uuur r

Bài toán 1: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC

vuông tại A là BA BCuuur uuur  AB2

  vuông tại A

Cách 2:

Ta có

 2

2

BA BC BA BC  BA BC

2

AC AB BC BA BC

2

BA BC AC

uuur uuur 

Do đó

uuur uuurBA BC  AB2

2

2

BA BC AC

AB

ABC

  vuông tại A

Cách 3:

ABC vuông tại A

AB AC

uuur uuur 

AB AB BC

uuur uuuruuur 

2

AB AB BC

 uuur uuur 

2

BA BC AB

uuur uuur 

Cách 4:

ABC vuông tại A

AB BC BA BC

uuur  uuur uuur 

2

AB BC BA BC BA BC

uuur uuur uuur  uuur uuuruuur

2

BA BC AB

uuur uuur 

Lời giải

Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A, I là trung điểm của BC, J là hình

chiếu của I lên AC M là trung điểm của IJ Chứng minh rằng AM BJ