Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2 nguyễn kiếm

Tinh chit céc trung diém doan thang, trọng tâm của tam giác — llà trung điêm của ABS MA +MB =2MI với mọi điểm M... 2 Thực hiện các phép biến đổi theo một trong các hướng sau: ~ Biến đổi

Th.$ NGUYÊN KIEM - Th.S LE THI HUONG - Th.S HO XUAN THANG

Phân loại và phương pháp giải

* Danh che HS ban Khoa hoe ty nhiên Co so

NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI

Th.S NGUYEN KIEM - Th.S LE THI HUONG - Th.S HO XUAN THANG

PHAN LOAI _ VAPHUONG PHAP GIAI

PAG DANE BAL TAP

IIIIIIIIIIIIIIlIÏ „ T0RIN0

(Biên s0ạn theø chương trình cơ sử và nâng ca0 mới của Bộ ED & ĐT)

* Kiến thức cần nhữ

* Phân lại các ạng tuán

* Phudag phap gidi bai tap Cac dang bai tap mẫu

* Bai tap ap dung tu giai

đề

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC-ĐUỐC-GIA-HÀ NÔI

MUC LUC

Chuong I: Vecto

Dang 1: Chứng minh đăng thức vecto

Dạng 2: Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng canine ‘1 Huong dan - li gidi - dap sO o ccceeccsceccsseeescssseeesessseesscseeesssseseesveneesevees 17

Chương II: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng .- 23

Bài 1: Tích vô hướng của hai vectơ

Dang |: Cac bài toán liên quan đến tích vô hướng ve

Dạng 2: Xác định điểm hay tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vcectơ

Cho tƯỚC 5-5 St 22t HE 1121121 11 1 11011111111 1 1c crrrec 28

Dạng 3: Dùng phương pháp vectơ để giải một số dang bài toán Fhình

học phăng cv 2E HH He 35

¬ D2

5099 vow BB

Bài 2: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 3: Một số ứng dụng của tích vô hướng

Hướng dẫn - lời giải - đáp số

Chương III: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

* Vecto la doan thang định hướng

~— Một điểm, được xác định là điêm gốc (điểm đâu), còn điềm kia là diém ngọn (diém cuôi)

~ Hướng từ điểm góc đến điểm ngọn là hướng của vecto

— Độ dài của đoạn thăng goi là độ đài của vectơ

* Xí hiệu: Vectơ có điểm góc „1 điểm ngọn B kí hiệu AB

Độ dài vectơ AB kí hiệu là |AB|

Đường thăng AB gọi là giá của vectơ AB

* Jectơ không kí hiệu O là vectơ:

~ Có điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau

— Có hướng bắt kì

— Độ dài bằng 0

2 Vectơ cùng phương, cùng lướng

* Hai veetơ AB và CŨ được goi là cùng phương kí hiệu:

AB/CD (giá của chúng song

AB//CD <= A,B,C,D thang hang song hoặc trùng nhau)

* Hai vecto AB và CD được gọi là cùng hướng kí hiệu:

Aree Tia AB,CD cùng hướng

* Hai vecto AB va CD duoc goi la ngược hướng kí hiệu:

AB11EB©4^2/GP Tia AB,CD ngược hướng

3 Vectơ bằng nhau, đối nhau

* Hai vec AB và CD được gọi là bằng nhau, kí hiệu:

* Quy tắc 3 điểm: Với 3 điểm A, B, C bất kì ta luôn có AB+ BC = AAC

* Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta ludtin có

Cho hai vecto a,b Ta goi veclo a+(-b) là hiệu cua hai vwectw

a,b và ÄÍ hiệu a—b

Như vậy: a-b=a+(-b)

b Quy tac

Cho hai vecto AB, véi moi diém O bat ki ta cé: AB = OB-OAA

Ill PHEP NHAN MOT SO VOI MOT VECTO

Ta quy woe: 0a=0 va k.0=0

2 Tinh chat của phép nhân một số với một vectơ

Lới mọi vectở a.b, với mọi sô k, h ta có:

4 Tinh chit céc trung diém doan thang, trọng tâm của tam giác

— llà trung điêm của ABS MA +MB =2MI với mọi điểm M

~ Quy tắc 3 điểm: AB+BC =ÁC, AC-AB=BC, véi moi A, B,C

~ Quy tắc hình bình hành: AB+AD =AC với ABCD là hình bình

hành

~ Quy tắc trung điểm: M.A + MB =2MI, với I là trung điềm của AB

~ Quy tắc trọng tâm: GA +GB+G€ =0, với G là trong tam AABC

~ Các tinh chat của các phép toán

2) Thực hiện các phép biến đổi theo một trong các hướng sau:

~ Biến đổi về này thành về kia của đăng thức (thông thường Ida xud

phát từ về phức tạp biên đôi rút gọn đê đưa về về đơn giản hon)

~ Biến đồi đẳng thức cần chứng minh về tương đương với l đăngg thức hăng đúng

- Xuất phát từ I đăng thức luôn đúng để biến doi về đăng thứớc car

Nhân xét: Sử dụng cách giải này, ta can chủ ý khi biến đổi các só' hạng

của một về cân quan tâm phân tích làm xuất hiện các số hạng có ơ vvề bên kia C “hang hạn số ‘0 hang ở về trái là AB nhưng về phải có chứa AD ;nên tá viết AB= AD+DB

Bai 2: Cho AABC va G Ia trong tam AABC

a Chứng mình rằng MA+MB+MC =3MG

b Tìm tập hợp điểm M sao cho MA+MB+MC =0

Bai 3: Cho AABC co D, E, F lân lượt là trung điểm của các cạnh BC C4

MC+MA =2ME

Suy ra: 2(MA +MB+ MC) = 2(MF + MD + ME)

Vậy: MA +MB+MC =MD+ME + ME

Bai 4: Cho AABC va G, H, O lần lượt là tr ong tâm, trực tám, tâm cđhường

tròn ngoại tiếp của tam giác Gọi D là điểm đổi xứng của A qua O CClhimg

ce OH=OA+OB+OC=3ÓG (xem bài 2)

Bài 5: Cho tứ giác ABCD Goi E, F lầm lượt là wrung diém cia AB, CID; O

là trung điêm của EF Chitng minh rang:

a OA+0B+0C+O0D=0

VT = (Mo + 0A) +(MO + OB)+(MO+ OC)+(MO+ OD)

= 4MO +(OA+0B +0C + 0D) = 4MO+0

= 4MO = VP (dpem) Bai 6: Cho AABC và AA)/B)C) Goi G, G; lan hrot la trong tam AABC va A,B,C) Ching minh rang: AA, - BB, +CC, = 3GG,

= —AB+—AC

4 3 Bài 8: Cho 2 điểm AB, M la điểm trên đường thăng 4B seo ch

nAM =mMB Chứng mình rằng với điểm O bắt kì, ta có:

Suy ra n(OM = 0A) = m(OB -OM)

Do do: (m+ n)OM =nOA +mOB

Suy ra AE =alB

Turong tu ANAF ~ NCI

nén AF =bIC

Từ đó suy ra: AI =all + blC

DANG 2: BIEU TH] MOT VECTO THEO HAI VECTO KHONG CUNG PHUONG

Phương pháp:

Su dung quy tac ba điểm phôi hợp với các tính chát của các phép toán

vecty dé biéu thi vecto can biéu dién theo hai vecto khong cing phương cho

trước

Bail: Cho hinh binh hanh ABCD tam O Dat AO =a, BO=b Hay biéu

diễn các vecto AB BC CD va DA theo hai vecto a,b

Bai 2: Cho AABC c6 trong tam la G H la diém doi xing ctia B qua G Goi

M la trung diém cua BC Dat AB=b, AC =c Biéu thị các vectơ All, CH

DA dat AM=a, BN=b Biéu dién cdc vecto AB: BC: CD: DA: AC’; BD

a Tinh Al AJ theo AB va AC

b GoiG la trong tam AABC Tinh AG theo Al va AJ

AB+AC) = i[2ai+2ai+ 2 ai-2 ai)

Bai 2: Cho 4 điểm A B, C, D tuỳ ý M,N, P Q lần lượt là trung điểm của

các doan thang AC, BD, AD và BC Chứng minh răng:

a AB+CD=AD+CB=2MN

b AB-CD=AC-BD=2PQ

Bai 3: Cho AABC, bén ngoai AABC ta vẽ các hình bình hành ABII I3CPQ CARS Chứng minh RI+IQ+PS=0

Bai 4: Cho AABC có [ là trung điểm BC Trên 2 cạnh AB AC lấy các diém

D,E sao cho DA = 2DB; EC = 3EA Goi J la trung diém ctia DE ‘Clhtng

Bài 7: Cho I, J 1a trung điểm cúa đoạn AB, CD M N là các điểm xátc định

bởi MA+kMC=0: NB+kND =0 (k #-1) Goi O là trung điểm cửa đoạn

MN

a Chimg minh rang: Ol = 1 (MA +NB): ( Oj = (MC +ND):

14

O1+kOJ =0

b Gọi P, Q là các điểm sao cho PA+kPD=0 QB+kQC =0

Chứng minh O là trung điểm của PQ

Bài 8: Cho AABC và [ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó Gọi a b, c là

độ dài các cạnh Chứng minh rằng alA + blB+ clC =0

Bai 9: Cho AABC có các cạnh BC = a, CA = b; AB = c Goi AM, BN; GP

lần lượt là các đường phân giác trong của tam giác đó Chứng minh răng:

a(b+e)AM + b(c+a)BN +c(a+b)CP =0

Bài 10: Cho AABC Gọi II là trực tâm của tam giác Chứng minh rằng:

tuA.HA +tgB.HB + tạC.HC =0

Bài II: Cho AABC N là điểm sao cho CN = „BC G là trọng tâm AABC

Biểu thị AC theo AG va AN

Bài 12: Cho AABC có D E F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA

và AB Dặt BE =a, CF=b Biéu dién cac vecto AB, BC,CA va AD theo

a vab

Bai 13: Cho AABC, | la điểm trên phần kéo dài của AB sao cho IA = 21B, J

la diém nam trén canh AC sao cho 3JA = 2JC Biéu thi vecto IJ theo

AB =b va AC=c

Bai 14: Cho hinh binh hanh ABCD tam O I la trung điểm của BƠ G là

trọng tâm AOCD Biểu thị các vectơ AI: BG thee AB=a va AD=b

Bài 15: Cho AABC Goi H 1a diém déi xứng của II tâm G qua B

a Chting minh ring: HA -5HB+HC =

b Dat AG =a; AH =6b Tinh AB, AC theo a và b

Bai 16: Cho luc giac déu ABCDEF Dat = AB; v=AF Biéu thị các vectơ

BC, CD, DE EF, AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF, DF theo uva v

Bài 17: Cho tir giac ABCD Goi M, N, E, F là các điểm sao cho

AM = pAB, DN = pDC, AE = qAD,BF = qBC MN cat EF tai O Tinh EF theo EM va EN

Bai 18: Cho hinh binh hanh ABCD Goi M, N là các điểm nam trém doan

AB và CD sao cho AM = AR, CN =2DC

3

a Tinh ANthco AB=a,AC =b

b Goi G la trong tam AMNB Tinh AG theo a,b

c Gọi I, J lần lượt là các điểm xác định bởi BI=mBC; A1 =:nAl

Tính AI, AJ theo a, b vam,n

d Xác địnhm để AI đi qua G

e Xác định m,n đề J là trọng tâm ABMN

16

HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI - ĐÁP SÓ

Goi G G' lan Iuot 1a trong tâm 2 tam giác ABC và LIK

Khi đó: 2IB+3IC =0 = 2(IG+GB)+3(IG +GC)=0

Tuong tu: QB+kQC =0 > (k+1)0Q=O0B+kOC

Từ đó suy ra: (k +1)(OP +0Q)=(OA +OB)+k(OD+0C)

=201+2kOJ = 2(O1+kOJ) =O = OP +01Q =6

Vậy O là trung điểm của PQ

Bài 8 -

Gọi D và E lần lượt là chân các đường phân giác của AARC lkẻ từ B

va C Dung Ax song song BD cat CE vaM Dung Ay song song CE cat

Dung Bx song song voi NC cat AM tai E

Dung By song song voi MA cat CN tai F

Suy ra: AD=-a-b

EF =-u-v; AC=2u+v; AD = 2(u+v)

BÉ=-u+v =CE; CE=-2H; — DỀ=-2u-v

c Taco: Al=AB+BI = AB+mBC = AB +m(AC-AB)

= (I1-m)AB+mAC = (I-m)a+mb

AI =nAlI =n(1—~m)a +nmb

d ĐểAI qua Gthì Al/AG

6 1I

e Để] là trọng tâm AABM thì AG =AJ

Cho 2 vecta a#0; b#0 Lay một điểm O tuỳ ý Vẽ

OA =a; OB=b Góc 4ÓB được gọi là góc giữa 2 vectlơ a,b kí

Tích vỏ hướng cua hai vectơ a va b la một số, kí hiệu a.b va

được xác định như sau: a.b= l||P|cos(a b)

Nhận với Với a ftacó: a0=0a=0

* Nếu a=b, khi đó aa kí hiệu a goi la bình phương vô atong cua vector a

* Tacéa#0,b40- albesab=0

b Tính chất của tích vô hướng

Lới mọi vectơ a,b,€ và số k ta có:

B CAC DANG TOAN

DANG 1 CAC BAI TOAN LIEN QUAN DEN TICH VO HUONG

(a+b)=|| +|b| +2ab; (a+b)(a-b)=a ~b

* ab=ab' Trong đó b là hình chiếu của b lên giá của a

2 Bài toán 2: Chứng mình các đăng thức về tích vô hướng Ste dung:

_ * Định nghĩa và tính chất của tích vô hướng phối hợp với các guy

AB” =|ABÏ =( (oB- oa)

Bai 1: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a Tinh:

=AB AD cos1209 =a.a.cos1209= —Ê—

Ta có thể tính tương tự như trên hoặc sử dụng quy tắc-3 điển

BC.CA =(AC-AB).(-AC) = -AC? + AB.AG

24

2 a? ay

=-aˆ+—=——

3 2

t Ap dung két quả trên ta có:

AB.BC = BC.CA = CA.AB =~ š a2

Suy ra: ABBC +BCCẢ +CA.Ali=3| - = ==

Cách khác: Ta có thé tinh trực tiếp không dựa vào kết qua câu a

Bai2: Cho AABC voi AB = Sem: BC = “em: CA = Scin

a Tinh AB.AC Suy ra số đo cua góc 4

b Tinh CACB từ đó suy ra CB.CD với D là điểm nằm trên cạnh

CA sao cho CD = 4em

Suy ra: cos(CA.CB) = CACB cle

a {cal 87 14

Mà D nằm trên cạnh CA nên (CD,CB) = (CA,CB)

Do vay CD.CB = |EB|cB|eos|ca CB} = 4 a1 =22

Bài 3: Cho hình vuơng

ABCD canh a, tam O M la A

diém ty y trén đường nội

-tiếp hình vuơng và N là điểm

MA.MB +MCMD = (MO +0A)(MO + 0B) +(MO+0C)(M6+ 0D)

= MƠ +MOOA+MOOB+OAOB+MÒ' +MOOD+MOOC+OCOD

2MO” +MO[OA +OB+OC+OD)+OA.OB+OC.OD

2

= 2MO? =F (vì OA+OB+OC+OD =0 và OA L OB; OC 1 OD

nén OA.OB=0C.OD =0)

b Taco: NA.AB=BA.AB=-AB.AB=-AlB? =-aˆ

NO.BA = BLBA = 2a a= | (với I là trung điểm của AB)

Bài 4: Cho 4 diém A, B, C, D bất kì Chứng mình rang:

a ABCD+ AC.DB + AD.BC = 0 (hé thite Euler) Suy ra 3 đường cao

của một tam giác thì đơng quy

b AD? + BC? -AC? — BD? = 2 ABCD

Giải:

a._ Tacĩ: AB.CD+AC.DB+AD.BC

26

= AB(AD-~AC)+ AC[AB=AD)+ AD(AC - AB}

= ABAD - AB.AC + AC.AB-AC.AD + AD.AC- AD.AB =0

Gọi H là giao điểm của 2 đường cao xuất phát từ B vả C của

AA.BC Khi đó áp dụng hệ thức Euler đôi với + điểm H A, B C tạ có:

HA.BC+HB.CA + HC.BA

Tacó: HB LCA.HC L BA

Nên HBCA=HC.BA=0

Suyra: *HA.BC =0

Do đó HA L BC hay HA là đường cao của AABC

Vậy 3 đường cao AABC đồng quy tại một điểm

b Tacó: AD?+BC!~ÁC!~BD? =AD -AC +B€ —BB`

=(AD+ ACÌ(AD- A€)+(BC+ BD)(BC - BD)

(AD+ AC).CD +(BC + BD).DC

(AD+ AC-B€~BD).CD

= (AD+DB+AC+CB).CD = (AB+AB).CD

- 2AB.CD,

Bai 5: Cho AMBC cb AM AH lén A

lượt là trung tuyên và đường cao

của tam giác ứng với cạnh BC

b Taco: AB?+AC?=AB +AC

= (AB-AC)(AB+ AC) = CB.2.AM = 2CB.HM= 2BC.MH

DANG 2: XAC DINH DIEM HAY TAP HQP DIEM THOA MAN

DANG THUC VECTƠ CHO TRƯỚC

Phương pháp:

1 Xác định điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước:

~ Ta biến đổi đăng thức vectơ cho trước về dạng OM=v trong đó

điểm O va vecto V đã biết

— Khi đó điềm M hoàn toàn xác định

2 Xác định tập hợp điểm M thod mãn đăng thức vectơ cho trước Ta có thể biên đôi đăng thức đã cho về một trong các dạng:

— Nếu |AM| =R(Rla hang số) thì tập hợp các điêm M là đường tròn

tâm A bán kinh R (Nếu R > 0); M=A (Nếu R - 0); Là tập rỗng (Nếu

—Nếu MA =kBC (4 B, C cho trước) thì tập hợp điểm M là:

+ Duong thang qua A song song voi BC néuk € R

+ Nita duong thang qua A song song voi BC theo hướng BC với

keR

+ Nửa đường thăng qua A song song với BC theo hướng ñgược

với BC với k e R

28

3 Xóúc định tập hợp diém thoa mãn đăng thức của tích vô hướng

-za có thẻ biến đôi đăng thức tích vô hướng đã cho về một trong các

dang th3oài những trường hợp trên)

- /ổu MA.MB=0 (A, B có định) thì \ thuộc đường tròn đường kính

AB

-//ế„ MH.AB=0 (H cổ định, AB vecfơ không đổi) thì tập hợp À1 là dường thăng 4 qua TÍ vuông góc AB

Bail: Cho AABC

a Ne dinh diém M thod man MA +MB+2MC =0

hb Vác định điểm N thoa man NA-2NB+3NC =0

cúc định điểm P thoa mãn CP=KA+2KB~3&C (với K là điểm

¢ Taco: CN=KA+2KB-3KC

= KC#CA+2(KC + CB) - 3K¢

= CA+2CB

(Vi A B C cho trước nên a=CA + 2CB xac định Vậy tập

hop P thoa CP =CA+2CB

29

Bai 2: Cho tam giác déu ABC canh hang a

a Tim tap hop diém M thoa man MB? + 2MC? = k (1)

b Tìm tập hựp điêm N thoa mãn NA.NB+NB.NC+N€.NA = =,

Khi đó: (1) <> -3MP° = IB? + 2IC? —k

Suy ra: MI? = y=2e

Vay:

+ Nếu 3k - 2a?< 0 © k <ảah khi đó tập hợp trên M lả tập

rỗng

+ Nếu 3k - 2a? = 0 © kĂ= Sa", khi đó M=I

+ Nếu 3k - 2a” >0 © k si ah „khi đó tập hợp M là dường

=> NA? =NG?+GA’+2NG.GA Tương tự: `” NB? = NG? +GB? +2NG.GB

Vậy tập hợp điểm N là đường tròn tâm G bán kính là a

Bài 3: Cho tứ giác ABCD

a Xác định diém O sao cho OB+40C = 20D (1)

b Tìm tập hợp điểm M thoa hệ thức MB+4MC — 2MD| = MA]

Vậy tập hợp M là đường trung trực của đoạn thăng OA

Bai 4: Cho AABC vudng tai A Diém M bat kì nằm trong tam giác có hình

chiều xuông BC CA, A48 theo thứ tự là D, E, F

a Tìm tập hợp điêm M biết rằng MD+ME+ME cùng phương với

Để MI)+ MI + ME cùng phương với BC thì Mi// BC

Suy ra: MI//PQ (PQ là đường trung bình của tam giác ABC

song song với cạnh BC) A

Do đó tập hợp M là đoạn PQ

b Gọi M' là điểm

trên đường cao AH sao cho

AM' = MD ttre la AMDM' là

hình bình hành

Ta có: |MD + ME + MF| * HD

-_ JMD+MA|=|MA|

Suy ra: n= = 0

Vậy M là đường trung trực của MD và vì M'H= 2MD =2M 'A

nên MD= ; AH

Tóm lại M nằm trên đường thang song song với BC, cách BC một

khoảng bằng = AH nhưng trừ những điểm năm phía ngoài AABC

Bai 5: Cho diém A, B cố định với AB = a

a Tim tập hợp điểm M sao cho: MA”+MB.AB=a?

b Tìm tập hợp điểm N thoả: MA” + 2MB” = k (k là hằng SỐ thực

MA’ + (MA +AB).AB =2?

MA’ +MA.AB+AB =a?

MA +MA.AB=0 = MA’.(MA+AB)=0

MA.MB =0

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AB

b Gọi [là điểm sao cho IA +2IB=0 vì A, B cố định nên I cố định

NP +2NIIA +IA? +2N7? +4NLIB + 21B? =k

3Ni +2NI(IA + 21B)IA? + 21B? =k

Bài 6: Cho A4BC đều cạnh bằng a

a Tìm tập hợp điểm M thoá'(MA+ MB)(MA + MC) = 0

b Tim tap hop diém N thoa: NA? + NB? + NC? = 4a’

c Tìm tập hợp điểm P thoả: 3PA” = 2PB + PC”

Giải:

a _ Gọi I là trung điêm của AB, J là trung điêm AC taco I, J cố định

Tacó: (MA+MB)(MA+M€)=0

<> 2MI.2MJ =0 <= MI.MJ =0

Vậy tập hợp điêm XI là đường tròn đường kính IJ

b Goi G 1a trong tam AABC

Tacó: NA?+NB?NC?=4a?

= (NG+6A) +(NG + BG) +(NG + 6C} =4a?

<> 3NG?+NG(GA+GB+GC)+GA? +GB?+GC? = 4a?

<& 3NG?+GA?+ GB? + GC? = 4a"

Trong do: GA=GB=GC= 2 ay3 _ay3

3 2 3

Vay 3NG? = 3a’ <> NG? =a"

Do dé tap Hyp điểm N là đường trom tam G ban kính bang a

Suy ra, đẳng thức đã cho trở thành PG.3AH =0 © PG.AH =0

Vậy tập hợp điểm P là đường thăng qua G và vuông góc với AH

DẠNG 3: DÙNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐÉ GIẢI MỘT SÓ DẠNG

BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHANG

Phuong phap:

1 Đề giải một số bài toán hình học bằng phương pháp vecto ta tiến hành:

Bước l: — Lựa chọn một vectơ "gốc"

~— Chuyển đổi giả thiết, kết luận bài toán từ ngôn ngữ hình học

sang ngon ngit vecto

Bước 2: Thực hiện các phép biến đổi các biểu thức vectơ theo yêu cau bài toán

Bước 3: Chuyển các kết luận từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ hình

học [tương ứng

2 Một số dạng bài toán:

Bài toán 1: Chứng minh 3 điểm A B, C thẳng hàng

~ Đề chứng minh A, B, C thang hang tc ta cần chứng mình AB cùng phương với AC (hoặc AB cùng phương BC hoặc AC cùng phương với

BC ) tức là chứng minh đăng thức vecơ AB= kAC với k e R

~ Ngoài ra đề chứng manh A, B, C thẳng hàng ta có thể chứng minh

dang thức vectơ MB =kMC+(I—k)MA với M bất kì, k e R

- Đặc biệt nếu 0 <k <1 thì B nằm trên đoạn AC

Bài toán 2: Chứng mình ba đường thẳng a, b, c đồng quy thì quy về bài

toán Ì bằng cách :

“

~ Gọi A là giao điểm của a và b

— Chứng minh A € c tite la A, B, C thẳng hàng với B, C là 2 điểm nằm trên đường thăng C

Bài toán 3: Chứng mình AB song song với CD, ta chứng mình 4l, B, C,,

D không thẳng hàng và AB = kCD

Bài toán 4: Chứng minh AB vuông góc CD, ta chứng minh

AB.CD.=0

Bài toán 5: Các dạng toán tính độ dài, tính góc thì chú ý sử dụng

AB= fas? = VAB.AB

Đề chứng minh M, N, P thăng hàng ta cần chứng minh PM = kPN.k e R

Biểu thị PM,PN theo hai vectơ AB, AC (hệ vectơ "gốc")

Vay PM =3PN hay M,N, P thang hang

Bài 2: Cho AABC, gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng

tâm, trực tâm của tam giác ABC Chứng mình răng O, Œ, H thăng hàng

Giải:

x- "AB + 5 AC) = 3PN

36

Gọi D là điểm đối xứng với A qua O

E là trung điểm của BC

Như vậy OG = 50H hay O, G, H thăng hàng

Bài 3: Cho hai hình bình hành ABCD và A,B);C,D, sắp xếp sao cho Bị

thuộc cạnh AB, Dị thuộc cạnh 4D Chứng mình rằng các đường thắng DBỊ,

Suy ra: a= ish

Suy ra: CC =C,E+C,F =(1-k)a+(1-h)b

Vậy C,C=(I—kh)PC Hay C¡, C, P thẳng hang tire 1a C\C di qua P

Do vay DB), D)B và CC; đồng quy tại P

Bài 4: Cho tứ giác ABCD và điểm M Goi N, P, Q, R lần lượt là các điểm

đổi xứng của M qua trung điêm của các cạnh của tứ giác Chứng mình rằng

Bài 6: Cho 0ứ giác ABCD Hai đường chéo cắt nhau tai O Goi H, K lan

lượt là trực tam ctia AABO va CDO I, J la trung điêm của AD va BC