Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2

Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2 Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 2

Trang 1

Th.S NGUYEN KIEM - Th.S LE TH] HUONG - Th.S HO XUAN THANG

Phân loại và phương pháp giải

cac dang bai tap 7 TOS)

Se (Chương trình nâng cao)

b

<4 i ry * Tĩm tắt lí thuyết * Phân loại và phương pháp giải các dạng

> ~ tốn cơ bản và nâng cao

B * Bai ahs mau * Bai tap + dung

| * Danh cho HS ban Khoa hoe ty

nhién va ban Co sé

Trang 2

Th.S NGUYEN KIEM - Th.S LÊ THỊ HƯƠNG - Th.§ HỒ XUAN THANG PHAN LOAI _ WẰPHƯƠNG PHÁP GIẢI ———— (ẤP IIẠM P BÀI TAR yi YL Ýr (Biên s0ạn theo chương trình cứ sử và nâng ca0 mới của Bộ EI) & BT) * Kiến thức cẩn nhữ * Phân l0ại các tlạng tuán

* Phưững pháp giải hài tập tác tạng hải tập mẫu

* Bai tap ap dung tw gidi

Be

Trang 3

MUC LUC

Chương I! Y€ÊTỠ cossitrteotgiiasdtSGL300RSISSSSESHGIEHEREAYSSEiSfuiSRlsa 3 Dang 1: Chứng minh đẳng thức vectơ -5555:-+2 5 Dạng 2: Biểu thị một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương `

Hướng dẫn - lời giải - đáp số

Chương II: Tích vơ hướng của hai vectơ và ứng dụng Bài ¡: Tích vơ hướng của hai vectơ

Dang 1: Cac bài tốn liên quan đến tích vơ hướng

Dạng 2: Xác định điểm hay tập hợp điểm thoả mãn đăng thức vcectơ Chi tƯỔC bcsccnnikinbiEE114011110 0163111104 015016146111408116035146051600S0312953886158840/50648 28 Dạng 3: Dùng phương pháp vectơ để giải một số dạng bài tốn bhinh học phăng

Bài 2: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 3: Một số ứng dụng của tích vơ hướng

Hướng dẫn - lời giải - đáp số .- :cc2555cccccvsrvrrerrrrrrrrrrrree

Chương III: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài I: Hệ trục toạ độ

Trang 4

Chuong I VECTO A KIEN THUC CO BAN I VECTO 1 Định nghĩa

* Jectơ là đoạn thăng định hướng

— Một điêm., được xác định là điêm sĩc (điểm đâu), cịn điểm kia là diém ngọn (diém cudi)

~ Hướng từ điểm gĩc đến điềm ngọn là hướng của vectơ

~ Độ dài của đoạn thang goi là độ dài của vectơ

* Kí hiệu: Vecto cé điểm gốc 1, điểm ngọn B kí hiệu AB

Độ dài vector AB kí hiệu là |AB)|

Đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB

* Vecto khong kí hiệu O la vecto:

~ Cĩ điềm gốc và điểm ngọn trùng nhau

— Cĩ hướng bắt kì

~ Đồ dài bằng 0

2 Vectơ cùng phương, cùng hướng

* Hai vect AB và CD được gọi là cùng phương kí hiệu:

AB/CDc AB//CD - (giá của chúng song A,B,C,D thăng hàng song hoặc trùng nhau) * Hai vect AB và CD được 8oi là cùng hướng kí hiệu:

<n, s= JAB/GD

AB 1 CD c J^B/CP :

Tia AB,CD cùng hướng

* Hai vecto AB va CD được gọi là ngược hướng kí hiệu:

AB 1L €B© AB//CD

Tia AB,CD ngược hướng

3 Vecto bằng nhau, đối nhau

* Hai vecto AB va CD được gọi là bằng nhau, kí hiệu:

Trang 5

(AB=CD AB=CD« lab †1CD - * Hai vectơ AB và CŨ được gọi là đối nhau, kí hiệu: — AB=CD AB=-CD@4_ 5 AB tL CD Il PHEP CONG VA PHEP TRU HAI VECTO 1 Phép cộng hai vecto a Định nghĩa

Cho 2 vecto a va b Lay mét diém A tu y, ve AB=a.BC `=b

Vecto AC được goi la téng cua 2 vecto a va b Kí ! hiệu

AC =AB+BC=a+b

b Các quy tặc

* Quy tắc 3 điểm: Với 3 điềm A, B, C bắt kì ta luơn cĩ AB+BC = AAC * Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta luơiơn cĩ

AC=AB+AD

c Tinh chất của phép cộng vecto’ `

V6i moi vecto a, b.€ ta cĩ — a+b=b+a - (a+b)+e=a+(b+e) - a+0=0+a 2 Phép trir hai vecto’ a Dinh nghia

Cho hai vecto a,b Ta goi vector a+(-b) là hiệu cua hai vwecto

a,b va ki hiéu a-b

Như vậy: a-b=a+ (-b) b Quy tắc

Trang 6

II PHÉP NHÂN MỘT SĨ VỚI MỘT VECTƠ 1 Định nghĩa * Cho số k #0 và vectơ a #0 Tích của số k với vectơ a là mot vecto kí hiệu ka được xác định: — Cùng hướng với a néuk> 0 ngược hướng với a néuk <0 ~ Độ lớn |ka| = || Ta quy woe: 0a =0 và k0=0

2 Tính chất của phép nhân một số với một vectơ Lới mọi vectở a.b, với mọi số k, h ta cĩ: - k(a+b)=ka+kb — (k+h)a=ka+ha - k(ha) =(kh)a - i=#{-Df=-&Bã-0kđ-ð 3 Điều kiện để hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng _ a//b(b #0) 3k eR:a =kb

~ A,B, C thang hang œ AB =kAC, k #0

4 Tính chất các trung điễm đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác

—_ Lià trung điêm của AB MA+MB =2MI với mọi điêm M —_ Ở là trọng tâm, AABC œ GA +GB+GC =0 B CÁC DẠNG TỐN DANG 1: CHUNG MINH DANG THUC VECTO Phương pháp: - Đề chứng mình một đăng thức vectơ ta chú ý 1) Sư dụng:

~ Quy tắc 3 điểm: AB+BC=AC, AC-AB=BC, véi moi A, B.C

~ Quy tắc hình bình hành: AB+ AD=AC với ABCD là hình bình

hành

Trang 7

2) Thuc hién các phép biến đơi theo một trong các hướng sau:

- Biến đổi về này thành về kia của đẳng thức (thơng thường lùà xuấ phát từ về ¿ phức tạp biến đổi rút gọn dé đưa về về đơn giản hơn)

~ Biến đồi đẳng thức cần chứng mình về tương đương với 1 đăngg thức hăng đúng ~ Xuất phát từ 1 đẳng thức luơn đúng để biến đổi về đăng thứức cải ching minh Bail: Cho 4 diém A, B, C, D Chitng minh rang: a AB+CD=AD+CB b AB-CD=AC-BD oo Giải a - Cách I: Biên đơi về trái (VT) ta cĩ: VT = AB+CD =(AD+DB)+(CB+ BD) = 4D+CB+DB+BD = AD+CB+0 = AD+CB=VP (dpcm)

Nhân xét: Sử dụng cách giải này, ta can chú ý khi biến đổi các số hạng của một VỀ cân quan tâm phân tích làm xuất hiện các số hạng cĩ ơ vvề bên kia Chăng hạn số hạng ở về trái là AB nhưng về phải cĩ chứa AD 1nén ta viét AB=AD+DB Cách 2: Ta cĩ AB+CD =AD+CB (1) © AB-AD=CB-CD © DB=DB (2) Ta cĩ (2) luơn đúng vậy (1) được chứng minh Cách 3: Ta cĩ AB+BC+CD+ DA =0 Suy ra AB+CD =-DA-BC Do đĩ AB+CD=AD+CB_ (đpem) b Tacĩ VT= AB-CD= (AC + CB) - -(CB+B BD) = AC-BD+CB-CB = AC-BD=VP (dpem) Tương tự, ta cũng cĩ các cách giải khác cho câu b

Bai 2: Cho AABC va G Ia trong tam AABC

a Chitng minh rang MA+MB+MC =3MG

Trang 8

Giải: a Taco MA+MB+MC =(MG +GA)+(MG +GB)+(MG + GC) = 3MG+(GA+GB+GC) = 3MG+0 = 3MG (dpem) b Vi MA+MB+MC=0 3MG =o hay MG =0 do đĩM=G

Suy ra tập hop M thoa MA +MB+MC =O la {G}

Bai 3: Cho AABC cé D, E F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CA AB Chứng mình rằng: a AD+BE+CF=0 b VM, MA+MB+MC=MD+ME+MF - Giải: a Vi D la trung điêm của BC nên AB + AG = 2AD Suyra AD= 2(AB+AC) 2 Tương tự BE = 2(BA+B€} " 2 1 CF = (CA+CB) 2 Do đĩ: AD + BE + CỂ = 2 (AB+ AC+ BÀ + BC + CA +CB) = 2|(AB+BÄ)+(A€+€A)+ (Bé+ CB)] = 2(0+0+0} =6 Cach khac: Goi G là trọng tâm AABC, khi đĩ ta cĩ: ca 3 — —

A ang GAs BE=-=GB; CF

Suy rà AB+ BÉ + Cf - (GA +H GC) -

Trang 9

MC +MA =2ME

Suy ra: 2(MA+ MB+ MC) = 2(MF + MD + ME)

Vay: MA +MB+MC =MD+ME+4MP

Bài 4: Cho AABC va G, H, O lan luot là trọng tâm, trực tâm, tâm cđiường

trịn ngoại tiếp của tam giác Gọi D là điêm đơi xứng của 1 qua O CClhing mình răng: - HB+H€=HD i b HA+HB+HC=2HƯ 7 c HA-HB-HC =20A d OA+0B+0C = OH e OH=30G Oo ` Giải: a Tacĩ ABD=ACD=lv B (gĩc nội tiếp chăn nữa đường trịn) ⁄ Suy ra: BD L AB Mặt khác CH L AB (vì H là trực tâm) D Do vậy BD//CH Tương tự ta cĩ CD //BH Từ đĩ suy ra HBDC là hình bình hành Do dé HB+HC = HD = HA+HD =2HO c._ ÏÍA-HB-HC=IiA-(HB+II€] = HA-HD = DA =20Ậ 4 OA+O8 +06 = (OT + 1A) + (Gti +18) + (OF +110) = 30H +(HA +HB+ HC) = 30H +2HO = 30H-20H = OH

ec OH=OA+0B+0C =30G (xem bai 2)

Cho tứ giác ABCD Gọi E, Flam lượt là trung điêm của AB, CID; O là trung diém của EE Chứng mình rằng:

Trang 10

5 MA tMB+MC+MD =4MO Giải: ác Tac6VT =(OA+OB)+[OC+OD) = 2OE+2OF = 2OE+OF} =O=VP (dpem) b Taco VT = (MO +0A)+(MO +0B)+(MO+0C)+(MO+0D) = 4MO +(OA + 0B +0C + 0D) = 4M0+0 = 4MO = VP (dpem) Bai 6: Cho AABC va AA,RiC Gọi Œ, Ơi lân heot la trong tam AABC va AiBIC) Chứng mình rằng: AA, + BB, #CG, =3GG, Gidi: Ta cĩ: VT = (AG+GG,+6,A;)+(BG +66; +6,B,) +(CG +66; +6,G)) = 3GG, +(AG+BG +€G}+(GIAi +6G¡Bị +G¡€¡} = 3GG,;+0+0 = 3GG, = VP (dpem)

Bài 7: Cđo AABC Goi M là trung diém cua AB và N la diém trén canh AC

Trang 11

= (KA+AB+KA+AC)

KẨ+>AB+2 2 AC = ~AK+2 AB+ AC 2 2

= ot ap ata 4 6 2 AB eH AG 2

= daha 4 3

Bài 8: Cho 2 điểm AB, M la diém trén duéng thing AB seo ch nAM =mMB Chứng mình rằng với điểm O bắt kì, ta cĩ: m OB OM =—"_OA+ m+n m+n Giải: Ta cĩ nAM =mMB Suy ra n(OM-OA)=m(0B-OM) Do do: (m+n)OM =nOA +mOB Như vậy: OM=—" OB m+n m+n ý NIA

Bai 9: Cho AABC Trén caunh AB, AC lay cdc diém M, N sao cho Min =a

Trang 12

Suy ra AE =alB

Tương tự ANAF ~ NCI

nên AF = blC

Lừ đĩ suy ra: Al= alB+blC

DANG 2: BIEU THI MOT VECTO THEO HAI VECTO KHONG CUNG PHUONG

Phương pháp:

Sư dụng quy tắc ba điềm phối hợp với các tính chất của các phép tốn vecfơ dé biéu thi vecto cần biêu diễn theo hai vecto khơng cùng phương cho trước

Bail: Cho hình bình hành LBCD tâm O Đặt AO=a, BO=b Hãy biểu

diễn các vectơ AB BC, CD và DA theo hai vecto a,b Giải: [acĩ: ABR=OB-OA=a-b BC = BO+OC =b+a CD=-AB=b-a DA =-BC =-b~a

Bai 2: Cho AABC co trong tam la G H la diem đối xing ctia B qua G Goi

Trang 13

AB- AC 1

3°

Trang 14

eS

AC = AB+AD=—a- cb

BD = AD- AB = $5

Bài 4: Cĩ 110C Gĩi Tà điểm trên canh BC sao cho 2C] — 3BT, gọi J là

Trang 15

¬— — com TH 9 = 2(AB+A€) = a Ais 3 Ai+ 2 Ai-7 Ai] 3 3(8ˆ 8` l6 16 —_— = = SAi- LAI 48 1ĩ B BÀI TẬP Bai 1: Cho các điểm A B C, D, E, F Chứng minh rằng a AC+BD=AD+BC b AD+BE+CF=AE+BF+CD

Bài 2: Cho 4 diém A B, C, D tuy ý M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của

cac doan thang AC, BD, AD va BC Chứng minh rang:

a AB+CD=AD+CB=2MN

b AB-CD=AC-BD=2PQ

Bai 3: Cho AABC, bên ngồi AABC ta vé cac hinh binh hanh ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh R]+IQ+PS=Ø

Bài 4: Cho AABC cĩ [ là trung điểm BC Trên 2 cạnh AB AC lấy các diém D, E sao cho DA = 2DB; EC = 3EA Goi J là trung điêm của DE (Clhứng minh rang a Al=.LAB+LAC 3 8 b =-LAB-2AC 6 8

Bài 5: Cho M nằm trên đường thắng AB, N nằm trên đường thăng C`D sao cho nAM =mMB và nCN = mND Ching minh ring:

m=

MN =—"—AC+ BD

m+n m+n

Bai 6: Cho AABC Goi I, J, K là các điểm xác định bởi 2lB+3IC =O:

21C+3JA =0; 2KA+3KB=0 Chimg minh rang hai tam giác A'BC và

IJK co cùng trọng tâm

Bài 7: Cho I, J là trung điểm của đoạn AB, CD M, N là các điểm xátc định

Trang 16

OIl+kOl =0

b Gọi P, Q là các điểm sao cho PA+kPD=0 QB+kQC =0 Ching minh O la trung diém cua PQ

Bai 8: Cho AABC và | 1a tam đường trịn nội tiếp tam giác đĩ Gọi a, b, c là độ dài các cạnh Chứng minh rằng alA +bIB+clC =0

Bai 9: Cho AABC cĩ các cạnh BC = a, CA = b; AB = c Goi AM, BN; CP

lần lượt là các đường phân giác trong của tam giác đĩ Chứng minh rằng:

a(b+c)AM + b(e +a)BN +c(a + b)C CP =0

Bài 10: Cho AABC Gọi HH là trực tâm của tam giác Chứng minh rằng:

tgA.HA + tgB.HB + tgC.HC =0

Bai 11: Cho AABC N là điểm sao cho CN =—BC G là trọng tâm AABC J

2

Biéu thi AC theo AG va AN

Bai 12: Cho AABC co D, E F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB Đặt BE=a CF =b Biểu diễn các vectơ AB BC.CA và ADtheo

a và b

Bài 13: Cho AABC, | là điểm trên phần kéo dài cua AB sao cho IA = 21B, J la diém nam trên cạnh AC sao cho 3JA = 2JC Biểu thị vectơ IJ theo

AB =b va AC=c

Bai 14: Cho hình bình hanh ABCD tam O I la trung điểm của BO G là trọng tâm AOCD Biểu thi cdc vecto Al; BG thee AB=a va AD=b

Bài 15: Cho AABC Gọi H 1a điểm đối xứng của trọng tâm G qua B a Ching minh rằng: HA -5HB+HC =0

b Dat AG =a; AH =b Tinh AB, AC theo a va b

Bai 16: Cho luc giác đều ABCDEE Đặt u = AB; v= AF Biểu thị các vectơ

BC, CD, DE EF, AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF, DF theo u và v

Bai 17: Cho tt gidc ABCD Goi M, N, E, F là các điểm sao cho

AM = pAB, DN = pDC, AE = qAD, BF = qBC MN cat EF tai O Tinh EF

theo EM va EN

Trang 17

Bài 18: Cho hình bình hành ABCD Goi M, N là các điểm nam trém doan

AB va CD sao cho AM = ~AB, CN = 2DC

J

a Tinh ANthco AB=a, AC =b

b Goi G 1a trong tam AMNB Tinh AG theo a,b

c Goi I, J lan lượt là các điểm xác định bởi BI =mBC; AJ =:nAl

Tinh Al, AJ theo a, b vam,n

d Xác định m dé AI đi qua G

e Xác định m, n dé J la trong tam ABMN

Trang 18

HƯỚNG DAN - LỜI GIẢI - DAP SO J Bài I Ä R Bạn đọc tự giải Bài 2 I Ban doc tu giai Bài 3 S Ta cĩ RJ+JI+IQ+QP+PS+SR = Suy ra: RÌ+ AB+1Q+BC +PS+CA =0 Do dé: RJ +1Q+PS+(AB+BC+CA)=0 1 œ Q P Như vậy: RÍ+IQ+P§=0 vì AB+BC+CA =0 Bài 4 Bạn dọc tự giải (tương tự bài mẫu 7) Bài 5 Ap dung kết quả bài mẫu 8 ta cĩ: oni = °—OA+—™_0B m+n m+n ON=—"_0C+ OD mtn m+n Ma MN = ON-OM = (OC-0A)+ == (OD-oB) m+n m+n Viy MN =-"—AG+—™_ BD m+n m+n Bai 6

Gọi G G' lần lượt là trọng tâm 2 tam giác ABC và LIK

Trang 19

> GG'+G'l+GG'+G'l+GG'+G'K =0 > 300'+(G'1+G'+G'K)=0 => 3GG'=0 hay G = G' (dpem) Bai7 taco: O1=+(OA+0B)=+(OM+MA +ON+NB) = 1(MA + NB) 2 2 2 Tuong tu: Oj = 2ÍM€ + ND) Ta cĩ: Ọ+ kỌ = 2 (MA+ NH+ kMC + kND] = 2(MA+kMC+NB+kND)=0 b Tacĩ: PA+KPD = 0 => OA-OP +k(OD-OP) =0 = (k+1)OP =OA+kOD

Tương tu: QB+kQC =O > (k +1)0Q =OB+kOC

Từ đĩ suy ra: (k+1)(OP+OQ)=(OA+0B]+k(OD+OC)

=2Ưl+2kOJ = 2(Oï+k07)=Ø => OP +0:1Q =6

Vậy O là trung điểm của PQ Bài 8

Trang 20

— b— #e Tư đĩ suy ra: AI=—IB +1 a a A Vay alA +bIB+cIC = 0 Bai9 tue, lacĩ: —— MBLe NC_a_ PA_b nhe MC b’ NAc’ PB a Áp dụng kết quả bài Š ta cĩ: ve B ẻ AM=-È.AB+—_AC b+e b+c Ma Suy ra (b +c) AM = bAB+cAC hay a(b +c) AM =abAB + ac AC Tương tự ta cĩ: BN= BA+— BC => b(a+c)BN =abBA + be BC a+c a+c Cb=-®_€A+-P_€B = c(a+b)CP =caCA +cbCB a+b a+b Từ đĩ suy ra: a(b+c)AM+b(a +e)BN +c{a +b)CP = 0 Bài 10 AM AM Taco: tgB = ——; tgC = S100 7MB MC OF Suy ra: teC _ MB igB MC tgA _ NB "tự" NA C

Trang 21

Bai 11 ps: AC =2.AG4 4 1 AN, 2 Bai 12 ec ÄJ= Js DS: AB=-~a-—b 3 3 fare + Ba BC =24-26 3 3 fee oh inal ~ ER-ls-<E 2 J AD=-a-b

Trang 24

Thương II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG St TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A KIÊN THỨC CƠ BẢN 1 Gác giữa 2 vecíơ

Cho 2 vecty a#0; b#0 Ldy một diém O ty y VE OA =a; OB=b Gée AOB duoc goi là gĩc giữa 2 vectơ a.b ki hiệu (a,b) Néu (a,b) = 90" ihi ta néi hai vecto a,b vung géc véi nhau và kí hiệu a 1 b 2 Tích vơ hwong cia hai vecto a Dinh nghia

Tích vơ hướng của hai vectơ a va b la mot số, kí hiệu a.b va

được xúc định nhự sau: a.b = fale cos(a b) Nhận xét Ưới a ta cĩ: a0=0a =0

* Néu a=b, khi dé aa kí hiệu a gọi là bình phương vơ

Mtong cua vecly a

* Taco a#0,b#0: alboab=0

b Tính chất của tích vơ hướng

Trang 25

B CAC DANG TOAN

DANG 1 CAC BAI TOAN LIEN QUAN DEN TICH VO HUONG

Phuong phap:

1 Bài tốn 1: Tinh tích vơ hướng của các vectơ Sử dụng các cơng thức: # a-b =|al-[b].cos(a,b)

* Các tính chất của phép tốn tích vơ hướng của hai vectơ và các

hãng đăng thức vê tích vơ hưởng như:

(s+B)=|[Ï+|ll+248; (a+b.a-b=a -b”

* ab=ab' Trong đĩ b_ là hình chiếu của b lên gid cua a 2 Bài tốn 2: Chứng mình các đăng thức về tích vơ hướng Sử dụng :

„ : Định nghĩa và tính chất của tích vơ hướng phối hợp với các quy tặc về các phép tốn vectơ * Cơng thức hình chiếu * Đối với các đăng thức cĩ liên quan đến độ dài thì chú ý: A wo yea) pee geen AB =|AB| =(0B-0a)

Bài 1: Cho tam giác đều ABC canh bang a Tinh:

a ABAC; ABBC; BC.CA b ABBC+BCCA+CA.AB Giải: B Cc a Ta cĩ: AB.AC =|AB|| = ABACcosBAC = aa.cos60)” = Dung AD=BC, ta cĩ: AB.BC =AB.AD = |AB||AD| cos(AB, AD) a? =AB AD cos120° = a.a.cos120” = >

Ta cĩ thể tính tương tự như trên hoặc sử dụng quy tac-3 điển

BCCA =(A€- AB).(~A€) = ~AC” + AB.AC

Trang 26

a2 2 a =-aˆ+—=—— 2 2 t Ap dung két qua trén ta co: AB.BC = BCCA =CA.AB=-' = 1 a? ) 3a" Suy ra: AB.BC +BC.CA +CA.AB =3| - 2) = { 2 2 Cách khác: Ta cĩ thẻ tính trực tiếp khơng dựa vào kết quá câu a Tacĩ AB+BC+CA=0 ~~ n2 Suy ra: (AB+ BC+ CA) =0 ` ee Do đĩ: AB +BC +CA +2(ABBC +BC.CA +CA.AB) = 0 2 2 2:

Vay ABBC+BGCA +CA.AB - ee „ a

Bài 2: Cho A4B8C với AB = 5cm: BC - “cm: C4 = 8cin a Tinh AB.AC Suy ra số do cua gĩc Á

b Tính CA.CB từ đĩ suy ra CBCD với D là điểm nằm ¡ trên cạnh

Trang 27

4

Suy ra: cos (CA, cB)= |c? Al CB = 87 14

Ma D nam trén canh CA nén (CD, CB)=(CA CE B)

Do vay CD.CB = Icpjcn| cos|CA.CÍ CB] =4 = gis

Bài 3: Cho hình vuơng

ABCD canh a, tam O M la

diém tu) ý trên đường nội tiếp hình vuơng và N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC Tính: B a MA.MB+MC.MD b NA.AB va NO.BA a Taco: h MAMB + MễMB =(Mư+6A)(Mư+08)+(Mư+0€)(Mư+ OB] eel mee — = MO +MOOA+MOOB+OA.OB+MO “+MOOD +MOOC+OCOD = 2MO? +MO[OA+OB+OC+OD]+OA.OB+OC.OD 2

= amo? = = (vi OA+0B+0C+0D=0 va OA L OB; OC L OD

nên OA.OB = OC.OD =0) b Tacé: NA.AB=BA.AB=-AB.AB=-AB?= 2 NO.BA = BLBA = 28 a=~- (với Ï là trung điểm của Al3) a

Bài 4: Cho 4 diém A, B, C, D bat ki Chitng minh rang:

a AB.CD+AC.DB+ AD.BC =0 (hệ thức Euler) Suy ra 3 đường cao

của một tam giác thì đồng quy

b AD? + BC? -AC - BD’ = 2 ABCD

a Tacé: AB.CD+AC.DB+AD.BC

Trang 28

- AB(AI~ A€)+ AC[Ali=AB]+ AB(A€ - AB)

= AB.AD~ AB.AC+ AC.AB-~ ACAD+ AD.AC- AD.AB =0

Gọi H là giao điểm của 2 đường cao xuất phát từ B vả C của

AA BC Khi dé ap dung hé thite Euler doi voi 4 diém H A, B.C ta eG:

HA.BC +HB.CA +HCBA

Taco: HBLCAL.HC LBA

Nén HB.CA =HC.BA = 0

Suyra: “HA

Do đĩ HA 1 BC hay HA là đường cao của AABC Vậy 3 đường cao AABC đồng quy tại một điểm

b Tacé: AD? +BC?-AC?-BD? =AD -AC +BC -BD" = (AD+ AC)(AB-AC)+(BC + BD) (BC -BD) = (AD +AC).CD + (BC + BD).DC (AD+AC-BC-BD).CD (AD +DB+AC+CB).CD = (AB+AB).CD ~ 2AB.CD

Bai 5: Cho AABC cé AM AH lan A

lượt là trung tuyên và đường cao

Trang 29

b Tacé: AB?+AC?=AB +AC

= (AM +MB)? +(AM + MC)?

= (AM+MB)' +(AM-~MB)°

= 2AM +2MB” =2AM” +2MD”

= (AB-AC)(AB+ AC) = CB.2.AM = 2CB.HM= 2BC.MH

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH ĐIÊM HAY TẬP HỢP DIEM THOA MAN

DANG THỨC VECTƠ CHO TRƯỚC

Phương pháp:

1 Xác định điểm M thoả mãn một dang thirc vecto cho trudc:

~ Ta bién đổi đăng thức vectơ cho trước về dạng OM=v trong đĩ điểm Ĩ và vectơ V đã biết

— Khi đĩ điêm M hồn tồn xác định

2 Xác định tập hợp điểm M thod man đăng thức vectơ cho trước Ta cĩ thể biên đơi đăng thức đã cho về một trong các dạng:

~ Nếu |AM| = R (R la hang số) thì tập hợp các điểm M là đường trịn

tâm A, bán kính R (Nếu R > 0); M =A (Nếu R ~ 0); Là tập rỗng (Nếu R<Œ0)} — Nếu [Ma| = k|BC| (A, B, C cho trước) thì tập hợp điêm M là đường trịn tâm A, bán kính bằng k.BC — Nếu |MA = MB| với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB

—Nếu MA =kBC (A, B, C cho trước) thì tập hợp điểm M là:

+ Đường thẳng qua A song song với BC nếu k € R

+ Nita đường thăng qua A song song với BC theo hướng BC v6i

keR'

+ Nửa đường thăng qua A song song với BC theo hướng ngược với BC với k e R”

Trang 30

3 Xúc định tập hợp điểm thoa mãn đăng thức của tích vơ hướng

- 1u cĩ thẻ biến đơi đăng thức tích vơ hướng dã cho về một trong các

dụng (ngồi những trường hợp trên)

-/iểu MA.MB =0 (4, B cố định) thì \ thuộc đường trịn đường kính

AB

-/ếu MILAB =0 (H cố định, AB veetơ khơng đơi) thì tập hợp M la

chường thằng A qua I vudng goc AB

Bail: Cho AABC

a Xúc định diém M thoa man MA + MB+2MC =0 b— Xác định diém N thod man NA -2NB+3NC = 0

c Aúe định điểm P thoa man CP =KA+2KB-3KC (i K là điểm ayy) Giải: a Goi 11a trung diém cua AB: J 1a trung di¢m cua Cl Tacĩ: MA+MB+2MC =0 ˆ © 2MI+2MC=0 = 4MI=0 Dodo: J=M B Cc Gọi E: là trung điểm của AC Ta cĩ NA~2NB+3NC =0 <> (NC+CA)-2(NC+CB)+3NC =0 â_ 2NC+CA-2CB=0 ô> 2CN=CA-2CB) «s 2CN =(BA - BC)+2BC @ 2CN = BA + BC 2CN =2BE hay CN = BE ¢ Taco: CN=KA+2KB-3KC KC +CA +2(KC + CB) - 3KC CA+2CB

(Vì A.B.C cho rước nên a=CA z2CÍ3 xúc định Vậy tập

hop P thoa CP =CA+2CB

Trang 31

Bài 2: Cho tam giác đều 4BC cạnh bằng a a Tìm tập hợp điểm M thoa mãn MB + 2MC° = k (1) b Tìm tập hợp diém N thoa mãn NA.NB+ NB.NC+NC.NA =ˆ ca a nm Giải: a Ta cĩ: MB? + 2MC* = k(1) P A ad © Mũ +2MC =k cs (Mi+iB) +2(Mi+iC)=« ~ <> 3MP +2Mi(IB + 2iC) + IB’ +21C? =k : ws ee a 2

Goi I 1 điểm sao cho 1B +2IC = va IC=5: B= ` 3

Khi do: (1) <> -3MP = IB? + 21C? -k

Trang 32

= NA? =NG’?+GA’+2NG.GA Tương tự: * NB? = NG? +GB? +2NG.GB NC? = NG?+GC? +2NG.GC Suy ra: NA? +NB° +NC =3NG? +3GA? +2NG(GA+GB+GO) (vì GA =GB = GC) 3 nà = tối =3NG! +a? 3` 2 =3NG” 3| Từ đĩ: NANB+NDBNC+NGNA =2NG_=3NG" =a" 5 ¬ ` 2 Mà NANB + NBNC+NCNA =" › 2 a Sav

Nén 3NG? => NG? =a’ hay GN=a

Vậy tập hợp điểm N là đường trịn tâm G bán kính là a

Bai 3: Cho nt gide ABCD

a Xác định điểm O sao cho OB+40C = 20D ()

Trang 33

Vậy tập hợp M là đường trung trực của đoạn thăng OA

Bài 4: Cho A4BC vuơng tại A Điểm M bắt kì nằm trong tam giác cĩ hình

chiều xuống BC CA AB theo thứ tự là D, E, F

a Tim tap hop diém M biét rang MD+ME+MF cùng phương với BC b Tìm tập hop cde diém M biét rang MD+ME+ MI| = |MAI Giải: a Tacĩ MD+ME+ME=MD+MA F A

Goi [1a trung diém cla AD

Khi đĩ: MD+MA =2MI

Vay 'MD+ME+MF =2MI

B

Để MI)+ ME + ME cùng phương với BC thi MI//BC

Trang 34

Suy ra: == Lees |

Vay M là đường trung trực của MD va vi M'H= 2 NĨ = BI Na 2

nên MD =—AH 3

Tĩm lại M nằm trên đường thăng seng song với BC cách BC một khoảng bằng SAH nhưng trừ những điểm năm phía ngồi AABC

Bài 5: Cho điểm A, B cố định voi AB = a

a Tim tap hop điểm M sao cho: MA +MB.AB =a?

MA” +MB.AB =a"

MA’ +(MA +AB).AB =a? MA +MA.AB+AB =a?

MA’ +MA.AB=0 <> MA’(MA+AB)=0

MA.MB =0

Vay tap hop diém M là đường trịn đường kính AB

b Gọi I là điểm sao cho IA +2IB =0 vì A, B, cố định nên 1 cố định Ta cĩ: 9 00000 t NA’ + 2NB* =k i et A- NA +2NB =k I (NI+1A)’ + 2(NI+IBY =k

NP +2NLIA +1A? +2N/’ + 4NLIB + 21B? =k

Trang 35

ban kinh R = 34 a b & 2 Vậy + Nếu k> a thì tập hợp điểm N là đường trịn tâm I 3 Ta 24ˆ 3 3 + Nếu k= “` thì tập hợp điểm N chính là I 3 +Nếu 0<k< - thì tập hợp điểm N là tập rỗng

Bài 6: Cho A4BC đều cạnh bằng a

Tìm tập hợp điểm M thoả: (MA +MB)(MA + MC) =

Tim tap hop điểm N thoả: NA? + NB? + NC? = 4a’ Tìm tập hợp điểm P thoả: 3P4” = 2PB + PC Giải: Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm AC ta cĩ I, J cố định Taco: (MA+MB)(MA+ M€)=0 <> 2M1.2MJ =0 © MILMJ =0

Vậy tập hợp điểm M là đường trịn đường kính IJ

Gọi G là trọng tâm AABC Tacĩ: NA?+NBÌNC”=4a” œ (NG+6A} +(NG+BG] +(NG+ G€} =4a? <> 3NG?+NG(GA+GB+GC)+GA?+GB?+GC? = 4a? <> 3NG?+GA?+GB? + GC? = 4a Trong do: GA = GB= GC = 2av3 = ay3 32 3

Vay 3NG? = 3a’ <> NG? =a"

Trang 36

(vi GA = GB = GC) A < PG(3GA-2BG-GC) =0 Mặt khác: 3GA -2GB~GC = 3GA -2(GA + AB)-(GA+ AC) = -(2AB+ AC) Gọi H là điểm sao cho 2HB + HC =0 B đ c

Khi dé 2AB+ AC = 2(AH + HB) + (AH + HC) = 3AH

Suy ra, đẳng thức đã cho trở thành PG.3AH =0 <> PG.AH =0 Vậy tập hợp điêm P là đường thăng qua G và vuơng gĩc với AH

DẠNG 3: DÙNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐÉ GIẢI MỘT SĨ DẠNG

BÀI TỐN HÌNH HỌC PHANG

Phương pháp:

1 Để giải một số bài tốn hình học bằng phương pháp vectơ ta tiến

hành:

Bước 1: — Lựa chọn một vectơ "gốc"

~ Chuyển đồi giả thiết, kết luận bài tốn từ ngơn ngữ hình học

sang ngon ngit vecto

Bước 2: Thực hiện các phép biến đồi các biểu thức vectơ theo yêu cầu

bài tốn

Bước 3: Chuyển các kết luận từ ngơn ngữ vectơ sang ngơn ngữ hình

học tương ứng

2 Một số dạng bài tốn:

Bài tốn 1: Chứng mình 3 điểm A, B, C thẳng hàng

~ Đề chứng minh A, B, C thang hang t ta cần chứng minh AB cùng phương với AC (hoặc AB cùng phương BC hoặc AC cùng phương với

BC) tức là chứng mình đẳng thức vec AB= kAC với k e R

~ Ngồi ra dé chứng mình A, B, C thẳng hàng ta cĩ thể chứng mình

đẳng thức vectơ MB =kMC+(I—k)MA với M bắt kì, k e R ~ Đặc biệt nếu 0 <k <1 thì B nằm trên đoạn AC

Bài tốn 2: Chứng mình ba đường thẳng a, b, c đồng quy thì quy về bài tốn Ì bằng cách :

Trang 37

—Goi A la giao điểm của a và b

— Chứng mình 4 e e tức là A, B, C thang hàng với B C là 2 điểm nằm trên đường thăng C

Bài tốn 3: Chứng mình 4B song song vdi CD, ta chitng minh A, B, C,

D khơng thẳng hàng và AB = kCD

Bài tốn 4: Chứng mình AB vuơng gĩc CD, ta chứng minh

AB.CD.=0

Bài tốn 5: Các dạng tốn tính độ dài, tính gĩc thì chú ý sử dụng

AB= lan] = VABAB

Cos a= ab (ala goc gitta 2 vecto a,b) la.b| Bài 1: Cho AABC, lấy các điểm M, N, P sao cho: MB-~2MC =NA+2NC = PA +PB=0 Chitng minh rang M, N, P thang hang Giải: Để chứng minh M, N, P thẳng hàng ta cần chứng minh PM = kPN, k e R Biểu thị PM,PN theo hai vectơ AB,AC (hệ vectơ "gốc") Song ` Ta cĩ: PN=PA+AN=~7AB+ AC A PM =PB+ BM = LAB +2B¢ lag _ P =.AR+ 2(AC- AB) N 3— = -5AB+2AC M B C l< 2— = 3(- AB + FAC) = 3PN Vay PM =3PN hay M,N, P thing hàng

Bai 2: Cho AABC, goi O, G, H lan lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC Chứng mình rằng O, Œ, H thẳng hàng

Trang 38

De chimg minh O, G, H thăng hàng ta cân chứng mình OG =kOH,keR tacĩ: Ođ=,(OA+OB+O€) a

Gọi D là điểm dối xứng với A qua O

E là trung điểm của BC Ta cd CD // BH vì cùng vuơng gĩc với AC BD // CH vì cùng vuơng gĩc với AB Suy ra BDCH là hình bình hành Do đĩ E là trung điểm của HD Do dé: OH=OA+AH=OA+20E=OA+OB+OC Nhu vay OG = oti hay O, G, H thang hang

Bài 3: Cho hai hình bình hành ABCD va A|B;C;D, sắp xếp sao cho Bị

thuộc cạnh 4B, Dị thuộc cạnh AD Chứng minh rằng các đường thang DB), BD, va CC; dong quy: Giải: A, Gọi AB=a;AD=b Vì A, Bị, B thang hàng nên: AB, =kAB_ (1) Vi A, Dj, D thăng hàng nên: 7 AD, =hAD (2) Dữ

đọi P là giao điểm của DB¡ và D,B

Trang 39

Suy uyra: ra: œ =——— I—kh — k(I-h)- h(I-k)z Vậy AP= ( lea ( )§ —kh I—kh

Ta lại cĩ: AC= AB+ AD =a+b

Từ suy ra: P=AC~AE=-L I-kh Ló+.1đ Đ I—kh

Hơn nữa, D,D=(1-h)b=CE

BB=(1-k)a=CF

Suy ra: CC =C,E+C,F =(1—k)a+(I—h)b

Vậy C,C=(I-kh)PC Hay C¡, C, P thẳng hàng tức 1a C\C di qua P

Do vậy DB¡, D¡B và CC¡ đơng quy tại P

Bài 4: Cho tứ giác ABCD và điểm M Gọi N, P, Q, R lần lượt là các điểm

đổi xứng của M qua trung điêm của các cạnh của tứ giác Chứng mình rằng MPOR là hình bình hành Giải: N Tacĩ: MA | Tir dé suy ra RN = MN-MR MA +MB-MD-MA i < G 1 < Đ a 9 ø QP =MP - MQ =MB+MC -MC -MD =MB- MD = DB Vay RN=QP Do do NPQR là hình bình hành

Bài 5: Cho AABC cần tại A4 và D là trung điểm của cạnh BC H là hình

Trang 40

Vay — DH) (vi AD L BD va AH 1 DH nén AD.BD = AH.DH = 0) : =|(AD+ DH)DC+AD DH| ALBH =0 Do đĩ AI L BH

Bài 6: Cho tứ giác ABCD Hai đường chéo cắt nhau tai O Goi H, K lan lượt là trực tam cua AABO va CDO I, J la trung diém cua AD va BC

Định dạng
Số trang	177
Dung lượng	19,67 MB