Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 11 tập 2 nguyễn kiếm

Các tính chất của phép tịnh tiến: Wiinh li 1: Néu phép tinh tiến biến hai điểm M và N thành hai điểm ÄZ và N th MN =MN Định lí 2: Phép tịnh tiên biến ba diém thắng hàng thành ba điểm thă

| Th$ NGUYÊN KIẾU - To LÊ HỊHƯƠNG - Th$ HỒ XUÂN THẮNG _

VW * Bai tap mau * Bai tap áp dụng

* Danh cho HS ban Khoa hoc ty

nhién va ban Cd han

Re

- NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Th.S NGUYEN KIEM - Th.SLE THỊ HƯƠ4G - Th.S HỒ XUAN THANG

Phân loại và phương pháp giải

toán cơ bản và nâng ca0

* Bài tập mẫu * Bài tập áp dụng

* Danh cho HS ban Khoa hoc ty

nbién va ban Co ban

==—————————— ee

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

= ' _ NHÀ XUẾT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC Giñ HÀ NỘI

- 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội

^ Giám đốc PHÙNG QUỐC BẢO

Tông biên tập NGUYEN BA THANH

LỜI GIỚI THIỆU

Xin giới thiệu đến bạn đọc cuốn: Phân loại & Phương pháp giải các

dạngg bài tập Toán 11 theo chương trình phân ban mới của bộ GD&ĐT

Sách gồm ¿ tập: - Tập 1: Đại số & giải tích

- Tập 2: Hirh hoc

Nội dung sách bám sát thao sách giáo khoa mới, chương trình

chuẩn: và chương trình nâng cao Nội dung mỗi bài gồm các phần sau:

phẩm kiến thức Với các lời giải rõ ràng, dễ hiểu sẽ giúp các em học sinh tiếp cận và rèn luyện tốt các kĩ năng và phương pháp giải toán, đồng thời 6in tap các kiến thức đã được học qua các bài tập trắc nghiệm khách quan: ciể chuẩn bị tốt cho các kì thi học kì, thi tốt nghiệp, tuyển sinh bằng

phương pháp trắc nghiệm khách quan theo quy định của bộ GD&ĐT

Hi vọng rằng các tập sách này sẽ là người bạn đồng hành giúp các

em hiọic sinh ngày càng yêu thích hơn môn Toán và vững vàng giải quyết

các vrấn đề trước các kì thi sắp đến

Do thời gian biên soạn có hạn, có thể sách còn những khiếm

khuyết Rất mong nhận được những góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp

và cátc em học sinh để trong lần tái bản sau, bộ sách sẽ hoàn chỉnh hơn

Mọi góp ý xin gởi về: Trung tâm sách Giáo dục Alpha - 225C Nguyễm Tri Phương - Phường 9 - Q.5 - Tp.HCM ĐT: 8107718 - 8547464

Email: alphabookcenter@yahoo.com

Cac tac gia

MỤC LỤC

“Trrang Chương 1: Các phép biến hình trong mặt phẳng . - 5

§1 Phép biến hình — Phép tinh tién — Phép dời hình . - 5

§2 Hai đường thẳng song song 5c: 2222 2tr

§3 Đường thẳng song song với mặt phẳng -c2-2222cccccEttvrcrrrrrea 84

§4 Hai mat phẳng song song

ÔN TẬP CHƯƠNG II vỡ

Chương II: Véc tơ trong không gian Quan hệ vuông góc trong khôngg ; gian

§1 Vectơ trong không gian Sự đồng phẳng của các véctơ

§2 Hai đường thắng vuông góc .- -522+c2222:22 22t rterirrree

§3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng c2cccccccctveeccerrrer

§5 Khoarig cach) sssccsccccssucrenacesaresccoammretaeraaensettr eons wii TONE

HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ .-¿-22cscccceeccceeeercrerseree

_ !CHƯƠNGI: CÁC | PHÉP BIEN HINH TRONG MAT PHANG `

§1 PHEP BIEN HÌNH - PHÉP TINH TIEN - PHÉP DỜI HÌNH

.) KIÊN THỨC CƠ BAN

2 JKi hiệu và thuật ngữ: Gọi P là tập hợp tat cá các điểm trong mặt phẳng

Và ¡miột phép biến hinh f: P > P

ME M'=f(M)

— D)iém M' gọi là ảnh của điểm M trong phép biển hình f

~ Niếu H là một hình nảo đó thì H' (gồm các điểm M' là ảnh của điểm MeH)

đượợc gọi là ảnh cua H qua phép biến hình f và viết f{H) = H'

3 Tích của hai phép biến hình: Cho hai phép biến hình f và g Gọi M là điêm

bất - kì trong mặt phăng À/ là ảnh của M qua f, Mla anh cua M qua g Ta nói ă` lià ảnh cua M trong tích của hai phép biến hình f và g kí hiệu go f

Mu \/

H ]Plhép tịnh tiến

1 Định nghĩa: Phép tịnh tiễn theo véctơ ø là một phép biến hình biến điểm

M thành điểm A7 sao cho A/AZ =w Kí hiệu: T hoặc 1

2 Phép tịnh tiến theo véctơ 0 còn gọi là phép đồng nhất, thường được kí hiéw iid id: P > P :

M id(M)=M

3 (Các tính chất của phép tịnh tiến:

Wiinh li 1: Néu phép tinh tiến biến hai điểm M và N thành hai điểm ÄZ và

N th MN =MN

Đ)ịnh lí 2: Phép tịnh tiên biến ba diém thắng hàng thành ba điểm thăng

hangg, ba điêm không thăng hàng thành ba điểm không thăng hàng

HIỆ quả: Phép tịnh tiến biến dường thang thành đường thẳng, tỉa thành tia

đoạn thăng thành đoạn thăng bằng nó, tam giác thành tam giác bằng nó

đườnng tròn thành đường tròn bằng nó góc thành góc bằng nó

II Phép dời hình

1 Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng

cách goiữa hai điểm bất kì :

2 Định lí: Phép dời hình biến ba điểm thang hàng thành ba điểm thang hàngg, đường thăng thành đường thang, tỉa thành tỉa, đoạn thăng thành doan |

thẳng băng nó, tam giác thành tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròòn | băng nó, góc thành góc băng nó

B CÁC DẠNG TOÁN AM

Dạng 1 Tìm ảnh của một hình H cho trước qua một phép tịnh tiến †,

Phương pháp: | Lấy một điểm M tuỷ ÿ trên H

2 Dựng ảnh M của M qua 7, FAfAI =u

3 Tìm tập hợp các điểm A/

Bài 1 Tìm ảnh của đường thẳng d (cho trước) qua phép tịnh tiến theo vééc tơ

u#0 ,

a) d không cùng phương với véc tơ H

b) d cùng phương với véc tơ ứ

Giải a) d không cùng phương với véc tơ u /

* Lấy điểm Med và A7 =7 (A7) thì A4 =u Ÿ ¬ >ÍN

Lay điểm cố định A edthì 4 =7 (4) có dịnh và

AA =u nén MM = AA suyra titgidc AMMA Ia

hình binh hanh => AM// 4Af Do dé M ed dường thẳng d di qua diénm Í

và song song với đường thăng d

* Lấy điểm W eđvà gọi Ned sao cho NN // 44 va NN = A-l nên

ANN A là hình bình hành Suy ra: NN =4 =¿=>V =7 (A) `Vậy

b) d cùng phương với véc tơ ứ : '

WMed va M'=7:(M) <> MM =u<> Med

Suy ra: OO = MM > OM =OM

= OM' =OAM/ = R nên M thuộc đường

tròn (O; R)

M„ a i00 46: 5c ~xezS2—S< NỤ, đ

* [Lay N e(O: R) và gọi Ne(O: R) sao cho NN ‘1/00 vaNN = OO thì tứ

giác: OONN là hình bình hanh nén VV =O00 ==> = T.(N)

Vậyy ảnh của đường tron (O: R) qua phép tịnh tiền 7 là đường tròn (O:R) sao cho: OO =u

Nhiậm xét 1: Phép tịnh tiến 7 với véc tơ w #0:

I Nếu đường thăng d không cùng phương với véc tơ w thì anh của đường

thăng d là đường thăng d song song với đường thăng d

2 Nếu đường thăng d cùng phương với véc tơ z thì ảnh của đường thăng d lả

Damg 2 Xac dinh phép tinh tién 7

Pthurong phap: | Xác định phép biến hình F

2 Ƒ biên điểm cô dịnh A > A :M (bât kì) —> MW

3L EM =AÍM m1 =T mm

Bài 3 Cho phép biến hình biến điểm A (có định) và điểm M (bất kì) thành A và A7

Chitmg minh phép biến hình trên là phép tịnh tiến khi và chỉ khi 4A7 = 4A7

* Xcét phép tinh tiến 7 với véc tơ ø z0 z /

[An A= AA =n aAi_— 5A

[Afi M > MM =1 > 4A =MM = 4M = AM

* Mộột: a biến hình biến dim A> A, M > M thoa man 4M = AM

Susy ra =MM DoAcé dinh nén AA =u cố định Vậy một phép biến hình ssn điểm M -> A/ và MAC =u nén phép biến hình đó là một phép tịnh tiên

Bàii 4 Cho hai đường thăng song song a và a Tìm tất cả các phép tịnh tiễn

Giai i

Gọii d là đường thăng bat kì, không song song với a và cất a, tt

a tại Avà A.Đặt 1A =z thì véc tơ z0 |

Lay MeavaMea saocho MM =AA =u=>M =T.(MM >|M

Suyra:a =T, (a) Vậy, phép tinh tiến T7, với wu= 4A biến đường thăng «a

thành a

Dạng 3 Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) bằng phép tịnh tiến 1,

Phương pháp: 1 Xác định phép tịnh tiền 7, biến điểm M — 4

Nw Tìm quỷ tích điểm M ;

Từ quỹ tích của điêm M, dựa vào tính chất của phép tỉmhh

tiễn đề suy ra quỹ tích của điểm Xí

Bài 5 Trên đường tròn (O) cho hai điêm cô địnhA B va mot diém M thay dddi

Tim quy tich diém M sao cho MM +MA = MB

* Vẽ đường tròn (O R): Vẽ tâm O sao cho OO = =AB

Đường tròn (O RỶ có tâm O và bán kính R

Quỹ tích điềm M là đường tròn (O.R)

Bài 6 Cho tam giác ABC có định có trục tâm H Vẽ hình thoi BCDE từ D) vvà E

vẽ các đường thăng vuông góc với AB và AC Các đường thăng này cắt nnhau

tại điểm M Tìm quỹ tích cua điệm M

Giải

Tứ giác BCDE là hình thoi nên BC = CD

BC/ED H là trực tâm cua AABC nén

BH L AC, ME 4 AC

=> BH // ME Suy ra: 11BC = MED

(Góc có cạnh tương ứng song song)

Tương tự: HC // DM và BC//ED

=> HCB = MDE

Suy ra: AHBC = AMDE (góc -cạnh -góc) => CH =DM=> Ti: D>M’

Ta có: BC = CD nên điểm D chạy trên đường tròn (C) tâm C bán kính: R

=BC, suy ra diém M thuộc đười z tròn (H), tảm H bán kinh R =BC là amh ì của

đường tròn (C) qua phép tịnh tiền TA

Bài ¡ 7 Cho tam giá: ABC cĩ A -=90” Từ điểm P

thay y đồi trên cạnh huyền BC của AABC vẽ các

- đườơng vuơng gĩc PR PQ với các cạnh gĩc

vuờng AB, AC (R<AB QeAC) Tìm quỹ tíc

trunag điểm M của doạn thang RQ

DDựng hình chữ nhật ABSQ Ta cĩ: PRLAB PQLAC và RALAQ => ARPQ

làà hình chữ nhật suy ra RBSP cũng là hình chữ nhật Gọi N là trung điểm

ceanh BP thi MN//SQ va MN=2 SQ => MN//BA va MN=+ BA

pda u= 5 Bi= NM =ứ Phép tịnh tiến 7: —> A7 Khi P= C thiN =D

laa trung điểm cạnh BC nên khi P thay đổi trên cạnh huyền BC thì N cũng thhay đơi trên đoạn thăng BD thuộc cạnh huyền BC

T:B->B, và T:D->N, thì Bị và Nị là trung điểm cạnh AB, AC

SSuy ra quỹ tích của điểm M là doan thang BiN,

2 XXác dịnh phép tịnh tiến đẻ tìm điều kiện (œ) gọi là /7„ và điều kiện (B) gọi là H,

3 Diem MEH, OH,

Baii 8 Cho doan thang AB co dinh va hai đường thang căt nhau d và d Tìm

ddiêm M cd và điểm M ed sao cho tứ giác ABMM là hình bình hành

Giải

Phaan tích: Giả sử dựng dược điểm M ed,M ed d a a

thỏoa mãn tứ giác ABMM là hinh bình hành nên

MM =4B=>T,,:M—3M %

Meed >M ea, a là ảnh của d qua phép tịnh tiền đụ A B

Maat khac M ed nén M=and

Khhi dd 7,,:M > M

~- Dựng đường thăng a là ảnh của đường thăng d qua phép tịnh tiền 7),

~-Điểm M`=and

~ Dựng điểm M là ảnh của M” qua phép tịnh tiến 7”,

Chứng minh: Ta có dường thăng d cắt đường thắng d nên đường thẳng: a cắt

đường thăng đ và A/ 1/ = Ø⁄4 và khoảng cách giữa hai đường thing d va a băng AB nên Med

Biện luận: Theo cách dựng bài toán luôn có một nghiệm hình

Bài 9 Dựng một tứ giác lôi ABCD biết các cạnh AB= a, BC = b, CD = c AD

=d và góc giữa AD và BC bằng «a Giai sai A B

Phân tích: Giả sử dựng được tứ giác lồi °

ABCD thoả mần yêu cầu bài toán Khi

đó xét phép tinh tien \

l,i D>E=> BE=AD=d va EBC =a C

Ta có BC = b nên ABEC dựng dược suy ra ADEC dựng được Từ đó., A là

giao của hai đường tròn (D R=d) và (B.r=a)

Cách dựng:

~ Dung ABEC khi biết BC = b BE = d và góc xen giữa £8C = ø

~ Dựng ADEC khi biết ba canh DE = a CD = ¢ va EC = Vd? +b?-2bdeos

~ Dựng đường tròn (D R=d) có tam D và bán kính R = d

~ Dựng dường tròn (B r = a) có tâm B và bán kinh r=a, -

~ Điểm A là giao của hai dường tron (D, R=d) và (B, r = a)

Chứng minh: Theo cách dựng tử giác lỏi ABCD có các cạnh AB= a, BC == b

CD = c, AD =d và góc giữa AD và BC bằng d

Biện luận:

* Khi |DC - DE|< EC < DC + DE @|a-c|< Vd? +h” -2bdeosa S a+tc(])

và hai đường tròn (D R=d) và (B r = a) cắt nhau thì bài toán co mét nghiém

hình

(vì tứ giác ABCD lồi nên chỉ chon mot giao điểm là dink: A)

* Khi diéu kiện (1) không thoa mãn hoặc hai đường tròn (D, R=d) và (1B r =

a) không cắt nhau thì bài toán vô nghiệm

2 Áp dụng tính chất của phép tịnh tiền Ty: M —> M = MM = XY |

~ Biến đoạn thăng thành đoạn thăng bằng nó; góc thành góc bằng nó;

~ Biến tam giác thành tam giác bằng nó; đường tròn thành đường tron: bing

10

3 Ap dụng các hệ thức lượng trong tạm giác,

Bài Ø Cho tứ giác AbCD có AB — 6/3em,CD - 12em, 4=60%, B=150°,

D= 90" Tinh dé dai cae eanh BC va AD

Giải Xét phép tịnh tiền /„ - 1> /=;AM= BC 4

Suy ra: Tứ giác ABCM fa bình bình hành

Suy tra: ADMC vuong tai M nen MDC = 60° va MDA = D- MDC = 30°,

DAM =~ BAM = 30" Suy ra: AMAD can tai M BC = MA = MD = 6cm

Áp dụng định lí cosin trong XADM:

AD? = AM? + MD? - 2414) \1DeosAMD

= 36 +36—72c0s120° = 108 >> AD = 6V3 em

Bail 0 Cho tam giác ABC Gọi A l3, C¡ lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC AC, AB va 1), ly 13:01 Oo, O; laa lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp nội tiếp cac AAC, B,, ACA,B;, ABC, Ay Ching minh AO,0,0; =A tbh

Giai

Xét pheptinhtién 7 OO), > BIB A, A

Suy ra: 7 :AAC,B, -» AC, BA, > AAC B= AC, BA, J

Suy ra: T, :0, > O,: 1, 9 1,2 O10, 24,1, of "se

Taco: MM =MM +MM =u+v suyra: 7.7, =7, :M>A/ là một

phép tịnh tiền theo véc to a=u+v

Dạng 7 Biếu thức giải tích của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho =(ø;ð) với z0 và

diém M(x ; y) Xét phép tịnh tiến 7; : A —> M'(x:y) thì MM =u

Bai 12 Trong mặt phằng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho đường thăng

đ: 2x— y+]=0 và hai điểm A(I ; - 2), B(Š ; 1) Xác định phương trình đường thang d la anh cua đường thẳng d qua phép tịnh tiến Pigs

L.ay bat ki diém M(x ; y) ed thi 2x- y+1=0 (*)

Ty M(xsy) > M (xiy)>T,,:d>d va M ed

Tu Ù Màu ={* - sẻ Thay vào (*) ta có: 2x —y —4=0

P*huong trình của đường thang d la: 2x- y—4=0

Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho u= (2:3) và đường tron (C): x° +(y-l) =4 Xac dinh phuong trinh cia duong tron (C)) la anh

ciủa đường tròn (C) qua phép tịnh tiến T

Giai

y=y+3

T;: M(x; y) (C)—> M(x;y)e(Œ)=> T(C)>(C)

Thay vào phương trình của (C), ta có: (x =2)” +(y -4)” =4

Phương trình của đường tròn (C)) là: (x-2)”+(y-4)° =4

Cách 2: Tâm và bán kính của dường tròn (C) là I(0: 1), R=4 - -

Goi I, la anh cua I qua phép tinh tién T thi 1\(2 ; 4) Phép tinh tiên 7 bién đường tròn (C) thành đường tròn (C¡) và bằng nó nên phương trình của

Bài 2 Cho đường tròn có định (O, R) và một dây cung có định AB M là điểm

đi động trên đường tròn (O, R) Tìm quỳ tích trực tâm H của tam giác MAB

Bài 3 Cho tam giác ABC nội tiếp dường tròn cố đình tâm O bán kính R H là trực tâm tam giác Các đình B và C cô định, định A di động trên đường tròn

D là điểm đối xứng với A qua tâm O và ï là trung điểm của BC

a) Tứ giác BHCD là hình gì? b) Tìm quỳ tích điềm H

Bài 4 Cho tam giác ABC Tìm điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh AC

sao cho MN// BC va AM = CN

Bai 5 Cho hình vuông ABCD có tâm O, có cạnh bang a Tìm điểm M trên cạnh

AB và điểm N trên cạnh CD sao cho OM + MN + NB ngắn nhất Biết rằng MN//BCAM = CN Tính độ dài ngắn nhất đó theo a

Bài 6 Cho điểm A và một đường thang cô định d Dựng đường tròn tâm O, bán kính R cho trước cắt đường thằng d theo một dây cung MN có độ dài bằng a

13

Bài 7 Cho đường tròn (O) với đường kính AB có định, một đường kimh MN

thay đổi Các đường thăng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q

Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ va NPQ

Bài 8 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tron (O, R), AD = R Dung các hình bình hành DABM, DACN Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN nằm trên đường tròn (O, R)

Bài 9 Cho hình thang ABCD có các đường chéo AC = a, BD = b, cạnh đáy CD =

c và góc giữa AC và BD băng a Tính cạnh đáy AB

Bài 10 Cho tứ giác ABCD không phải là hình thang Gọi M,N là trung điểm

của AB và CD Đường thắng MN tạo với AD, BC những góc bằng nhau

Chứng minh AD = BC

Bai 11 Trong mặt phăng với hệ Mr độ vuông góc Oxy cho điểm A(-3 ; 3) B(I

; 3) va dung tron (C) tam 1(3 ; 1), ban kinh R = 1 Đường thang d:x-ty-Ï

=0 Tìm trên đ một điểm M vatrén (C) diém M sao cho MAf = AB

Bài 12 Trong mặt phăng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho điểm A(-3;3),

B(-1; 6) ;

a) Tim toạ độ điểm M 1a anh ciia diém M(4 ; -5) qua phép tinh tién 7,

b) Xác định phương trình tổng quát của đường thẳng d; là ảnh của đường

thẳng a: J TT 4+# ăng d: B v.-71+2` phép tl qua phép tịnh tiên 7 hép tịnh tiến 7 an

+) Xác định phương trình của đường tròn (C¡) là ảnh của đường tron

(C): x+y? —4x+8y—5=0 qua phép tỉnh tiến T x

§2 PHEP DOI XUNG TRUC

A KIEN THUC CO BAN

1 Dinh | nghia: Phép đỗi xứng qua một đường thắng là một phép biể:n tình | biến mỗi điểm M thành diém M? doi xứng với M qua đường thang do

Kí hiệu: Ð, (Đường thăng a gọi là trục dói xửng)

Phép đối xứng trục Dạ: M -> M'

* Nếu Mea thì M' =M và gọi M là điểm kép

* Nếu Ma thì a là trung trực đoạn thăng MM’ M

2 Dinh lí: Phép đối xứng trục là một phép dời hình

* Phép đối xứng trục biến ba điểm thăng hàng thành ba điểm thang: hing,

dường thăng thành đường thẳng, tỉa thành tia, doan thăng thành đoạn! thẳng |

bằng nó, tam giác thành tam giác bằng nó, dường tròn thành đường tròn

Bài 1 Cho đường thang a va hai diém A va B nam cùng phía đối với a Tìm

trên đường thang a diém M sao cho MA + MB ngắn nhất

a) Chứng minh rằng tam giác OPQ có diện tích lớn nhất

b) Xác dịnh điểm B trên Ox và € trên Oy sao cho tam giác ABC có chư ví I:hỏ nhât

a) Gọi H đối xứng voi O qua A Qua H kẻ MK

đường thăng song song với Ox, cất Öy /

tại Q và đường thăng song song với a oie ~ af x

Oy, cat Ox tai P thi tr gidc OPHQ AC — Ae

hinh binh hanh nén A là trung điểm của R \

PQ

Vẽ một đường thing bat ki qua A cat Ox, Ov, HQ HP lan lượt tai M N L

K

Ta co: dAOMN + dtAHILK > dt OPHQ => 2dtAOMN > 2dtAOPQ

= dtAOMN > dtAOPQ Vay dién tich tam giác OPQ nhỏ nhat

b) Gọi Ai, A¿ lân lượt là doi xứng của

diém A qua Oy, Ox Goi B, C lan

lượt là giao điểm của đường thăng

AIAs với Ôx, Oy Ta có chu vi tam

giác ABC là:

AB +BC + ÁC =BAa+ Bc +CA¡= AIAa

Lấy bất kì C¡ eOy, Bị eOx

ta có chu vi tam giác AB¡C) là:

AB, + B,C, + AC; =B;A2+ByC; + CyA; = AyAd

Suy ra, chu vỉ tam giác ABC nhỏ nhất

Bài 3 Trong tất cả các tam giác có cùng diện tích và có chung một cạnh Chứng minh rằng tam giác cân có chu vi nhỏ nhất

Giải

Gọi BC = b là cạnh chung của các tam giác ABC Gọi diện tích của

tam giác là S thì đỉnh A năm trên đường thẳng a, song song với BC

Tam giác ABC có chu vi nhỏ nhật khi AB + AC

nhỏ nhất Suy ra A =M là giao điểm của hai

đường thing BC và a Suy ra: MB = MC nên B C

tam giác BMC cân tại M

Bài 4 Cho tam giác ABC Gọi d là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam

giác ABC và M là một điểm bất kì thuộc d Chứng minh tam giác M'BC có

chu vi không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC

Xét phép đối xứng Đụ: C -> C và d lả phân giác ngoài góc A

nên A năm giữa hai điểm B và C

Dạng 2 Tìm quỹ tích (Tập hợp điểm) bằng phép đối xứng Ð,

Phương pháp: + Xác định phép đối xứng Ð, biến diem M > M

2 Tìm quỹ tích điểm M

3 Từ quỹ tích của điểm M, dựa vào tính chất của phép đối xứng

dé suy ra quy tich cua diém M’

Bai 5 Cho đường tròn (O, R) và hai điểm A, B thuộc đường tròn Đường tron (I, r)

tiếp xúc ngoài với đường tròn (O, R) tại A Một điểm M di động trên đườmg tròn

(O, R), tia MA cat đường tròn Œ r) tại điểm thứ hai C Qua C vẽ đường; thăng

song song với AB cắt đường thẳng MB tại D Tìm quỹ tích của điểm D

Giải

Gọi E là giao điểm của CD với đường tròn (I, r) Vẽ tiếp tuyến chung c:ủa (O,

R) va (I, r) la xt

16

Ta co: ABM =xAM CEA= LẠC và x4M =IÁC

4BM = EDB (do CD // AB)

=> CEA = EDB nén tir giac ABDE la hinh

thang cân Gọi d là dường trung trực đoan

thang AB thì d cũng là đường trung trưc

Phép đôi xứng Đụ: E —> D E

Khi M di dong trén đường tròn (O R) thì E di

động trên đường tròn ([ r) nên quỷ tịch của

điểm D là đường tròn (` r) ảnh của dường

tròn (I r) qua phép đối xửng Dy Do đường „

tròn (I, r) tiếp xúc với đường tròn (O R) tại

A nên đường tròn

(I’, r) tiếp xúc với đường tròn (O R) tại B

'Bài 6 Cho đường tròn (O) có dây cung BC có

định và điềm A di động trên đường tròn (O)

Tim quỳ tích trực tâm H cua tam giác ABC

Tacó: /⁄4C =CBH (Góc có cạnh tương ứng vuông góc)

HAC = KBC' (Cùng chắn cũng KC)

Suy ra: CBH = CBK nén BC là phân giac góc KBH

Mặt khác: AI 1 BC, suy ra: ABHK can tai B> HI = IK

Xét phép đối xửng trục BC là Đục: K — H

Khi A chạy trên đường tròn (O) thì K cũng chạy trên đường tròn (O)

Nên quỳ tích cua điểm H là đương tròn (O), anh của đường tròn (O) qua

Bài 7 Cho hai đường tròn (O), nh và đường thang d Tim trén d mét diém P sao

cho tiếp tuyến về tir P dén (O), (O;) tạo thành một góc nhận d làm đường, phân giác

Giải

17

Phân tích: Giả sử dựng được điểm Ped sao cho d là phân giác của các tiếp tuyến PT, PT, voi dudng tron (O), (Oi) Suy ra PT và PT¡ đối xứng với hau

qua đường thăng d

Phép đối xứng trục d là Ðạ: (O) > (O) nên PT: cũng là tiếp tuyến của (O)

Cách dựng:

~ Dựng đường tròn (O) đối xứng với đường tròn (O) qua đường thẳng di

~ Dựng tiếp tuyến chung TT, cia hai đường tròn (O) va (O))

~ Dựng điểm P là giao của hai đường thẳng TT; và d

Chứng minh: Theo cách dựng thì tiếp tuyến với đường tròn (O) là PT đi

xứng tiếp tuyến chung TT; qua đường thẳng d nên d là phân giác góc 7 FPT 1 Biện luận: Số điểm P dựng được

phụ thuộc vào số tiếp tuyên chung a

của hai đường tròn (O) và (O¡} Do vậy

Giả sử tam giác ABC dựng được thoả

mãn điều kiện bài toán

Gọi A là đường trung trực cạnh BC, xét phép đôi xứng trục

D.:BC.A-A thì AC= AB va AABC = AACB A

= ABA = ABC - ABC = ABC- ACB = B-C =a _

~ Dựng tam giác ABA khi biết AB = c, AB =b, ABA =a thi dung dutge

~ Dựng đường trung trực A của canh AA

~ Dựng điểm C đối xứng với điểm B qua A, tam giác ABC dựng được

Chứng minh: Theo cách dựng ta có AB =c, AC =AB=b và

B-C = ABC - ACB = ABC - ABC = ABA =a

Dạng 4 Áp dụng phép đối xứng trục vào chứng minh

Phương pháp

) Xác định phép dôi xứng trục

2 Tính chất của \ phép doi xứng trục biến một hình thành hình bằng nó

Ba 9, c ho géc xOy trén tia Ox lay hai điểm A B và trên tia Oy lay hai diém

B sao cho OA = OA OB'= OB Ching minh giao diém cla AB va BA nằm trên tia phân giác của góc xÓy

Giải

Gọi Oz là tia phân giác của góc xÓy

Taco OA = OA, OB = OB

Suy ra: Do,; A> A BB >Do,: AB > AB

Goi | 1a giao điểm của hai đường thăng AB và AB

Thì I là điểm kép của phép đổi xứng trục Oz nên I thuộc Oz

Bài 10 Cho tam giác ABC I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và P là điểm nam trong tam giác Goi A B, € là các điểm đối xứng với P qua các đường thang AI, BI, CI Chứng minh rằng các đường thăng AA, BB, CC đồng quy

Giải

Gọi Ai Bị C¡ là các điểm đói xứng với điểm P qua các =

Dat PAB=a va PAl=B 2/11 ewes Re

A \ doi xurig voi P Pqua Alnén PAI = HA

GA ¡4-1 =C) “AP+ PAA =2PAB+ PA ee

Suy ra: GAA = B,Ad va AC, = AB,

Nén C, va Bị đổi xứng qua đường thăng AA A

Suy ra AA là đường trung trực của doan thang B,C

Tương tự, ta cũng chứng minh được BB, CC lan lượt là đường trung trực

của các đoạn thăng C¡A¡ A¡B¿ Suy ra: AA, BB CC là các đường trung trực của A A¡B¡C¡ nên chúng đồng quy tại điểm I la tam đường tròn ngoại

tiếp AAIBIGi

Bài 11 Cho một elip (E) với hai tiêu diém Fy, Fo

Gọi M là điểm bất kì nằm trên elip nhưng

19

không nằm trên đường thăng F¡ F; Chứng

minh rang phân giác ngoài của tam giác MFF›

tại đỉnh M cắt elip tại một điểm duy nhất (Gọi

phân giác ngoài đó là tiếp tuyến của clip tại

điểm M)

Giải

Gọi d là phân giác ngoài của AMF+ F› ie

đỉnh M va M e (E) nên MF, + MF; = 2a

Phép đối xứng trục Đụ: F; —> P suy ra: M

năm giữa hai điểm P và F¡ và MF; = MP

VNecd.tacó NF¡ +NF; =NF: + NP >F¡P

Mặt khác: F¡P = FIM + MP = MF, + MF> = 2a

Suy ra: NF, + NF) > 2a Dau bang xảy ra khi N= M Vậy, phân giác ngoài

của tam giác MF: F; tai đỉnh M cắt elip tại một điểm duy nhất M

c) Chứng minh rang tích của phép đối xứng trục D, voi phép tịnh tiếm 7 có

đường thăng chứa véc tơ » vuông góc với trục a là một phép đói xứng trục

a) Xét hai phép đôi xứng truc D,, Dp vai a // b

Gia si: M—»>M,—*>M,

MM, = MM, +M,M, M

=2IM, +2M,J = 2(IM, +M,J) =2U

Suy ra: D,o D, =T,,,: M—> M2

b) Xét ba phép đối xứng trục Dạ, Dụ, D, với a//b//c

© 2HI+2JM, +2M,K =0

© H/ +JK =Ũ© II =.JK

SUY ra: De I>H>T, :az=>A với A//a

Vay, D.oD,°D,=D, voidl/al/bi/c lv»

c)* Giả sử A/—“~>Af,——>M,

Taco: IM+IM,=0: M\M, =v Mẹ „_l} x eM oM2

Gọi H là trung điểm của MM:thì 77M + HA, =0

© HI+1M + HI +IA1, =0 © 2HI + IM, — 1M, =0

Gọi H là trung điểm cia MM; thi HM + HM, =0

© HI+IM+HI+IM, =0< 2HI+1M,-IM,=0 @ 2HIi+Mf,M, =0

Me—— sey M2

= iti =-1¥ Suy ra 7, :J > HST,:aosA=D T=D

Í Dạng 6 Biểu thức giải tích của phép đối xứng trục

[rong mặt phăng với hệ toa độ vuông góc Oxy cho đương thăng d: Ax + By +C =

voi A? +B’ #0 va mot diém M(x y) Goi M (x y) doi xưng với M qua phép

đôi xứng trục d Tìm biếu thúc liên hệ x y và x`, V`

Tacé MM -(x =x:y' =') củng phương với n=( 1:B) |

Vậy, . _ 2B(Ax+ By+C) ate ay

Gọi (1) là biểu thức giải tích của phép đối xứng trực d

Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho đường thẳng d:

2x-y-3=0

a) Viết biểu thức giải tích của phép đối xứng trục Đạ

b) Tìm ảnh điểm M của điểm M (4; - 1) qua phép đối xứng trục Dg

c) Viết phương trình đường thẳng A là ảnh của đường thẳng A: x -3y +l1 =0 qua phép đôi xứng trục Đụ

d) Viết phương trình đường tròn (C) là ảnh của đường tròn (C)

x?+yŸ ~ 10x - 4y + 27 = 0 qua phép đối xứng trục Đạ

= =—x+>y-2

y=y+ TC Pes ays

b) Toa dé diém M 1a anh cia M qua Dy la (-: iz}

c) Lay M(x ;y) A—?~>M (x sy)ed, ta cd:

d) Phương trình của đường tròn (C): (x - sy +(y- 2} =2 cótâm[I(5; 2) và

bán kính R = 2 Ta có: Ðạ: Ï —> Ï nên Ï “1; 4), suy ra: Ðạ: (C) —> (C), (C)

có tâm Ï và bán kính R= V2

Ph:ưương trình đường tròn (C)) là: (x - DĐ +(y-4)°=2

Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, một phép biến hình f

biến M(x ; y)—> M(x ; y) có biểu thức giải tích:

gol 2127 ay

M3_ 1

ÿ=—x-~y 2° 3

a) Tìm tập hợp A các điểm kép của phép bién hinh f

b) Xác định biểu thức giải tích của phép biến hình g bién M(x : : y)> M(x ; y) Có nhận xét gì?

c) Chứng tỏ rằng f là phép đối xứng trục, có trục là đường thẳng A

Giải

a) Goi M(xo ; y)là điểm kép của phép biến hình f thì f:M(xo ; yo) — M(o ; Yo)

thay vào (]), ta có: xạ ~V3y, =0

Tập hợp các điểm kép của f là đường thẳng A có phương trình: x— vBy =0

` b) Phép bién hinh g bién M(x ; y)> M(x; y)

Goi I ld trung diém cia doan thang MM thì 7 thay

vào phương trình của đường thẳng A, ta có:

23

Bài 1 Cho một đường thăng a và hai điểm A B nằm khác phía đối voi a Tim

trên đường thẳng a một điểm M sao cho hiệu các khoảng cách MA MB là

a) Tìm quỹ tích tâm Ô của đường tron (O)

b) Dựng tam giác ABC biết N là trung điểm của cạnh AB /

Bài 4 Cho hai đường tròn (O) (O,) và một đường thăng A Tìm điểm MI thuộc

đường thăng A sao cho các tiếp tuyến kẻ từ M đến hai đường tròn đó tạo với

đường thẳng A các góc bằng nhau

Bài 5 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Dựng tam giác MNP với M.E P la lượt thuộc các cạnh BC AC và AB sao cho chu vi tam giác MNP nho int ˆ

Bài 6 Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm crủa tam

giác Gọi (O¡) (O›) (O;) là các đường tròn tam O}) 02, O3 đối xứng với

đường tròn (Ở) qua các cạnh của tam giác ABC Chứng minh các đường tròn (Oj), (Oz) (Ox) di qua H va AABC = A 0,003

Bai 7 Cho tam vide ABC co AB = AC ndi ticp dung tron (O) Goi 1 là tâm

đường tròn nội tiếp tam giác ABC Các đường tháng Cl Bl cất đường tròn (O) ian luot tai M N Tur giac AMIN '+ hình gi? Tại sao?

Bài 8 Cho hypebol (HH) với hai tiêu điểm F¡, F› Gọi M là điểm năm trêr (H)

nhưng không năm trẻn đường tháng Eịl và đ là phần giác trong cua tam

giác MI¡Fa tại M Chứng minh răng đương thăng d chi cat (H) tại điềm duy nhất M

Bài 9 Cho tam giác ABC, dường cao AH (HeBC) Gọi D, E lần lượt l¿ các điểm đối xứng với H qua,AB, AC Đường thắng DE cắt AB, AC lần llưt tại M.N Chứng minh AH là đường phân giác của góc MHN

Bai 10 Trong mat phăng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho điểm M35),

đường thẳng d: 3x + 2y - 6 = 0 và đường tròn (C): xÌ + y°~2x + 4y —4= 0 Tìm ảnh của M, đường thăng đ và đường tròn (C) qua phép đối xứng trục A

a) A là trục hoành b) A là trục tung

c) A là đường thẳng x - y + I = 0

Bài II Trong mắt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho hai dudng thi ăn: 24

dị: x-§5y+7=0và dạ: 5x- y- 13=0

Tìm phép đối xứng trục biến đường thăng d,thành đường thẳng d; ˆ

Bài 12 Trong mặt phăng với hệ tọa độ vuông góc Oxy Một phép biên hình

f' M(x; y)~> Mx ; y) có biểu thức giải tích: (V2

a) Tim tap hợp A các điểm kép của phép biến hình f

b) Xác định biểu thức giải tích của phép biến hình g biến

M(x :y)—> M(x; y) Có nhận xét gì?

c) Chứng tỏ rằng f là phép đối xứng trục có trục là đường thăng A

§3 PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

A KIEN THUC CƠ BẢN

1 Định nghĩa: Trong mặt phăng cho điểm O cỏ định và một góc lượng giác

+ không đôi Phép biến hình bién mỗi điểm M thành điểm M` sao cho

#|.OM" = OM và (OM OM'`) = ø được gọi là phép quay tâm O với góc quay $2

2 Chiều dương của phép quay Q(O : @) theo chiều dương cua đường tròn

lượng giác Ngược lại là chiều âm và con kì hiệu Q(Ó - ø)

II Phép đối xứng tâm - /

1 Dinh nghia: Phép đôi xứng qua điểm O 1a mot phép quay tim O voi géc

quay 180", ttre 1a bién mỗi điểm M thành điểm M' sao cho

OM +0M =0

25

~ Điểm O gọi là tâm của phép đối xứng -

2 Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là tâm đôi xứng của một hình H nếu phép đối xứng Đo biến hình H thành chính nó, tức là Đo(H) = H

3 Tâm quay O là giao của hai

trong các đường sau: Đường trung trực của AA ; /

đường trung trực của MM' ; đường tròn (IAA) ; Q

2 Dựng ảnh M° của M qua phép quay Q(O ; ø) OM = OM? va (OM, OM”) =

3 Dựa vào tính chất của phép quay đề tìm tập hợp các điểm M° Từ đó sity >

Bài 2 Cho phép quay Q(O ; @) và đường thẳng d không đi.qua O

a) Gọi H là hình chiếu của O trên d Dựng ảnh H của H qua phép quay Q(O ;

9) b) Nêu cách dựng đường thăng d là ảnh của đường thăng d phép quay Q(O ; có,

9) c) Có nhận xét gì về góc tạo bởi hai đường thăng d ,d trong các trường hợp: +

0< <90° và 90° < <1800 d) Nhận xét gì về hai đường thẳng dd khi ọ = 1802 -

‘ Giải

a) Ta có: Q(O ; ọ): H-> H OH=OH và (OH, OH )= ọ

- Vẽ cung tròn tâm O, bán kính R = OH „ „

~ Trên cung tròn, theo chiêu quay dương lay diém H,

26

sao cho HOH =ø

- Điểm H' dựng được

b) Ta có: OH L đ nên d là tiếp tuyến của đường tròn (O ; R) với bán kính R =OH

Q(O; ø): d— d "=d là tiếp tuyến của đường tròn (O ; R) tại H

- Dựng điểm H' là ảnh của điểm H qua phép quay Q(O; o)

~- Dựng đường thẳng d' vuông góc với OH tại H

c) Góc tạo bởi hai đường thắng d và d bằng góc ọ hoặc bù với góc ọ

* Khi 0< @ <90” thì (d,d)= ọ

* Khi 90° < @ < 180° thi (d,d) = 180° -

d) Khig = 180° thiQ(O;9):H+H > OH+OH =0 = O là trung điểm cia HH nén Q(0;9):d 3d d LHH và di HH d /dvà

cách đường thắng d một khoảng bằng 2OH -

Bài 3 Cho hình vuông ABCD tâm O Gọi M N lân lượt là trung điểm, của AB,

OA Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O, Bac quay 90°

Xét phép quay Q(O ; 90"): A> B, M3 M,

=> Q(O;90:N —>N¡

N là trung điểm của OA thì N¡ là trung điểm củaOB M '

Suy ra: Q(O ; 909): AAMN —> A BMIN¡ :

Dang 3 Tìm quỹ tích (Tập hợp điểm) bằng phép quay Q(O ; 9)

Phương pháp: 1 Xác định phép quay biên điểm M thành điểm M’

2 Xác định quỹ tích của điểm M

3 Dựa vào tính chất của phép quay để tìm quỹ tích của điểm

Bài 4 Cho điểm I cô định Gọi M, M' là hai điểm sao cho tam giác IMM'

vuông cân tại I

a) Cho điểm M chạy trên một đường tròn (O) Tìm quỹ tích các điểm M"

b) Cho điểm M chạy trên đường thang d Tìm quỹ tích các điểm M' Gọi H là hình chiếu của I xuống MM' Tìm quỹ tích các điểm H

27

Vậy, quỹ tích điểm M° là đường tròn

(O), ảnh của đường tròn (O) qua

(Do AIMM: vuông can tại |)

Suy ra: Tứ giác LIMH nói tiếp đường tròn, đường kính MI

=> MJH = MiH = 45" (cing chin cung MH)

Tacó: A/ =45` (IJ là đường chéo hình vuông OJHJ) => MJH = MLI

Hai điểm H và J nam cùng phía dối với đường thăng d nên H JJ

Suy ra quỹ tích của điểm H là dường thăng J1 - Bài 5 Cho ba điểm A B C cô định trên đường tròn (O) va diém M thay: đôi trên (O) Goi M; đỏi xứng với M qua A, M; đôi xứng voi M, qua B va M;

đôi xứng voi M> qua C Tìm quỹ tích của diém M3

nên điểm M; chạy trên dường tròn (O”, (O” 1a anh của đường tròn (O) qua

phép đối xứng tâm ID Vậy, quỹ tích các điểm M; là đường tron (O°)

đều ABC, A ea.Beb.Cec

Ta có: AC =AB và (AC, AB) = 600

Suy ra: Q(A ; 60°): C > B

Ke AH Lc tai H thi Q(A ; 60°): H > HS

> Q(A ; 60°): c —€` vả C' vuông góc

vei AH tai H

=> B Ia giao điểm của hai đường thang bvaC’

Cách dựng:

~ Lấy một điểm A bắt kì trên đường thắng a

~ Dựng đường thăng C` là ảnh của đường thắng c qua phép quay Q(A ; 60°)

Dựng điểm B giao điểm của hai đường thang bvaC

~ Dựng điểm C là ảnh của điểm B qua phép quay Q(A : -60°)

~ Tam giác ABC dựng được

Chứng minh:

Theo cách dựng, ta có: AB = AC và 84C =60” nên tam giác ABC đều

Biện luận:

Basing thăng c là ảnh của đường thăng c qua phép quay Q(A ; 60') hoặc

“QUA ; -60°) Từ đó ta dựng được hai điểm B và B; nên bải toán có — nghiệm hình

Bii 7 Cho hai đường tròn (O; R) và (O;; R,) cắt nhau tai hai điểm A va B Hãy dựng một đường thẳng ddi qua A, cat dudng tron (O;R) va (GC); R;) lần lượt

taii M, M; sao cho A la trung diém MM)

Giải

Phân tích: Giả sử dựng được đường

thăng đ đi qua A, cat đường tròn (O:R)

29

va (O;; Ri) lan lugt tai M M, sao cho

A la trung điểm MM)

Suy ra: Mạ đối xứng với M qua A

Goi Da la phép đối xứng tâm A thì

ĐA: M ->M¡

M thuộc đường tròn (O: R) nên

~M; thuộc đường tròn (O: R) là

ảnh của đường tròn (O; R) qua

phép đối xứng ĐẠ Suy ra: My

là giao điểm thứ hai của đường

tròn (O; R) với đường tron (0); Ri)

nên đường thẳng d đi qua A va Mi

Cách dựng:

- Dựng đường tròn (O”; R) là ảnh của đường tròn (O: R) qua phép đối xứng

Đạ

~ Dựng điểm M: là giao điểm thứ hai của đường tròn (O; R) với đường tròn

(Oi; Ri) (Mi khac điểm A)

~ Dựng đường thăng d đi qua A và M¡ là đường thẳng cần dựng

Chứng minh:

Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thằng d với đường tròn (O; R) (M#A)

Theo cach dung, ta có:

AOMA can tai O = OA = OM =R va OAM =OM4 =

AO'MỊA cân tại O` => ƠA =OMI =R và OAM, =OM,A

OAM =OAM, (đối đỉnh)

=# 1OM = AOM,: OMA=OM,4 và OM =OM¡

= AOMA = AOM,A > MA=MA

Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình

Bài 8 Cho hình vuông ABCD va mot diém M nằm trên một cạnh hình vuiông

Tìm các điểm N P nằm trên cạnh hình vuông sao cho tam giác MNP lài tam giác đều

Giải D

Phân tích: Giả sử dựng được tam giác đều MNP

sao cho M e AD,N e AB và PeDC.)

— Lấy điểm M bat ki trên cạnh AD -

~ Dựng đường thẳng AB là ảnh của dường thăng AB qua phép quay Q(M ; 60°)

~ Dựng điểm P là giao điểm của hai đường thăng AB va CD

~ Dựng điểm N là ảnh của điểm P qua phép quay Q(M : - 60°)

~ Tam giác MNP dựng được

Chứng minh: Theo cach dung, taco: MN = NP va NMP = 60°

Mặt khác: P thuộc cạnh AB nên N cũng thuộc cạnh AB

Biện luận: Cạnh AB cắt cạnh DC tai một điểm duy nhất P nên bai toán có

mệt nghiệm hình

| Dạng 5 Áp dụng phép quay vào chứng minh

Phương pháp: I Xác dịnh phép quay Q(O : @)

2 Áp dụng tính chất của phép quay: Biến một hình thành một

L hình bằng nó

Bài 9 Cho tam giác vuông cân OAB vả OA'B có chung đỉnh O sao cho O nằm

trên đoạn thẳng AB và nằm ngoài doạn thang AB Goi G và G lần lượt là

trọng tâm tam giác OAA và OBB Chứng minh GOG là tam giác vuông cân

Giải

Ta có: OA =OB và 4Ø#=90,OA =OB và 4Ø8 =90°

> Q(0; 90°): A>B:A +B

=> Q(O ; 90°): AA > BB Goi M la trung điểm

cia AA’ thi Q(O ; 90°): M—» M’ va M’ [a trung

G_ là trọng tâm tam giác OBB thì OG = 3M,

Suy ra: OG =OG va GAG =90" = AGOG là tam giác vuông cân

Bai 10 Cho tam giác đều ABC Trên các cạnh AB BC CA lấy các điểm K L

M sao cho AK Bh OM Néi AL BM, CK các đường thang này đôi

KB LC MA

một cắt nhau tạo thành một tam giác Chứng minh rằng tam giác đó là tam

giác đều và có tâm trùng với tâm của tam giác ABC

Giải

Gọi tam giáè tạo thành là DEF và O là tâm A ABC

cũng là trọng tâm tam giác (Do A ABC đều)

=-OA =OB =OC và AOB = BỌC =COA = 120°

Xét phép quay Q(O ; 120): A — B ; B —› C và

31

Bai 11 Cho tam giác ABC Dựng phía ngoài của tam giác ABC cac tam giac

vuông cân ABO¡, ACO; có đình góc vuông ở O¡, O; Gọi O là trung điềm

cạnh BC Chứng minh tam giác OO¡O¿ vuông cân

Giải

Goi E F lan lượt là trung điềm của AB, AC

Taco: AABO, vu6ng can tai O; O

AACO: vuông cân tại O; = O;F.L AC

và O2F = + AC

2

l

Mật khác: OF là đường trung bình của AABC => OF // AB va OF = : AB

= O¡E LOF và O¡E=OE :

Tương tự OE là đường trung bình của AABC = OE // AC và OE = gÁC

= tam giác OO¡O; vuông can tai O

Cách khác Ta có: O¡E = OF, OE = O;F và O¡E 1 OF, OE 1 O2F

>Ó,EO =OFO, (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

= AO|EO = AOFO; > OO; = OO; va EO,O= FOO, (*)

32

Mat khac: O|E 1 OF = OO, 1 OO3

Vậy, tam giác OO¡O› vuông cần tại Ó

Dạng 6 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất |

Phương pháp: ˆ 1 Xác định phép quay Q(O: g) |

2 Áp dụng tinh chat cua phép quay |

L 3 Ap dụng bắt dăng thức trong tam giác | Bài 12 Cho tam giác ABC M là điểm tuỳ ý trong tam giác Xác định vị trí của

điểm M sao cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất

Giải Xét phép quay Q(B ; 60”): M—> M = BM = BM' và A/BA/ =60°

Mặt khác: Q(B : wie Cc (C =MC=MC' và (MC M`C')= 601

“Ta có: MA +MB +MCÊ =MA +MM' +M'C' >AC'

MA +MB +MC ee giá trị nhỏ nhất khi MA + MB +MC =AC'

Suy ra: A, M, M’ C’ thang hang

=(MC, M’C*) = (MC, MI MM’) = 60°

= BMC = BMM +M MC =120°

BMA = BM 'M + MBM = 120°

AMC = 360° - (BMA + BMC) =120°

Vậy, M là giao điểm của ba cung chứa góc

120” dựng trên ba cạnh của tam giác ABC

(Điểm M được xác định như trên còn gọi là B A

điểm Tôrixeli)

Bài 13 Cho tam giác đều AĐC và một điểm M bất kì Chứng minh

BM <CM + AM Khi nào thì đầu đẳng thức xảy ra? A

Giải Xét hai phép đối xứng trục Dạ Dy với a cắt b tại O

Giả sử Aƒ— —>M,—>—>M, 'M;

Thi OM = OM, = OM; va (OM, OM2) = 2(a b) =

với (a b) là góc giữa hai đường thăng a và b M

Suy ra: Q(O ; 0): M —> M;.Vậy, D,s D, =Q(O ; ) M \o

1

Nhan xét: Moi phép quay Q(O ; 9) có thể xem là tích của hai phép đối: xứng

trục Dạ Dy với a cat b tai O la tam quay góc quay @ = 2(a, b)

Bài 15 Cho hai phép quay QA Qạ có tâm quay là A, B phân biệt và có cùng góc

quay 90° Goi F= O,°Q, va F =, ¢Q, Chimng minh răng F, Fˆ là những

phép đói xứng tâm Nêu rõ cách xác định tâm đối xứng của các phép đó

Giải

Lay diém O sao cho tam giác OAB vuông cân tại O

Ta co: (OA, AB) = (OB, BA) = 45°

Suy ra: O, = QA: 90°) = Dy, 2 Dy,

Ø, = QB; 90") = Dy, 2 Dy

F= Q,°0, = (Dy? Dig)? ( Dus? Daw )

=

= Dye (D„ oD, 1) s Dự, = = Dy Diy

= Q(O; 180°) vi @ =2 (OB, OA) = 2 90" = 180°

Tương tự, lấy diém | sao cho tam giác OAB vuông cân tại O oO

Khi dé: Q, =Q(B:90°)= Dy oD, : QO, = QA;90°)= Dy, 2 Dy

F =Q,0Q,= (Dy 2 Duy) oC Day W )= Dy sD„ =Q(1; 180)

Ta cd: (AQ, AC) = 90" = VO, = Q(A: 90") = Dyye Dy N

(BC, BN) = 90° > Q, = Q(B: 90") = Dy © Dax

Suy ra tích của hai phép quay @, Ớ, là phép

đối xứng tâm D, với AABI vuông cân tại ! B,

=D,:Q—N => JQ+JN =0 \ M

Suy ra đường thăng NQ luôn đi aa

qua một điểm cô định J - ace "

Tương tự, OI là đường trung bình của AABP = OI/'BP và OI >; BP (3)

Từ (1) (2) và (3) ta có: OI = OT và OI L OI nên tam giác IOO` vuông cân

Bài 17 Cho tam giác ABC nội

tiếp đường tròn (O) có trực

tâm HH và điểm M thuộc đường

tron (O) Goi Mi, Mo, Mg 1a

các điểm lần lượt đối xứng với

M qua các cạnh AB BC AC

Gọi (OI) (O2), (Os) lan luot la cac

đường tròn đổi xứng với đường tròn (O)

qua các cạnh AB, BC, AC thì các đường tròn (O¡}

(O2) (O;) di qua điểm H

Ọ(A:0): Mi M: + => (01) > (Os) va (Oi) = (Os)

= AM, = an AM, = = AM, => VAT HA+ 1M, ==> M), H M; thang hang

Tương tự ta cũng chứng mình được MỊ H M> thang hang

Suy ra M) Ma, M3 va H thang hang

Dang 8 Biéu thức giải tích của phép quay

irong mit phang với hệ tọa độ vuông góc Oxy vet phép quay Q([ ; @)

Iruong hop l: Khi tâm quay L trùng với gốc tọa độ O

Q(Ó:@)M(x:y)>M'(x :y)

Dat OM =r va (Ox, OM) = a

| x=rcosa laco: M

Các công thức (1) và (2) được tóm tắt Ở bảng sau:

Q(O; - 9): M’ (x :y) > M(x; yom

[rường hợp 2: Khi tâm quay Ì (xu; Yu)

og, JF WX = (X— Ny )COSP- la có: (I= Vn )siN

Y —1¿ =(Œ~x,)sinø@+(— Fy cose

x— x, =(X —Xx, cose +(y — yụ)sing 4)

V12 ==(X =x,)sinØ +(y — yụ)cosự

Công thức (3) và (4) dược tóm tắt ở bảng Sau:

Bài 18, Trong mặt phần» vôi hệ tọa độ vuông góc ÔAY cho phép quay tam O

7

gO quay F Tim anh qua phep quay Q (O : 7 ):

a) Diém A (2: 2) b) Dưỡng tròn (C):(x= H + 4

Giải JBiều thức giải tích của phep quay Q(O: =): Mixiy) >My)

b) Duong tron (C): (x ys VÌ 4 cotam 1 (1) 20) vai din kinh R =2

Q(O: ay I(1:U) >Ứ( :v )>Q(0: ễ (€)>(C } với(C'} Hà

duong tron tam P va co ban kinh R

V3

37

Suy ra, f là phép quay tam O, goc quay :

Bai 20 (Khối B - 2007) Trong mặt phăng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho điểm A (2 : 2) và các đường thang: dj:x +y-2=0 dys x+y-8=0

Tìm tọa độ các diém B va C lần lượt thuộc dị và d; sao cho tam giác ABC

vuông cân tại A

Phép quay Q (A; 90"): dy —> ai, phương trình đường thang | aix-y-2=0

Q(A: 90%: B e dị > Ceai vàC € ds nén tọa độ của C là nghiệm cua hệ:

x-y-2=0 x=5

Q (A; - 900): C — B thì B3 ; - I)e dị

Phép quay Q (A: - 90”): dị —> a;, phương trình đường thẳng a;: x - y ~ 2 = Ú

Q (A: - 90°} B € dy —>C e a; nên tọa độ của C là nghiệm của hệ:

c© =>C(3;5)

x+y-8§=0 y Q(A: 90: C —› B thì B(- 1;3) e dị

Vậy B(- I;3), C3 ; 5) hoặc B (3; - I), € (5; 3)

BÀI TẬP

Bài 1 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2 và có các đỉnh về the› chiều

dương Các đường chéo cắt nhau tai I Trén cạnh BC lấy điểm J sao cio BJ =

1 Xác định phép quay biến Al thanh BJ

Bai 2 Cho hai đường tròn (O, R) va (O° R) cắt nhau ở M,N Qua N vẽ ba

đường thăng lần lượt cắt đường tròn (O, R) tai A, B, € và (O`.R” tại A` B,

C Xác định phép quay biến tam giác ABC thành tam giác A` BC

38

Bài 3 Cho đường tròn (O) và điểm I không năm trên đường tròn Với mỗi điểm

A thay đồi trên đường tròn xét hình vuông ABCD có tâm I Tìm quỳ tích cac

diém B.C, D

Bài 4 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R va M la diém chuyên

động trẻn nửa đường tron đó Dựng phía ngoài tam giác AMB một hình

vuông MBCD

a) Tìm quỹ tích của điêm €

b) Trên tia Bx vuông góc với AB tại B và nằm cùng phía với nửa đường tròn

lấy điểm O' sao cho BO' = BO Chứng minh OM vuông góc với OC

Bài 5, Cho hình vuông ABCD có tâm O va M, N lan lượt thuộc các cạnh BC

CD Gọi E F lần lượt là hình chiếu của B lên các đường thăng AM AN Gọi

I 1 lần lượt là hình chiếu của D lên các đường thăng AM AN

a) Xác định phép quay biến ADJ thành tam giac BAF

b) Xác định ảnh của tam giác BAE

c) Chứng minh EF vuông góc với IJ

Bài 6 Cho tam giác đều ABC và một điểm M sao cho AMB=120°, AM = 1,

BM =2 Tính độ dài đoạn thăng CM

Bài 7 Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với CD và AC = CD, AB = 1

BC = ¥2,CD= v3 Tính các góc cua tứ giác

Bài 8 Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Các tiếp điểm thuộc AB

BC, CA lần lượt là I J K Chứng minh OAsinA + OBsinB + OCsinC = 0

Bài 9 Cho tam giác ABC có góc A nhọn Dựng phía ngoài tam giác ABC các hình vuông ABMN ACPQ BCEF

a) Chứng minh BQ = CN và BQ vuông góc với CN

b) Gọi D là trung điểm của BC và K, H G theo thứ tự là tâm các hình vuông

ABMN, ACPQ BCEF Chứng minh ADKH vuông cân và KH = AG

Bài 10 Cho hai hình vuông có tâm trùng nhau Tìm chủ ví bé nhất của giao hat hình vuông trên

Bài 11 Cho tam giác ABC có đỉnh A có định và hai điểm B C thay đôi sao cho

AB =2, AC = 5 Dựng tam giác đều BCD sao cho D năm khác phía với A

đối với đường thang BC Xác định góc ø= 84C để AD có độ dài lớn nhất

Bài 12 Cho góc nhọn AOx Dựng một hình vuông ABCD sao cho điểm O

nằm trên cạnh BC và O nằm trên đường phân giác của góc 84E với E la

Bài 13 Trong mặt phăng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho phép biên hình f