| Th$ NGUYÊN KIẾU - To LÊ HỊHƯƠNG - Th$ HỒ XUÂN THẮNG _
Phân loại và phương pháp giải các dang bai tap 7, OAM)
(Chuong trinh nang cao)
2 PA PA
< > Í
Pre OO
Sree ©
và phương pháp giải các dang tốn cơ bản và nâng cao
VW * Bai tap mau * Bai tap áp dụng * Danh cho HS ban Khoa hoc ty
nhién va ban Cd han Re
Trang 2Th.S NGUYEN KIEM - Th.SLE THỊ HƯƠ4G - Th.S HỒ XUAN THANG
Phân loại và phương pháp giải
các dạng bài tập TT OAM
(Chương trình nâng cao)
Nols IR —— —-—— -
* Tĩm tất lí thuyết * Phân loại
và phương pháp giải các dạng
tốn cơ bản và nâng ca0
* Bài tập mẫu * Bài tập áp dụng
* Danh cho HS ban Khoa hoc ty
nbién va ban Co ban
==—————————— ee
Trang 3= ' _ NHÀ XUẾT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC Giđ HÀ NỘI
- 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội
z- ĐT.(04J 9715013; (04) 7685236 Fax: (04) 9714899 kee”
(
x số k ?
j „ Chịu rách nhiệm xuất bản:
VU
^ Giám đốc PHÙNG QUỐC BẢO
Tơng biên tập NGUYEN BA THANH
J Biên tập nội dung
t MINH HẢI AO ` Stra ban in = HỒNG VĨNH sổ Trình bày bìa - SON KY 4 ® hà để
PHẨN TOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP An CÁC DAN BAI TAR, TCOAN
(chương t trình nập cao z tập J2 ^ ‘
Mã số:Ä In 2.0003 khổ 16x 24cm tại Cơng tỉ cổ phần Văn hố Tân IBình 175BH: 007` c7! yey
Số xuất b4 6{b- 20)7/GXB/16 - 77/ĐHQG HN, ngày 3/08/2007 Guinn bản số: 406/LK/XB
IhxcĐg vnơp li chiễu ở ap HI.năm 2007 `”
ti
Trang 4LỜI GIỚI THIỆU
Xin giới thiệu đến bạn đọc cuốn: Phân loại & Phương pháp giải các
dạngg bài tập Tốn 11 theo chương trình phân ban mới của bộ GD&ĐT
Sách gồm ¿ tập: - Tập 1: Đại số & giải tích
- Tập 2: Hirh hoc
Nội dung sách bám sát thao sách giáo khoa mới, chương trình
chuẩn: và chương trình nâng cao Nội dung mỗi bài gồm các phần sau: A Kiến thức cơ bản
B Phân loại và phương phát giải các dạng tốn
- Bài tập tự luận
- Bài tập trắc nghiệm khách quan
Các bài tập trình bày trong các tập sách này được các tác giả chọn lọc kxï lưỡng, cĩ tính điển hình và khai thác tốt các gĩc cạnh của mỗi
phẩm kiến thức Với các lời giải rõ ràng, dễ hiểu sẽ giúp các em học sinh tiếp cận và rèn luyện tốt các kĩ năng và phương pháp giải tốn, đồng thời 6in tap các kiến thức đã được học qua các bài tập trắc nghiệm khách quan: ciể chuẩn bị tốt cho các kì thi học kì, thi tốt nghiệp, tuyển sinh bằng
phương pháp trắc nghiệm khách quan theo quy định của bộ GD&ĐT
Hi vọng rằng các tập sách này sẽ là người bạn đồng hành giúp các em hiọic sinh ngày càng yêu thích hơn mơn Tốn và vững vàng giải quyết
các vrấn đề trước các kì thi sắp đến
Do thời gian biên soạn cĩ hạn, cĩ thể sách cịn những khiếm
khuyết Rất mong nhận được những gĩp ý, đĩng gĩp của quý đồng nghiệp và cátc em học sinh để trong lần tái bản sau, bộ sách sẽ hồn chỉnh hơn
Mọi gĩp ý xin gởi về: Trung tâm sách Giáo dục Alpha - 225C Nguyễm Tri Phương - Phường 9 - Q.5 - Tp.HCM ĐT: 8107718 - 8547464
Email: alphabookcenter@yahoo.com
Trang 5MỤC LỤC
“Trrang Chương 1: Các phép biến hình trong mặt phẳng - 5
§1 Phép biến hình — Phép tinh tién — Phép dời hình . 5
§2 Phép đối xứng trục -¿:-525¿22v2 22222221 2Errtrrrrrrrrrrrrerrri 14
§3 Phép quay và phép đối xứng tâm -.¿ c2+cctvvcrrrtrrererrrer 25
Ly 40
§5 Phép đồng dạng -Ả0- 2222222 22211222111222111221 1.111 rree 56 §6 Hình bằng nhau — Hinh déng dang
ON TAP CHUONG I
Chương II: Đường thắng và mặt phẳng trong khơng gian Quan hệ song s song
§1 Đại cương về đường thăng và mặt phẳng
§2 Hai đường thẳng song song 5c: 2222 2tr
§3 Đường thẳng song song với mặt phẳng -c2-2222cccccEttvrcrrrrrea 84 §4 Hai mat phẳng song song
ƠN TẬP CHƯƠNG II vỡ
Chương II: Véc tơ trong khơng gian Quan hệ vuơng gĩc trong khơngg ; gian
§1 Vectơ trong khơng gian Sự đồng phẳng của các véctơ
§2 Hai đường thắng vuơng gĩc .- -522+c2222:22 22t rterirrree §3 Đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng c2cccccccctveeccerrrer
§4 Hai mặt phẳng vuơng gĩc ee ere
§5 Khoarig cach) sssccsccccssucrenacesaresccoammretaeraaensettr eons wii TONE
Trang 6
_ !CHƯƠNGI: CÁC | PHÉP BIEN HINH TRONG MAT PHANG `
§1 PHEP BIEN HÌNH - PHÉP TINH TIEN - PHÉP DỜI HÌNH
.) KIÊN THỨC CƠ BAN
ĩ PPhép biến hình
1 Định nghĩa: Phép biên hình là một quy tắc để mỗi điểm M trong mặt phaanig xác định được một điểm duy nhất M của mặt phăng do
2 JKi hiệu và thuật ngữ: Gọi P là tập hợp tat cá các điểm trong mặt phẳng
Và ¡miột phép biến hinh f: P > P
ME M'=f(M)
— D)iém M' gọi là ảnh của điểm M trong phép biển hình f
~ Niếu H là một hình nảo đĩ thì H' (gồm các điểm M' là ảnh của điểm MeH)
đượợc gọi là ảnh cua H qua phép biến hình f và viết f{H) = H'
3 Tích của hai phép biến hình: Cho hai phép biến hình f và g Gọi M là điêm
bất - kì trong mặt phăng À/ là ảnh của M qua f, Mla anh cua M qua g Ta nĩi ă` lià ảnh cua M trong tích của hai phép biến hình f và g kí hiệu go f
Mu \/
gef F4
H ]Plhép tịnh tiến
1 Định nghĩa: Phép tịnh tiễn theo véctơ ø là một phép biến hình biến điểm
M thành điểm A7 sao cho A/AZ =w Kí hiệu: T hoặc 1
2 Phép tịnh tiến theo véctơ 0 cịn gọi là phép đồng nhất, thường được kí hiéw iid id: P > P :
M id(M)=M
3 (Các tính chất của phép tịnh tiến:
Wiinh li 1: Néu phép tinh tiến biến hai điểm M và N thành hai điểm ÄZ và N th MN =MN
Đ)ịnh lí 2: Phép tịnh tiên biến ba diém thắng hàng thành ba điểm thăng
hangg, ba điêm khơng thăng hàng thành ba điểm khơng thăng hàng
HIỆ quả: Phép tịnh tiến biến dường thang thành đường thẳng, tỉa thành tia
đoạn thăng thành đoạn thăng bằng nĩ, tam giác thành tam giác bằng nĩ
đườnng trịn thành đường trịn bằng nĩ gĩc thành gĩc bằng nĩ
II Phép dời hình
1 Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng
cách goiữa hai điểm bất kì :
2 Định lí: Phép dời hình biến ba điểm thang hàng thành ba điểm thang hàngg, đường thăng thành đường thang, tỉa thành tỉa, đoạn thăng thành doan |
Trang 7
thẳng băng nĩ, tam giác thành tam giác bằng nĩ, đường trịn thành đường trịịn | băng nĩ, gĩc thành gĩc băng nĩ
B CÁC DẠNG TỐN AM
Dạng 1 Tìm ảnh của một hình H cho trước qua một phép tịnh tiến †, Phương pháp: | Lấy một điểm M tuỷ ÿ trên H
2 Dựng ảnh M của M qua 7, FAfAI =u
3 Tìm tập hợp các điểm A/
Bài 1 Tìm ảnh của đường thẳng d (cho trước) qua phép tịnh tiến theo vééc tơ
u#0 ,
a) d khơng cùng phương với véc tơ H b) d cùng phương với véc tơ ứ
Giải
a) d khơng cùng phương với véc tơ u /
* Lấy điểm Med và A7 =7 (A7) thì A4 =u Ÿ ¬ >ÍN
Lay điểm cố định A edthì 4 =7 (4) cĩ dịnh và
AA =u nén MM = AA suyra titgidc AMMA Ia
hình binh hanh => AM// 4Af Do dé M ed dường thẳng d di qua diénm Í và song song với đường thăng d
* Lấy điểm W eđvà gọi Ned sao cho NN // 44 va NN = A-l nên
ANN A là hình bình hành Suy ra: NN =4 =¿=>V =7 (A) `Vậy
d =T,(4) u
b) d cùng phương với véc tơ ứ : '
WMed va M'=7:(M) <> MM =u<> Med
Suy ra: d =T.(d)=d
Bài 2 Tìm ảnh của đường trịn (O: R) qua phép tịnh tiến theo véc tơ z 0 Giải
*Tacé: O =7.(0)>00 =u
Lấy M e(O; R) thì =T; (M) và MM =u
Suy ra: OO = MM > OM =OM = OM' =OAM/ = R nên M thuộc đường trịn (O; R)
Trang 8* [Lay N e(O: R) và gọi Ne(O: R) sao cho NN ‘1/00 vaNN = OO thì tứ
giác: OONN là hình bình hanh nén VV =O00 ==> = T.(N)
Vậyy ảnh của đường tron (O: R) qua phép tịnh tiền 7 là đường trịn (O:R) sao cho: OO =u
Nhiậm xét 1: Phép tịnh tiến 7 với véc tơ w #0:
I Nếu đường thăng d khơng cùng phương với véc tơ w thì anh của đường
thăng d là đường thăng d song song với đường thăng d
2 Nếu đường thăng d cùng phương với véc tơ z thì ảnh của đường thăng d lả
đườyng thăng d `
3 Anh của đường trịn (O; R) là đường trịn (O: R) : hai đường trịn này băng nha va OO =u
Damg 2 Xac dinh phép tinh tién 7
Pthurong phap: | Xác định phép biến hình F
2 Ƒ biên điểm cơ dịnh A > A :M (bât kì) —> MW
3L EM =AÍM m1 =T mm
Bài 3 Cho phép biến hình biến điểm A (cĩ định) và điểm M (bất kì) thành A và A7
Chitmg minh phép biến hình trên là phép tịnh tiến khi và chỉ khi 4A7 = 4A7
Giải M >M
* Xcét phép tinh tiến 7 với véc tơ ø z0 z / [An A= AA =n aAi_— 5A
[Afi M > MM =1 > 4A =MM = 4M = AM
* Mộột: a biến hình biến dim A> A, M > M thoa man 4M = AM Susy ra =MM DoAcé dinh nén AA =u cố định Vậy một phép biến hình ssn điểm M -> A/ và MAC =u nén phép biến hình đĩ là một phép tịnh tiên
Bàii 4 Cho hai đường thăng song song a và a Tìm tất cả các phép tịnh tiễn
biém a thanh a 4
Giai i
Gọii d là đường thăng bat kì, khơng song song với a và cất a, tt
Trang 9
Suyra:a =T, (a) Vậy, phép tinh tiến T7, với wu= 4A biến đường thăng «a
thành a
Dạng 3 Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) bằng phép tịnh tiến 1, Phương pháp: 1 Xác định phép tịnh tiền 7, biến điểm M — 4
Nw Tìm quỷ tích điểm M ;
Từ quỹ tích của điêm M, dựa vào tính chất của phép tỉmhh
tiễn đề suy ra quỹ tích của điểm Xí
we
Bài 5 Trên đường trịn (O) cho hai điêm cơ địnhA B va mot diém M thay dddi
Tim quy tich diém M sao cho MM +MA = MB
Giải
Gọi O, R lần lượt là tâm, bán kính của đuơng trịn (O)
Ta cĩ: MM + A44 = MB @ MAI = MB- MA = AB
Xét phép tịnh tiến 7, :M > A
Điểm M chạy trên đường trịn (O) thi điểm A⁄ vạch đường trịn (O R) là i anh của (O) qua phép tịnh tiến 7,„
* Vẽ đường trịn (O R): Vẽ tâm O sao cho OO = =AB
Đường trịn (O RỶ cĩ tâm O và bán kính R
Quỹ tích điềm M là đường trịn (O.R)
Bài 6 Cho tam giác ABC cĩ định cĩ trục tâm H Vẽ hình thoi BCDE từ D) vvà E
vẽ các đường thăng vuơng gĩc với AB và AC Các đường thăng này cắt nnhau
tại điểm M Tìm quỹ tích cua điệm M
Giải Tứ giác BCDE là hình thoi nên BC = CD
BC/ED H là trực tâm cua AABC nén
BH L AC, ME 4 AC
=> BH // ME Suy ra: 11BC = MED
(Gĩc cĩ cạnh tương ứng song song)
Tương tự: HC // DM và BC//ED
=> HCB = MDE
Suy ra: AHBC = AMDE (gĩc -cạnh -gĩc) => CH =DM=> Ti: D>M’ Ta cĩ: BC = CD nên điểm D chạy trên đường trịn (C) tâm C bán kính: R
=BC, suy ra diém M thuộc đười z trịn (H), tảm H bán kinh R =BC là amh ì của
đường trịn (C) qua phép tịnh tiền TA
Trang 10
Bài ¡ 7 Cho tam giá: ABC cĩ A -=90” Từ điểm P
thay y đồi trên cạnh huyền BC của AABC vẽ các
- đườơng vuơng gĩc PR PQ với các cạnh gĩc
vuờng AB, AC (R<AB QeAC) Tìm quỹ tíc
trunag điểm M của doạn thang RQ
Giải 4
DDựng hình chữ nhật ABSQ Ta cĩ: PRLAB PQLAC và RALAQ => ARPQ
làà hình chữ nhật suy ra RBSP cũng là hình chữ nhật Gọi N là trung điểm
ceanh BP thi MN//SQ va MN=2 SQ => MN//BA va MN=+ BA
pda u= 5 Bi= NM =ứ Phép tịnh tiến 7: —> A7 Khi P= C thiN =D
laa trung điểm cạnh BC nên khi P thay đổi trên cạnh huyền BC thì N cũng thhay đơi trên đoạn thăng BD thuộc cạnh huyền BC
T:B->B, và T:D->N, thì Bị và Nị là trung điểm cạnh AB, AC
SSuy ra quỹ tích của điểm M là doan thang BiN,
Dạnng 4 Áp dụng phép tịnh tiến 7, vào dựng hình
PPhương pháp: -
1 QQuy bài tốn dựng hình về bài tơán dựng điểm M nào đĩ phụ thuộc vào hai ddicu
kkiện độc lập (œ) và (B)
2 XXác dịnh phép tịnh tiến đẻ tìm điều kiện (œ) gọi là /7„ và điều kiện (B) gọi là H, 3 Diem MEH, OH,
Baii 8 Cho doan thang AB co dinh va hai đường thang căt nhau d và d Tìm
ddiêm M cd và điểm M ed sao cho tứ giác ABMM là hình bình hành
Giải
Phaan tích: Giả sử dựng dược điểm M ed,M ed d a a
thỏoa mãn tứ giác ABMM là hinh bình hành nên
MM =4B=>T,,:M—3M %
Meed >M ea, a là ảnh của d qua phép tịnh tiền đụ A B
Maat khac M ed nén M=and
Khhi dd 7,,:M > M
Caach dung: - - ;
~- Dựng đường thăng a là ảnh của đường thăng d qua phép tịnh tiền 7),
Trang 11~ Dựng điểm M là ảnh của M” qua phép tịnh tiến 7”,
Chứng minh: Ta cĩ dường thăng d cắt đường thắng d nên đường thẳng: a cắt
đường thăng đ và A/ 1/ = Ø⁄4 và khoảng cách giữa hai đường thing d va a băng AB nên Med
Biện luận: Theo cách dựng bài tốn luơn cĩ một nghiệm hình
Bài 9 Dựng một tứ giác lơi ABCD biết các cạnh AB= a, BC = b, CD = c AD =d và gĩc giữa AD và BC bằng «a Giai sai A B
Phân tích: Giả sử dựng được tứ giác lồi ° ABCD thoả mần yêu cầu bài tốn Khi
đĩ xét phép tinh tien \
l,i D>E=> BE=AD=d va EBC =a C Ta cĩ BC = b nên ABEC dựng dược suy ra ADEC dựng được Từ đĩ., A là
giao của hai đường trịn (D R=d) và (B.r=a)
Cách dựng:
~ Dung ABEC khi biết BC = b BE = d và gĩc xen giữa £8C = ø
~ Dựng ADEC khi biết ba canh DE = a CD = ¢ va EC = Vd? +b?-2bdeos
~ Dựng đường trịn (D R=d) cĩ tam D và bán kính R = d ~ Dựng dường trịn (B r = a) cĩ tâm B và bán kinh r=a, - ~ Điểm A là giao của hai dường tron (D, R=d) và (B, r = a)
Chứng minh: Theo cách dựng tử giác lỏi ABCD cĩ các cạnh AB= a, BC == b CD = c, AD =d và gĩc giữa AD và BC bằng d
Biện luận:
* Khi |DC - DE|< EC < DC + DE @|a-c|< Vd? +h” -2bdeosa S a+tc(])
và hai đường trịn (D R=d) và (B r = a) cắt nhau thì bài tốn co mét nghiém
hình
(vì tứ giác ABCD lồi nên chỉ chon mot giao điểm là dink: A)
* Khi diéu kiện (1) khơng thoa mãn hoặc hai đường trịn (D, R=d) và (1B r =
a) khơng cắt nhau thì bài tốn vơ nghiệm
Dạng 5 Chứng minh hai hình bằng nhau; tính độ dài đoạn thắng, điộ lớn
gĩc
Phương pháp:
1 Xác định phép tịnh tiền 7
2 Áp dụng tính chất của phép tịnh tiền Ty: M —> M = MM = XY |
~ Biến đoạn thăng thành đoạn thăng bằng nĩ; gĩc thành gĩc bằng nĩ;
~ Biến tam giác thành tam giác bằng nĩ; đường trịn thành đường tron: bing
nĩ
Trang 12
3 Ap dụng các hệ thức lượng trong tạm giác,
Bài Ø Cho tứ giác AbCD cĩ AB — 6/3em,CD - 12em, 4=60%, B=150°,
D= 90" Tinh dé dai cae eanh BC va AD
Giải
Xét phép tịnh tiền /„ - 1> /=;AM= BC 4 Suy ra: Tứ giác ABCM fa bình bình hành
=> ABC + BAM =180"
=> BAM =180° - ABC =180° -150" 230°
BCM = BAM = 30" va MC = AB = 6V3
Trcng tứ giác ABCD tì g
3600 ~(Ä+B+Ư) = 360 —(60° + 150 +90") = 60°
Suy ra: ACD=C- CA =60°~30°=30”, Ấp đụng định lí eosin trong
ADMC:
MD? = MC? + DC = 2AC.ĐC cos30” = 36 => MD = 6
Mat khac: MD? + MC’ = 36+108 =144 va CD? =144
=> CD) =MCP+ MY
Suy tra: ADMC vuong tai M nen MDC = 60° va MDA = D- MDC = 30°,
DAM =~ BAM = 30" Suy ra: AMAD can tai M BC = MA = MD = 6cm
Áp dụng định lí cosin trong XADM:
AD? = AM? + MD? - 2414) \1DeosAMD
= 36 +36—72c0s120° = 108 >> AD = 6V3 em
Bail 0 Cho tam giác ABC Gọi A l3, C¡ lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC AC, AB va 1), ly 13:01 Oo, O; laa lượt là tâm các đường trịn ngoại tiếp nội tiếp cac AAC, B,, ACA,B;, ABC, Ay Ching minh AO,0,0; =A tbh
Giai
Xét pheptinhtién 7 OO), > BIB A, A
Suy ra: 7 :AAC,B, -» AC, BA, > AAC B= AC, BA, J
a 1
Suy ra: T, :0, > O,: 1, 9 1,2 O10, 24,1, of "se
Suy ra: 0,0; = |}; (i) O; Or
B Ai
Xét phép tịnh tiến 7„:.4-> B,: BC; — 4
> Ty AIBC, > ABCA, > AIBC, = ABCA,
Trang 13
=> Tg 10, 0,31, +1, > 00; =lJ,=OO, =ll, (2)
Xét phép tịnh tiến 7 :C-—> 4:4 >8: B,>C¿= T :ACAB, —> A4, BC CÁ
= ACA,B, = AA,BC, va T, , :O0, > 0,; 1, > 1, > 0,0, = 1,1, > 0,0, = 1,1,
(3)
Tir (1) (2) va (3) ta c6: A 0,020; = A I\I2 1; (canh - canh - canh)
Dạng 6 Tích của các phép tịnh tiến ;
Phwong phap: Ap dung tich cua cac phép bién hinh:
M f > 8 af
&S /
Bài 11 Cho hai phép tịnh tiến T theo véc to u va T, theo véc to v Voii điểm bất kì M 7, biến M thành M va 7; biến M thành M’ Ching t6 rang; phép
biến hình biên điểm M thành điểm MỈ là phép tịnh tiến
Giải
7: — AI = MM =u và T:M ->MÌ=MM =v
Taco: MM =MM +MM =u+v suyra: 7.7, =7, :M>A/ là một
phép tịnh tiền theo véc to a=u+v
Dạng 7 Biếu thức giải tích của phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuơng gĩc Oxy cho =(ø;ð) với z0 và
diém M(x ; y) Xét phép tịnh tiến 7; : A —> M'(x:y) thì MM =u —— ‘ ‘ =x+
Ta co: MM =(x —x‡y -y) Suy ra: b * , (1) Gọi cơng thức (1) là y=y+?
biểu thức giải tích của phép tịnh tiến 7
Bai 12 Trong mặt phằng với hệ tọa độ vuơng gĩc Oxy cho đường thăng
đ: 2x— y+]=0 và hai điểm A(I ; - 2), B(Š ; 1) Xác định phương trình đường thang d la anh cua đường thẳng d qua phép tịnh tiến Pigs
Giai
a Se ~ yd eer : ok x=x+4
Tacĩ: 4B =(4:3) và biêu thức giải tích của phép tịnh tiền Ty { 3 yed
12
Trang 14L.ay bat ki diém M(x ; y) ed thi 2x- y+1=0 (*)
Ty M(xsy) > M (xiy)>T,,:d>d va M ed
Tu Ù Màu ={* - sẻ Thay vào (*) ta cĩ: 2x —y —4=0
y=yt3 y=y-3
P*huong trình của đường thang d la: 2x- y—4=0
Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuơng gĩc Oxy cho u= (2:3) và đường tron (C): x° +(y-l) =4 Xac dinh phuong trinh cia duong tron (C)) la anh
ciủa đường trịn (C) qua phép tịnh tiến T Giai
y=y+3
T;: M(x; y) (C)—> M(x;y)e(Œ)=> T(C)>(C)
Thay vào phương trình của (C), ta cĩ: (x =2)” +(y -4)” =4
Phương trình của đường trịn (C)) là: (x-2)”+(y-4)° =4
Cách 2: Tâm và bán kính của dường trịn (C) là I(0: 1), R=4 - -
Goi I, la anh cua I qua phép tinh tién T thi 1\(2 ; 4) Phép tinh tiên 7 bién đường trịn (C) thành đường trịn (C¡) và bằng nĩ nên phương trình của
đường trịn (C¡) là: (x—2)”+(y-4)” =4
x=x+2 pan
-©
y=y -3
Cách I: Biểu thức giải tích của phép tịnh tiến 7: |
BAI TAP
Bai 1 Trong mat phang P cho tam giác ABC Chứng minh rằng tích của các phép tịnh tiền: TT yj Ty = id voi id: P > P
Mw id(M)=M
Bài 2 Cho đường trịn cĩ định (O, R) và một dây cung cĩ định AB M là điểm
đi động trên đường trịn (O, R) Tìm quỳ tích trực tâm H của tam giác MAB
Bài 3 Cho tam giác ABC nội tiếp dường trịn cố đình tâm O bán kính R H là trực tâm tam giác Các đình B và C cơ định, định A di động trên đường trịn
D là điểm đối xứng với A qua tâm O và ï là trung điểm của BC a) Tứ giác BHCD là hình gì? b) Tìm quỳ tích điềm H
Bài 4 Cho tam giác ABC Tìm điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh AC
sao cho MN// BC va AM = CN
Bai 5 Cho hình vuơng ABCD cĩ tâm O, cĩ cạnh bang a Tìm điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh CD sao cho OM + MN + NB ngắn nhất Biết rằng
MN//BCAM = CN Tính độ dài ngắn nhất đĩ theo a
Trang 15Bài 7 Cho đường trịn (O) với đường kính AB cĩ định, một đường kimh MN
thay đổi Các đường thăng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q
Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ va NPQ
Bài 8 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tron (O, R), AD = R Dung các hình bình hành DABM, DACN Chứng minh rằng tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác DMN nằm trên đường trịn (O, R)
Bài 9 Cho hình thang ABCD cĩ các đường chéo AC = a, BD = b, cạnh đáy CD =
c và gĩc giữa AC và BD băng a Tính cạnh đáy AB
Bài 10 Cho tứ giác ABCD khơng phải là hình thang Gọi M,N là trung điểm
của AB và CD Đường thắng MN tạo với AD, BC những gĩc bằng nhau
Chứng minh AD = BC
Bai 11 Trong mặt phăng với hệ Mr độ vuơng gĩc Oxy cho điểm A(-3 ; 3) B(I
; 3) va dung tron (C) tam 1(3 ; 1), ban kinh R = 1 Đường thang d:x-ty-Ï
=0 Tìm trên đ một điểm M vatrén (C) diém M sao cho MAf = AB
Bài 12 Trong mặt phăng với hệ tọa độ vuơng gĩc Oxy cho điểm A(-3;3),
B(-1; 6) ;
a) Tim toạ độ điểm M 1a anh ciia diém M(4 ; -5) qua phép tinh tién 7,
b) Xác định phương trình tổng quát của đường thẳng d; là ảnh của đường
thẳng a: J TT 4+# ăng d: B v.-71+2` phép tl qua phép tịnh tiên 7 hép tịnh tiến 7 an
+) Xác định phương trình của đường trịn (C¡) là ảnh của đường tron
(C): x+y? —4x+8y—5=0 qua phép tỉnh tiến T x
§2 PHEP DOI XUNG TRUC
A KIEN THUC CO BAN
1 Dinh | nghia: Phép đỗi xứng qua một đường thắng là một phép biể:n tình | biến mỗi điểm M thành diém M? doi xứng với M qua đường thang do
Kí hiệu: Ð, (Đường thăng a gọi là trục dĩi xửng)
Phép đối xứng trục Dạ: M -> M'
* Nếu Mea thì M' =M và gọi M là điểm kép
* Nếu Ma thì a là trung trực đoạn thăng MM’ M
2 Dinh lí: Phép đối xứng trục là một phép dời hình
* Phép đối xứng trục biến ba điểm thăng hàng thành ba điểm thang: hing,
dường thăng thành đường thẳng, tỉa thành tia, doan thăng thành đoạn! thẳng |
bằng nĩ, tam giác thành tam giác bằng nĩ, dường trịn thành đường trịn
bằng nĩ, gĩc thành gĩc bằng nĩ
* Đường thăng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép dốii ›ứng |
Trang 16B CÁC DẠNG TỐN
Dang 1 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất
Phương pháp: | Xác dịnh phép đổi xứng trục Ðạ:M ->MẺ,
2 ¥ lea thiIM=IM
3 Áp dụng bất đăng thức: Với ba điểm bất kì A, B, C ta cĩ AB+BC2AC
Bài 1 Cho đường thang a va hai diém A va B nam cùng phía đối với a Tìm
trên đường thang a diém M sao cho MA + MB ngắn nhất
Giải
Xét phép đối xứng trục Ð;; A ->A"
V Mea thi MA =MA°*
MA + MB =MA'+MB > AB
A
Đề MA + MB ngắn nhất thì chọn M sao cho ba diém A M B thang hàng Vậy M là giao điểm của hai đường thăng a và AB
Bài 2 Cho gĩc nhọn xOy và một diém A nam trong sĩc đĩ Qua A dựng đường thẳng d cắt Ox tai P va cắt Oy tai Q sao cho A 1a trung điểm của PQ
a) Chứng minh rằng tam giác OPQ cĩ diện tích lớn nhất
b) Xác dịnh điểm B trên Ox và € trên Oy sao cho tam giác ABC cĩ chư ví I:hỏ nhât
Giải ý
a) Gọi H đối xứng voi O qua A Qua H kẻ MK
đường thăng song song với Ox, cất Ưy /
tại Q và đường thăng song song với a oie ~ af x
Oy, cat Ox tai P thi tr gidc OPHQ AC — Ae hinh binh hanh nén A là trung điểm của R \ PQ
Vẽ một đường thing bat ki qua A cat Ox, Ov, HQ HP lan lượt tai M N L
K
Ta co: dAOMN + dtAHILK > dt OPHQ => 2dtAOMN > 2dtAOPQ
= dtAOMN > dtAOPQ Vay dién tich tam giác OPQ nhỏ nhat b) Gọi Ai, A¿ lân lượt là doi xứng của
diém A qua Oy, Ox Goi B, C lan lượt là giao điểm của đường thăng AIAs với Ơx, Oy Ta cĩ chu vi tam giác ABC là:
AB +BC + ÁC =BAa+ Bc +CA¡= AIAa
Lấy bất kì C¡ eOy, Bị eOx
ta cĩ chu vi tam giác AB¡C) là:
AB, + B,C, + AC; =B;A2+ByC; + CyA; = AyAd
Trang 17Suy ra, chu vỉ tam giác ABC nhỏ nhất
Bài 3 Trong tất cả các tam giác cĩ cùng diện tích và cĩ chung một cạnh Chứng minh rằng tam giác cân cĩ chu vi nhỏ nhất
Giải
Gọi BC = b là cạnh chung của các tam giác ABC Gọi diện tích của
tam giác là S thì đỉnh A năm trên đường thẳng a, song song với BC
28 C va cách BC một khoảng h = + Xét phép đối xứng Ð,: C — C phép ig a MƯA _ Ta cĩ: AB + AC = AB + AC >BC
Tam giác ABC cĩ chu vi nhỏ nhật khi AB + AC nhỏ nhất Suy ra A =M là giao điểm của hai
đường thing BC và a Suy ra: MB = MC nên B C
tam giác BMC cân tại M
Bài 4 Cho tam giác ABC Gọi d là đường phân giác ngồi tại đỉnh A của tam
giác ABC và M là một điểm bất kì thuộc d Chứng minh tam giác M'BC cĩ
chu vi khơng nhỏ hơn chu vi tam giác ABC
Giải - Cc
Xét phép đối xứng Đụ: C -> C và d lả phân giác ngồi gĩc A
nên A năm giữa hai điểm B và C
Vv Med thi MC = MC’
và MC +MB =MC + MB > BC BC =BA + AC = AB + AC
Suy ra: MB +MC +BC > AB + AC +BC Vậy, chu vi tam giác ABC nhỏ nhất
Dạng 2 Tìm quỹ tích (Tập hợp điểm) bằng phép đối xứng Ð,
Phương pháp: + Xác định phép đối xứng Ð, biến diem M > M
2 Tìm quỹ tích điểm M
3 Từ quỹ tích của điểm M, dựa vào tính chất của phép đối xứng
dé suy ra quy tich cua diém M’
Bai 5 Cho đường trịn (O, R) và hai điểm A, B thuộc đường trịn Đường tron (I, r)
tiếp xúc ngồi với đường trịn (O, R) tại A Một điểm M di động trên đườmg trịn
(O, R), tia MA cat đường trịn Œ r) tại điểm thứ hai C Qua C vẽ đường; thăng
song song với AB cắt đường thẳng MB tại D Tìm quỹ tích của điểm D Giải
Gọi E là giao điểm của CD với đường trịn (I, r) Vẽ tiếp tuyến chung c:ủa (O,
Trang 18Ta co: ABM =xAM CEA= LẠC và x4M =IÁC
4BM = EDB (do CD // AB)
=> CEA = EDB nén tir giac ABDE la hinh thang cân Gọi d là dường trung trực đoan thang AB thì d cũng là đường trung trưc
đoạn thăng ED -
Phép đơi xứng Đụ: E —> D E Khi M di dong trén đường trịn (O R) thì E di
động trên đường trịn ([ r) nên quỷ tịch của
điểm D là đường trịn (` r) ảnh của dường trịn (I r) qua phép đối xửng Dy Do đường „
trịn (I, r) tiếp xúc với đường trịn (O R) tại
A nên đường trịn
(I’, r) tiếp xúc với đường trịn (O R) tại B 'Bài 6 Cho đường trịn (O) cĩ dây cung BC cĩ
định và điềm A di động trên đường trịn (O)
Tim quỳ tích trực tâm H cua tam giác ABC
* Giải
Tacĩ: /⁄4C =CBH (Gĩc cĩ cạnh tương ứng vuơng gĩc)
HAC = KBC' (Cùng chắn cũng KC)
Suy ra: CBH = CBK nén BC là phân giac gĩc KBH Mặt khác: AI 1 BC, suy ra: ABHK can tai B> HI = IK
Xét phép đối xửng trục BC là Đục: K — H
Khi A chạy trên đường trịn (O) thì K cũng chạy trên đường trịn (O)
Nên quỳ tích cua điểm H là đương trịn (O), anh của đường trịn (O) qua
phép đơi xứng trục BC Dạng 3 Áp dụng phép đĩi xửng trục vao dựng hình Phương pháp:
1 Quy bài tốn dựng hình vẻ bai tồn dựng điểm M nào đĩ phụ thuộc vao hai
điều kiện độc lặp (œ) và (B)
2 Xic định phép đơi xứng trục tìm điều kiên (ở) (B) gọi là Hệ Hạ
3 Dém M la giao cua H, va Hạ:
Bài 7 Cho hai đường trịn (O), nh và đường thang d Tim trén d mét diém P sao
cho tiếp tuyến về tir P dén (O), (O;) tạo thành một gĩc nhận d làm đường, phân giác
Giải
Trang 19Phân tích: Giả sử dựng được điểm Ped sao cho d là phân giác của các tiếp tuyến PT, PT, voi dudng tron (O), (Oi) Suy ra PT và PT¡ đối xứng với hau
qua đường thăng d
Phép đối xứng trục d là Ðạ: (O) > (O) nên PT: cũng là tiếp tuyến của (O)
Cách dựng:
~ Dựng đường trịn (O) đối xứng với đường trịn (O) qua đường thẳng di ~ Dựng tiếp tuyến chung TT, cia hai đường trịn (O) va (O))
~ Dựng điểm P là giao của hai đường thẳng TT; và d
Chứng minh: Theo cách dựng thì tiếp tuyến với đường trịn (O) là PT đi
xứng tiếp tuyến chung TT; qua đường thẳng d nên d là phân giác gĩc 7 FPT 1 Biện luận: Số điểm P dựng được
phụ thuộc vào số tiếp tuyên chung a của hai đường trịn (O) và (O¡} Do vậy
số điểm P là 1, 2, 3 hoặc 4
Bài 8 Dựng tam giác ABC,
biết AB =c, AC = b và
?-Ê =a (œ là gĩc đã cho)`
Giải
Phân tích:
Giả sử tam giác ABC dựng được thoả
mãn điều kiện bài tốn
Ta cĩ: AB =c, AC =b và 8~Ê=ø n
Gọi A là đường trung trực cạnh BC, xét phép đơi xứng trục
D.:BC.A-A thì AC= AB va AABC = AACB A
= ABA = ABC - ABC = ABC- ACB = B-C =a _
Cách dựng: B F C
~ Dựng tam giác ABA khi biết AB = c, AB =b, ABA =a thi dung dutge
~ Dựng đường trung trực A của canh AA
~ Dựng điểm C đối xứng với điểm B qua A, tam giác ABC dựng được
Chứng minh: Theo cách dựng ta cĩ AB =c, AC =AB=b và
B-C = ABC - ACB = ABC - ABC = ABA =a
Biện luận:
*Nếu 02<œ< 180° thi dựng được một tam giác ABA' nên dựng đượợc một tam giác ABC, bài tốn cĩ một nghiệm hình duy nhất
* Nếu œ > 180” thi khơng dựng được tam giác ABA nên khơng dựngg được tam ABC Bài tốn vơ nghiệm
Trang 20
Dạng 4 Áp dụng phép đối xứng trục vào chứng minh
Phương pháp
) Xác định phép dơi xứng trục
2 Tính chất của \ phép doi xứng trục biến một hình thành hình bằng nĩ
Ba 9, c ho géc xOy trén tia Ox lay hai điểm A B và trên tia Oy lay hai diém
B sao cho OA = OA OB'= OB Ching minh giao diém cla AB va BA nằm trên tia phân giác của gĩc xĨy
Giải
Gọi Oz là tia phân giác của gĩc xĨy
Taco OA = OA, OB = OB
Suy ra: Do,; A> A BB >Do,: AB > AB
Goi | 1a giao điểm của hai đường thăng AB và AB
€
Thì I là điểm kép của phép đổi xứng trục Oz nên I thuộc Oz
Bài 10 Cho tam giác ABC I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác và P là điểm nam trong tam giác Goi A B, € là các điểm đối xứng với P qua các đường thang AI, BI, CI Chứng minh rằng các đường thăng AA, BB, CC đồng quy
Giải
Gọi Ai Bị C¡ là các điểm đĩi xứng với điểm P qua các =
đường thăng BC, AC AB -Z -
Dat PAB=a va PAl=B 2/11 ewes Re
A \ doi xurig voi P Pqua Alnén PAI = HA
GA ¡4-1 =C) “AP+ PAA =2PAB+ PA ee
BAA AA = BAC +CAd 44 = CAP 4C, 1A
Suy ra: GAA = B,Ad va AC, = AB,
Nén C, va Bị đổi xứng qua đường thăng AA A
Suy ra AA là đường trung trực của doan thang B,C
Tương tự, ta cũng chứng minh được BB, CC lan lượt là đường trung trực
của các đoạn thăng C¡A¡ A¡B¿ Suy ra: AA, BB CC là các đường trung trực của A A¡B¡C¡ nên chúng đồng quy tại điểm I la tam đường trịn ngoại
tiếp AAIBIGi
Bài 11 Cho một elip (E) với hai tiêu diém Fy, Fo
Gọi M là điểm bất kì nằm trên elip nhưng
Trang 21khơng nằm trên đường thăng F¡ F; Chứng minh rang phân giác ngồi của tam giác MFF› tại đỉnh M cắt elip tại một điểm duy nhất (Gọi
phân giác ngồi đĩ là tiếp tuyến của clip tại
điểm M) Giải
Gọi d là phân giác ngồi của AMF+ F› ie
đỉnh M va M e (E) nên MF, + MF; = 2a Phép đối xứng trục Đụ: F; —> P suy ra: M năm giữa hai điểm P và F¡ và MF; = MP
VNecd.tacĩ NF¡ +NF; =NF: + NP >F¡P
Mặt khác: F¡P = FIM + MP = MF, + MF> = 2a
Suy ra: NF, + NF) > 2a Dau bang xảy ra khi N= M Vậy, phân giác ngồi
của tam giác MF: F; tai đỉnh M cắt elip tại một điểm duy nhất M
Dạng 5 Tích của các phép đối xứng trục Phương pháp: f 8 xa Ằ M af Z
Bài 12 a) Chứng minh rằng tích của hai phép đĩi xứng trục, cĩ trục song song là một phép tịnh tiến
b) Chứng minh rằng tích của ba phép đối xứng trục, cĩ trục song song là một
phép đối xứng trục
c) Chứng minh rang tích của phép đối xứng trục D, voi phép tịnh tiếm 7 cĩ
đường thăng chứa véc tơ » vuơng gĩc với trục a là một phép đĩi xứng trục
Giai b
a) Xét hai phép đơi xứng truc D,, Dp vai a // b
Gia si: M—»>M,—*>M,
MM, = MM, +M,M, M =2IM, +2M,J = 2(IM, +M,J) =2U
Suy ra: D,o D, =T,,,: M—> M2
b) Xét ba phép đối xứng trục Dạ, Dụ, D, với a//b//c
Gia st: M—*»>M,—*>M,—“>M,
Taco: IM+IM,=0 ; -M,M, =2JM,;M,M, =2M,K
Gọi H là trung điểm của MM; thì HM +HM, =0
Trang 22© 2HI+2JM, +2M,K =0
© H/ +JK =Ũ© II =.JK
SUY ra: De I>H>T, :az=>A với A//a
Vay, D.oD,°D,=D, voidl/al/bi/c lv»
c)* Giả sử A/—“~>Af,——>M,
Taco: IM+IM,=0: M\M, =v Mẹ „_l} x eM oM2
Gọi H là trung điểm của MM:thì 77M + HA, =0
© HI+1M + HI +IA1, =0 © 2HI + IM, — 1M, =0
© 2HÏ+M,M, = Hi+\ =) T=
Suyra: 7, 112 H>T, sam ADT oD, =D,
* Gia sử Aƒ——>Äl,——>Á, ?
Taco: IM, +/M,=0 : MM, =
Gọi H là trung điểm cia MM; thi HM + HM, =0
© HI+IM+HI+IM, =0< 2HI+1M,-IM,=0 @ 2HIi+Mf,M, =0
Me—— sey M2
= iti =-1¥ Suy ra 7, :J > HST,:aosA=D T=D
Í Dạng 6 Biểu thức giải tích của phép đối xứng trục
[rong mặt phăng với hệ toa độ vuơng gĩc Oxy cho đương thăng d: Ax + By +C =
0
voi A? +B’ #0 va mot diém M(x y) Goi M (x y) doi xưng với M qua phép
đơi xứng trục d Tìm biếu thúc liên hệ x y và x`, V`
Tacé MM -(x =x:y' =') củng phương với n=( 1:B) |
' | fy =x Ae " ¥ d => voiteR y=uy+Be
| Goi 1 1a trung điểm của MM thì (2 vn
Trang 23
thi led nén
fee Joa( 2% ecm 02 aeexea)e alt y+ BI) +26 =0
“ 2(Ax+ By+C
o2 (A248) =-2(de+ By +c) eo 12-2 BF) 2A(Ax+ By+C)
x=x—T#n
Vậy, . _ 2B(Ax+ By+C) ate ay
a= A+B
Gọi (1) là biểu thức giải tích của phép đối xứng trực d
Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuơng gĩc Oxy cho đường thẳng d:
2x-y-3=0
a) Viết biểu thức giải tích của phép đối xứng trục Đạ
b) Tìm ảnh điểm M của điểm M (4; - 1) qua phép đối xứng trục Dg
c) Viết phương trình đường thẳng A là ảnh của đường thẳng A: x -3y +l1 =0 qua phép đơi xứng trục Đụ
d) Viết phương trình đường trịn (C) là ảnh của đường trịn (C)
x?+yŸ ~ 10x - 4y + 27 = 0 qua phép đối xứng trục Đạ
Giải
a) Biểu thức giải tích của phép đối xứng trục Da:
4(2x- y-3) 3 l
x=x- =-=x+—y+—
5
2(2x- y-3) ' 3
= =—x+>y-2
y=y+ TC Pes ays
b) Toa dé diém M 1a anh cia M qua Dy la (-: iz}
c) Lay M(x ;y) A—?~>M (x sy)ed, ta cd:
3.4 2 3.4.12
xX= x+-y+— 58 5 ay X=-=x+—y+— 5°75 3 Œ®)
'=—x+T—y-— 5.5" s TH =—x+—y-—- HH
Ta cĩ MeA nên x-3y +11=0 (* *), Thay (*) vào (* *), ta cĩ 3x + y -17=0
Phương trình đường thẳng A là: 3x + y - 17 = 0
Trang 24d) Phương trình của đường trịn (C): (x - sy +(y- 2} =2 cĩtâm[I(5; 2) và
bán kính R = 2 Ta cĩ: Ðạ: Ï —> Ï nên Ï “1; 4), suy ra: Ðạ: (C) —> (C), (C)
cĩ tâm Ï và bán kính R= V2
Ph:ưương trình đường trịn (C)) là: (x - DĐ +(y-4)°=2
Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuơng gĩc Oxy, một phép biến hình f
biến M(x ; y)—> M(x ; y) cĩ biểu thức giải tích:
gol 2127 ay
M3_ 1
ÿ=—x-~y 2° 3
a) Tìm tập hợp A các điểm kép của phép bién hinh f
b) Xác định biểu thức giải tích của phép biến hình g bién M(x : : y)> M(x ; y) Cĩ nhận xét gì?
c) Chứng tỏ rằng f là phép đối xứng trục, cĩ trục là đường thẳng A
Giải
a) Goi M(xo ; y)là điểm kép của phép biến hình f thì f:M(xo ; yo) — M(o ; Yo)
thay vào (]), ta cĩ: xạ ~V3y, =0
Tập hợp các điểm kép của f là đường thẳng A cĩ phương trình: x— vBy =0
` b) Phép bién hinh g bién M(x ; y)> M(x; y) ¬ WB 1 5 = 2 y age to Từ => (2) N31, By 1, vey 2 veg” So sánh hai biểu thức (1) và (2) ta cĩ f= g c) fi M(x;y)> M(x ;y) nén MM Wt =(-1s ae 3 -?) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng A là A=(J ÿ 1)
wwÄ=|~3»+ Š | 14L Ÿ»-$y]>0 kể Lá =MM LA
[se Bese
4 ° 4
Goi I ld trung diém cia doan thang MM thì 7 thay
vào phương trình của đường thẳng A, ta cĩ:
Trang 25
4
Vậy f là phép đối xứng trục với trục đổi xứng là đường thằng A
aa 42 ¬— nên Ï <A
4 4
BÀI TẬP
Bài 1 Cho một đường thăng a và hai điểm A B nằm khác phía đối voi a Tim
trên đường thẳng a một điểm M sao cho hiệu các khoảng cách MA MB là
lớn nhất
Bài 2 Cho tứ giác lỗi ABCD cĩ điện tích S và độ dải các cạnh AB = a BC =b,
CD=c và AD=d Chứng minh 5 < 20784
Bài 3 Cho đường trịn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, đi qua điểm cĩ định P và hai đỉnh B C thuộc đường thăng cơ định trực tâm H cơ đinh
a) Tìm quỹ tích tâm Ơ của đường tron (O)
b) Dựng tam giác ABC biết N là trung điểm của cạnh AB /
Bài 4 Cho hai đường trịn (O) (O,) và một đường thăng A Tìm điểm MI thuộc
đường thăng A sao cho các tiếp tuyến kẻ từ M đến hai đường trịn đĩ tạo với
đường thẳng A các gĩc bằng nhau
Bài 5 Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn Dựng tam giác MNP với M.E P la lượt thuộc các cạnh BC AC và AB sao cho chu vi tam giác MNP nho int ˆ
Bài 6 Cho đường trịn (O) ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm crủa tam
giác Gọi (O¡) (O›) (O;) là các đường trịn tam O}) 02, O3 đối xứng với
đường trịn (Ở) qua các cạnh của tam giác ABC Chứng minh các đường trịn (Oj), (Oz) (Ox) di qua H va AABC = A 0,003
Bai 7 Cho tam vide ABC co AB = AC ndi ticp dung tron (O) Goi 1 là tâm
đường trịn nội tiếp tam giác ABC Các đường tháng Cl Bl cất đường trịn (O) ian luot tai M N Tur giac AMIN '+ hình gi? Tại sao?
Bài 8 Cho hypebol (HH) với hai tiêu điểm F¡, F› Gọi M là điểm năm trêr (H)
nhưng khơng năm trẻn đường tháng Eịl và đ là phần giác trong cua tam
giác MI¡Fa tại M Chứng minh răng đương thăng d chi cat (H) tại điềm duy nhất M
Bài 9 Cho tam giác ABC, dường cao AH (HeBC) Gọi D, E lần lượt l¿ các điểm đối xứng với H qua,AB, AC Đường thắng DE cắt AB, AC lần llưt tại M.N Chứng minh AH là đường phân giác của gĩc MHN
Bai 10 Trong mat phăng với hệ tọa độ vuơng gĩc Oxy, cho điểm M35),
đường thẳng d: 3x + 2y - 6 = 0 và đường trịn (C): xÌ + y°~2x + 4y —4= 0 Tìm ảnh của M, đường thăng đ và đường trịn (C) qua phép đối xứng trục A
a) A là trục hồnh b) A là trục tung
c) A là đường thẳng x - y + I = 0
Trang 26dị: x-§5y+7=0và dạ: 5x- y- 13=0
Tìm phép đối xứng trục biến đường thăng d,thành đường thẳng d; ˆ
Bài 12 Trong mặt phăng với hệ tọa độ vuơng gĩc Oxy Một phép biên hình
f' M(x; y)~> Mx ; y) cĩ biểu thức giải tích: (V2
x=-——x†+— 3 3 v5 +—y ye x 3 wir
a) Tim tap hợp A các điểm kép của phép biến hình f
b) Xác định biểu thức giải tích của phép biến hình g biến
M(x :y)—> M(x; y) Cĩ nhận xét gì?
c) Chứng tỏ rằng f là phép đối xứng trục cĩ trục là đường thăng A
§3 PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A KIEN THUC CƠ BẢN
1 Phép quay - -
1 Định nghĩa: Trong mặt phăng cho điểm O cỏ định và một gĩc lượng giác
+ khơng đơi Phép biến hình bién mỗi điểm M thành điểm M` sao cho
#|.OM" = OM và (OM OM'`) = ø được gọi là phép quay tâm O với gĩc quay $2
Kihiệu: Q(O; 9) ;
2 Chiều dương của phép quay Q(O : @) theo chiều dương cua đường trịn
lượng giác Ngược lại là chiều âm và con kì hiệu Q(Ĩ - ø)
@ MO,
oO Ø `
Q(O:@) mM Q(O -@) M
3 Định lí: Phép quay là một phép dời hinh
AM=AM
(O:0): AM->A M ©
oan (4M.AA')=ø
II Phép đối xứng tâm - /
1 Dinh nghia: Phép đơi xứng qua điểm O 1a mot phép quay tim O voi géc
quay 180", ttre 1a bién mỗi điểm M thành điểm M' sao cho
OM +0M =0
Kí hiệu: Do
Trang 27
~ Điểm O gọi là tâm của phép đối xứng -
2 Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là tâm đơi xứng của một hình H nếu phép đối xứng Đo biến hình H thành chính nĩ, tức là Đo(H) = H
B CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1 Xác định phí quay
Phương pháp: I Phép biến hình biến AM thành A`M'"
Ta AM' và(AM,AM')= @
3 Tâm quay O là giao của hai
trong các đường sau: Đường trung trực của AA ; /
đường trung trực của MM' ; đường trịn (IAA) ; Q
duong tron
(IMM’) voi I la giao điểm của hai đường thẳng M
AM, A’M’
Bai 1 Cho hinh vuơng ABCD cĩ các dinh vé theo chiéu B N Cc dương Goi M, N lân lượt là trung điêm của AB, BC
Xác định phép quay bién AM thành NC Giai
Taco: AM=NC va (AM, NC) = 90° Suy ra NC là ảnh của AM qua phép quay tâm O, gĩc quay 90 Tâm O là giao điểm của hai đường trung trực của
AN, CM `
Dạng 2 Tìm ảnh của một hình (H) cho trước qua phép quay Q(O ; @) Phương pháp:
1 Lấy bất kì điểm M e (H)
2 Dựng ảnh M° của M qua phép quay Q(O ; ø) OM = OM? va (OM, OM”) = 3 Dựa vào tính chất của phép quay đề tìm tập hợp các điểm M° Từ đĩ sity >
hinhH
Bài 2 Cho phép quay Q(O ; @) và đường thẳng d khơng đi.qua O
a) Gọi H là hình chiếu của O trên d Dựng ảnh H của H qua phép quay Q(O ;
9) b) Nêu cách dựng đường thăng d là ảnh của đường thăng d phép quay Q(O ; cĩ,
9) c) Cĩ nhận xét gì về gĩc tạo bởi hai đường thăng d ,d trong các trường hợp: +
0< <90° và 90° < <1800
d) Nhận xét gì về hai đường thẳng dd khi ọ = 1802 -
‘ Giải
a) Ta cĩ: Q(O ; ọ): H-> H OH=OH và (OH, OH )= ọ
- Vẽ cung trịn tâm O, bán kính R = OH „ „
~ Trên cung trịn, theo chiêu quay dương lay diém H,
Trang 28
sao cho HOH =ø - Điểm H' dựng được
b) Ta cĩ: OH L đ nên d là tiếp tuyến của đường trịn (O ; R) với bán kính R =OH
Q(O; ø): d— d "=d là tiếp tuyến của đường trịn (O ; R) tại H
- Dựng điểm H' là ảnh của điểm H qua phép quay Q(O; o) ~- Dựng đường thẳng d' vuơng gĩc với OH tại H
c) Gĩc tạo bởi hai đường thắng d và d bằng gĩc ọ hoặc bù với gĩc ọ
* Khi 0< @ <90” thì (d,d)= ọ
* Khi 90° < @ < 180° thi (d,d) = 180° -
d) Khig = 180° thiQ(O;9):H+H > OH+OH =0 = O là trung điểm cia HH nén Q(0;9):d 3d d LHH và di HH d /dvà
cách đường thắng d một khoảng bằng 2OH -
Bài 3 Cho hình vuơng ABCD tâm O Gọi M N lân lượt là trung điểm, của AB,
OA Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O, Bac quay 90°
Giai D
Xét phép quay Q(O ; 90"): A> B, M3 M,
=> Q(O;90:N —>N¡
N là trung điểm của OA thì N¡ là trung điểm củaOB M '
Suy ra: Q(O ; 909): AAMN —> A BMIN¡ :
va AAMN = A BM,N\ B ‘ re
Dang 3 Tìm quỹ tích (Tập hợp điểm) bằng phép quay Q(O ; 9)
Phương pháp: 1 Xác định phép quay biên điểm M thành điểm M’
2 Xác định quỹ tích của điểm M
3 Dựa vào tính chất của phép quay để tìm quỹ tích của điểm
M'
Bài 4 Cho điểm I cơ định Gọi M, M' là hai điểm sao cho tam giác IMM'
vuơng cân tại I
a) Cho điểm M chạy trên một đường trịn (O) Tìm quỹ tích các điểm M"
b) Cho điểm M chạy trên đường thang d Tìm quỹ tích các điểm M' Gọi H là hình chiếu của I xuống MM' Tìm quỹ tích các điểm H
Giải
Ta cĩ: AIMM' vuơng cân tại [ nén IM = IM’
và (IM, IM’) = 90°
Suy ra, M' là ảnh của M qua phép quay tâm I,
gĩc quay 90 Tức là: Q(I ; 90): M -> M"
a) Khi M e(O)
Q(I; 909): O + 0’ = QUI; 90°): (O)—(O”)
Trang 29Vậy, quỹ tích điểm M° là đường trịn
(O), ảnh của đường trịn (O) qua
phép quay Q(I : 90”)
b) Khi M ed ;
Goi J la hinh chiéu vuơng gĩc của | 1é
QU: 90"): J > J
=> QL: 90°): dd và d vuơng
gĩc với lf tại J,d Ld
Med =>M cd Vậy, quỹ tích
điểm M' là đường thăng d đi qua J’ va vuơng gĩc với d - * Tìm quỹ tích điểm H
KẻlHLMM' => MIH =45°
(Do AIMM: vuơng can tại |)
Suy ra: Tứ giác LIMH nĩi tiếp đường trịn, đường kính MI
=> MJH = MiH = 45" (cing chin cung MH)
Tacĩ: A/ =45` (IJ là đường chéo hình vuơng OJHJ) => MJH = MLI
Hai điểm H và J nam cùng phía dối với đường thăng d nên H JJ
Suy ra quỹ tích của điểm H là dường thăng J1 - Bài 5 Cho ba điểm A B C cơ định trên đường trịn (O) va diém M thay: đơi
trên (O) Goi M; đỏi xứng với M qua A, M; đơi xứng voi M, qua B va M;
đơi xứng voi M> qua C Tìm quỹ tích của diém M3
; Giai
Goi D là trung điểm của M va M thi AD Ia duéng trung binh cua AMM, M3
=>AD/MAI, va AD= 7 MM, (1)
Trang 30nên điểm M; chạy trên dường trịn (O”, (O” 1a anh của đường trịn (O) qua
phép đối xứng tâm ID Vậy, quỹ tích các điểm M; là đường tron (O°)
Dạng 4 Áp dụng phép quay vào dựng hình
Phương pháp: ;
1 Quy bài tốn dựng hình về bài tốn dung diém M nao đĩ phụ thuộc vào hai
điều kiện độc lập (œ) và (J) -
2 Xác định phép quay đẻ tìm diều kiện (œ) gọi là 77, và điều kiện (B) gọi là
Hạ
3 Điểm M là giao của /„ và //„
Bài 6 Dựng tam giác đều cĩ ba đỉnh nằm trên ba đường thăng song song cho trước
Giai a Phân tích: Giả sử dựng được tam giác đều ABC, A ea.Beb.Cec
Ta cĩ: AC =AB và (AC, AB) = 600
Suy ra: Q(A ; 60°): C > B
Ke AH Lc tai H thi Q(A ; 60°): H > HS > Q(A ; 60°): c —€` vả C' vuơng gĩc
vei AH tai H
=> B Ia giao điểm của hai đường thang bvaC’ Cách dựng:
~ Lấy một điểm A bắt kì trên đường thắng a
~ Dựng đường thăng C` là ảnh của đường thắng c qua phép quay Q(A ; 60°)
Dựng điểm B giao điểm của hai đường thang bvaC
~ Dựng điểm C là ảnh của điểm B qua phép quay Q(A : -60°)
~ Tam giác ABC dựng được Chứng minh:
Theo cách dựng, ta cĩ: AB = AC và 84C =60” nên tam giác ABC đều
Biện luận:
Basing thăng c là ảnh của đường thăng c qua phép quay Q(A ; 60') hoặc
“QUA ; -60°) Từ đĩ ta dựng được hai điểm B và B; nên bải tốn cĩ — nghiệm hình
Bii 7 Cho hai đường trịn (O; R) và (O;; R,) cắt nhau tai hai điểm A va B Hãy dựng một đường thẳng ddi qua A, cat dudng tron (O;R) va (GC); R;) lần lượt
taii M, M; sao cho A la trung diém MM)
Giải
Phân tích: Giả sử dựng được đường
thăng đ đi qua A, cat đường trịn (O:R)
Trang 31
va (O;; Ri) lan lugt tai M M, sao cho A la trung điểm MM)
Suy ra: Mạ đối xứng với M qua A
Goi Da la phép đối xứng tâm A thì
ĐA: M ->M¡
M thuộc đường trịn (O: R) nên ~M; thuộc đường trịn (O: R) là
ảnh của đường trịn (O; R) qua
phép đối xứng ĐẠ Suy ra: My
là giao điểm thứ hai của đường trịn (O; R) với đường tron (0); Ri)
nên đường thẳng d đi qua A va Mi Cách dựng:
- Dựng đường trịn (O”; R) là ảnh của đường trịn (O: R) qua phép đối xứng
Đạ
~ Dựng điểm M: là giao điểm thứ hai của đường trịn (O; R) với đường trịn
(Oi; Ri) (Mi khac điểm A)
~ Dựng đường thăng d đi qua A và M¡ là đường thẳng cần dựng
Chứng minh:
Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thằng d với đường trịn (O; R) (M#A)
Theo cach dung, ta cĩ:
AOMA can tai O = OA = OM =R va OAM =OM4 =
AO'MỊA cân tại O` => ƠA =OMI =R và OAM, =OM,A
OAM =OAM, (đối đỉnh)
=# 1OM = AOM,: OMA=OM,4 và OM =OM¡ = AOMA = AOM,A > MA=MA
Biện luận: Bài tốn cĩ một nghiệm hình
Bài 8 Cho hình vuơng ABCD va mot diém M nằm trên một cạnh hình vuiơng
Tìm các điểm N P nằm trên cạnh hình vuơng sao cho tam giác MNP lài tam giác đều
Giải D
Phân tích: Giả sử dựng được tam giác đều MNP
sao cho M e AD,N e AB và PeDC.)
Ta cé: MN = MP va (MN, MP) = 60°
Q(M ; 60°):N > P M D »c
=> Q(M ; 60"): AB> AB :
Suy ra, P là giao điểm của | hai đường thang a AB va CD
Cách dựng: P
N B
Trang 32— Lấy điểm M bat ki trên cạnh AD -
~ Dựng đường thẳng AB là ảnh của dường thăng AB qua phép quay Q(M ; 60°) ~ Dựng điểm P là giao điểm của hai đường thăng AB va CD
~ Dựng điểm N là ảnh của điểm P qua phép quay Q(M : - 60°) ~ Tam giác MNP dựng được
Chứng minh: Theo cach dung, taco: MN = NP va NMP = 60° Mặt khác: P thuộc cạnh AB nên N cũng thuộc cạnh AB
Biện luận: Cạnh AB cắt cạnh DC tai một điểm duy nhất P nên bai tốn cĩ
mệt nghiệm hình
| Dạng 5 Áp dụng phép quay vào chứng minh Phương pháp: I Xác dịnh phép quay Q(O : @)
2 Áp dụng tính chất của phép quay: Biến một hình thành một L hình bằng nĩ
Bài 9 Cho tam giác vuơng cân OAB vả OA'B cĩ chung đỉnh O sao cho O nằm
trên đoạn thẳng AB và nằm ngồi doạn thang AB Goi G và G lần lượt là
trọng tâm tam giác OAA và OBB Chứng minh GOG là tam giác vuơng cân Giải
Ta cĩ: OA =OB và 4Ø#=90,OA =OB và 4Ø8 =90°
> Q(0; 90°): A>B:A +B
=> Q(O ; 90°): AA > BB Goi M la trung điểm
cia AA’ thi Q(O ; 90°): M—» M’ va M’ [a trung
diém ctia BB’
=> OM =OM’ va MOM =90" 5
G la trong tam tam gide OAA thi OG = 7 eM
ặ 2
G_ là trọng tâm tam giác OBB thì OG = 3M,
Suy ra: OG =OG va GAG =90" = AGOG là tam giác vuơng cân
Bai 10 Cho tam giác đều ABC Trên các cạnh AB BC CA lấy các điểm K L M sao cho AK Bh OM Néi AL BM, CK các đường thang này đơi
KB LC MA
một cắt nhau tạo thành một tam giác Chứng minh rằng tam giác đĩ là tam
giác đều và cĩ tâm trùng với tâm của tam giác ABC Giải
Gọi tam giáè tạo thành là DEF và O là tâm A ABC
cũng là trọng tâm tam giác (Do A ABC đều)
=-OA =OB =OC và AOB = BỌC =COA = 120°
Xét phép quay Q(O ; 120): A — B ; B —› C và
Trang 33AK _ BL _CM Ạ C—>A Tacĩ: ——=——= KB LC MA =3 AK - BL - CM AK+KB BL+LC CM+MA AK _ BL _ CM e“—=—— < AK = BL=CM AB BC CA =Q(O: 120°:K->L;L->M; M>K => Q (0: 120°): AL BM: BM ->›CK và CK —> AL
=Q(O: 120”): E —› F :F — D và D >> E = ADEF là tam giác đều và cĩ tam O
Bai 11 Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi của tam giác ABC cac tam giac
vuơng cân ABO¡, ACO; cĩ đình gĩc vuơng ở O¡, O; Gọi O là trung điềm
cạnh BC Chứng minh tam giác OO¡O¿ vuơng cân
Giải
Goi E F lan lượt là trung điềm của AB, AC
Taco: AABO, vu6ng can tai O; O
SOE LAB VAOE= 2 AB
AACO: vuơng cân tại O; = O;F.L AC
và O2F = + AC 2
l
Mật khác: OF là đường trung bình của AABC => OF // AB va OF = : AB
= O¡E LOF và O¡E=OE :
Tương tự OE là đường trung bình của AABC = OE // AC và OE = gÁC
= OE L O;F và OE =O;E
Xét phép quay Q([ ; 90°): 0; > 0; E> F ; O > O; voi tâm quay | 1a giao điểm của hai đường trung trực OO; và EE
Suy ra: lO, = IO = IO; và Ø,/Ø=Ø JØ,=90° = OI= 5010: va O1 L
0,02
= tam giác OO¡O; vuơng can tai O
Cách khác Ta cĩ: O¡E = OF, OE = O;F và O¡E 1 OF, OE 1 O2F
>Ĩ,EO =OFO, (gĩc cĩ cạnh tương ứng vuơng gĩc)
Trang 34Mat khac: O|E 1 OF = OO, 1 OO3
Vậy, tam giác OO¡O› vuơng cần tại Ĩ
Dạng 6 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất |
Phương pháp: ˆ 1 Xác định phép quay Q(O: g) |
2 Áp dụng tinh chat cua phép quay |
L 3 Ap dụng bắt dăng thức trong tam giác | Bài 12 Cho tam giác ABC M là điểm tuỳ ý trong tam giác Xác định vị trí của
điểm M sao cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
Xét phép quay Q(B ; 60”): M—> M = BM = BM' và A/BA/ =60°
= ABMM' dều BM=MM' và BA/A7 = 600 :
Mặt khác: Q(B : wie Cc (C =MC=MC' và (MC M`C')= 601 “Ta cĩ: MA +MB +MCÊ =MA +MM' +M'C' >AC'
MA +MB +MC ee giá trị nhỏ nhất khi MA + MB +MC =AC' Suy ra: A, M, M’ C’ thang hang
=(MC, M’C*) = (MC, MI MM’) = 60°
= BMC = BMM +M MC =120°
BMA = BM 'M + MBM = 120°
AMC = 360° - (BMA + BMC) =120°
Vậy, M là giao điểm của ba cung chứa gĩc 120” dựng trên ba cạnh của tam giác ABC
(Điểm M được xác định như trên cịn gọi là B A
điểm Tơrixeli)
Bài 13 Cho tam giác đều AĐC và một điểm M bất kì Chứng minh
BM <CM + AM Khi nào thì đầu đẳng thức xảy ra? A Giai Xét phép quay Q(A 360" )›MSM' ; = AM = AM' và MAM = 60"=> AM =MM™M Phép quay Q(A ; 60°): C > B > MC =BM’ BM < BM’ + MM’=MC+AM =>BM < MC+AM `
Dấu đẳng thức xảy ra thì MC + AM= -BM C B
=BM' + MM' =BM =.M',M thẳng hàng
=> AMB =60° >M thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Trang 35
Dạng 7 Tích của các phép quay Phương pháp: £
\ wir
Sf ca
Bài 14 Chứng minh răng tích của hai phép đơi xứng trục cĩ trục khơng: Song
song là một phép quay
Giải
Xét hai phép đối xứng trục Dạ Dy với a cắt b tại O
Giả sử Aƒ— —>M,—>—>M, 'M;
Thi OM = OM, = OM; va (OM, OM2) = 2(a b) =
với (a b) là gĩc giữa hai đường thăng a và b M
Suy ra: Q(O ; 0): M —> M;.Vậy, D,s D, =Q(O ; ) M \o
1
Nhan xét: Moi phép quay Q(O ; 9) cĩ thể xem là tích của hai phép đối: xứng
trục Dạ Dy với a cat b tai O la tam quay gĩc quay @ = 2(a, b)
Bài 15 Cho hai phép quay QA Qạ cĩ tâm quay là A, B phân biệt và cĩ cùng gĩc
quay 90° Goi F= O,°Q, va F =, ¢Q, Chimng minh răng F, Fˆ là những
phép đĩi xứng tâm Nêu rõ cách xác định tâm đối xứng của các phép đĩ
Giải
Lay diém O sao cho tam giác OAB vuơng cân tại O
Ta co: (OA, AB) = (OB, BA) = 45°
Suy ra: O, = QA: 90°) = Dy, 2 Dy,
Ø, = QB; 90") = Dy, 2 Dy
F= Q,°0, = (Dy? Dig)? ( Dus? Daw )
=
= Dye (D„ oD, 1) s Dự, = = Dy Diy
= Q(O; 180°) vi @ =2 (OB, OA) = 2 90" = 180°
Tương tự, lấy diém | sao cho tam giác OAB vuơng cân tại O oO
Khi dé: Q, =Q(B:90°)= Dy oD, : QO, = QA;90°)= Dy, 2 Dy
F =Q,0Q,= (Dy 2 Duy) oC Day W )= Dy sD„ =Q(1; 180)
vì =2 (1A IB) = 2 90 = 1801
Bài I6 Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi của tam giác các hình vuơng
BCMN, ACPQ cĩ tâm O và O ; -
a) Chứng mỉnh rắng khi cơ định hai điêm A B và cho điểm C thay doi thi các đường thăng NQ luơn đi qua một điểm cơ định
b) Gọi [ là trung điêm của AB Chứng minh tam giác IOO' vuơng cân
Giải
Trang 36Ta cd: (AQ, AC) = 90" = VO, = Q(A: 90") = Dyye Dy N (BC, BN) = 90° > Q, = Q(B: 90") = Dy © Dax
Suy ra tích của hai phép quay @, Ớ, là phép đối xứng tâm D, với AABI vuơng cân tại ! B,
QO,:Q>Cva O,: CAN '
=D,:Q—N => JQ+JN =0 \ M
Suy ra đường thăng NQ luơn đi aa
qua một điểm cơ định J - ace "
b) Chứng minh tam giác IOO C
vuơng cân
Q(C:90):A > P.M BL
=> AM= PB va AM 1 PB(I) §
Mặt khác, OI là đường trung bình O của AAMB >OI//AM
và OI =2 AM (2) Q P
Tương tự, OI là đường trung bình của AABP = OI/'BP và OI >; BP (3)
Từ (1) (2) và (3) ta cĩ: OI = OT và OI L OI nên tam giác IOO` vuơng cân
Bài 17 Cho tam giác ABC nội
tiếp đường trịn (O) cĩ trực tâm HH và điểm M thuộc đường
tron (O) Goi Mi, Mo, Mg 1a
các điểm lần lượt đối xứng với
M qua các cạnh AB BC AC
Chứng minh các điểm M¡ M:›
M3 va H thang hang
(Gọi là duéng thang Steiner)
; Giai
Gọi (OI) (O2), (Os) lan luot la cac
đường trịn đổi xứng với đường trịn (O)
qua các cạnh AB, BC, AC thì các đường trịn (O¡}
(O2) (O;) di qua điểm H
Ta cĩ: M € (O) nén D,,: MM; € (O))
Dy : M — Mz € (Oz) D, :M—>M;€ (05)
Xét tích Є.s 2„= Q(A ;ø) với @ = 2(AB, AC)
Trang 37Ọ(A:0): Mi M: + => (01) > (Os) va (Oi) = (Os)
= AM, = an AM, = = AM, => VAT HA+ 1M, ==> M), H M; thang hang
Tương tự ta cũng chứng mình được MỊ H M> thang hang
Suy ra M) Ma, M3 va H thang hang
Dang 8 Biéu thức giải tích của phép quay
irong mit phang với hệ tọa độ vuơng gĩc Oxy vet phép quay Q([ ; @)
Iruong hop l: Khi tâm quay L trùng với gốc tọa độ O
Q(Ĩ:@)M(x:y)>M'(x :y)
Dat OM =r va (Ox, OM) = a
| x=rcosa laco: M
LY =rsinø
Íx =reos(œ +
(Ox, OM’) =a+@o =H} ( ”)
y =rsin(œ+ø) x =xcosg-ysin =m’ i” y-ysing y =xsing+)cosp (1) x =xcosp+ysing (2) y=-xsing+y cos
Các cơng thức (1) và (2) được tĩm tắt Ở bảng sau: Q(O; - 9): M’ (x :y) > M(x; yom
| x y 7 Hie x | cosọ el
y_| -sing COSU: Ì
[rường hợp 2: Khi tâm quay Ì (xu; Yu)
og, JF WX = (X— Ny )COSP- la cĩ: (I= Vn )siN
Y —1¿ =(Œ~x,)sinø@+(— Fy cose
x— x, =(X —Xx, cose +(y — yụ)sing 4) V12 ==(X =x,)sinØ +(y — yụ)cosự
Cơng thức (3) và (4) dược tĩm tắt ở bảng Sau:
X -Xð y =yo |
X-Xu | cosp sing Y- Yo | - sine cos
36
Trang 38Bài 18, Trong mặt phần» vơi hệ tọa độ vuơng gĩc ƠAY cho phép quay tam O
7
gO quay F Tim anh qua phep quay Q (O : 7 ):
a) Diém A (2: 2) b) Dưỡng trịn (C):(x= H + 4
Giải
JBiều thức giải tích của phep quay Q(O: =): Mixiy) >My)
f a 8 Y =xco0s a oe ` sin 4 4 _ a # % =xSIn—+ ycos 4 a) Qa: =): a) Q( 7) A(@2:23)> Atx :y thì to 3=2/5 Vậy A' (0:22]
b) Duong tron (C): (x ys VÌ 4 cotam 1 (1) 20) vai din kinh R =2
Q(O: ay I(1:U) >Ứ( :v )>Q(0: ễ (€)>(C } với(C'} Hà
duong tron tam P va co ban kinh R
LV5 Vã \ 5
Ta cĩ"
| nẻn phương trình của đường trịn (€`) là:
¬
Bài 19 Trong mặt phăng với hệ toa độ vuơng gĩc Oxy cho phép biến hình F cĩ
Ị
voy
bigu thire giai tich: - fla phép gi?
V3
Trang 39Ta cĩ f M(x: y) => M`(x`; y`) với
1 3 : L4
x “5x5” x TSHUR PRIS
Ầ
„M3 1 » a z
V=Y x+—y y =xsin—+ ycos—
2 2° 3 3
Suy ra, f là phép quay tam O, goc quay :
Bai 20 (Khối B - 2007) Trong mặt phăng với hệ tọa độ vuơng gĩc Oxy, cho điểm A (2 : 2) và các đường thang: dj:x +y-2=0 dys x+y-8=0
Tìm tọa độ các diém B va C lần lượt thuộc dị và d; sao cho tam giác ABC
vuơng cân tại A
Giai
Phép quay Q (A; 90), Q(A; - 90”) cĩ biểu thức giải tích là:
oe _{x=y
x =-)4+4 va /
yx »=-x+4
Phép quay Q (A; 90"): dy —> ai, phương trình đường thang | aix-y-2=0
Q(A: 90%: B e dị > Ceai vàC € ds nén tọa độ của C là nghiệm cua hệ:
x-y-2=0 x=5
° c© =C 6:3)
x+y-8=0 y=3
Q (A; - 900): C — B thì B3 ; - I)e dị
Phép quay Q (A: - 90”): dị —> a;, phương trình đường thẳng a;: x - y ~ 2 = Ú
Q (A: - 90°} B € dy —>C e a; nên tọa độ của C là nghiệm của hệ:
[xp+2=0 x=3 ` -
câ =>C(3;5)
x+y-8Đ=0 y Q(A: 90: C —› B thì B(- 1;3) e dị
Vậy B(- I;3), C3 ; 5) hoặc B (3; - I), € (5; 3) BÀI TẬP
Bài 1 Cho hình vuơng ABCD cạnh bằng 2 và cĩ các đỉnh về the› chiều
dương Các đường chéo cắt nhau tai I Trén cạnh BC lấy điểm J sao cio BJ =
1 Xác định phép quay biến Al thanh BJ
Bai 2 Cho hai đường trịn (O, R) va (O° R) cắt nhau ở M,N Qua N vẽ ba
đường thăng lần lượt cắt đường trịn (O, R) tai A, B, € và (O`.R” tại A` B, C Xác định phép quay biến tam giác ABC thành tam giác A` BC
Trang 40Bài 3 Cho đường trịn (O) và điểm I khơng năm trên đường trịn Với mỗi điểm A thay đồi trên đường trịn xét hình vuơng ABCD cĩ tâm I Tìm quỳ tích cac
diém B.C, D
Bài 4 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R va M la diém chuyên
động trẻn nửa đường tron đĩ Dựng phía ngồi tam giác AMB một hình
vuơng MBCD
a) Tìm quỹ tích của điêm €
b) Trên tia Bx vuơng gĩc với AB tại B và nằm cùng phía với nửa đường trịn
lấy điểm O' sao cho BO' = BO Chứng minh OM vuơng gĩc với OC
Bài 5, Cho hình vuơng ABCD cĩ tâm O va M, N lan lượt thuộc các cạnh BC
CD Gọi E F lần lượt là hình chiếu của B lên các đường thăng AM AN Gọi
I 1 lần lượt là hình chiếu của D lên các đường thăng AM AN
a) Xác định phép quay biến ADJ thành tam giac BAF b) Xác định ảnh của tam giác BAE
c) Chứng minh EF vuơng gĩc với IJ
Bài 6 Cho tam giác đều ABC và một điểm M sao cho AMB=120°, AM = 1, BM =2 Tính độ dài đoạn thăng CM
Bài 7 Cho tứ giác ABCD cĩ AC vuơng gĩc với CD và AC = CD, AB = 1 BC = ¥2,CD= v3 Tính các gĩc cua tứ giác
Bài 8 Cho đường trịn (O) nội tiếp tam giác ABC Các tiếp điểm thuộc AB
BC, CA lần lượt là I J K Chứng minh OAsinA + OBsinB + OCsinC = 0
Bài 9 Cho tam giác ABC cĩ gĩc A nhọn Dựng phía ngồi tam giác ABC các hình vuơng ABMN ACPQ BCEF
a) Chứng minh BQ = CN và BQ vuơng gĩc với CN
b) Gọi D là trung điểm của BC và K, H G theo thứ tự là tâm các hình vuơng
ABMN, ACPQ BCEF Chứng minh ADKH vuơng cân và KH = AG
Bài 10 Cho hai hình vuơng cĩ tâm trùng nhau Tìm chủ ví bé nhất của giao hat hình vuơng trên
Bài 11 Cho tam giác ABC cĩ đỉnh A cĩ định và hai điểm B C thay đơi sao cho
AB =2, AC = 5 Dựng tam giác đều BCD sao cho D năm khác phía với A
đối với đường thang BC Xác định gĩc ø= 84C để AD cĩ độ dài lớn nhất
Bài 12 Cho gĩc nhọn AOx Dựng một hình vuơng ABCD sao cho điểm O
nằm trên cạnh BC và O nằm trên đường phân giác của gĩc 84E với E la
giao điểm của Ox với CD „
Bài 13 Trong mặt phăng với hệ tọa độ vuơng gĩc Oxy cho phép biên hình f