Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1

Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1 Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 10 tập 1

Trang 2

Th.S NGUYEN KiEM - ThSLE THI HUONG - Th.S HO XUAN THANG Be ey b0 AC TẾ PHAN LOAI VAPHUONG PHAP GIAI GAG DANE BAI TAP

-_ TDñT0

TẾ

(fiên s0ạn the0 chương trình cử sờ và nâng can mới oủa Bộ 8D & ĐT)

* Wiến thức cẩn nhữ * Phan loai cae dang todn

* Phugng phig giai bai tap

* Sac dang bai tap mau

* Bài tận áp dụng tự giải

Trang 3

NHÀ XUẤT BẢN Đội HỌC QUỐC Giñ HÀ NỘI

16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội ĐT (04) 9715012; (04) 7685236

Fax: (04) 9714899

E-mail: nxb@vnu.edu.vn

Chịu trách nhiệm xuât bản: Giám đốc PHÙNG QUỐC BẢO

Trang 4

'Gmuft

$1 MENH DE

A KIEN THUC CO BAN

1 Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai

Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai

A đúng khi A sai, A sai khi A đúng

3.A =› B chỉ sai khi A đúng và B sai

4 A c>B chỉ đúng khi A, B đông thời đúng hoặc đồng thời sai N B CAC DANG TOAN Dạng 1: Khái niệm mệnh đè Bài 1: Các câu sau đây câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề:

a) _ Trong một hình vuông hai đường chéo vuông góc với nhau

b) _ Quả đất xoay xung quanh mặt trăng

c)_ Số x lớn hơn 5

Giải: a) Câu này là một mệnh đề Nó là một khẳng định đúng

b) Câu này là một mệnh đề Nó là một khẳng định sai ; ¢) Cau nay khéng phai la mét ménh dé vi x chwa biết cụ thể là số nào

Dang 2: Mệnh đề phủ định

Bài 1: Phát biểu phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng: a)A= "7 là số nguyên tô" b)B="5>8"

Giải:

a) A = "7 không phải là số nguyên tố": A dung, A sai

b)B ="5<8" Bsai, B đúng, -

Chú ý: Mệnh đẻ phủ định của B không phải là mệnh đề "5 < 8"

ang 3: Mệnh đề kéo theo

Bài 1: Lập mệnh đê A =› B và xét tính đúng sai của mệnh đề đó, với:

a)_A = "Số nguyên dương a tận cùng bằng chữ số 5";

B = “Số nguyên dương a chia hết cho 5"

b) A="3<4,B="z<3,14"

c)_A= "12 chia hết cho 6", B =" 12 chia hết cho 3”

Trang 5

b) A =B= "Nếu 3 < 4 thì z < 3,14" Mệnh đề này sai vì A là maệnh đ đúng, còn B là mệnh đề sai

c) A => B = "Nếu 12 chia hết cho 6 thì 12 chia hết cho 3" Mệnh ‹ đề nà

đúng vì A là mệnh đề đúng và B cũng là mệnh đề đúng

d) A => B = "Nếu tam giác là hình vuông thì hình tròn là hình chữ? nhật Mệnh đề này đúng vì A là mệnh sai và B cũng là mệnh đè sai

Chú ý:

- Cách lập mệnh đề A =› B là: nếu A thi B

~ Đối với mệnh đề kéo theo A = B: nếu B đúng thì A => B đúng; ! nhưn: khi B sai thì ta chưa thể kết luận gì về tính đúng sai của nó (còn phụ thuộ vào tính đúng sai của A) Chẳng hạn: mệnh đề ở câu c), ta chỉ cầnn nhật xét là mệnh đề B đúng cũng đủ để kết luận rằng A = B đúng

~ Ta chỉ chủ yếu xét mệnh đề A =› B với A ià mệnh đề đúng

Bài 2: Cho mệnh đê: "Hình thoi có hai đường chéo vuông góc voi nheau"

a) Phát biêu mệnh đề trên sử dụng các khái niệm "điều kién can"", "diet kiện đủ” b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng ssai củ: mệnh đề đảo Giải: a) Mệnh đề trên là mệnh đề A = B, với: A = "Tứ giác T là hình thoi"; B = "Tứ giác T có hai đường chéo vuông góc với nhau" Vì vậy: Tứ giác T là hình thoi là điều kiên đủ để T có hai đường chéo ¿uômg góc với nhau Tứ giác T có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện carn dé T là hình thoi

b) Mệnh đề đảo: "Nếu tứ giác T có hai đường chéo vuông góc với

nhau thì tứ giác T là hình thoi" hoặc "Tứ giác có hai đường chéo vuông góc

với nhau là hình thoi”

Mệnh đề này sai vì có những tứ giác có hai đường chéo vuônng góc nhưng không phải là hình thoi

Chú ý:

- Đề làm bài tập dạng này ta cần phải xác định được A và B(hay là giả

thiết và kết luận của định li), khi đó: A là điều kiện đủ để có B; B làà điều:

kiện cần đễ có A

~ Mệnh đề đảo có dạng: nếu B (hi A

Dạng 4: Mệnh đề tương đương

Bài 1: Lập mệnh đề A <> B và xét tính đúng sai của mệnh đề đó, /ới: a) ao "Số nguyên dương a chia hết cho 5",

="Số nguyên dương a tận cùng bằng chữ số 0 hoặc 5"

b) he "Téng a+b của hai số nguyên a, b chia hết cho 7",

Trang 6

Giải:

a) A «» B = "Số nguyên dương a chia hết cho 5 khi và chỉ khi a tận cùng bằng chữ số 0 hoặc 5" Đày là mệnh đề đúng (Dấu hiệu chia hết cho 5)

b) A <> B=" Téng a + b của hai số nguyên a, b chia hết cho 7 khi và chỉ khi a b cùng chia hết cho 7" Đây là mệnh đề sai vì A = B sai (a + b

chia hết cho 7 thì không nhất thiết là cả a và b đều chia hết cho 7; chẳng

hạn: 6 + 8 = 14 chia hết cho 7 nhưng cả 6 và 8 đều không chia hết cho 7)

C BÀI TẠP

Bài 1: Các câu sau đây câu nào ià mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề:

a) Số 13 chia hết cho 5

b)_ Làng Chủ tịch Hồ Chí Minh ở thành phỏ Hà Nội

c)_ Thời tiết hôm nay đẹp làm sao! d) Số chăn là số chia hết cho 2

e) 2x+3=5

f)_ Hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song

2>2

Số 124 có chia hét cho 7 không? Hai góc đếi đỉnh thì bù nhau a là bội số của b

Bài 2: Phát biểu phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng:

2<3 5+2=8

Các đường chéo của hình chữ nhật không bằng nhau London là thủ đê của nước Pháp

5 không phải là bội của 3

Phương trình x“ - 5x + 6 = 0 có nghiệm Tiếp sau mùa thu là mùa xuân

Số 169 không phải là số chính phương

X7 là số hữu tỉ

Bài 3: Lập mệnh đề A =› B và mệnh đề đảo B = A, đồng thời xét tính đúng sai của các mệnh đề đó, với

a)_A ="Số nguyên a chia hết cho 9": B ="Số nguyên a chia hết cho 3"

b) A =Hai tam giác bằng nhau”, B ="Hai tam giác có diện tích bang hau"

c) A ="a là số lẻ": B ="a là số nguyên tố lớn hơn 2"

d)ạ A = "Tam giác ABC đều"; B ="Số đo của góc A là 60"

e)A ='M và M' đối xứng nhau qua đường thẳng d"; B ='Khoảng cách từ M và M' đến d bằng nhau" f) A="75 chia hét cho 3"; B ="75 chia hết 6"

Trang 7

a)_ Nếu số nguyên dương a tận cùng bằng chữ số 0 thì nó chia 'hết clho 5

b)_ Nếu tam giác có góc vuông thì tâm của đường tròn ngoại tiếtp tam giác

đó là trung điểm của cạnh lớn nhát

c)_ Trong một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn mon

d) Với hai biểu thức A, B mà B >0: nếu A > 0 thì /A?B = AB

e) Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên canh huyền

?_ Nếux= 3 thì x? = 9

g) Nếu a+b>2thì trong hai số a, b phải có một số lớn hơn 1

h)_ Nếu tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tổng hai góc đối củia nó bằng 2v Bài 5: Phát biểu các mệnh đề trong bài 4 sử dụng khái niệm "điều kiệm cần và đủ" (nêu có thé) §2 MỆNH ĐÈ CHỨA BIÊN A KIÊN THỨC CƠ BẢN

1 Mệnh đề chứa biến p(x) không phải là một mệnh đề, nhưng với mỗi

giá trị của biến x (thuộc một tập X nào đó) thì ta thu được một mệnh dé

2 Mệnh đề x ex: P(x):

+ dung néu p(x) la ménh dé diing voi tat ca x EX

+ sai nếu có ít nhắt một xeeX sao cho p(x¿) là mện!h đề sai

3 Mệnh dé 2 EX: p(x):

+ sai néu p(x) la ménh dé sai voi tat cd x eX

+ đúng nếu có ít nhất một xạeX sao cho p(x;) là mện!h đề đúng 4 Từ 2 và 3, ta có:

+A ="WeX:p(x)"=a A ="%eX: p(x)"

+A="KEX: p(x)" >A ="txeX: pix)”

B CAC DANG TOAN

Dang 1: Lập các mệnh đề từ một mệnh đè chứa biến

Bài 1: Cho mệnh đề chứa biến: p(x) ="x là số nguyên tố" (xeÑ)

Trang 8

"7 la số nguyên tố": đúng

3) = "28 là số nguyên tố": sai

5) = "125 là sô nguyên tô”: sai |

B) vxcX: p(x) = "Mọi số tự nhiên x đều là số nguyên tố": sai

ìxcX: p(x) = "Có số tự nhiên x là số nguyên tế": đúng

Dạng 2: Mệnh đẻ chứa các kí hiệu V, 3

Bài 1: Dùng kí hiệu V, 3 đẻ viết các mệnh đề sau: a)

a) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó

b)_ Có số thực không chia hết cho.5 Si œ)_ Mọi số thực khác 0 nhân với nghịch đảo của nó đều bang 1 d) Mọi số thực luôn có một số thực đề tông của chúng bằng 0

Giải:

1

a3) VXxciš:x+0=x; c) vxeR, xz0: x.— = 1

x

b) 4x IR: x không chia hết cho 5 d) VxeR, JyeR: x + y=0

Bài 2: Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đè, xét tính đúng sai của chúng và phát biểu các mệnh đề phủ định đó thành lời

a) VneÑ:2n + 1 là số lẻ b) 3xelR: x? + 1= 0,

Giải:

a) Mệnh đề phủ định: 3neN: 2n + 1 là số chan: sai

Phát biểu thành lời: "Có số tự nhiên n: 2n + 1 là số chẵn" b) Mệnh đề phủ định: Vx: x + 1 z 0: đúng

Phát biểu thành lời: "Với mọi số thực x: x? + 1 khác 0" Dạng 3: Chứng minh mệnh đề chứa kí hiệu V, 5 Phuong pháp - Để chứng minh mệnh đề "3xeX: p(x)", ta cần chỉ ra một phần tử xọc X sao cho p(x;) là mệnh đẻ đúng - Để chứng minh mệnh đề "xeX: p(x)", ta cần chứng tỏ rằng p(x) trở thành mệnh đúng với tất cả phần tử xeX Vì vậy, ta sẽ chứng tỏ p(x) là mệnh đề đúng với phần tử bắt kì xeX Bài 1: Chứng minh: a) SxcR: x? - 3x+2=0, Giai:

a) Ta có: với x = 1 thì x” 3x + 2 = 0 Vậy mệnh để ở bai a) đúng

Trang 9

C BÀI TẬP

Bài 1: Cho mệnh đè chứa biến: p(x) ="x là sẻ chẵn" (xeN)

a\ Phát biểu các mệnh đề sau thành lời và xét tinh đúng sai của chhúng p(2); p(17); p(204); p(2006); p(12575) bì Phát biểu các mệnh đề và xét tính đúng sai của chúng: VxcX: | p(x); 3xeX: p(x) Bài 2: Dùng kí hiệu V, 3 để viết các mệnh đề sau: a) Có số hữu tỉ x: 3x - 6 = 0 bd) Voi moi sé thực x: x” + x + 1 =0 c)_ Với mọi số tự nhiên n: nỶ > n d) Có số tự nhiên n: 2" - 1 là số nguyên tố e) Với mọi số thực x: |x| > 0 f)_ Có số thực x: |x| =0 g)_ Mọi tam giác vuông là tam giác cân h) Có hình thang là hình bình hành |

i) Trong moi dwong trỏn, đường kính tà dây cung lớn nhát

Bài 3: Cho mệnh đề chứa biến: q(y) = "2006 + y = 2009" (yelR) Hay ddting

kí hiệu để viết các mệnh đề sau và xét tính đúng sai cúa chúng: a) 2006 + 3= 2009 b) 2006 + 2,7 = 2009 3 Š c) 2006 2 = 2009 d) Có sô thực y: 2006 + y = 2009 e) Với mọi số thực y: 2006 + y = 2009 Bài 4: Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề, xét tính đúng sai ccủa chúng và phát biểu các mệnh đề phủ định đó thành lời: a) Vxel:x+5>7 b) 3neN: 15 là bội của n c) 3xelR: |x|= 0 d) VxelR: x+ 3= 3 +x e) 3xelR:x?+4x-5=0 Bài 5: Trước các mệnh đề chứa biến sau đây, hãy đặt một kí hiệu 3 hooặc V để được một mệnh đề đúng (xeQ): a) 2x+3=6 b) 5.x =x.5 c) x?+2x+3>0 d) x chia hết cho 5 Bài 6: Chứng minh:

a) 3neN: 2”` + 1 là số nguyên tố b)VxeR: (x - 1)@& + 1) = x? - 1

€)_ Chứng minh mệnh đề d) trong Bài 2

Trang 10

§3 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHAN CHUNG

A KIEN THUC CO BAN

T' Chúng minh mệnh đề A => B bằng phản chứng ta làm các bước sau: a) Giả sử A đúng, B sai

b) Từ các giả thiết trên suy ra A sai Ta được mâu thuẫn (A

vừa đúng, vừa sai) e) Kết luận A => B đúng 2 Để chứng minh mệnh đề P bằng phản chứng ta làm các bước sau a) Giả sử P sai b) Từ P sai suy ra một mâu thuẫn (một mệnh đề vừa đúng, vừa Sai) c) Kết luận P đúng B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Chứng minh mệnh đề: A => B bằng phản chứng ` Bài T: Chứng minh rằng: Nếu nŸ (neZ) là số lẻ thì n là số lẻ Giải: Giả sử nỶ là sá lẻ nhưng n là số chẵn

Khi đó: n = 2k (keZ) => n? = 4k? là môt số chẵn Điều này mâu thuẫn

với giả thiết nẺ là số lẻ

Vậy ta có điêu phải chứng minh (đpcm)

Bài : Chứng minh rằng: Nếu p >1 là ước nhỏ nhất của số tự nhiên a >1

thì p là số nguyên tố „

Giải: Giả sử p>1 là ước nhỏ nhất của số tự nhiên a>1 nhưng p không là

sô nguyên tô

Khi đó: p >1 = p là hợp số = P CÓ ước pị sao cho: 1< p¡ < p Vì p là ước của a và p; là ước của p nên p; là ước của a Điều này mâu thuẫn với

giả thiết p >1 là ước nhỏ ri hat của a

Vậy ta có điều phải chứng minh (đpcm) Dạng 2: Chứng minh một mệnh đề P bằng phản chứng Bài 3: Chứng minh rằng: "Không có một số nguyên tố nảo là lớn nhất" Giải: Giả sử có số nguyên tố lớn nhát là p - Ta lập số:'q =1.2 3 p + 1, ta có: q >1 nên q có ít nhất một ước là số nguyên tố (là ước nhỏ nhát lớn ơn 1, theo chứng minh ở Bài 2), đồng thời

q>p Vi1.23 p chia hết cho mọi số nguyên tố không lớn hơn p nên nếu chia q cho các sô nguyên tố không lớn hơn p, bao giờ ta cũng có số dư là 1 Từ đó Suy ra q là sô nguyên tố hoặc q có ước nguyên tô lớn hơn p Điều

Trang 11

Vậy ta có điều phải chứng minh (đpcm) € BÀI TẠP Bài 1: Cho nc/Z, chứng minh rằng: a) Néu7n + 1 là số chẵn thì n là số lẻ b)_ Nếu nỶ + 2 là số lẻ thì n là số lẻ Bài 2: Chúng minh rằng: `

a)_ Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng

thứ ba thì song song với nhau

b) Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng 180” thì tứ giác đđó nội tiếp một đường tròn

Bài 3: Chứng minh rằng:

c)_ Nếu tổng của hai số nguyên là một số chẵn thì trong hai số đó ‹ cùng

chan hoặc cùng lẻ „ ca „

d) Nếu tích của hai số nguyên là một só lẻ thì trong hai số đều là số lẻẻ 6) Nếu tích của hai số nguyên là một số lẻ thì tống của hai số nguyêên đó là một số chẵn Bài 4: Giả sử phương trình bậc hai: ax? + bx + c = 0 (a z0) có hai nghhiệm Chứng minh rắng: a) Nếu _P < 0 thi trong hai nghiệm của phương trình có it nhất t một a nghiệm âm b) Nếu -P >0thi trong hai nghiệm của phương trình có ít nhất một a nghiệm dương c)_ Nếu ~ > 0 thì hai nghiệm của phương trình cùng dấu œịO d) Nếu ° <0 thì hai nghiệm của phương trình khác dấu a Bài 5:

a) Không có số hữu tỉ nào bình phương lên bằng 2

b) Không có một tứ giác lôi nào có 4 góc nhọn

Trang 12

§4 TẬP HỢP

A KIEN THỨC CƠ BẢN

1 Tập hợp (tâp) là một khái niệm cơ bản của Toán học

Phan tủ a thuộc tập A ta việt: acA

hân tử a không thuộc A, ta viết aZA

2 Tập hợp rỗng kí hiệu ©, la tập không chứa phân từ nào

3 Tập hợp con: nễu mọi phần từ của tập A cũng là phân tử của tập B

thi A\ la tap con của B, kí hiệu: A CB Ac Bs (xeA = xeB)

Tinh chat *VA:ÁC A; *AcB.BcC=SAcC, ØCA -4 Tập hợp bằng nhau: A = B s› (xeA +> xeB) B (CAC DẠNG TOÁN Dangg 1: Xác định tập họp Phucong pháp:

1) Liệt kê các phần tử của nó

<2) Chi ra tinh chat đặc trưng cho các phần tử của nó

Chú _ý: Ta thường sử dụng phương pháp liệt kê khi số phân tử của tập là

hữu hạn

Bài “1: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp:

Trang 13

Chú ý: Có những tập hợp ta có thể nêu tính đặc trưng bằng nhiều c‹cách,

chăng hạn:

A ={neN/n ià só chẵn và 2 < n < 10) hoặc A = {2+2n /n<1i và 0 <n< 4)

Dạng 2: Chứng mính A c 8 Phương pháp: Chứng minh A C B:

- Cách 1: Lấy x bất kì: xeA Chứng minh: xeB

- _ Cách 2: Liệt kê các phân tử của A và B

Bài 1: Cho cac tap A = {neN / nla bdi cla 6}; B = {meN / m là bội củzia 3} Chứng minh: A c B Giải: Lay x bat ki: xeA = x là bội của 6 => x = 6k = 3.(2k) (ke?!) =› x là bội cbủa 3 => xeB Vậy A c B Bài 2: Cho các tập: ^ = Tập hợp các hình vuông; B = Tập hợp các hình t† thoi Chứng minh: A c B Giải:

Ta có: Một hình vuông là một hình thoi (vì có các cạnh bằng nhau) nên A c C B Bài 3: Cho các tập: A = (xeZ/x?-x—-2=0kB=({xeZ/-2<x< 3}

Giải:

Bằng cách liệt kê, ta có: A ={-1;2);B={-1;0;1;2;3}->Ac B Dang 3: Chứng minh A = B

Phuong pháp: Cách 1: Chứng minh: A c BvàBc A

- Cách 2: Liệt kê các phần tử của A vả B

Bài 1: Cho các tập: A = {xcZ2/ x là bội cúa 2 và 3}; B= {xeZ/ x là bội của 3 6} Chứng minh: A = B

Giải:

* Chứng minh: A c B: xeA =› x là bội của 2 và 3 =› x = 2k = 3l (k, | leZ)

= k:3 => k = 31, (heZj=> x = 2.31, = 6l; => x là bội của 6 = xeB Vậy A+c B

Trang 14

Cc BÀI TẠP

Bài 1: Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp a) A={xeN/x+3< 10}

b) B= {xel {7x là ước của 18}

c) C= {xeN/x chia hét cho 3 va 3 <x < 21}

d) D= Tập các ước chung của 20 và 45

e) E = Tập các nghiệm của phương trinh x* ~ 6x? + 8 = 0

f)_F= Tập các nghiệm của phương trình 4x? - 4x + 3 = 0

g)_ G= Tập các nghiệm nguyên của phương trình 2x? -11x +5 = 0

Bài 2: Tim tính chất đặc trưng xác định các phần tử của tập hợp

a) A ={2,.7;12; 17:22; 27) b) B=(1;8; 27; 84: 125)

71.1 1.1 P =

C=ẽ{-;—-;-—:z>: ~} đ)D=({1; v2;v3;2v5)

Si {§'12'20'30' 42) )D=(1: v2:(8/2(5)

e) _E= Tập các số thực lớn hơn -2 và không lớn hơn 3

f).F = Tập các điểm M thuộc đường tròn tâm O, bán kính R Bài 3: Trong các tập hợp sau, tập nào là con của tập nào?

a) Tập hợp N các số tự nhiên, tập hợp Z các số nguyên, tập hợp Q các sé hvu ti, tap hop IR cdc số thực

b) Tap hop A cac hinh tv giac, tap hop B cac hinh vudng, tập hop C cac

hình chữ nhật, tập hợp D các hình bình hanh, tap hop E hop cac hình thang

Bài 4: Cho các tập: A = {9k + 7 /keZ}, B=(3k+ 1/kcZ2) Chứng minh: A <-B

Bài 5: Cho các tập: A =({xelš/x? - 5x +6 =0}; B=({xeN/ x là ước của 6}; Chứng minh A < B

Bài 6: Cho các tập: A ={neN /n +m =7, me); B={meN/n+m =7, neN} Chứng minh rằng: A = B

Bai 7: Choa, beN; d= U'CLN(a; b) va cac tap:

Trang 15

B=Tập các ước của d

Chứng minh rằng: A = B

Bai 8: Cho a, beN; m= BCNN(a; b) va cac tap: A = Tập các bội chung của 2 số tự nhiên a và b; B=Tập các bội của m Chứng minh răng: A = B , §5 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP CÁC TẬP HỢP SÓ A KIÊN THỨC CƠ BẢN 1 Giao cua hai tap hop: An B = {x / xcA va xeB}: xeEA XxeAmBc> : (xeB 2 Hop cua hai tap hop: AU B = {x/ xcA hoặc xeB), xeA XCEAUBS ; xe«B 3 Hiệu và phân bù: A \B = {x! xeA và xzB}, xeA xeB'` Khi B = A thì A\B gọi là phân bù của B trong A, kí hiệu: CẠB 4 Các tập họp số đã học: * Tập hợp các số tự nhiên: N = {0; 1; 2; 3: } rea Bo | * Tập hợp các số nguyên: Z ={ ; -3; -2; -1;0;1;2;3; } a * Tập hợp các só hữu tỉ Q: Các số hữu tỉ có dạng b a beZ, bz-0 D

với định nghĩa: 5 = i ad =bc Các số hữu tỉ cũng biểu diễn đuợc cdưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vơ hạn tn hồn

* Tập hợp các số thục !: Các số thực là các số thập phân hữu ham, vơ

hạn tn hồn và vô hạn không tuân hoàn Các số thập phân vơ hạn k:hơng

tuần hồn gọi là số vô tỉ

5 Các tập con thường gặp cua R: * Khoảng: (a; b) ={xeR/a< x<b}:

a b

Trang 16

(4; +z) = cR/a<x} = LEE EES a (-2; b) = {xeR/x <b}: —ư~— b * Đoạn: {a; b] = {xcl4/a < x < b}: i ————— RE * Nua khodng:[a; b) = {xeR/a<x< by 42////4Ƒ—— ye a b (a; b} = {keR/a<x <b}: ⁄/4/24/////@€E————~—=———Ì⁄444////4/////0/ [a; +>) = (xelt/a < x): 4 : Z4 ———————————> (=œ; bị ={xeR /x< b} a ag aaa + Recess IR = (-00; +00) = [0; +00); IR_ = (-s0; 0}: oe ee A b R’ = (xelR/x # O}; RV = (0; +00); R = (—œ; Ö); B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Thực hiện các phép toán trên hai tập hợp cho trước Phutơng pháo: Dùng định nghĩa các phép toán

Bài 1: Xác ốnh A ¬ B; At:B; A\B; B\A frong các trường hợp sau: a) A=(1;2.3,4,5),B={2;4, 6; 8; 10; 12) b) /A={xXeR/ x 2 1}; B= {xeR/ x < 5) Giai: :3) Ary B= {2; 4}; AUB= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}: A\B= (1; 3; 5}: B\ A= {6; 8; 10, 12}; Ib) *xeAQB => xeA vaxeB>x2>1vax<5=> ANB={xeR/1<x<

5}, “xeA\¿B = xeA hoặc xeB = x>1hodcx<5>AUBER;

*“ xeA \E = xeA và xzB -> x > 1 vàx>5 => A\B = {xeE/ x > 5}, “ xeB \A = xeB và xzA => x< 5 và x< 1= B\A =(xe/x< 1);

Chú ý: xzA là mệnh đề phủ định của mệnh đề xeA

Trang 17

Dạng 2: Sử dụng các phép toán của tập hợp để tìm tập nghiệm cua

phương trình, hệ phương trình

Phượng pháp: Gọi A., B lần lượt là tập nghiệm của các phương trìnhh: f(x) = 0; g(x) = 0

Khi đó: - Tập nghiệm của phương trình: f(x).g(x) = 0 là A ©¿ B,

Trang 18

Bài 3: Chứng minh rằng: Với A, B, C là các tập họp: a) An (BUC)=(ANB)U(ANC); b) (A\B)\GCAIC Giải: xeA # xeA xeA xeB a)xeA nN (BUC) & ©|xeBœ xeBUC xeA xeC xeC = xe(ANB)U (ANC) Vậy A = (B 2C) = (An B) Q2 (A ¬ €) XxeA xeA\B xeA b) xe(A\B)\C > =4|xeB= âxeA\C xôC xôC xôC Vay (A\B)\C cCA\C Dạng 4: Xác định các tập hợp và biểu diễn trục số

Phương pháp: Sử dụng các phép toán và cách biểu diễn các tập nêu trên

Trang 19

= (-5; -1]\(-2; 4) = (-5; -2]: A idle tine

-Š 2

Chủ ý: Đề thuận tiện hơn trong việc thực hiện các phép toán trên cac tap

hợp ta nên biểu diễn các tập trên trục số

C BÀI TẬP

Bai 1: Cho cac tap hop: A = {1; 2; 3; 5; 8}; B = {-1; 0; 1; 2; 3};

C ={n+1/neN, n< 3}:

a) Xac dinhA B; AUB; A\B; B\C

b) Xac dinhAn (BUC); AUBUC; A\(B OC); (A\B)\C c) Chứng minh A z5 € c- B Xác định: Ca(A m C) Bài 2: Xác định A B; A ‹¿ B biết: a) A={xelR/x> 2}; B= {xeR/x < 7} b) A={xelR/x > 2}: B={xeR/x> 7} c) A={xeR/x< 2}, B= {xeR/x< 7} d) A={xeR/x <2}; B= {xeR/x > 7} e) A={xeR/-1<x< 2}, B={xeR/ 0<x <7} Bài 3: a) Cho các tap A = {0; 1; 2; 3}, B = {0; 1; 2; 3; 5; 7} Tim tap C déA UC=B;timtapDd&€BAD=A; b) Cho A= {xeR /-3 <x <3} B= {xeR/ 1<x <5} C={xeR/ a<x<b} Tìm a, b để: ()CcAnB (2)A©2BcC Bài 4: Giải các phương trình, hệ phương trình sau: a) (x? +5x +4)(2x? -7x +6) = 0 gj 2S 2x° +7x-9 » * ~3x? -6x+8 _ cũ, - đ) II ai 2x) +9x?~2x—9 (1+ x)? +3x? =(2x -1)? +7 Bài 5: Cho A, B, C là các tập hợp Chứng minh: a) AU(BAC)=(AUB)A(AVUC) b) ANQ(AUB)=A;BU(ANB)=B c) A\(BUC)=(A\B) 5 (A\©) d) A\(BAC)=(A\B)U(A\C)

Bài 6: Trong số 220 học sinh khối 10 có 163 bạn biết chơi bóng chuyền,

175 bạn biệt chơi bóng bàn, còn 24 bạn không biết chơi môn bóng nào

cả.Tìm số học sinh biết chơi cả hai môn bóng

Trang 20

Bài 7: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số a4 b) (=2; 3] ¬[1; 4) (0; 2) 3) E11] đit 3 4 B G ĐẪN - LỜI GIẢI - DAP SO $1 MENH DE Bai 1: Cac cau a), b), d), f), g), ¡) là các mệnh đề Bai 2: a) 2 > 3: sai; 2 5+2z8 đúng

e) London không phải là thủ đô của nước Pháp: đúng

ƒ) Tiếp sau mùa thu không là mùa xuân: đúng

Bai 3: * Bạn đọc hãy lập các mệnh đề A => B Các mệnh đề lập được từ

cau c), f) sai

* Các mệnh đề đảo bạn đọc tự lập với dang: néu B thi A

Các mệnh đề lập được từ các câu c), f), g) đúng;

Các mệnh đề còn lai là sai (bạn đọc hãy chứng tỏ điều này)

Bài 4: e) A ="Tam giác vuông”

="Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu

của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền"

Bài 5: Các mệnh đề có thể phát biểu được dưới dạng "điều kiện cần và đủ"

là: b), c), d), h) Chẳng hạn:

g)_ "Tam giác có góc vuông là điều kiện cần và đủ để tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhát"

h) Trong một đường tròn, dây gần tâm hơn là điều kiện cần và đủ để dây

đó lớn hơn

§2 MENH DE CHUA BIEN

Bai 1: a) p(2) = "2 là s6 chan": dung; p(17) = "17 la sé chan": sai;

p(204) = "204 la sé chan": dung; p(2006) ="2006 la s6 chan": dung; p(12575) = "12575 la sé chan": sai

b) VxeX: p(x) ="Moi sé ty nhién đều la sé chan": sai

3xeX: p(x) ="Có số tự nhiên là sé chan": đúng

Bài 2: a) 3xeQ:.3x - 6= 0 b) VxeR: x? +x+1=0

Trang 21

c) VneN: n?>n d) 3neN: 2" ~ 1 là số nguyên tó

e) VxeR: |x| >0 f) 3xeR: |x| = 0 g)_ VAABC: AABC là tam giác cân

h) 3hinh thang ABCD: ABCD là hình bình hành

j)_ đường tròn (O): đường kính là dây cung lớn nhát ï 3 Bai 3: a) q(3) b) q(2,7) Cc) a5 )

d) SyeR: 2006 + y = 2009: e) VyeR: 2006 + y = 2009

Bai 4: a) dxeR: x + 5 <7: dung b) VneN: 15 không là bôi của n: sai c) vxeR: |x| z 0: sai d) 3xeR: x + 3z 3 + x: sai

e) VxeR: x? + 4x — 5 z 0: sai

Bạn đọc hãy tự phát biểu thành lời

Bài 5: a) 3xeQ: 2x + 3 = 6 b) VxeQ: 5x = x5

c) VxeQ: x? + 2x + 3 > 0 d) 3xeQ: x chia hết cho 5 Bài 6: Chứng minh:

a) Với n= 1: 2?`+ 1= 2?” +1 = 5 là số nguyên tố

Chú ý: Các số có dạng: 2?” + 1 (neN) gọi là số Phecma

Phecma đã đưa ra giả thuyết: "vneN: 2?” + 1 là số nguyên tố" ssau kh

thử đúng với n = 0; 1; 2; 3; 4 Nhưng sau đó, Ơle đã chứng minh được

2?” + 1 chia hết cho 641, nghĩa là giả thuyết Phecma sai

Trang 22

Khi đó: a Jtb = M z Ñ Điều này mâu thuẫn với giả thiết M = Ñ= 1v

b) Giả sử tứ giác ABCD có tổng các 4

góc déi dién B+D=180° nhung tir gidc

ABCD không nội tiếp đường tròn (hình vẽ)

Khi đó: đường tròn cắt AD tại D', ta có ABCD' nội tiếp trong (O)

= B+`=180° Điều này mâu thuẫn với giả sia thiết B+ơ =180°(Vì Ơz 6° \

Bài 3: a) Giả sử a = 2k, b.= 2l + 1 (k,leZ): a+b= 2 + I) + 1 là số lẻ c b) Giả sử trong 2 số có ít nhát một số chan => C/m tích 2 sé la s6 chan c) Sử dụng các kết quả trên Bài 4: Gọi 2 nghiệm của phương trình là xị, x; Theo định lí Vi-et, ta có: D Xp + X= Ps sexs = © # a va Chú ý: Cần nhớ các kết quả này để xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Bài 5: a) Giả sử có số hữu tỉ E (p; qeZ: phan sé P ti giản): q q 2 (2) - =3 P =2 = pỶ = 2dŸ (*) = p? là số chẵn = p là số chăn (Bạn q đọc tự chứng minh) => p = 2k

Thay vào (*), ta có: 4k? = 2q? =› q? = 2k? = q là sé chan Điều này mâu thuẫn giả thiết phân số a là tối giản

bà Giả sử co | tứ giác lồi ABCD có 4 góc nhọn Khi đó:

Trang 23

c)C={ Tu /neÑ,2<n<€)} đ)D ={vn /neN, isnss 5} n+ e)E={xeR/-2<x <3} f) F={(M/ OM = R} Bài 3: a) Ñ C ZC QC R b)BCCCDCECA Bai 4: xcA = x = 9k +7 = 3(3k +2) +1 = 3l +1 (1= 3k +2) = xeB Bài 5: A = (xelR / x?— 5x + 6 = 0} = {2; 3}

B =(xeÑ/ x là ước của 6} = {1; 2; 3; 6) =ACB

Bài 6: Ta có: n = 7 -m; với n,meÑ_ = m nhận các giá trị là các số tự ' nhiên -từ 0 đến 7 => A ={0; 1; 2; 3; 4,5; 6; 7} Tương tự: B = (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Vậy A=B Bài 7: * xeA = x là ước của a và x là ước của b, x < d Ta có: 3q, reÑ: d = xq +r (0< r < x) => r = d -xq

Vì d và x đều là ước của a nên r là ước của a Mặt khác: 0<r<x<a r= 0 =d= xq hay x là ước của d — xeB

* xeB => x là ước của d:

Ta lại có: d là ước của a => x là ước của a; d là ước của b => x la ước của

Trang 24

D c4 chứa các phần tử 1; 2; 3 và D không chứa các phần tử 0; 5; 7,

chang har =D = (1; 2: 3; 4; 6}, taco BA D=A bANB={({xeR/1sxs3:CcAnBeazitjb<3 AW B={xeR/-3<x< 5} AUBCCeas-3 b> 5 Bài 4: c) x” -3x? -6x.+8 = 0 <> x° +8 -3x(x +2) = 0 <> (x +2)(x? -5x +4) = 0 o> KS-2)xX = 1) x= 4 2x) +9x” -2x ~9 = 0 &> 2x(x? —4) +9(x? ~1) = 0 <> (x? -1)(2x +9) =O > “ h [xeA x ir Bai 5: b)*xeA A (AU B) > bàn gSi[xA=xeA KAU [xB { teehee POF peed iA) (xeAv8 oxeA\(BUC)<¢ i[xcA

Íx£A [xeA |\xeB

PER [x¢But ie oe [xeA ssxe(A\B)ơ(A\C);

xÂC H

(xe€

Bài 6: Gọi A: tập học sinh khối 10; B: tập học sinh khối 10 biết chơi bóng chuyên;

C tap học sinh khối 10 biết chơi bóng ban và a, b, c là số lượng học sinh tương ứng với từng tập trên Ta có: SA

- Tập học sinh chơi được một môn B

Trang 25

Chwong il HAM SO BAC NHAT VA BAC HAI $1 HAM SO TOM TAT LY THUYET 1 Dinh nghia Cho D =R và D # Ø Hàm số f xác định trên D là một quy tắc cho tương ứng mỗi xe: D với một và chỉ một số y

- —D gọi là tập xác định (hay miên xác định) của hàm số f

—x gọi là biến số (hay đối só) và x e D

~ Số y tương ứng với mỗi giá trị của biến số x được gọi là giá trị

của hàm số f tại x (hay tai diém x), ký hiệu là f(x)

t D-—-›R xX |—> y = f(x)

2 Hàm số cho bằng công thức

Khi cho hàm số bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định của nó, thì ta có quy ước sau:

Tập xác định của hàm só y = ffx) la tap hop tat cả các số x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa

3 Đô thị của hàm sé

Định nghĩa: Đô thị của hàm số f' D —› R là tập hợp tắt cả các

diém M(x, f(x)) trên mặt phẳng toạ độ với mọi x e D

Đô thị của hàm số y = f(x) là một đường (đường thẳng, đường

cong, )

y = x) là phương trình của đường đó

4 Sự biến thiên của hàm số a Định nghĩa f(x¡)-fŒX;) _ 0 X1— Xp Ux 1,X2 © (aj), X1 # X2 y = f(x) nghịch biến (giảm) trên (a;b) <> al he) <0 + 2 VxX1,X2 € (3;b), X; # X; y = f(x) đồng biến (tăng) trên (a;b) © b Bảng biến thiên

~ Khảo sát sự biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng điÖng

biến và các khoảng nghịch biến của nó

Trang 27

d thức : 2 có nghĩa khi ta thực hiện được phép chia x”~ Suy ra: x? - 4 #0 c> x #2 và x # ~2 Tập xác định D = R\{2; -2} ` Biểu thức -x” + 5x - 3 có nghĩa với mọi x e R Tập xác định D = R B Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số = 3 1 a y=v = Jx-14+ + ¥5-3x b, D } y=S — € y =—==—— S1 Giải: a + VB-3x có nghĩa khi ¬ 5 Tập xác định D = [1; 3! b Biểu thức a +3 có nghĩa khi 1 - x> 0 x < † M1-x Tập xác định D = (~œ; 1) " 1 {x20 fx>0 c Biểu thức -—— có nghĩa khi Yea "9 a <> { Ixz1 Tập xác định D = [0; +) \ {1} a nếu x>0 Bai 3: Cho ham sé f(x) = JX* Ÿx+1 nếu -1<x<0 x-1 > Tìm tập xác định của hàm số f(x) Tìm giá trị của hàm số tại x = 0, x = 2, x = -3, x = ~1 Giải: Tìm tập xác định

Trên (0; +z:) biểu thức =a luôn có nghĩa

Trên [~1; 0] biểu thức ee luôn có nghĩa

x

Trang 28

- Ta có 3 - ð 211 3

ên f(0) af VHT Wg

nên f(0) = hag -=1 va " 1-4 {y= =

x = -3 £ D nên không tồn tại giá trị của hàm s

2 Xác định điểm M(c;P) thuộc (không thuộc) đỏ thị (C) của hàm số y = f(x)

Phuøng pháp

~ Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)

~ Kiễm tra x = ơ có thuộc D không

Trang 29

^ ]?{-]?|Atma |[A [+ | ' J[cArc =f) Vậy f2) = 2 =|A2 3 = tÈ) Vay f(3) = Ễ

Trong trường hợp này máy cho giá trị đúng

3 Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên (a;b) Phương pháp — WX\ì, Xa e (a;b) và Xị # Xa — Tinh f(x;) theo x; va f(x2) theo x2 ~ Lập tỉ số ‡Œ;) - f4) XQ —X + Néy £%2)—f04) X= X, f —_ £ + Nếu 1%) ~ ÍŒỞ « 0 thị hàm số y = f(x) nghich biến trên (a;b) Kp Ry

> 0 thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b)

Trang 31

[x,>-1 x, +1>0 Trén (-1, +) taco: } ape! > (x) + 1)(%) + 1)) > 0 (X; >~† |x, +1>9 Te (1), taco; ef) 2 4 gg X; —Xy OG + 1x, + 1) Do đó, hàm số nghịch biến t2 | VÀ Xị # Xe "1 Do đó, hàm số đồng biến 4 Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số y = f(x) Phương pháp Tìm tập xác định D

~ D phải thoả mãn điều kiện: vx « D

=> -x € D (D la tap đối xứng qua O) - Tử f(x) tìm f(-x) ~ So sánh f(x) và f(-x) + Nếu f(-x) = f(x) thi y = f(x) la ham sé chan + Nếu f(-x) = -f(x) thì y = f(x) là hàm số lẻ Ghi nhớ: — (x)”=x”,vnecN =N\(0} xn = x2ntt |-x| = |x| Bài 6: Xét tinh chan, lẻ của các hàm số: a_ y=3x'-4x +3 b y=x?-2lx|+†1 c y=2x”-5x d y= tex e y= Mttx + M1-x Giải a Tap xac dinhD=R VxeR=-xeR f(—x) = 3(_—x)” - A(-x)? + 3 = 3x — 4È + 3 f(-x) = f(x)

Suy ra: y = 3x* — 4x? + 3 la ham sé chan

b Tap xac dinhD=R

Trang 32

f(-x) = (-x) - 2|-x| + 1= 2lx| + 1 = f(x)

Suy ra: y = x? - 2ix} + 1 la ham sé chan

œ Tap xac dinhD=R VxeR=-xe<R f(-x) = 2(-x)? - 5(—x) = -2xỶ + 5x = —(2x) — 5x) f(-x) =~ foo Suy ra: y = 2x° ~ 5x là hàm số lẻ d Tập xác định D = [-1; +), tập này không đối xứng qua O Lấy 2 c D nhưng -2 z D Suy ra: y = all +x không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ ‹@ _ Tập xác định D =[-1; 1] VxeD=›-xeD f(-x) = 1+ G6 + J1- Cx) = VIR x 4 VIF x = £00 Suy ra: y= V1+ x + V1-x la ham sé chan C BÀI TẬP Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau: a Yeu xˆ-2x+5 b y= Vx-1+/5-x e dy = x3" POE Í 2x? + -86 + en ye Wek eek 88 ÿ gai | Ý-x? + 13x -40 Jx+1|~[x~1| ———— (2x - 3)(x - 5) xe(-z;0) Bài 2 Cho hàm số y = V2xX+t5 x €[0:9) Vx? 141x430 xe[10;20]

a Tim tap xac dinh ctia ham sé

b Tinh gia tri của hàm số tại các điểm x = -2; x = 1; x = 5; x = 12 Bài 3 Cho hàm số y = jx+ Jx~1 a _ Tìm tập xác định của hàm số b Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng cua f(3), f( V3), f(x), f(1,2345) chinh xác đến phản trăm Bài 4 Cho hàm số y= —— X1 - 3x? -2x+m ——

a Timm dé ham so co tap xac dinh là R

Trang 33

1 1.2 1 1.—6 M:(3:—); ( 5) M2(-=;=); s22) M3(2; —); 3 2) Ma( =;—= aS 5) Bài 5 Khảo sát sự biến thiên của các hàm sắ trên khoảng đã chỉ ra » 2 5 5 a y = 2x? - 5x +3 trén (-00; ~); (=; +0 (s 2) (q2) b._ y=-x?+4x+5 trên (—œ; 2); (2; +) e y= et trên (-20; 1); (1; +0) - d y=vx°-2x+3 trén (—00; 1); (1; +0) Bài 6 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a y=xt+2x?-14 b y=x-x* ye x?+1 a ye x? +1 l x?-3|x|+2 ` x? ~3x4+2

e._ y=|x+ †1|-|x- †| f y=v1+x-v1-x

Bài 7 Cho u(x) là hàm số chẫn, v(x) là hàm số lẻ có cùng tập xác: định D và hàm số f(x) = u(x) + v(x)

a _ Biểu thị f(—x) theo u(x) va v(x) b Cho f(x) = %—" Tim u(x) va v(x)

x +7

§2 HAM SO BAC NHAT

A TOM TAT LY THUYET

I Khảo sát hàm số bậc nhất y = ax + b voi a #0

1 Tập xác định D =R 2 Chiêu biến thiên:

Dinh ly: Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + b đông biến trên R

Nếu a < 0 thì hàm số y = ax + b nghịch biến trên IR Bảng biến thiên: a>0 a<0 x | —= too x | =.- +œ y | _ pa” +00 y | +00 _ 3 Đỗ thị:

- Đô thị của hàm số y = ax + b (a # 0) là một đường thằng

không song song và cũng không trùng với các trục toạ độ

Trang 34

Đuờng thẳng y = ax + b (a # 0) đi qua hai điểm A(0;b) và ty NL b N +s h Ns PN | a Gọi dé thị của hàm số y = ax + b (a # 0) là đường thằng y= ax +b, a là hệ số góc cúa nó II Hàm số hang y = b

~ Đồ thị của hàm số y = b là đường thẳng song song hoặc trùng

với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0;b)

Đồ thị của hàm số y = b gọi là đường thẳng y = b

- Khi b = 0, đường thẳng này trùng với trục hoành

B CAC DANG TOÁN

1 Vé dé thj ham sé y = ax + b (a # 0)

Phương pháp

- Xác định hai điểm của đường thẳng bằng cách cho x hai gia tri x1, x2

(x1 # X) ri tinh y;, yo

Trang 35

b sox 4 2 Chox=0>y=1 x=2>y=0 Đồ thị của hàm số y = ~3x +11a một đường thẳng đi qua hai điểm (0; 1) và (2; 0) c y= 43x- v3 Chox=1=>y=0 x=0=y=-v3 Đồ thị của hàm số y = V3 x- v3 là một đường thẳng đi qua hai điểm (1; 0) va (0; - V3) = (0; -1,7) d._ y=-2x Cho x=Q>y=0 x=1>y=-2 Đồ thị hàm số y = -2x là một đường thẳng đi qua hai điểm (0; 0) và (1; -2) —2 2 Vẽ đồ thị hàm số cho bởi nhiều công thức Phuong pháp

- Xác định công thức với tập xác định đã cho

Trang 37

- Đồ thị của hàm số là hợp của ba đồ thị trên, ở đây điểm (3; 5)

va (5; oy thuộc đồ thị còn (3; -1) va (5; -1) khéng thuoc đồ thi

3 Viết phương trình của đường thang di qua hai điểm A(x.,y;) và B(x2,y2) Phương pháp ~ Đường thẳng (d) có phương trình y = ax +b ~A e (d) và B e (d) ax,+b=

-ciaine { TTD = tim ava b ax,+b=y,

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm a - A(4; 3) và B(2; -1) b M(0; 2) và N(—3; -1) c P(1; 3) va Q(-V5; 3) Giai: a Gọi đường thăng (d) có phương trình y = ax + b, (d) di qua hai điểm A và B nên ta có A e (d) và B e (d) 4a+b=3 la=2 Suy ra: © 4 2a+b=-1 |b=-5 Phương trình đường thẳng (d): y = 2x - 5 b._ Gọi đường thăng (d) có phương trình y = ax + b, (d) đi ‹qua hai điểm M và N nên ta có M e (d) và N e (d) J20 +b=2 Ẹ =8 Ầ° |-aV3+b=~—1 a=⁄4 Phương trình đường thẳng (d): y= V3 x + 2 c Gọi đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b, (d) di qua hai điểm P và Q nên ta có P e (d) và Q e (d) Suy ra: 8 12 +b=3 ụ =0 UY ra: |-V5a+b=3 b=3 Phương trình đường thẳng (d): y = 2 Nhân xét :

Khi A(x;,y;) và B(xa,y›) với y; # y;, đường thẳng y = ax + b di qua hai

điểm A, B Suy ra:

=ax+b `

Ñ y,=ax,+b = y—y, =8(X~X,) _y,=a@,—xj)

y, =ax, +b Yo 2N

Trang 38

Suyra, SOM YOY X;~Xị; Ya Vy

Phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(4; 3) và B(2; -1) là

x.=A _ y-3 ase oy =2x-5

2-4 1-3 ° ™

4 Viết phương trình đường thang đi qua A(œ; B) và song song với đường thăng cho trước (d): y = ax +m

Phương pháp

- Hai đường thẳng song song thì có hệ số góc bằng nhau

~ Đường thẳng (d;) song song với (d), phương trình có dạng y = ax + b ~Ac (d)-›b=ƒ- aơœ

Bài 4: Viết phương trinh của đường thẳng

a _ Đi qua điễm A(1; 2) và song song với đường thẳng y = -2x + 1

b Đi qua điễm M(1; -1) và song song voi Ox Giải: a _ Đường thẳng y = -2x + 1 có hệ số góc a = -2, đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng y = -2x + 1 nên phương trình có dạng y = -2x+b Đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) nên: 2 =-2.1 +b=b=4 Phương trình đường thẳng y = -2x + 4

b Phương trình của đường thẳng Ox là y = 0 có hệ số góc a = 0,

Trang 39

Giải: a _ Hệ số góc của đường thẳng (d;) là a; = T Hệ số góc của đường thẳng (d;) là a; = -1 (di) I (d;) 2 =-1om=-2 b (d;) cắt (d;) = #-1m#-2 c Gọi A là giao điểm của (dz) va (ds) oe Toạ độ của A là nghiệm Min ° y =2x+1 _5 3 3 4 (d,), (da), (ds) ddng quy thi A < (d;) Suy ra: eo 1,1 =m=7 3 23 2 C BÀI TẬP Bài 1 Viết đường thẳng đi qua gai điểm A(1; 2) và B(2; 1) Vẽ đường thẳng đó Bài 2 Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua các điểm: a A(1; 4), B(2;1) b B(2;1),C(6; 2) c A(1; 4), (C(6; 2) d V6 dd thị các hàm số đó lên một hệ toạ độ Bài 3 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = -2x + m(x + 1) a Bi qua M(-2; 3)

b Song song voi đường thăng y = 2x + 2006

c Song song voi truc hoanh

Bài 4 Cho hai đường thẳng y = 2x + 5 vày =mx - 3

a Xác định m dé hai đường thẳng đó song song -

b Xác định m đề hai đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm trên trục

hoành

Bài 5 Viết phương trình của đường thẳng

a Piqua diém A(4; 3), song song với đường thẳng 2x - 3y + 5 := 0

b i qua điêm B(2; -5) và song song với trục hoành

Bài 6 Xác định k để các đường thẳng sau đồng quy

a x-2y+1=0; y = -2x + 5; kx + 4y =7

b 3y=4x+k, y=x+4; 5x-y-8=0