Chính vì thế việc hướng các em tới những bài toán khó hơn những bài toán trong sách giáo khoa để các em làm quen là hết sức quan trọng, vừa giúp học sinh có thêm kiến thức vừa làm cho kh
Trang 1I MỞ ĐẦU.
1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chúng ta đang sống trong thế kỉ XXI - thế kỉ của Khoa học công nghệ - và
Khoa học kĩ thuật đã thu hút tất cả mọi người vào vòng quay của nó Nhiệm vụ trồng người của giáo viên chúng ta cũng vì thế mà nặng nề hơn rất nhiều Giờ đây nhiệm vụ đó không chỉ dừng lại ở đào tạo những em học sinh ngoan, chăm học, có lòng yêu nước mà cần phải hình thành và phát triển ở các em những phẩm chất và năng lực của một công dân Việt Nam trong thời kì mới: năng động, sáng tạo, tự chủ và có ý chí vươn lên, có năng lực tự học và có thói quen học tập suốt đời, ham hiểu biết và có niềm tự hào dân tộc Ngoài mục tiêu chủ yếu là bồi dưỡng kĩ năng tính toán thì giờ đây môn toán tiểu học còn phải chú ý phát triển tư duy, bồi dưỡng phương pháp suy luận cho các em, tạo cho các em niềm say mê hứng thú trong học tập, tích lũy kiến thức để tương lai có thể tiếp nhận được những thành tựu khoa học kĩ thuật mới nhất đang được sáng tạo hàng ngày, hàng giờ của thế kỉ XXI, thế kỉ mở đầu cho thiên niên kỉ thứ ba
Toán là một môn học khó, tưởng chừng như khô khan nặng nề, khó tiếp
nhận nhưng cũng khá lí thú và không kém phần hấp dẫn đối với những ai đã say
mê nó Sự say mê học môn Toán của học sinh thường được tạo ra bởi nhiều cách khác nhau và có một lí do không thể phủ nhận đó chính là từ người thầy trực tiếp giảng dạy các em Chính những bài giảng hấp dẫn của thầy, cách hướng dẫn của cô làm cho các em thích thú và tạo dần cho các em niềm say mê môn học
Từ sự say mê , hứng thú trong môn học, các em sẽ cố gắng tập trung vào việc học nhiều hơn, như vậy việc học trở nên tự nhiên và cũng nhờ đó mà chất lượng học tập của các em ngày một nâng cao
Qua nhiều năm giảng dạy, khi bồi dưỡng năng lực cho học sinh có khả
năng học tốt môn toán, tôi thấy học sinh lớp 5 vẫn là lứa tuổi nhỏ, tuy khả năng nhận thức của các em được hình thành và phát triển hơn các lớp trước, tư duy đã bắt đầu có chiều hướng bền vững và đang ở giai đoạn phát triển, vốn sống thực
tế đã bước đầu có những hiểu biết nhất định song vẫn còn nặng về tư duy cụ thể Con đường để các em lĩnh hội kiến thức nhanh nhất vẫn là trực quan sinh động Chính vì thế việc hướng các em tới những bài toán khó hơn những bài toán trong sách giáo khoa để các em làm quen là hết sức quan trọng, vừa giúp học sinh có thêm kiến thức vừa làm cho khả năng tư duy của các em tiến bộ thêm một bậc, đồng thời tạo hứng thú học tập cho các em trong môn toán – một môn học được coi là khô khan và hóc búa Khi làm toán, các dạng bài thuộc về kĩ năng các em làm rất nhanh và chính xác nhưng lại không biết khai thác bài toán mới thành một chuỗi bài toán có liên quan đến dạng bài cơ bản đã học Vì thế với một bài toán mới, nhiều học sinh không biết phải bắt đầu từ đâu? Vận dụng những kiến thức nào? Bài toán có liên quan đến những kiến thức nào đã học?
Với những lí do trên, tôi đã chọn đề tài “Giúp học sinh giải một số bài
toán nâng cao của một dạng toán điển hình: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số
của hai số đó”
Trang 22 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Đưa ra một số giải pháp giúp học sinh có khả năng học tốt môn toán nhận
ra dạng toán và giải được một số bài toán nâng cao dạng Tìm hai số khi biết tổng
và tỉ số của hai số đó nhằm nâng cao chất lượng dạy – học môn Toán.
3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
Tìm hiểu thực trạng việc học sinh giỏi trong lớp giải một số bài toán nâng
cao dạng Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó và nguyên nhân của
thực trạng đó
3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết;
- Phương pháp điều ra khảo sát thực tế;
- Phương pháp thống kê xử lí số liệu
Trang 3II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
Hiện nay, giáo dục Tiểu học đang thực hiện yêu cầu đổi mới theo thông tư
30 của Bộ Giáo dục : dạy học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, làm cho hoạt động dạy học trên lớp “nhẹ nhàng, tự nhiên, hiệu quả” Để đạt được yêu cầu đó, giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp và hình thức dạy học để vừa phù hợp với đặc điểm tâm sinh lý của lứa tuổi tiểu học
và trình độ nhận thức của học sinh vừa nâng cao hiệu quả cho học sinh, đáp ứng với công cuộc đổi mới của đất nước nói chung và của ngành giáo dục tiểu học nói riêng
Những bài toán nâng cao thường là những bài toán rút ra từ thực tế cuộc sống Nội dung bài toán được thông qua những câu văn nói về những mối quan
hệ, sự tương quan và phụ thuộc, có liên quan đến những vấn đề thường xảy ra hàng ngày xung quanh các em Cái khó đối với học sinh là phải biết lược bỏ những yếu tố về lời văn đã che đậy bản chất toán học của bài toán, phát hiện ra các mối quan hệ giữa các yếu tố toán học chứa đựng trong bài toán và nêu ra phép tính thích hợp để từ đó tìm được đáp số bài toán Giải được các bài toán nâng cao vừa giúp các em tư duy nhanh hơn vừa cung cấp cho các em một số hiểu biết nhất định trong thực tế cuộc sống, từ đó giúp các em có khả năng thích ứng tốt hơn trong những vấn đề xã hội
2 THỰC TRẠNG CỦA VIỆC BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC CHO HỌC SINH CÓ KHẢ NĂNG HỌC TỐT MÔN TOÁN.
Khi bồi dưỡng năng lực cho học sinh có khả năng học tốt môn toán trong lớp, tôi nhận thấy:
- Khả năng nhận dạng toán của học sinh còn nhiều hạn chế: các em còn khá lúng túng trong việc nhận ra dạng toán khi gặp một bài toán lạ
- Một số em chỉ làm được những bài toán giống mẫu
Cụ thể khảo sát trên 16 em học sinh có khả năng học tốt môn toán của lớp 5E do tôi phụ trách vào đầu năm học, học sinh tuy làm được bài nhưng vẫn còn lúng túng, cần sự giúp đỡ của giáo viên khi giải bài toán sau:
Bài toán : Hai bạn Bình và An quyên góp được 64 quyển vở để ủng hộ
các bạn học sinh vùng cao Tính số vở của mỗi bạn đã quyên góp được, biết rằng 1
3số vở Bình quyên góp bằng 1
5số vở An quyên góp
Theo tôi, nguyên nhân dẫn đến tình trạng trên là do:
- Học sinh còn thụ động trong việc tiếp thu kiến thức, còn thiếu tự tin trong học toán, các em chưa có hứng thú đối với môn học
- Khi hướng dẫn học sinh giải toán, giáo viên chưa tìm ra phương pháp thích hợp, thường chỉ dạy theo những gì có trong sách giáo khoa chứ chưa có sự đầu tư cho bài giảng nếu đó không phải là tiết dự giờ, chưa tạo được không khí cũng như hứng thú học tập cho học sinh.…
Trang 43 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN.
Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy khi dạy học sinh làm toán giải, giáo viên phải giúp học sinh nắm được những vấn đề cơ bản sau:
- Các em phải biết cách phân tích đề toán, tóm tắt bài toán ở dạng ngắn gọn và khoa học nhất
- Phải có kĩ năng nhận dạng bài toán từ đó mới định hướng được cách giải
- Thực hiện được kĩ năng tính toán một cách thành thạo và phải biết cách thử lại bài toán
Trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng năng lực cho học sinh có khả năng học tốt môn toán, tôi nhận thấy nếu như giáo viên hướng dẫn các em biết cách thực hiện một cách linh hoạt, sáng tạo những kiến thức đã học thì việc giải toán trở nên đơn giản và nhẹ nhàng hơn rất nhiều
Để giúp học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải toán, bản thân tôi đã nghiên cứu và tìm ra được một số kinh nghiệm và bước đầu đem lại kết quả
3.1 Các bước thực hiện trong giải toán có lời văn
Khi giảng dạy tôi hướng dẫn các em cụ thể qua các bước sau:
Bước 1: Đọc kĩ đề toán:
Ở bước đầu tiên này tôi hướng dẫn các em phải xác định cho đúng những cái đã cho, những cái phải tìm và các mối quan hệ chính trong đề toán Trong bước này các em phải huy động toàn bộ vốn hiểu biết của mình về những gì có liên quan đến các nội dung đã nêu trong đề toán, sẵn sàng đưa chúng ra để phục
vụ cho việc giải toán
Bước 2: Tóm tắt bài toán
Sau khi đã hướng dẫn các em thực hiện thành thạo bước phân tích đề, tôi tiếp tục triển khai thực hiện bước 2: tóm tắt bài toán
Thông thường, sau khi đã xác định được cái đã cho, cái phải tìm thì giáo viên cần hướng dẫn học sinh biểu thị lại bài toán một cách trực quan và ngắn gọn những điều đã biết, chưa biết trong bài toán để dựa vào đó tìm ra cách giải bài toán hợp lí nhất, ngắn gọn và cụ thể nhất
Trước khi cho các em tóm tắt bài toán, tôi nhắc nhở các em hướng sự tập trung chú ý vào những chính yếu nhất của đề toán, tìm cách thể hiện chúng bằng hình vẽ, sơ đồ Trong trường hợp khó vẽ bằng sơ đồ đoạn thẳng thì cần dùng ngôn ngữ ngắn gọn để ghi lại nội dung đề toán
Bước 3: Xác định dạng toán và giải toán
Từ phần tóm tắt vừa thực hiện, học sinh sẽ suy nghĩ để nhận ra mối liên quan giữa bài toán với những kiến thức đã học, nhận dạng toán và tìm ra hướng giải
Trong giải toán, theo tôi thì hiểu đề và tóm tắt được bài toán coi như đã thành công được 50%
Trong toán có lời văn thì việc nắm vững cách giải những dạng toán điển hình là vô cùng quan trọng Nhưng bước quan trọng không kém là phải nhận ra được dạng toán, đặc biệt là những bài toán nâng cao được sáng tạo từ những
Trang 5dạng toán cơ bản mà các em đã được học trong sách giáo khoa Để giúp các em
dễ dàng hơn trong việc nhận ra dạng toán thì sau khi khắc sâu các bước làm một bài toán mẫu thuộc loại toán điển hình, tôi đã hướng dẫn các em ghi nhớ bảng sau:
Bước 4: thử lại
Đây là bước không thể thiếu trong giải toán, nhất là những bài toán nâng cao Công việc này giúp các em có thể kiểm tra lại chắc chắn bài làm của mình cũng như đánh giá được việc nhận dạng đề toán của bản thân
Dạng toán điển hình tổng - tỉ đã được các em học từ lớp 4 song để giúp
các em làm tốt những bài toán nâng cao, tôi đã giúp học sinh củng cố lại cách làm bài toán cơ bản
3.2 Củng cố cách làm bài toán cơ bản: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó.
Đầu tiên tôi giúp các em hiểu rõ:
- Toán điển hình là gì? (Là những bài toán cùng dạng, đơn giản có dữ
kiện rõ ràng, có thể giải dựa vào công thức hoặc các bước tính đã được cụ thể hóa).
- Bài toán cơ bản là gì? (Là những bài toán được coi là bài mẫu trong
sách giáo khoa)
- Những bài toán nâng cao được sáng tạo từ bài toán cơ bản là gì? (Là
những bài toán không hiển thị cụ thể dữ kiện bài toán mà được ngụy trang bằng cách này hay cách khác để phát triển tư duy và kích thích khả năng nhận biết của học sinh).
Tôi đưa ra bài toán gốc (SGK toán 5 trang 17):
Đề bài:
Tổng của hai số là 96 Tỉ số của hai số đó là 3/5 Tìm hai số đó
Học sinh tự làm bài toán như sau:
Tóm tắt ?
Số bé:
?
Số lớn: 96
Trang 6Bài giải Tổng số phần bằng nhau là:
3 + 5 = 8 (phần)
Số bé là: 96 : 8 x 3 = 36
Số lớn là: 96 – 36 = 60
Đáp số: Số bé: 36; Số lớn: 60
Sau khi các em làm xong, tôi hỏi để củng cố cách làm:
- Bài toán gồm mấy đại lượng? ( 2 đại lượng)
- Muốn tìm đươc 2 đại lượng đó chúng ta cần biết những gì?( tổng và tỉ số
của chúng)
- Nêu các bước thực hiện của bài toán
+ Bước 1: Tìm tổng số phần
+ Bước 2: Tìm số bé = (tổng 2 số : tổng số phần) x số phần của số bé + Bước 3: Tìm số lớn.
(Có thể tìm số lớn trước rồi tìm số bé)
* Khắc sâu: muốn làm tốt dạng toán này các em phải đọc kĩ đề, xác định
dữ kiện của bài toán xem hai đại lượng chính trong bài toán là gì? Đã biết dữ kiện nào? Từ đó tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng rồi giải theo các bước 1, 2, 3, 4 như đã được hướng dẫn.
Từ đó tôi giới thiệu: Có những bài toán khác cũng thuộc dạng này nhưng
dữ kiện được ngụy trang bằng cách này hay cách khác Để làm được bài toán như thế chúng ta phải tìm ra được dữ kiện ẩn của bài toán (có thể ẩn tổng số, tỉ
số hoặc cả tổng và tỉ số ), từ đó đưa về dạng toán điển hình
3.3 Hướng dẫn giải những bài toán nâng cao của dạng toán điển hình :
« Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó »
a Dạng thứ nhất: Những bài toán ẩn tỉ số:
Bài toán 1:
Hai bạn Bình và An quyên góp được 64 quyển vở để ủng hộ các bạn học sinh vùng cao Tính số vở của mỗi bạn đã quyên góp được, biết rằng 1
3số vở Bình quyên góp bằng 1
5số vở An quyên góp
Sau khi các em đọc kĩ đề trong 2 phút Cả lớp đã xác định được như sau:
Cái đã cho: Bình và An: 64 quyển vở.
1
3số vở Bình quyên góp = 1
5số vở An quyên góp
Cái phải tìm: Mỗi bạn quyên góp … quyển vở?
Tôi cho học sinh trao đổi nhóm đôi để tìm ra tỉ số ẩn của 2 số
Vì chưa gặp những bài toán dạng này nên đầu tiên các em khá lúng túng Giáo viên gợi ý:
Trang 7Em hiểu thế nào về dữ kiện: 1
3số vở Bình quyên góp = 1
5số vở An quyên góp ?
(1
3số vở Bình quyên góp = 1
5số vở An quyên góp tức là : nếu chia số vở Bình quyên góp thành 3 phần bằng nhau thì số vở An quyên góp gồm 5 phần như thế)
Từ đó xác định được tỉ số của hai đại lượng cần tìm là 3/5 Vậy bài toán trở thành bài toán cơ bản : Tìm hai số khi biết tổng (64 quyển vở) và tỉ số của hai số đó (3/5) Lúc này việc giải bài toán trở nên đơn giản
Các em tự tóm tắt bài toán và giải như sau :
?
Số vở Bình góp:
?
Số vở An góp:
Bài giải
Tổng số phần bằng nhau là:
3 + 5 = 8 ( phần)
Số vở Bình quyên góp là
64 : 8 x 3 =24 (quyển)
Số vở An quyên góp là
64 – 24 = 40 (quyển)
Đáp số: Bình: 24 quyển
An : 40 quyển Thử lại (hs nháp):
24 + 40 = 64 (quyển);
24 : 3 = 8 (quyển) ; 40 : 5 = 8 (quyển)
Như vậy bài toán được giải đúng
Bài toán 2:
Sau Tết, tổng số tiền mừng tuổi của hai anh em là 3 300 000 đồng Biết rằng 1
3 số tiền mừng tuổi của em bằng 2
5 số tiền mừng tuổi của anh Hỏi mỗi người có bao nhiêu tiền mừng tuổi?
Tôi cho các em thảo luận cách tóm tắt bài toán 2
Một số nhóm cũng vẽ đươc tỉ số thể hiện trong bài toán bằng cách suy luận: 1
3số tiền mừng tuổi của em bằng 2
5 số tiền mừng tuổi của anh nghĩa là: nếu
số tiền mừng tuổi của em gồm 3 phần bằng nhau thì 1 phần số tiền đó bằng 2 phần số tiền của anh nếu số tiền mừng tuổi của anh gồm 5 phần như thế
Tôi hướng dẫn các em cách làm đơn giản hơn: nếu các dữ kiện thể hiện tỉ số của hai số chưa cùng mẫu hoặc cùng tử thì ta quy đồng để đưa về cùng tử số
64 quyển
Trang 8Các em đã làm được như sau:
Ta có:
1
3 = 2
6 như vậy 2
6 số tiền của em = 2
5số tiền của anh Tức là: nếu số tiền của em gồm 6 phần bằng nhau thì số tiền của anh gồm
5 phần như thế Tỉ số giữa số tiền của em và số tiền của anh là 6/5
Ta có sơ đồ:
?
Số tiền của em:
?
Số tiền của anh:
Bài giải Tổng số phần bằng nhau là:
5 + 6 = 11 (phần)
Số tiền mừng tuổi của em là:
3 300 000 : 11 x 6 = 1 800 000 (đồng )
Số tiền mừng tuổi của anh là:
3 300 000 – 1 800 000 = 1 500 000( đồng)
Đáp số: Em: 1 800 000 đồng
Anh: 1 500 000 đồng
Thử lại : 31số tiền của em là : 1 800 000 x 13 = 600 000 (đồng)
52 số tiền của anh là : 1 500 000 x 52 = 600 000 (đồng)
Như vậy bài toán được giải đúng
Tôi tiếp tục nâng dần mức độ khó của bài tập qua bài toán 3
Bài toán 3:
Cô giáo phát thưởng 135 quyển vở cho một số học sinh giỏi lớp 1 và lớp 2 Mỗi em lớp 1 được 2 quyển , mỗi em lớp 2 được 1 quyển Số học sinh giỏi lớp 1 gấp đôi số học sinh giỏi lớp 2 Hỏi có bao nhiêu em học sinh giỏi lớp 1 được nhận vở?
Trước khi cho các em làm bài, tôi gợi ý bằng hệ thống câu hỏi:
- Bài cho biết gì? Dữ kiện nào bị ẩn? Dựa vào tỉ số học sinh giỏi lớp1 và lớp 2 ta tìm được gì?
- Các em đã chỉ ra được : Bài cho biết tổng số vở của lớp1 và lớp 2 được nhận Tỉ số vở của hai lớp còn ẩn Từ tỉ số học sinh hai lớp sẽ tìm được tỉ số vở của hai lớp
Như vậy các em đã đồng thời xác định được dạng toán và lập luận đưa về bài toán gốc như sau:
Nếu coi số học sinh giỏi lớp hai là 1 phần thì số học sinh giỏi lớp 1 sẽ là 2 phần như thế Vậy số vở của lớp 1 sẽ là 4 phần bằng nhau và số vở của lớp 2 sẽ gồm 1 phần
3 300 000 đồng
Trang 9Tỉ số vở của hai lớp là 41 Ta có sơ đồ sau:
?
Số vở lớp 2:
?
Số vở lớp 1:
Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 4 = 5( phần)
Số vở lớp 1 là: 135 : 5 x 4 = 108 ( quyển) Số học sinh giỏi lớp 1 được nhận vở là : 108 : 2 = 54 (em) Đáp số: 54 em Tôi yêu cầu học sinh thử lại để khẳng định bài giải đúng Nhận thấy các em đã nhận dạng khá tốt, tôi đưa ra bài toán 4 Bài toán 4: Trước đây, vào lúc anh bằng tuổi em hiện nay thì anh gấp dôi tuổi em Hiện nay, tổng số tuổi của 2 anh em là 60 tuổi Tính tuổi mỗi người hiện nay Học sinh phát hiện ra ngay đây là dạng toán tổng tỉ Tổng số tuổi đã biết nhưng lại không biết tìm tỉ số tuổi của hai anh em hiện nay bằng cách nào Tôi gợi ý: Đọc kĩ dữ kiện thứ nhất của bài toán và tìm cách vẽ sơ đồ biểu thị tuổi hiện nay dựa vào tuổi trước đây của hai anh em Chú ý hiệu số tuổi của hai anh em không thay đổi theo thời gian Sau ít phút suy nghĩ, các em đã tìm ra được tỉ số như sau: Nếu coi số tuổi của em trước đây là 1 phần thì tuổi anh trước đây sẽ là 2 phần( vì lúc đó anh gấp đôi tuổi em) Như vậy tuổi em hiện nay là 2 phần Vì hiệu số tuổi không thay đổi theo thời gian nên hiện nay anh vẫn hơn em 1 phần Suy ra tuổi của anh hiện nay sẽ là 3 phần tỉ số tuổi của hai anh em hiện nay là 3 2 Ta có sơ đồ: Tuổi em trước đây:
Tuổi anh trước đây ?
Tuổi em hiện nay: ? 60 tuổi Tuổi anh hiện nay:
Đến lúc này thì cả lớp đều ồ lên thích thú khi tìm ra hướng giải của một bài toán lạ
135 quyển vở
Trang 10Phần còn lại các em làm rất nhanh và đều đưa ra đáp án đúng
( anh: 36 tuổi; em: 24 tuổi)
Tôi yêu cầu cả lớp thử lại kết quả Các em đã làm được như sau:
Tổng số tuổi: 36 + 24 = 60 (đúng)
Khi anh bằng tuổi em hiện là 24 thì tuổi em lúc đó là : 24 – 12 = 12 bằng
2
1
tuổi anh (đúng)
Như vậy các em đã phần nào tìm ra được cách chuyển đổi dữ kiện bài toán
Tôi yêu cầu các em tự làm bài toán 5 và thu chấm
Bài toán 5:
Hiện nay, tổng số tuổi của ba cha con là 85 tuổi, trong đó: tuổi con gái bằng
2
5tuổi cha, tuổi con trai bằng 3
4tuổi con gái Tính số tuổi từng người
Bài giải
Ta có 2
5 = 4 10 Nếu coi số tuổi của con trai là 3 phần thì số tuổi của con gái sẽ là 4 phần và số tuổi của cha sẽ là 10 phần như thế Ta có sơ đồ: ?
Tuổi con trai: ?
Tuổi con gái:
?
Tuổi cha:
Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 4 + 10 = 17( phần)
Một phần gồm số tuổi là: 85 : 17 = 5 (tuổi)
Tuổi của con trai là:
5 x 3 = 15( tuổi)
Tuổi của con gái là:
5 x 4 = 20(tuổi)
Tuổi cha là:
5 x 10 = 50 (tuổi)
Đáp số: Con trai:15 tuổi
Con gái: 20 tuổi
Cha: 50 tuổi
Kết quả như sau:
Số học sinh Không làm được Biết cách làm Làm đúng bài Làm bài tốt
85 tuổi
