Một số biện pháp giúp học sinh giải nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc nghiệm

MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………1 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………………… 1.4 phương pháp nghiên cứu………………………………………………………….2 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm 2 NỘI DUNG…………………………………………………………………………3 2.1 Cơ sở lí luận………………………………………………………………………3 2.2 Thực trạng đề tài…………………………………………………………… 2.3 Các giải pháp thực hiện………………………………………………………… 2.3.1 Xác định nguyên hàm tích phân phương pháp phân tích …………… .4 2.3.2 Xác định nguyên hàm tích phân phương pháp đổi biến số…………… 2.3.3 Tính tích phân phương pháp tích phân phần……………………… 2.3.4 Xác định tích phân phương pháp dựng nguyên hàm phụ…………… 2.3.5 Xác định tích phân hàm số lượng giác…………………………………8 2.3.6 Tích phân hàm số hữu tỉ ………………………………………………… 2.3.7.Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối……………………… 10 2.3.8.Một số tích phân đặc biệt 11 2.3.9.Một số tập trắc nghiệm 11 3.KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ ……………………………………………………… 14 3.1 Kết luận………………………………………………………………………….14 3.2 Kiến nghị……………………………………………………………………… 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………15 DANH MỤC…………………………………………………………………………15 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Để giúp học sinh giải số toán nguyên hàm, tích phân kỳ thi, đặc biệt kỳ thi THPT quốc gia Để học sinh giải nhanh tốn trắc nghiệm với thời gian ngắn mà khơng đơn dùng máy tính Casio mà phải sử dụng kiến thức cách hợp lí, sử dụng cách linh hoạt phương pháp giải nguyên hàm, tích phân cách nhanh Muốn phải bồi dưỡng lực tư độc lập, tư tích cực tư sáng tạo học sinh kỹ thuật tính nhanh, trước tiên phải trang bị cho em kiến thức phổ thông vững trắc, khả giải dạng tập Muốn vậy, người giáo viên phả vận dụng phương pháp khác nhau, hướng em vào môi trường hoạt động tich cực, xem học tập trình tự khám phá liên tục Học tập phải thực nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động sáng tạo học sinh Người thầy giỏi phải giúp học sinh xem xét toán nhiều góc độ khác nhau, kích thích liên tưởng, kết nối giả thiết yêu cầu toán Giữa toán chưa biết cách giải với toán quen thuộc biết cách giải Biết phân tích, tổng hợp, so sánh, trường hợp riêng lẻ để giải toán nhanh Với lý chọn chọn đề tài “Một số biện pháp giúp học sinh giải nhanh toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc nghiệm” 1.2 Mục đích nghiên Cùng với mơn học khác, mơn tốn giúp học phần đào tạo người lao động mới, có tri thức khoa học, động, sáng tạo cơng việc, đóng góp phần khơng nhỏ thời đại khoa học kĩ thuật phát triển vũ bão Từ thực tiễn kiến thức nguyên hàm, tích phân phong phú đa dạng, dạng tốn mà ta hay sử dụng vào thực tế như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể trịn xoay Thời lượng phân phối chương trình ỏi Vì tơi mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đích giúp học sinh giải cách nhanh gọn số tập nguyên hàm, tích phân Giúp em đạt hiệu cao kỳ thi, đặc biệt kỳ thi THPT Quốc gia Vì tơi mạnh dạn chọn đề tài “Một số biện pháp giúp học sinh giải nhanh tốn ngun hàm, tích phân dạng trắc nghiệm” 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Cách giải số dạng nguyên hàm, tích phân 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong chương trình giải tích 12, kiến thức nguyên hàm tích phân chiếm phần quan trọng Tuy nhiên toán nguyên hàm tích phân chưa nhiều dừng lại tốn đơn giản, chưa có nhiều phương pháp kỹ thuật giải dạng cho học sinh Học sinh giải toán theo hướng định Do tốn ngun hàm tích phân chưa khai thác hết cách giải Qua trình giảng dạy học tập, tìm hiểu sách đặc biệt mạng internet nhận thấy việc dạy cho học sinh giải cách nhanh toán cần kiến để phù hợp với việc giải toán cho kỳ thi đặc biệt kỳ thi THPT Quốc gia cấp bách 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Khi tơi phân cơng dạy mơn Tốn khối 12 nhận thấy dạy theo sách giáo khoa học sinh mơ hồ, không nhận dạng tốn để giải nhanh Từ tơi có suy nghĩ làm cách để em giải nhanh tốn ngun hàm, tích phân Trong q trình giảng dạy tơi tích lũy đề tài “Giúp học sinh giải nhanh tốn ngun hàm, tích phân dạng trắc nghiệm” NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Dựa vào định nghĩa tích phân Các tính chất tích phân Các phương pháp tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh ngiêm Học sinh biết vận dụng định nghĩa, định lí cách máy móc mà không phân loại thành dạng 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Xác định nguyên hàm tích phân phương pháp phân tích Phương pháp chung: Bước 1: Biến đổi f(x) dạng: n f(x) = ∑α i =1 i f i ( x) với fi(x) nguyên hàm bảng công thức αi số Bước 2: Khi đó: ∫ n n i =1 i =1 f ( x)dx = ∫ ∑ α i f i ( x)dx = ∑ α i ∫ f i ( x)dx Ví dụ 1: Tinh tích phân : dx I =∫ +e x Giải: Sử dụng đồng thức: = (1 + ex) – ex Ta được: ( ) 1+ ex − ex ex = = − 1+ ex 1+ ex 1+ ex  ex  d 1+ ex  ⇒ I = ∫ 1 − dx = dx − x  ∫ ∫ 1+ ex  1+ e  ( ) = x - ln(1 + ex) + C dx Ví dụ 2: Tích phân I = ∫ x − 5x + bằng: A I = B I = ln D I = −ln2 C I = ln2 [1] Nhận xét : - Nếu học sinh khơng biết cách phân tích đưa dạng gặp tốn khó giải - Ở ví dụ ta sử dụng phương pháp đồng thức a b = + x − 5x + x − x − 2 - Nếu bậc tử cao bậc mẫu ta chia tử cho mẫu trước thực đồng thức Ví dụ 3: Giả sử π ∫ sin 3x.sin xdx = (a + b) A − B 2 a+b C − 10 D Ở ví dụ ta thấy muốn tính nguyên hàm tích phân ta phải biến đổi lượng giác tích thành tổng sin3x.sin2x = (cosx – cos5x ) Như vậy: Nếu ta gặp hàm lượng giác dạng tích cách làm nhanh thường biến đổi tích thành tổng 2.3.2 Xác định nguyên hàm, tích phân phương pháp đổi biến số Phương pháp đổi biến số sử dụng phổ biến việc tính tích phân Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm dựa vào định lí sau Định lý1: a.Nếu ∫ f(x)dx = F(x) + C u = ϕ(x) hàm số có đạo hàm thì: ∫ f(u)du = F(u) + C b Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x = ϕ(t) ϕ(t) với đạo hàm ϕ’(t) hàm số liên tục, ta được: ∫ f(x)dx = ∫ f[ϕ(t)].ϕ’(t)dt Định lý 2: a Nếu ∫ f(x)dx = F(x) + C u = ϕ(x) hàm số có đạo hàm [a,b] thì: ϕ (b) ϕ (b) (a) ϕ (a) f (u )du = F (u ) ∫ ϕ b Nếu f(x) hàm số xác định liên tục đoạn [a,b], hàm số x = ϕ(t) xác định liên tục đoạn [α, β] thoả mãn điều kiện sau: (i) Tồn đạo hàm ϕ’(t) liên tục đoạn [α, β] (ii) ϕ(α) = a ϕ( β) = b (iii) Khi : b ∫ a β f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt α [1] Tuy nhiên khó phương pháp cách chọn hàm x = ϕ(t) hay u = ϕ(x) cho phù hợp với toán cụ thể Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: Dấu hiệu a2 − x2 x2 − a2 a+x a−x , a−x a+x ( x − a )( b − x ) Hàm có mẫu số Cách chọn  π −π  x = a sin t ,  ≤ t ≤      x = a cos t , ( ≤ t ≤ π )  a − π π  ,t ∈  , , t ≠ x = sin t  2   a π x = , t ∈ [ 0, π ], t ≠ cos t  x = a cos 2t x= a + (b – a)sin2t t mẫu số Hàm f(x, f (x) ) t= Hàm f(x) = f (x) t = x+ a + x+ b ( x + a )( x + b ) t = lnx Hàm f(x) = f(lnnx; x ) Ví dụ 1: Tính tích phừn: I = ∫ dx x x +1 Giải: Đổi biến số: t= x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = xdx Ta có: dx I =∫ =∫ xdx =∫ x x +1 x x +1 tdt dt  1  =∫ = ∫ − dt t −1 t t −1  t −1 t +1  ( ) =  t −1   ln   +C 2  t +1  =  ln   x +1 −1   +C x +1 +1   Ví dụ 2: Tính tích phân: I = ∫x dx x2 +1 Giải: Đặt: t = x + ⇒ dt = x x2 +1 dx = xdx tdt ⇒ dx = t x x= 3⇒t =2 x= 8⇒t =3 Khi đó: dx x x2 +1 = tdt x2 x2 +1 = ( tdt dt 1 1  = =  − dt t −1 t t −1  t −1 t +1 ) 3  1  ⇒ I = ∫ − dt = ( ln t − − ln t + ) 2  t −1 t +1 2 3  t −1 =  ln  = ln  t +1 2 [2] 2.3.3 Tínhnguyên hàm, tích phân phương pháp phần Khi gặp dạng sau ta dùng phương pháp tích phân phần Dạng 1: ∫ P(x)axdx, ∫ P(x)sin(ax +b)dx, ∫ P(x)cos(ax + b)dx đặt: u = P(x) Dạng : ∫ P(x)logaxdx Đặt u = loga x Dạng 3: ∫ eaxsinbxdx, ∫ eaxcosbxdx nên dùng tích phân phần hai lần để tính với cách đặt: u = eax u = sinbx ; u = cosbx Sau ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến tiện lợi phương pháp này: I =∫ Ví dụ1 : Tinh tích phân : x ln( x + x + 1) x +1 dx Giải: Ta viết lại I dạng: I = ∫ ln( x + x + 1) ) ( x  1+ u = ln x + x +  x + dx =   ⇒ du = Đặt:  x x + x2 +1 dx dv =  x +1  v = x +  x x +1 dx dx x2 +1 Đặc biệt: Khi tốn thi trắc nghiệm Ví dụ : Gọi F(x) = ( ax3 + bx2 +cx + d )ex nguyên hàm hàm số f(x) = ( 2x3 + 9x2 - 2x + )ex Tính a2 + b2 +c2 +d2 A 244 B 247 C 245 D 246 - Như gặp dạng tích phân ta tính nào? - Cũng dùng tích phân phần để tính nhanh ta làm sau : F(x) = f(x)ex - f’(x)ex + f”(x)ex - f’’’(x)ex sau ta cộng tổng bình phương hệ số chọn đáp án Nhận xét: Nếu ta dùng tích phân phần rắc rối dài dịng dẫn đến thời gian làm lâu, nên trình giảng tơi đưa cách tính nhanh để có kết nhanh q trình làm trắc nghiệm 2.3.4 Xác định nguyên hàm, tích phân phương pháp dựng nguyên hàm phụ Phương pháp xác định nguyên hàm hàm số f(x) kỹ thuật dựng hàm phụ xuất phát từ ý tưởng chủ đạo tìm kiếm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn, từ suy nguyên hàm F(x) hàm số f(x).Để xác định nguyên hàm hàm số f(x) theo phương pháp này, ta tiến hành thực theo bước sau: - Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x) - Bước 2: Xác định nguyên hàm hàm số f(x) ± g(x), tức là:  F ( x) + G ( x) = A( x) + C   F ( x) − G ( x ) = B ( x) + C ' - Bước 3: Từ hệ ta nhận được: F(x) = [A(x) + B(x)] + C Đối với phương pháp này, điều khác cách tìm hàm số g(x) để cho việc giải toán dễ dàng sin x Ví dụ : Tìm nguyên hàm hàm số: f(x) = sin x − cos x cos x Hướng dẫn : Chọn hàm số phụ: g(x) = sin x − cos x Gọi F(x) G(x) theo thứ tự nguyên hàm hàm số f(x), g(x) Ta có: f(x) + g(x) = sin x + cos x sin x − cos x Và tính f(x) - g(x) = sin x + cos x sin x − cos x [3] 2.3.5 Xác địnhnguyên hàm, tích phân hàm số lượng giác Để xác định tích phân hàm số lượng giác ta dùng cá phương pháp sau: a)Sử dụng nguyên hàm b) Các hàm phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác c ) Sử dụng phương pháp biến đổi công thức lượng giác d) Phương pháp đổi biến I = ∫ R(sinx, cosx)dx, ta giải cách đổi biến lựa chọn hướng sau: -Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = cosx -Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = sinx -Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) đổi biến t = tgx -Hướng 4: Mọi trường hợp đưa tích phân hàm hữu tỉ phép đổi x e) Phương pháp tích phân phần f) Sử dụng nguyên hàm phụ biến t = tg Tính: I = Ví dụ : sin x ∫π ( + sin x ) − dx Giải: Nhận xét sin x(− cos x) sin x sin x cos x R (sin x, cos x) = = =− 2 ( + sin x ) ( + sin x ) ( + sin x ) = − R(sin x,− cos x) Từ nhận xét ta đổi biến Đặt: t = sinx, dt = cosxdx Đổi cận: x = ⇒ t = 0; π ⇒ t = -1 Ví dụ : Tìm số A , B để hàm số f(x) = A.sinπx + B thỏa điều kiện: x= − f ' (1) = ; ∫ f (x)dx =  A = − π A   B = B  A = π   B = −2 π  A = − C   B = HD: f ' (x) = A.πcosπx ⇒ f ' (1) = - Aπ mà f ' (1) = ⇒A = 2 0 ∫ f (x)dx = = 2B mà ∫ f (x)dx = ⇒ B = D −  A = π   B = 2 π [6] 2.3.6 Tích nguyên hàm, phân hàm số hữu tỉ Để xác định cách tính tích phân hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn phương pháp sau: a) Phương pháp tam thức bậc hai b) Phương pháp phân tích c) Phương pháp đổi biến d) Phương pháp tích phân phần e) Sử dụng phương pháp khác nhau: kết hợp việc dựng công thức đổi biến số với kĩ thuật phân tích số hạng đơn giản tích phân phần Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phương pháp cần phải vào dạng tốn cụ thể Tính tích phân: I = ∫ Ví dụ 1: Giải: dx x + 4x + Biến đổi: 1 1 1  = =  −  2 x + 4x + x +1 x +  x +1 x +  ( )( ) Khi : 1  dx dx    I = ∫ −∫ 2  x + x +  +) Ta xác định tích phân −π π