Toán 9 : Chuyên đề chứng minh 5 điểm cùng thuộc một đường tròn (có đáp án)

PHẦN 7 . CHỨNG MINH 5 ĐIỂM CÙNG THUỘC ĐƯỜNG TRÒNHãy tự làm trước khi tham khảo đáp án em nhéBài 1. Cho  ABC nội tiếp đường trong tâm O. Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại D. Từ D kẻđường thẳng song song với AB, cắt đường tròn tại E và F. Cắt AC tại Ia) Chứng minh rằng các điểm B, O, I, C, D cùng thuộc một đường trònb) Chứng minh IE = IFc) Khi A chuyển động trên cung BAC, thì I chuyển động trên đường nào?Bài 2. Cho (O, R). Đường thẳng d cắt (O) tại C, D. Lấy điểm M tùy ý trên d, (M ở ngoài (O)). Từ Mkẻ 2 tiếp tuyến MA, MB tới (O). Gọi I là trung điểm của CDa) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc 1 đường trònb) Gọi H là trực tâm tam giác MAB. Tứ giác OAHB là hình gì?c) Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố đinhBài 3. Cho  ABC nhọn. M nằm trên cạnh BC. Qua M vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B vàđường tròn tâm O’ tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại điểm thứ 2 là N.Gọi E là giao của BO và O’C. Chứng minh rằnga) 5 điểm A, B, N, E, C cùng thuộc một đường trònb) MN luôn đi qua điểm cố định khi M di chuyển trên BCBài 4. Cho  ABC nhọn với AB < AC. Vẽ đường cao AD và phân giác trong AO của tam giác ABC.Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại M, Na) Chứng minh rằng các điểm M, N, O, D, A cùng thuộc một đường trònb) Chứng minh B M C N D D c) đường thẳng qua O và vuông góc với BC cắt MN tại I, đường thẳng AI cắt đường thẳng BC tạiK. Chứng minh rằng K là trung điểm của cạnh BC(THPT chuyên ngữ, 20102011)TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang PHẦN 719006933 Thầy Hồng Trí Quanghotrothcs.hocmai.vn HOCMAI THCS Tiểu HọcTrang | 2Bài 5. Hsg TP HN. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Cácđường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng EFvà CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).a) Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên đường tròn.b) Gọi N là trung điểm BC, chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.c) Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MCBài 6. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (D trên AC, Etrên AB). Gọi I là trung điểm BC, đường tròn qua B, E, I và đường tròn qua C, D, I cắt nhau tại K (Kkhác I).a) Chứng minh rằng năm điểm A, E, H, K, D nằm trên một đường tròn và BDK ̂ = CEK ̂b) Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng.LUYỆN TẬP CT2Bài 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Lấy điểm D trên cung BC (không chứa A) của đườngtròn đó. Vẽ DH vuông góc với BC; DI vuông góc với CA và DK vuông góc với AB. Chứng minhrằng: BC AC ABDH DI DK Bài 8. Cho đường tròn (O). Qua điểm K ở bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến KB, KD (B, D làcác tiếp điểm), kẻ cát tuyến KAC.a) Chứng minh rằng ABCD AD BC . . b) Vẽ dây CN song song với BD. Gọi I là giao điểm của AN và BD. Chứng minh rằng I làtrung điểm của BD.Bài 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác AD. Gọi H, K theo thứ tự làtâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD. Chứng minh rằng OH OK Bài 10.Cho đường tròn (O) có dây cung BC (khác đường kính) cố định, A là điểm chuyển động trêncung lớn BC, M là trung điểm dây BC. Gọi D là giao điểm của AM và cung nhỏ BC, N là giao điểmcủa AB và CD. Chứng minh rằng N thuộc một đường thẳng cố định.Bài 11.Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Qua A vẽ các đườngthẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q. Chứng minh rằng PQvuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC.Bài 12.Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O). Gọi CD là đường kính của đường tròn,qua D kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường thẳng AB tại E, EO cắt cạnh BC, CA tại M và N tươngứng. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng:TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CT0 – CT1 – CT2 – Thầy Hồng Trí Quang PHẦN 719006933 Thầy Hồng Trí Quanghotrothcs.hocmai.vn HOCMAI THCS Tiểu HọcTrang | 3a) Bốn điểm O, D, E, I nằm trên một đường tròn b) O là trung điểm MNBài 13.Cho tam giác ABC. Các điểm D, E di động trên các tia BA, CA sao cho 3BD = 2CE.Vẽ (O’) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi M là điểm chính giữa cung BC (M và A nằm khác phía đối vớiBC). I là điểm trên cạnh BC và 3 2 BI IC  , MI cắt (O’) tại N khác M. Chứng minh rằng tâm O củađường tròn ngoại tiếp tam giác ADE thuộc một đường thẳng cố định

Trang 1

19006933 Thầy Hồng Trí Quang hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học

Trang | 1

PHẦN 7 CHỨNG MINH 5 ĐIỂM CÙNG THUỘC ĐƯỜNG TRÒN

Hãy tự làm trước khi tham khảo đáp án em nhé

Bài 1 Cho  ABC nội tiếp đường trong tâm O Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt đường tròn tại E và F Cắt AC tại I

a) Chứng minh rằng các điểm B, O, I, C, D cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh IE = IF

c) Khi A chuyển động trên cung BAC, thì I chuyển động trên đường nào?

Bài 2 Cho (O, R) Đường thẳng d cắt (O) tại C, D Lấy điểm M tùy ý trên d, (M ở ngoài (O)) Từ M

kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB tới (O) Gọi I là trung điểm của CD

a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc 1 đường tròn

b) Gọi H là trực tâm tam giác MAB Tứ giác OAHB là hình gì?

c) Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố đinh

Bài 3 Cho ABCnhọn M nằm trên cạnh BC Qua M vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B và đường tròn tâm O’ tiếp xúc với AC tại C Hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại điểm thứ 2 là N Gọi E là giao của BO và O’C Chứng minh rằng

a) 5 điểm A, B, N, E, C cùng thuộc một đường tròn

b) MN luôn đi qua điểm cố định khi M di chuyển trên BC

Bài 4 Cho ABCnhọn với AB < AC Vẽ đường cao AD và phân giác trong AO của tam giác ABC

Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại M, N

a) Chứng minh rằng các điểm M, N, O, D, A cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh DB M C ND

c) đường thẳng qua O và vuông góc với BC cắt MN tại I, đường thẳng AI cắt đường thẳng BC tại

K Chứng minh rằng K là trung điểm của cạnh BC

(THPT chuyên ngữ, 2010-2011)

Trang 2

Trang | 2

Bài 5 Hsg TP HN Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC Các

đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng EF

và CB Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A)

a) Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên đường tròn

b) Gọi N là trung điểm BC, chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng

c) Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MC

Bài 6 Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (D trên AC, E

trên AB) Gọi I là trung điểm BC, đường tròn qua B, E, I và đường tròn qua C, D, I cắt nhau tại K (K khác I)

a) Chứng minh rằng năm điểm A, E, H, K, D nằm trên một đường tròn và BDK̂ = CEK̂

b) Đường thẳng DE cắt BC tại M Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng

LUYỆN TẬP CT2

Bài 7 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Lấy điểm D trên cung BC (không chứa A) của đường

tròn đó Vẽ DH vuông góc với BC; DI vuông góc với CA và DK vuông góc với AB Chứng minh

rằng: BC AC AB

DH  DI DK

Bài 8 Cho đường tròn (O) Qua điểm K ở bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến KB, KD (B, D là

các tiếp điểm), kẻ cát tuyến KAC

a) Chứng minh rằng AB CD AD BC

b) Vẽ dây CN song song với BD Gọi I là giao điểm của AN và BD Chứng minh rằng I là

trung điểm của BD

Bài 9 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác AD Gọi H, K theo thứ tự là

tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD Chứng minh rằng OHOK

Bài 10 Cho đường tròn (O) có dây cung BC (khác đường kính) cố định, A là điểm chuyển động trên

cung lớn BC, M là trung điểm dây BC Gọi D là giao điểm của AM và cung nhỏ BC, N là giao điểm của AB và CD Chứng minh rằng N thuộc một đường thẳng cố định

Bài 11 Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H Qua A vẽ các đường

thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC

Bài 12 Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O) Gọi CD là đường kính của đường tròn,

qua D kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường thẳng AB tại E, EO cắt cạnh BC, CA tại M và N tương ứng Gọi I là trung điểm AB Chứng minh rằng:

Trang 3

Trang | 3

a) Bốn điểm O, D, E, I nằm trên một đường tròn b) *O là trung điểm MN

Bài 13 Cho tam giác ABC Các điểm D, E di động trên các tia BA, CA sao cho 3BD = 2CE

Vẽ (O’) ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M là điểm chính giữa cung BC (M và A nằm khác phía đối với BC) I là điểm trên cạnh BC và 3BI2IC, MI cắt (O’) tại N khác M Chứng minh rằng tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE thuộc một đường thẳng cố định

Trang 4

Trang | 1

PHẦN 7 CHỨNG MINH 5 ĐIỂM CÙNG THUỘC ĐƯỜNG TRÒN

Hãy tự làm trước khi tham khảo đáp án em nhé

Bài 1 Giải

a) Ta có CIDCABCODnên 4 điểm O, I, C, D cùng thuộc một đường tròn

mà OBDOCD90oSuy ra 5 điểm B, O, I, C, D thuộc đường tròn đường kính OD

b) OI EFnên IE=IF

c) I thuộc cung BOC của đường tròn đường kính OD

Bài 2 Giải

a) Ta có BMOMAOMIO90o

Suy ra B, A, I cùng thuộc đường tròn đường kính MD

F

E I

D

O

B

C A

H

I

A

B C

O M

D

Trang 5

Trang | 2

b) Tứ giác BHAO là hình thoi vì BH // OA (cùngMA)

AH // OB (cùng MB)

OA = OB c) Kéo dài AB cắt DI ở N; AB cắt OM ở F

Dễ thấy OIM OFN 90o OIM OFN OI OM

OF ON

OI ON OM OF

 

OM OF OB R OI ON R

Suy ra N cố định

Vậy AB luôn đi qua điểm N cố định

Bài 3 Giải

a) Xét đường tròn (O) ta có 1

2

BNM ABM  sđ BM

2

MNCMCA sđ MC

BNM NM

BNC  CMBAMCA

  BNC A 180o

A, B, N,C thuộc một đường tròn

E N

A

M

O

O' S

Trang 6

Trang | 3

Suy ra N thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC

EBAEC 

Suy ra A, B, E,C cùng thuộc một đường tròn Suy ra E thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC

Suy ra 5 điểm A, B, N, E, C cùng thuộc một đường tròn

b) MN giao với đường tròn tai SBNS BCSBCS ABM Suy ra S cố định

Vậy MN qua điểm S cố định

Bài 4 (THPT chuyên ngữ, 2010-2011) Giải

a) các điểm M, N, O, D, A cùng thuộc một đường tròn đường kính AO

b) Xét đường tròn đường kính AO

AM = AN AM AN  A MD A ND 90o D 90o D

    B MD C ND

c) Kẻ EFOI, OMEI và OINF là các tứ giác nội tiếp nên

OMI OEI, ONI OFI

Mặt khác, MON cân tại O nên OMI ONISuy ra OEI OFI

Suy ra EOFcân tại OIEIF

BK AK OK

Mà IE IF BKCK

F

D

A

O M

N

Trang 7

Trang | 4

Bài 5 Hsg TP HN.Bài giải

a) Dễ dàng nhận thấy tứ giác AFHE nội tiếp, tức A, F, H, E đã nằm trên 1 đường tròn

Ta chứng minh tứ giác AMFH,

AMFE hoặc MEHF nội tiếp sẽ có đpcm

Ta chứng minh AMFE nội tiếp

Thật vậy, theo dấu hiệu tíchIM IA IB IC IF IE Đpcm

b) Ta chứng minh HN, HM cùng vuông góc với AI, khi đó M, H, N thẳng hàng Thật vậy

HMA HAE 

Sử dụng bài toán cơ bản Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H, đường kính AD Khi đó DH cắt BC tại trung điểm mỗi đường

Áp dụng Nếu HN kéo dài cắt (O) tại D thì A, O, D thẳng hàng Khi đó NH vuông góc với IA

Trang 8

Trang | 5

Vậy HM, HN cùng vuông góc với IA nên H, M, N thẳng hàng

c) Sử dụng định lí P tô lê mê (xem chi tiết về Định lí P tô lê mê trong chuyên đề tứ giác nội tiếp)

Bài 6 Bài giải

a) Chứng minh 2 tứ giác AEKD, AEHD nội tiếp

b) 5 điểm A, E, H, K, D nằm trên đường tròn đường kính AH nên HK AI(1)

0

180

AKEEKI  nên A, K, I thẳng hàng

ICK DEKnên MEKC nội tiếpMECMKC

90

MKI BEC

   MKAI(2)

Từ (1) và (2) thì M, H, K thẳng hàng

LUYỆN TẬP

Trang 9

Trang | 6

HD ý tưởng của bài toán là tìm điểm M trên BC để tách tỉ số: BC BM MC

DH  DH DH , và từng tỉ số của tổng này ứng với tỉ số cần chứng minh

Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BMDADC

( )

BMD ADC g g

DI AC

  (tỉ số đường cao bằng tỉ số đồng dạng) AC BM

DI DH

 

Chứng minh tương tự thì: AB CM

DK  DH

Cộng lại ta có Đpcm

a) KDA~KCD(g.g) KA AD

KD DC

 

Trang 10

Trang | 7

Tương tự KA AB

KB  BC mà KD KB AD AB AD BC AB CD

DC BC

    

b) AIB~ ADC AI AD

IB DC

Tương tự AI AB

ID  BC

DC  BC  IB  ID 

Gọi giao điểm của OH và AB là I, OK và AC là N, HK và AD là M I là trung điểm của AB,

N là trung điểm của AC, M là trung điểm của AD

Ta có AIHM, AMNK là các tứ giác nội tiếp và A1 A2nên dễ dàng chứng minh được

OKH OHKOH OK

Bài 10

Bài giải

Trang 11

Trang | 8

Dễ thấy MA.MD = MB.MC = MD.MO

Để chứng minh tứ giác NEDB nội tiếp, ta chứng minh hai góc bằng nhau

NDENBE

Thật vậy, NDENBE EDCEBA EKBEBA AEODEO OA OD (luôn đúng)

Ta có : ENDNBD ENDBCD EN/ /BC

Vậy N thuộc đường thẳng cố định, đi qua E cố định và song song với BC

Trang 12

Trang | 9

a) Gọi I là giao điểm của AH và PQ, K là giao điểm của AM và PQ

Ta có I là trung điểm AH Vì APHQ là hình bình hành

Ta có : ABC QAH g g (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc) ( )

 AC  BC 

QH AH

AC MC

QH  IH và ACM IHQ (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

 AMC QIH MACIQH

Vậy tứ giác AKEQ nội tiếp

b) Do tứ giác AKEQ nội tiếp nên HEBKAQ;AEKAQK

suy ra đpcm

Trang 13

Trang | 10

Gợi ý

a) Chứng minh được OI  AB Khi đó tứ giác OIDE nội tiếp

b) Từ A kẻ đường thẳng song song OE cắt BC tại F; tứ giác AIDJ nt; IJ song song BC nên JA = JF, đpcm

Trang 14

Trang | 11

Do M là điểm chính giữa của BC nhỏ suy ra BNM MNC

Hay NI là phân giác góc BNC BN BI 2

  

 NB  IB  BD

NC IC CE và

1

2

Vậy tứ giác ADNE nội tiếp

Tứ giác ADEN nội tiếp nên OA = ON, tức O thuộc đường thẳng cố định là trung trực của AN LUYỆN TẬP

Bài 14

Trang 15

Trang | 12

HD ý tưởng của bài toán là tìm điểm M trên BC để tách tỉ số: BC BM MC

DH  DH DH , và từng tỉ số của tổng này ứng với tỉ số cần chứng minh

Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BMD ADC

( )

BMD ADC g g

DI AC

  (tỉ số đường cao bằng tỉ số đồng dạng) AC BM

DI DH

 

Chứng minh tương tự thì: AB CM

DK  DH

Cộng lại ta có Đpcm

Bài 15

c) KDA~KCD(g.g) KA AD

KD DC

 

Trang 16

Trang | 13

Tương tự KA AB

KB  BC mà KD KB AD AB AD BC AB CD

DC BC

    

IB DC

   

Tương tự AI AB

ID  BC

DC  BC  IB  ID 

Bài 16

Gọi giao điểm của OH và AB là I, OK và AC là N, HK và AD là M I là trung điểm của AB,

N là trung điểm của AC, M là trung điểm của AD

Ta có AIHM, AMNK là các tứ giác nội tiếp và A1 A2nên dễ dàng chứng minh được

OKH OHKOH OK

Bài 17

Trang 17

Trang | 14

Dễ thấy MA.MD = MB.MC = MD.MO

Để chứng minh tứ giác NEDB nội tiếp, ta chứng minh hai góc bằng nhau

NDENBE

Thật vậy, NDENBE EDCEBAEKBEBA AEODEO OA OD (luôn đúng)

Ta có : ENDNBD ENDBCD EN/ /BC

Vậy N thuộc đường thẳng cố định, đi qua E cố định và song song với BC

Bài 18

Trang 18

Trang | 15

a) Gọi I là giao điểm của AH và PQ, K là giao điểm của AM và PQ

Ta có I là trung điểm AH Vì APHQ là hình bình hành

Ta có : ABC QAH g g( )(hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

 AC  BC 

QH AH

AC MC

QH  IH và ACM IHQ (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

 AMC QIH MACIQH

Vậy tứ giác AKEQ nội tiếp

b) Do tứ giác AKEQ nội tiếp nên HEBKAQ;AEKAQK

mà KEB AEK 90o KAQ AQK 90o

suy ra đpcm

Bài 19

Trang 19

Trang | 16

Gợi ý

a) Chứng minh được OI  AB Khi đó tứ giác OIDE nội tiếp

b) Từ A kẻ đường thẳng song song OE cắt BC tại F; tứ giác AIDJ nt; IJ song song BC nên JA = JF, đpcm

Bài 20

Trang 20

Trang | 17

Do M là điểm chính giữa của BC nhỏ suy ra BNMMNC

Hay NI là phân giác góc BNC BN BI 2

  

 NB  IB  BD

NC IC CE và

1

2

Vậy tứ giác ADNE nội tiếp

Tứ giác ADEN nội tiếp nên OA = ON, tức O thuộc đường thẳng cố định là trung trực của AN

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,38 MB
File đính kèm	merged.rar (1 MB)