Dạng 5 chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn

Dạng : Chứng minh điểm thuộc đường tròn: BÀI TOÁN 6: Cho tam giác đường phân giác BN tâm O đường tròn nội tiếp tam giác Từ A kẻ tia vuông góc với tia BN, cắt BC H Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm đường tròn Đối với toán xảy hai trường hợp hình vẽ Trường hợp 1: H O nằm phía với AC (Hình 1) Trường hợp 2: H O nằm khác phía với AC (Hình 2) Gợi ý: - Gọi I giao điểm AH BN Kẻ AP vuông góc với CO cắt AB P M giao điểm OC AB, K giao điểm OC AP - Áp dụng tính chất đường (đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung bình) tam giác - Kiến thức tứ giác nội tiếp - Tính chất góc tam giác Cách giải 1: Xét  ACP có CK vừa phân giác vừa đường cao nên CK đường trung tuyến, đường trung trực  KA = KP (1) Xét  ABH có BI vừa phân giác vừa đường cao nên BI đường trung tuyến, đường trung trực  IA = IH (2) Từ (1) (2) ta có: IK đường trung bình tam giác APH  IKO = OCH ( Hình 1) Hoặc IKO + OCH = 1800 (Hình 2) Xét tứ giác AKOI có I = K = 900  AKOI tứ giác nội tiếp  IKO = OAH  Tứ giác AOHC nội tiếp  A; O; H; C nằm đường tròn Cách giải 2: Ta có BN đường trung trực AH  BHO = BAO mà BAO = OAC nên BHO = OAC  Tứ giác AOHC nội tiếp  A; O; H; C nằm đường tròn Cách giải 3:  ABI tam giác vuông nên IBA + BAI = 180 hay B A + = 900  OAI (hoặc 2 bù) với góc OCH  Tứ giác AOHC nội tiếp  A; O; H; C nằm IBA + BAO + OAI = 1800 Suy ra: OAI + đường tròn Cách giải 4: * Đối với (Hình 1) ta có AHC = 900 + AOC = 900 + B Góc tam giác B (Vì O tâm đường tròn nội tiếp)  AHC = AOC  Tứ giác AOHC nội tiếp  A; O; H; C nằm đường tròn * Đối với (Hình 2) Xét tam giác IBH ta có AHC = 900 - B B (Vì O tâm đường tròn nội tiếp )  AHC + AOC = 1800 Tứ giác AOHC nội tiếp  A; O; H; C nằm đường tròn AOC = 900 + Cách giải 5: Ta có AON = A+B (Góc đỉnh O tam giác AOB)  AOH = A + B  AOH + ACH = 1800 (Hình 1) AOH = ACH = A + B (Hình 2)  Tứ giác AOHC nội tiếp  A; O; H; C nằm đường tròn