SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN
Trang 1ly Ti EiỚi HH oaugeattetgdecdoottatteodesvdetdkeosqgdeooglq@@fa@fvdgwWddea 4
2 Tên sáng kiến “Một sô phương pháp chứng minh tứ giác ndi tiép” 4
3 Tác giả sáng kiến -G- St SH S3 1 11 T11 1117171111111 xe + 1; CRY Caer CLF ta GA SS touyguygtbaoittoveododteoaloddlgjGeBieoXeltdfa 4 5 Linh vuc dp dung sng ki@nt c.cccecceccceccscsecesscscscseseseseesescscscseseeeesessseseaes 4 6 _ Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 4 7 NHĐ ĐäiGHIEGHSSBSHEEIHiosoouooioootOoOiliodiotiiuQNsoeiagBosagn + PHAN.At PHẬN MỜ ĐẤU :eoeesesbeeoseoiiooiiiiaiioihseigisdiE0160400503506135660800064 5 L Ly do chon dé taie cccccccccsscsesesesssscscsescsesecsescsesescssesesescscscseseseeacscsescaeeeeees > TE Wiis et Ow de BE luoadoddoadoiGODOOAONOOOOAOOQNOHAQGHSBSQRNNS 5
TET, NC VO TONIC CU sc ccscnccscsssscsviccnisnnininamnnnmmnnmnimenwanmeeee 6 IV Di tuong cla dé tai oeeeceeececececccccccecsescsesecseecscsescseescscscscscsesesesescseseaeeeeees 6 V Pham vi ctia d@ tai: o eceecccceeeseessesseesessnesuesneesecsecensenccnecsecneesnesnecneeneeseestentes 6 XI, EHưữNHE phiiii HH CÀ daaboiG000200606003600003686000066300033636430860466689/6168 6
VII Địa điểm, thời gian nghiên cứu . - ¿2-2 5s s£s+S£zEzEzEzEzEzxzxzszsd 7
3:908;:19/9)8))00 077 8
i: THUC TRANG CUA VAN DE sscuscmacncnuacanesnasnnsmmnnt 8 1, VE CON NQUOE : - 5< Set SE St SE SE ST ST TT TT T11 11111111111 8 P.1 na 8 1 MỘT SỐ GIẢI EFHÁP THỤỰC HIẾN ĐỀ TÀI (6256666866866 8 [Thuê ti WE8RGTPLfNtsaassarnoenunndtoonaueonrnonnaanuntaasodaaa 8
ee 2, cneannaesa sec catONAOAOoearnaaDE 8
1.3 Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp - 5-5: 9
Trang 2GŨu AINE BOT đIỆN: vussososdsadoo0000060/056806616 38030500G361008/3956063010013800036001G 12
2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp 14
Bài tóan 1 Chứng minh nhiều điểm cùng năm trên một đường tròn 14
Bài toán 2 Chứng minh đường tròn đi qua một điểm có định 15 Bài toán3 Chứng minh quan hệ về đại lượng ¿2-2-5222 <2 18
i8 3 19 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm 19
Bài toán 5 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình 20
IV HIỆU QUÁ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI - SE SE EzE + £+Sx£: 24
X GIẢI PHÁP NET VÀ SÀNG TÁC? acdevevoasgdeorlouolGgd64scaieudgl 24 B ỨNG DỤNG VÀO THỰC TẾ CÔNG TÁC GIẢNG DẠY - 25
Ứng dụng Ì: - ¿S2 SE +E+E+ESEESESE S33 1E 4 E8 111 17171 1111111 Xe 25
TÍN HỮHD TỔ cgagg on GHGIQUGGHONG GHI GIGIGGEEHQGGINGRIEVGRGNEQQINQuSNG 25
Ứng dụng 3: - ¿5£ 2 SE SE2E2EEE SE SE S321 1718111 311 171711 11111 Xe 26
Trang 3https://plus.google.com/+DayKèmQuyNhơn http://daykemquynhon.blogspot.com BANG CHU CAI VIET TAT
Trang 4https://plus.google.com/+DayKémQuyNhon 1 Lời giới thiệu
http://daykemquynhon.blogspot.com
Tốn học là mơn học chính trong chương trình trung học, với rất nhiều giáo viên
giảng dạy thì cùng với đó cũng đã rất nhiều đề tài, sáng kiến kinh nghiệm được Sà
viết ra với mọi góc nhìn, với chủ đề “Một số phương pháp chứng minh tứ giác
nội tiêp” thì cũng có khá nhiều tác giả đã viết, tôi với góc nhìn cá nhân mong sŠ muốn có một chuyên đề cho riêng mình giảng dạy học sinh đại trà về vấn đề ` “Tứ giác nội tiếp” nên tôi đã viết chuyên đề này oO ° z 2 Tên sáng kiến “Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp” Qo = 3 Tác giả sáng kiến © > “ai 2 - Ho va tén: oe : œ & - Truong: C2 3% â c c ô` > Q ae 6 EG camonesanecucenmanenemnenoeecaced, ` 2a 2s xã = (
£ 2 BRN TB cere ren arel s Sẽ
N ọ 3 4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: cs Sẽ
= 8 § Cá nhân tự đầu tư, nghiên cứu © s8 Ly > 5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: ws sẽ c| > 5 372 Mơn Tốn lớp 9 ` = § c ee Ẹ ur 6 Ngày sáng kiến được áp đóng lần đầu hoặc áp dụng thử: 8 b sẽ _= Tháng 2/2014 ‘ 5 =
Seo 7 Mô tả bản chất caning kiến: Ha
Trang 5https://plus.google.com/+DayKémQuyNhon Đóng góp PDF bởi GV Nguyễn Thanh Tú http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định PHAN A: PHAN MO DAU I L¥ do chon dé tai
a) Cơ sở lý luận: Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đăng thức, chứng minh các <>
điểm cùng thuộc một đường tròn, Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hẻ
phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc ya
đường tròn, định lý đảo về tứ giác nội tiếp, Đặc biệt phải biết hệ thổ các
kiên thức đó sau khi học xong chương III hình học 9 Đây là việc lầm hét sức quan trọng của giáo viên đối với học sinh oe
b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế ngoài cdch chimg minh t@ gidc ndi tiép rat cơ bản thê hiện ở định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp Tran giSêx toán 9 tập 2 thì SGK đã đặc biệt hoá, chia nhỏ đề hình thành bón dấu Tiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tuy nhiên chưa đặt các dâu hiệu thành một
thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiệp một đường tròn cho học \ nh; nhiều học sinh không hiểu
cơ sở của dâu hiệu Dẫn đến học sinh rất is túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiêp một đường tròn c
Với học sinh lớp 9 đây là d Yodan mới lạ nhưng lại hết sức quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại được Các bài toán đã giải ở lớp 8 để có cách giải hay
cách lý giải căn cứ khác , <2
Với những lý do neoMay trong đề tài này tôi đưa ra một số cách đề chứng minh một tứ giác tội tiếp sau khi học sinh học xong bài “Tứ giác nội tiếp một đường tròn” ` + Với tên Bồi: 7 ` “MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP xO CHUNG MINH TU GIAC NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN“ ©
II Mục đích của đề tài
Trang 6https://plus.google.com/+DayKemQuyNhon Đóng góp PDF bởi GV Nguyễn Thanh Tú http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định Ở
tiếp Rèn học sinh kỹ năng phân tích tự tìm lời giải bằng các cách khác nhau, kỹ năng nhận biết nhanh một tứ giác nội tiếp
Vì thời gian có hạn, năng lực của bản thân còn có hạn chế nhất định về khả
năng tư duy nên quá trình nghiên cứu và viết đề tài này không thê tránh khỏi những thiếu sót Kính mong các thây cô đồng nghiệp trong nhà trường và trong cụm đóng góp xây dựng đề sáng kiến của tôi được phát huy tác dụng trong giản
dạy toán ở nhà trường C}
IH Nhiệm vu nghiên cứu KR
Tạo ra một tài liệu có tính khả thi trong quá trình giảng dạy cho hog sinh khối 9 về Tứ giác nội tiếp và các bài toán liên quan
IV Đối tượng của đề tài:
Là học sinh đại trà lớp 9 — THCS, giáo viên mới ra ee ở bậc THCS
%
V Phạm vi của đề tài :
Là phương pháp chứng minh hình học THCSŠ»ở phạm vi hẹp, cụ thể là chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn đề:từ‹đó chứng minh các đăng thức về góc, đăng thức tích các đoạn thăng, y nhiên về ứng dụng của nó thì cũng
khá rộng rãi n `
x VỊ Phương pháp nghiên cứ Vy
- Băng quan sát thực tế iänp dạy các giờ toán chứng minh tứ giác nội tiếp, bài
tốn tơng hợp có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh và tính
toan cua GV TH
- Bang kinh nghiệm đứng lớp và bôi dưỡng ôn thi học sinh dai tra lop 9 ,
những năm Ìrđớc đây thấy học sinh rất ít em phát hiện được tứ giác nội tiếp một
cach pl nhất, nhất là những bài toán không dễ chứng minh ngay được tông
ae đôi diện của tứ giác băng 180” Hay HS cứ phải đưa về tông hai góc đôi i
Cổ Sn bằng 180” nên đài, nhiều khi dẫn đến sai
- Băng đọc tài liệu để nắm các cơ sở lý luận khoa học về phương pháp
chứng minh và tính chất của tứ giác nội tiếp Đặc biệt là tìm cách nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp trước khi phải chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180° trong các bài toán có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc có sử dụng kết quả
Trang 7https://plus.google.com/+DayKèmQuyNhơn http://daykemquynhon.blogspot.com
- Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiên của đồng nghiệp nhất là những thầy cô dạy toán giỏi trong Huyện
- Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp, các >
bi ơn tốn thi vào lớp 10 THPT, bôi dưỡng học sinh giỏi Ô - Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ của bài dạy đến Tà
các định lý và bài toán khó hơn, phức tạp hơn tổng hợp lại một hệ thống các, phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
Từ các phương pháp trên đây đối chiêu với lý luận và thực tế fồi rút ra được kinh nghiệm nhỏ trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bởi nội
dung cụ thể như sau: of
VI Địa điểm, thời gian nghiên cứu we
Trang 8https://plus.google.com/+DayKèmQuyNhơn Đóng góp PDF bởi GV Nguyễn Thanh Tú http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định rÀ hd
PHAN B: NOI DUNG I THUC TRANG CUA VAN DE
iE Về con nguoi:
- Là những GV giỏi, giáo viên lâu năm trong nghề có kinh nghiệm dé hoc
hỏi trao đôi vân đê nảy sinh trong quá trình nghiên cứu |
- Giáo viên mới ra nghê dạy toán đê đê xuât câu hỏi : “Tại sao lại có oath
chứng minh tứ giác nội tiếp như thê ? Trong một bài toán cụ thể” Q ;
- Là học sinh từ trung bình trở lên (học sinh dai tra) lop 9 THC5S
2, Về kiến thức: or
Vì thời gian có hạn và năng lực có hạn chế nên đối ø kiến thức tôi
chọn ở đây chỉ là định lý và các bài toán hình học nói Sa ‘ike nội tiếp , quỹ tích cung chứa góc Nghiên cứu chủ yếu cách tìm ror ø pháp chứng minh các
{
điểm cùng thuộc một đường tròn để phục vụ luận của bài toán có sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp
II MỘT SÓ GIẢI PHÁP THỰC my TÀI *, Kiến thức cơ bản a» 1.1 Khái niệm Nà ội tiếp { * Tứ giác nội My tròn là tứgiáccó — Hình bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó l ` wit °
citi hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và
€4o) ngoại tiếp tứ giác ABCD 1.2.Định lý
* Trong một tứ giác nội tiếp tông số ẩo hai góc đối diện bằng 180"
Trang 9https://plus.google.com/+DayKemQuyNhon
1.3 Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp - _ Tứ giác có tông hai góc đối bằng 1801
- _ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CS - Tứ giác có hai đỉnh kê nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh condeh dưới
mot góc Œ XY
1.4 Một số bài toán hay va khó vận dụng phương pháp tứ gs tiếp
Chứng mình nhiêu điểm cùng nằm trên một đường ` Chứng mình đường tròn đi qua một điềm co định
Chứng mình quan hệ giữa các đại lượng w®
Chứng mình tứ giác nội tiếp đường roth ten quỹ tích một điểm Chứng mình tứ giác nội tiếp duo’ n dé dung hinh
Két hop voi tinh chat cua tir git RSI tiép ta có : điều kiện cần va đủ đề tứ
giác ABCD nội tiếp trong đường trồn tâm O là thoả mãn một trong các hệ thức trên
Với cách hệ thống ,hoể như trên, học sinh được ghi nhớ một cách lôgic và từ đó nhận biết gee tứ giác nội tiếp một đường tròn và cũng từ đó sử http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
dụng nhanh các tí ất của tứ giác nội tiếp trong giải toán hình học
Bài toán 2 Chứng minh răng điều kiện cần và đủ đề tứ giác ABCD nội tiếp một đường _— + BC.AD=AC.BD ai F Chứng minh răng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp là A.ED+FA.FB=EF ot | 3 Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E và AB cắt Œ a
ce * Mot so vi du minh hoa:
‹S Trong phân ví dụ này, mỗi ví dụ được trình bày theo hướng phân tích để oO tìm ra phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Phần trình bày lời giải trên cơ
Trang 10https://plus.google.com/+QayKemQuyNhon http://daykemquynhon.blogspot.com
2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’,
CC" Chứng minh tứ giác BCB’C’ noi tiếp Ồ ~\ Chứng minh: > Céch 1: Lấy O là trung điểm của cạnh BC KR Xét ABB'C có : ⁄ BB'C =90” (GT) C3
OB' là đường trung tuyên ứng với cạnl-hùyền
= OB' =OB =OC =r ® L Xét ABC’C c6 : Z BC’C = 90° (GT) ` Tương tự trên = OC” = OB = OC = ft Tir (1) va (2) > B,C’, B’, Ce (Os => 0 BC’B’C néi tiép đường tồ Cách 2: Tacó: BB’ LAC nz BB’C = 90” CC’ | AB (GT) => ZBC’C = 90°
> B,C cing thin cạnh BC dưới một góc vuông
= B.C Ga trén duong tron duong kinh BC Hay 9 BỀ BC nội tiếp đường tròn đường kính BC http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Phuong phapQ:’Dua vao dinh lý
Trang 11https://plus.google.com/+DayKèmQuyNhơn http://daykemquynhon.blogspot.com
Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp (O), 2 đường cao BB', CC'
a/ Chứng minh tứ giác BCB"C" nội tiếp
b/ Tia AO cat (O) 6 D va cat B’C’ 61 Chứng minh tứ giác BDIC' nội tiếp Chứng minh: or a/ (Bài toán 1) L b/ Từ câua > ZC + ZBC’B’ = 180° `
(Tống hai góc đối của tứ giác nội tiếp <>
Ma: ZC =ZD (hai géc néi tigpctthg chin cung AB) => ZD+ZBCI=180° &
=> 9 BDIC' nội tiếp đườy( Ìòn
Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích/cửng chứa góc Bài toán 3: Q http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Cho A ABC a nội tiếp (O) Trên
Trang 12https://plus.google.com/+DayKemQuyNhon => ZA,=ZA, AAOC can tai O (vi OA — ⁄Aa = ZC nén ZA\ http://daykemquynhon.blogspot.com = OC) = ZA, = ZC, Sà Ma ZA, + ZOAM = 180° va ZC,+ ZOCN= 180° s => ZAOM = ZOCN ` Xét AOAM và AOCN có : OA = OC; ⁄AOM = ⁄OCN; AM=CN CS => AOAM = AOCN (c.g.c) đinh đôi diện http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định ở E vàP tiếp được đường tròn » Chứn Xu
SY Ta có : ⁄ MEP là góc có đỉnh năm bên trong (O)
=> ZAMO = ZCNO hay ZAMO = ZANO v>
=> ô AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh OA dưới cùng một góc) ` Phương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngoài xẻ St a bang góc trong của Bài toán 4: eo Sp ` Cho tứ giác ABCD nội ip
M là điểm chính giữa của c
Nối M với D, M voi C ca pam
Trang 13https://plus.google.com/+DayKèmQuyNhơn http://daykemquynhon.blogspot.com
Nghĩa là: ơ PEDC có góc ngồi tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C Vậy Ô PEDC nội tiếp được đường tròn
Bài toán 5: (Bài tập tông hợp các phương pháp chứng mình tứ giác nội tiếp) sŠ
Cho hình vẽ: Bf
Biết AC | BD tai O, OE LAB tai E; OF L BC tai F; OG L
DC tai G; OH LAD tai H
Hãy tìm các tứ giác nội tiếp trong hình vẽ bên
Chứng minh:
* Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc d6i Ta 86c vuong la: AEOH; BFOE; CGOF; DHOG
* Các tứ giác nội tiếp vì có peers tại một đỉnh bằng góc trong của định đôi diện x
AEFC; ancespeho BFGD
Thật vậy: Xét tt.giac AEFC
Ta có: ZE œ EOB (cùng phụ với Z ABO) http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định a = ZEOB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB) ;S ZEAC = Z BFE và tứ giác AHGC: BEHD; BEGD chứng minh tương tự A
„` * Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 180! +)“ _ Thật vậy: Tacó: “OEH = ⁄OAH ( vì cùng chắn cung OH)
oO ZOAH = ZHOD (vi cùng phụ với ZAOH)
Trang 14https://plus.google.com/+DayKèmQuyNhơn http://daykemquynhon.blogspot.com Chứng minh tương tự ta duge : ZOEF = ZFGC Từ đó : ⁄OEH + ZOEF =ZHGD + ZFGC = ⁄ FEH =⁄HGD + ⁄FGC a Mặt khác: ZHGD + ZFGC+ ZHGF = 180° s
= Z FEH + ZHGF = 180° ( điều phải chứng minh)
2.2 Bài toán hay va khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp ©
Bai toan 1 Chung minh nhiéu điệm cùng năm trên môt đường tròn KR
O
a Phương pháp: Ye
Nếu ta phải chứng mình 5 điểm A, B, C, D, E cùng năïa tiên một đường tròn, ta có thê chứng mình tứ giác ABCD nội tiép va tu gid@ABCE noi tiép Suy
ra 4 điềm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm một đường tròn Hai
đường tròn này có ba điềm chung la A, B, C thé nén-theo định lý về sự xác định
đường tròn thì chúng phải trùng nhau Từ đó a5 diém A, B, C, D, E cung
năm trên một đường tròn ` b Ví dụ 1: (Bài toán về đường wane NX œ A ‘ : » x Chứng minh răng, tr
một tam giác bất kì, SN ung điểm của các cạnh, baÍch
các đường cao, ba trang điểm của
các đoạn thăng nỗi trực tâm với đỉnh đều ở en một đường tròn e pat ` A © > Chứng minh: của http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ DAY KEM QUY NHON OFFICIAL ST> : B/C 1000B TRAN HU'NG BAO TP.QUY NHO'N
S Ta có: ME là đường trung bình của AAHC
Trang 15https://plus.google.com/+DayKemQuyNhon http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định S ek hd Đóng góp PDF bởi GV Nguyễn Thanh Tú © xe Lai c6 : ME // CH; MN // AB (vi MN 1a duong trung binh cua AHAB) Ma CH AB (GT) => ME 1 MN (2) Tu (1) va (2) > Tứ giác MNDE là hình chữ nhật
Gọi O là trung điểm của MD — O cũng là trung điểm của NE `
Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM) CS
Chứng minh tương tự ta được hình chữ nhật FMPD cũng nội tiép (O; TÀI |
Vì Z MID = 90° > Ie (O; OM) x: Vi Z FLP = 90°; Z NKE=90°>L;Ke (O; OM), Vay ta cé : 9 diém M; K; E; P; D; I; N; F; Le (O; )
l i pa chứng minh)
c.Bai tap: ee
1 Cho hình bình hành ABCD c6 ZAynhon Đường tròn tâm A bán kính AB cắt đường thăng BC ở điểm thứ hai» Đường tròn tâm C bán kính CB cắt
đường thăng AB ở điểm thứ hai K g minh rang: a DE= DK o>
b nam diém A, D, ck E cùng thuộc một đường tròn {
2 Cho hai g tròn (O) và (O') ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyên chung
ngoài AB và A*B`, các tiếp tuyến chung trong CD và EEF (A, A',C,Ee (O); B,
B’,D, Fe 10) Goi M 1a giao diém ctia AB va EF, N 1A giao diém của CD va
7 + `
A’B’ Hà giao diém của MN là OO' Chứng minh răng:
„OY MN L OO'?
b năm điểm O', B, M, H, F cùng thuộc một đường tròn c nam diém O, A, M, E, H cùng thuộc một đường tròn
Trang 16https://plus.google.com/+DayKemQuyNhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Cách 1: Ta có thể xét thêm một điềm D cé dinh nao dé roi chung minh tir
giác ABCD nội tiếp đường tròn Từ đó suy ra điều phải chứng mình
Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi 20 chứng mình điểm đã chọn là điềm có định
b Ví dụ 1:
Cho đường tròn tâm O đường
kính AB, điểm C cố định trên
£
a đường kính ay (C khac O)
5 5 Điểm M chuyển động trên
> ề đường tròn Đường vuông góc
Ss với AB tại C cắt MA, MB theo ta E ae thứ tự ở E và F Chứng minh e 2 Ỡ răng đường tròn ngoại tiếp tam Qa + S5 giác AEF luôn đi qua một điểm Í ‹Š Œ- A * Z § x > cô định khác A SS 522 ` le) cg Oy ge | em , CV x a1S Chứng minh: 2 =€ 7 as § Gọi K là giao sib dha đường tròn đi qua ba điểm A, E, E với AB =| = , mm Ni K với FC)” `” ` , 5 3 Ta có ` > ⁄A ( cùng băng nửa sô đo cung KE) 2 § ,F;= ⁄ A ( cùng phụ voi Z MBA) S v 3x F, =f, F,
Aj = K đối xứng với B qua C
Trang 17https://plus.google.com/+DayKémQuyNhon Đóng góp PDF bởi GV Nguyễn Thanh Tú http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định đường tròn Lấy điểm D nằm giữa B và C Qua D vẽ ngoài đường tròn (Q) ta vẽ
hai tiếp tuyến AB, AC với
một đường thăng vuông góc với OD cắt AB, AC lần lượt tai E va F Khi điểm D di động trên BC, chứng minh rằng đường Từ một điểm A ở tròn (AEFE) luôn đi qua một điểm có định khác A Chứng minh: wŠ Tacó: ⁄EBO=90°(AB là tiếp tu sai (O) tại B) Z EDO = 90° (GT) ©
= hai đỉnh B và D cùng nhìn đ dưới một góc vuông
= ô EBOD nội tiếp đường ran)
=> ZBEO= Z BDO fWlug chắn cung OB)
Chứng minh tương tỳ tà có : ô ODCEF nội tiêp đường tròn
=> ⁄/OFC =, O (2) (góc trong một đỉnh băng góc ngoài tại đỉnh đôi
diện) `
Từ ()vă@) => ⁄OFEC = ⁄ BEO
vinh nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu góc trong một đỉnh bằng
Cc
xO Vậy đường tròn (AEF) đi qua điểm O có định ngoài tại đỉnh đối diện)
c Bài tập:
1 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), I là điểm chính giữa của cung BC
Trang 18https://plus.google.com/+DayKèmQuyNhơn http://daykemquynhon.blogspot.com
b/ Lay diém D bat ki thuéc canh AB, điểm E thuộc tia đối của tia CA sao
cho BD = CE Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
luôn đi qua một điểm cô định khác A `
Bài toán3 Chứng minh quan hê về đai lương 20
Một số bài toán đề cập tới quan hệ về đại lượng như: 4s
- Chứng mình các hệ thức hình học `
- Chứng tỉ số các đoạn thăng không đổi (như hai đoạn thăng cn đoạn này gấp đôi đoạn kia ) hoặc chứng mình tông hiệu các
a
Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích soe đường chéo bằng
không đổi
* Định lý Ptô - lê - mê
tông các tích của hai cặp cạnh đối
và
Chứng minh:
Ta có : ô ABCD nội tiếp (O)
Ta phải chứng minh: AC Bp = AB DC + AD BC % http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định Thật vậy ws Lây E e “oO S , BAC = D Z EAD = CHỈ CAB (g g) AD~ DE y C Be or (% = AD.BC=AC DE (1) > Tuong tu: A BAE A CAD (g g) `Š BE AB © SÀN: Mộ) = BE AC =CD AB (2)
Trang 19https://plus.google.com/+DayKémQuyNhon http://daykemquynhon.blogspot.com
c Bai tap
1.Sử dụng Định lý Ptô - lê - mê để chứng mình ( Định lý Các — nô)
Chứng minh rằng tông các khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp Sà một tam giác nhọn đến các cạnh của tam giác bằng tông các bán kính của `
đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác đó
2 Cho A ABC nhọn với trực tâm H Vẽ hình bình hành BHCD Đường `
thang qua D va song song voi BC cat duong thang AH tai E Q ;
a.Chứng minh các điêm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường ey:
b.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp A ABC, chứng mình:`)Ÿ”
⁄ BAE = ⁄ OAC và BE =CD ©
c Gọi M là trung điểm của BC, đường thăng AM-èắtOH tại G Chứng
minh G la trong tam cua A ABC / <>
Bai toan4 A `
Chứng minh tứ giác nôi tiệp đường tròn dem quỹ tích môt điểm
a Các bước giải bài toán quỹ tích
Bước l: Chứng minh phan thuận
Chứng minh rằng những điểm M có các tính chất đã cho thuộc hình H + Giới hạn quỹ tích lo http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Bước 2: chứng Vinh phần đảo
Chờ minh mỗi điềm của hình H đê có tính chất đã cho Bước`3: Kết luận ' í dụ 1: xO Cho hình vuông ABCD, tâm O Một https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ DAY KEM QUY NHON OFFICIAL ST> : B/C 1000B TRAN HU'NG BAO TP.QUY NHO'N
C2 đường thăng xy quay quanh O cắt
hai cạnh AD và BC lân lượt tại M và H
N Trên CD lây điêm K sao cho DK M
- O = DM Gọi H là hình chiếu của K
hd trên xy Tìm quỹ tích điểm H
19
Trang 20https://plus.google.com/+DayKemQuyNhon http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.blogspot.com Chứng minh: Phan thuận: Ta có CN = AM (tinh chat đối xứng tâm) Sà Vì DK = DM (GT) nên CK = AM sŠ = €K=CN ¬ Lai c6 0 MHKD va 9 NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vng) © > 2M, = ZH, =45° va Z No = Z Hp = 45° £- => ⁄DHC = 90° XY © Vậy H năm trên đường tròn đường kính DC Œœ Giới hạn:
Vì đường thắng xy quay quanh O nhưng phải x cạnh AD và BC lần lượt tại M và N nên điểm H chỉ nằm trên gina đường tròn đường kính CD nam trong hình vuông A
Phan dao: SX
Lay diém H bat kì trên nửa đườny tròn đường kính CD Vẽ đường thăng HO cắt Ap và BC lần lượt tại M và N Lấy điểm K trên Chấuo cho DK = DM
Ta phải chứng GWH 1a hinh chiếu của K trên MN
Thật vây,V)⁄DHC =90" Z DOC = 90° nén 0 HOCD nội tiếp = 2 DHM = Z DCO = 45° Vv ătkhác ⁄ DKM = 45” nên ⁄ DHM = ⁄ DKM 't=> ô HKDM nội tiếp > <⁄ KHM = 90° Ấ* — KH LNM © => H là hình chiếu của K trên MN https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ DAY KEM QUY NHON OFFICIAL ST> : B/C 1000B TRAN HU'NG BAO TP.QUY NHO'N xe ` Kết luận:
- O Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đường tròn đường kính CD, nửa đường
hd tròn này năm trong hình vuông
Trang 21https://plus.google.com/+DayKémQuyNhon Đóng góp PDF bởi GV Nguyễn Thanh Tú http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định vu hd Chung minh:
Cho tam giac ABC nhon (AB <
AC), điểm D di động trên cạnh BC Vẽ DE L AB, DE L AC Xác định vị trí của điểm D để: a/ EE có độ dài nhỏ nhất b/ EE có độ dài lớn nhất
Gọi O là trung điểm của AD Ÿ®
Tứ giác AEDF có : ⁄ AED + ⁄ AFD = 90° + 90° ` = ô AEDF nội tiếp (O; OA) t
Vé OM | EF=> ME=MF <& Đặt ⁄ BAC =a SX Ta có : Z EOM = Z EOF: 2 AC =a Xét A MOE có ⁄ OME =3 => EM = OE sina = EF = 2 OE si G
=> EF = Qha (*) (vi AD = 2OE)
a/ Do &kfông đôi nên từ (*) suy ra EF nhỏ nhất © AD nhỏ nhất AD tbVì De BC và AB < AC nên AD < AC A Tu (*) => EF lon nhat << AD lớn nhất _ D là hình chiếu của A trên BC © D trùng với C b Bài tập:
1 Cho A ABC nhọn nội tiếp (O) Gọi M là một điểm trên cung ABC Vẽ
Trang 22https://plus.google.com/+DayKemQuyNhon
Vi du 5: Cho tam giac ABC can ( AB = AC ) Trén AB va AC lay M va N sao cho AM + AN = AB Dựng hình thang cân ANMI ( AI // MN ) Ching minh tu
giác AIBC nội tiếp Phân tích: ‘ Đề chứng minh tứ giác AIBC nội tiếp (1) 4 ẻ N Từ giả thiết => IM = MB = AN (2) ` va IN = AM = NC (3) Từ (2) và (3) => ZIMA = 2B; (4) _ va ZANI = 2ZC; (5) (g6c ngoài của tam giác ) B > C Mặt khác ⁄IMA = ⁄ANI (6) w
vi ANMI là hình thang cân ) es
Vậy từ (4), (5) va (6) ta có thể suy ra điều gì 2 w® (suy ra ⁄B¡ = ⁄C¡(7)) Và từ (7) => (1) đpcnf(cấch 4) http://daykemquynhon.blogspot.com IC với GK Chứng minh B http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Vậy để giải toán ở ví dụ 5 ta đã dùng các $3
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, sò Diâm đường tròn nội tiếp tam giác, G, K là các tiết điểm của đường tròn (1J tiên AB, AC Gọi M, N là giao điểm của IB, c ‘ Phan tich: cY ‹ M C/m BNMC9ði tiếp (1) Sử dụng cách 5: — —N G ` * (1) = ZBNC= ZBMC = 90° (2) 7
Ta thayZBGI = 90° nén phai chimg minh : i
Tự giác BNGI và tứ giác IKMC nội tiếp (3)
à tứ giác nội tiêp https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ DAY KEM QUY NHON OFFICIAL ST> : B/C 1000B TRAN HU'NG BAO TP.QUY NHO'N SS ZMIC = ⁄MKC (4) với chú ý 2 ce I 1a giao 3 phân giác trong tam giác ABC ek hd © Tacé ZMIC = ZB; + ZC; = ⁄B+⁄C _ 180°—⁄A 2 2 150” ZÀ (5)
Mat khac: ZMKC = ZAKG = ZAGK me (6)
Đóng góp PDF bởi GV Nguyễn Thanh Tú
22
Trang 23https://plus.google.com/+DayKemQuyNhon http://daykemquynhon.blogspot.com Tur (5) va (6) suy ra (4) => (3) => ZBMC = ZBNC = ZBGI = ZIKC = 90° =>
(2) =>(1) đpcm
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC kẻ dudng cao AH Goi I, K Là hình chiếu > vuông góc của H trên AB, AC Chứng minh tứ giác BIKC nội tiếp được O
Phan tich: VN
C/m Tứ giác BIKC nội tiếp (1) ta có thể dùng một trong hai cách sau đây)
Cách 1: Theo giả thiết dễ thấy tứ giác AIHK nội tiếp KR Nén ZI, = ZH; O nhung ZH, = ZC, (cing phu voi ZH2) or do đó ⁄I¡ = C¡ ta có cách chứng minh thứ nhất L C/m (1) theo cách 2.b ` „` S s° K http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định Cách 2: Chứng fninh (1) ta có thể sử dụng cách 6 được khơng? ` (I)© AI£AB=AK.AC (2)
vi minh (2) ta có thể sử dụng hệ thức lượng giác trong tam gíac vuông
re và AHB: AI AB= AHỸ
aS va AK AC = AH” =
mo
hd nói vẫn là một trong 6 cách tôi đã nêu Nhưng ở đây với mỗi bài tôi chỉ trình bày
suy ra (2) được c/m => (1) được c/m
Trong mỗi bài toán nêu trên còn có những cách giải khác nữa nhưng có thê
Trang 24https://plus.google.com/+DayKémQuyNhon http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định © rÀ hd http://daykemquynhon.blogspot.com
IV HIEU QUA THUC HIEN DE TAI
Trong quá trình nghiên cứu, tông hợp và viết hoàn thiện đề tài này tôi thu
được kết quả khá khả quan aN
Tự mình nhận biết nhanh được một tứ giác nội tiếp, để từ đó định hướng 20
phương pháp hướng dẫn học sinh tìm lời giải Giúp cho việc giải các bài toán <> hình học có sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp nhanh nhạy >
Bỏ xung thêm cho mình phương pháp chứng minh tứ giác nội ti eg te điểm cùng thuộc một đường tròn, dé không bị bê tắc với các bài khó, ` ân tự tin hơn, tư duy thêm nhanh và sáng tạo hơn
Đặc biệt là giúp cho giáo viên thêm phương pháp hưó ` học sinh
chứng minh hình học, giải toán và hướng dẫn học sinh tee liệu tham khảo
với các bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp `
V GIẢI PHÁP MỚI VÀ SÁNG TẠO: `
Trong đề tài này giải pháp mới và sán ne ois phân tích đề tìm ra cách chứng minh tứ giác nội tiếp theo trực giác) vẽ của bài toán (định lý) hoặc
định hướng phương pháp theo g1ả sử “ie sau :
Hướng thứ nhất: ( phân tích ấi lên )`
Bước 1: Giả sử để chứng hinh tứ giác nội tiếp một đường tròn ta chọn
phương pháp A nào đó ( (iởng pháp A là cách 1, cách 2 ., cách 6 ) thế thì ta phải chứng minh điêu gì ? é điêu gì ở đây là một trong các hệ thức ở 6 cách )
Bước 2: Sau đó lựa vào giả thiết, kiến thức đã học để chứng minh
Bước 3; Trình bày lại lời giải bài toán theo hướng phân tích trên Hướng thứ hái: (Tong hop )
c 1: Phân tích giả thiết, nhận biết nhanh các tứ giác nội tiếp ( bằng một trong cách ) https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ DAY KEM QUY NHON OFFICIAL ST> : B/C 1000B TRAN HU'NG BAO TP.QUY NHO'N
RS Bước 2: Dùng tính chất của tứ giác nội tiếp, các kiên thức toán học để có
© một trong sáu hệ thức của 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp
Bước 3: Tổng hợp, phân tích, kiểm tra lại để tránh sai lầm và cuối cùng trình bày lời giải
Cái sáng tạo ở đây là sự hệ thống, liên kết chặt chẽ giữa các phương pháp để có thê nhận biết một cách nhanh nhất tứ giác nội tiếp một đường tròn Tự tin hơn trong học toán
24
Trang 25https://plus.google.com/+DayKèmQuyNhơn http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Đóng góp PDF bởi GV Nguyễn Thanh Tú
B UNG DUNG VAO THUC TE CONG TAC GIANG DAY
- Về tâm lý HS khi học không thụ động là cứ phải tìm tông hai góc đối điện của một tứ giác băng 180” mới nội tiếp Phát huy được tính độc lập, nhanh nhẹn sáng tạo tìm lời giải bởi hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đã
được hình thành và dễ ghi nhớ, tạo điều kiện tìm các cách giải khác nhau cho
một bài toán hình học ¬
- Ngoài kết quả là học sinh biết cách chứng minh tứ giác nội tiếp và áhận biết nhanh tứ giác nội tiếp thì ta có thể dùng tính chất của nó để ứng duný Chửng
minh hình học có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp: O
Ung dung 1: x”
Chứng minh đăng thức, bất đăng thức hình học; Chứng mịnh tác góc băng nhau
, các đăng thức tích các đoạn thăng , bất đăng thức về diện lích các hình, Ví dụ : Từ kết quả của 3 ví dụ ta có thể dùng tứ ềiác HCNK nội tiếp để giải
bài toán tiếp theo : Q
Giữ nguyên giả thiết và bỗ xung thêm<M là giao điểm của IK với AB Kết luận chứng minh Sawx < + với SAwụ SAnc thứ tự là ký hiệu diện
tích tam giác AMN và tam giác anc
Ta có thê phân tích giải Sim sau (hình vẽ ở ví dụ 3)
Tứ giác HCNK nộ ep => ZANM = ZKHC = 45° => AAMN là tam giác vuông cân tại A => “SS AN (1)
Lại chứng mith ược AAKN = AAKH (g.c.g) => AN = AH (2) Tur (1) va (2)=> AM = AN =AH
Vv
Do d6 Say = „AM AN= =A còn Sanc = 5 AB -AC xéẦnc vng tại Á có :
Œœ Li, _AB’+AC’ | 2AB.AC 2 l
Trang 26https://plus.google.com/+DayKèmQuyNhơn Đóng góp PDF bởi GV Nguyễn Thanh Tú http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định Ví dụ: (lấy ví dụ 2)
Giữ nguyên giả thiết, kết luận chứng minh PQ//AC
Thật vậy ( hình vẽ ở ví dụ 2) Tứ giác AQBP nội tiếp => ZACB = ZPAB ( cùng chắn cung AB ) mà ⁄PAB = ⁄PQB (cùng chắn cung BP của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AQBP ) => ZACB = ZPQB => PQ //AC (dong vi )
Dùng các cách chứng minh tứ giác nội tiếp dé chung minh nhiéu Aj, AAs: gue
Aa cùng thuộc một đường tròn : O
Bước 1: Chọn ra bốn diém, vi du Aj, A>, A;3, Ag tao thành mồi tứ gíac nội
tiếp (sử dụng một trong 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp ) C2
Bước 2: Lại chọn ra bốn điểm khác nhau : Aj, Ra As chang han tao thành một tứ giác nội tiếp
Cứ tiếp tục chứng minh như trên, cuối cù a xét các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác trên đều chung nhau 3 điểm ›;„ As Do đó các đường tròn đó
phải trùng nhau => A;, A>, A3, ,A, clin c một đường tròn
SO
Ví dụ: Cho tam giác ABC nye tại A, điểm E thuộc BC, kẻ hai trung trực của AB và AC gặp nhau ở Thùng trực của AE cắt hai trung trực kia ở F, K
Chứng minh 5 điểm A, “8 >Ì, K cùng năm trên một đường tgòn Phân tích:
Ứ ng dụng 3: : O sò
Chứng „an A,EF,LK A
cùng năm uê)mộ đường tròn (l)
& Chứng 1 minh 2 tứ giác nội tiếp AKIE
và F (có 3 điểm chung là A,K, D 2) g
That vay, từ giả thiết => Ie BC va IB =IC (ZA = 90°)
Vi IK là trung truc cua AC, KF là trung trực của AE
= KA = KC = KE => ZKAI = ZKEI (=ZKCE)
Trang 27https://plus.google.com/+DayKemQuyNhon http://daykemquynhon.blogspot.com (Các góc nội tiếp cùng chắn một cung và tính chất đường trung trực )
hay ZK, = ZI, => tu gidc AKIF ndi tiếp (theo cách 4) (4)
Từ (3)và (4) => (2) => (1) đpem Sà
Chú ý : Ở ví dụ này kẻ đường cao AH của tam giác ABC Hình vẽ trên là w ứng với điểm E thuộc đoạn HC còn 2 trường hợp nữa là E thuộc đoạn HB và E\
nằm ngoài đoạn BC chứng mình tương tự >
Bai hoc kinh nghiém: KR
Qua dé tai này tôi rút ra được bài học kinh nghiệm cho chính ban than là có đủ phương pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp, khai thác triệt để * Điều kiện cần và đủ ” để khai thác các bài toán mới khi dạy bôi _— HS Cũng từ
các cách chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp có thể mở ra ø nghiên cứu tiếp
vẽ hình phụ tạo ra tứ giác nội tiếp, để giải cách kháe.èhó một bài toán cụ thể
Trang 28https://plus.google.com/+DayKémQuyNhon http://daykemquynhon.ucoz.com Đóng góp PDF bởi GV Nguyễn Thanh Tú Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định rÀ hd “=> ce © PHAN C: KET LUAN VA DE XUAT 1 Kết luận
Qua quan sát đọc tài liệu viết báo cáo và dạy minh họa, việc tìm cách
chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn, vận dụng tính chất của nó vào giải
kinh nghiệm về phương pháp và dạy cho học sinh một cách có phươn p có hệ
- Trọng rèn luyện nghiệp vụ: Đây là một trong những hình thức tự Oo
bôi dưỡng của người giáo viên Với GV, chỉ có đọc, học hỏi và tích
thông thì mới có thể nâng cao được năng lực giải toán, phuong<ph Ð mới được đổi mới và sáng tạo
- Bên cạnh đó cũng có thể nói rằng đề tài này là abi cần thiết giúp các giáo viên mới ra trường tham khảo khi dạy hình cho học sinh và giúp GV dạy toán mở hướng nghiên cứu tiêp hệ thống cá : ong phap khac
- Trong thực tiễn giảng giạy: Việ năm được hệ thông phương pháp
chứng minh tứ giác nội tiêệp để áp sung giải toán đem lại hứng thú cho người giải toán, nhất là HS bởi với bài loán chứng minh tứ giác nội tiếp nào HS
cũng có thể tự mình mày mò va‘tim ra được hướng giải không bị bê tắc Có
được tứ giác nội tiếp rồi lại cớ thể dùng các tính chất của nó tức là phân đảo lại
để khai thác và đề xuất c bi mới, bài toán mới thực sự lý thú Nó đem lại sự tự tin, niềm say mê với (bộ môn hình học, sự tưởng tượng phong phú và tư duy
nhanh nhạy cY
- Nói tóm ae he thong phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp là không thể thiêu tronờ người thầy để bồi dưỡng phương pháp giải toán và năng lực tư
duy sáng tấo cho HS Tuy đề tài này dừng lại ở mảng nhỏ của chứng minh hình
học những đã phân nào làm sáng tỏ ý nói trên đây
Xu nghị
Đối với giáo viên việc trau dôi kiến thức chuyên môn là một nội dung quan trọng và thường xuyên thực hiện, do đó tôi rất mong được sự giúp đỡ của anh,
chị giàu kinh nghiệm chỉ bảo để tôi có thêm nhiều kĩ năng truyền dạy đến các thế hệ học sinh sau này
Đối với ban giám hiệu luôn tạo điều kiện thuận lợi để anh, em giáo viên phát
Trang 29https://plus.google.com/+DayKemQuyNhon http://daykemquynhon.blogspot.com
3 Khả năng áp dụng của sáng kiến
Đề tài năm ở phạm vi nhỏ của một chương nhưng là một nội dung quan
trọng giúp học sinh thêm tự tin trong phân hình học, một phần trọng tâm Sà trong nội dung ôn thi vào 10 hàng năm
Trang 30https://plus.google.com/+DayKèmQuyNhơn http://daykemquynhon.blogspot.com Nội dung tiết giảng mình họa Ngày soạn: 15/02/2017 Ngày giảng: 23/02/2017 Sà Tiết 50: LUYỆN TẬP a A.MUC TIEU: Ss
1 Kiến thức: Củng có tính chất của tứ giác nội tiếp Biết cách chứng minh
tứ giác là tứ giác nội tiếp AY
2 Kỹ năng: Rèn kỹ năng vẽ hình và giải bài tập hình œ 3 Thái độ: Giáo dục tính cần thận >
B.CHUAN BI CUA GV VA HS &)
- GV: Gido an, SGK, SBT, SGV ©
- HS: SGK, SBT, làm các bài tập ở nhà ~
- Phuong phap: Dat va giai quyét vân đê, thuyêt trinh\
C.NQI DUNG TICH HOP LONG GHEP
- Ki nang tim kiếm và xử lý thông tin khi đọc cm o khoa
TL: D.N: Một tứ giác c6 Bốn đỉnh năm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường trò I tắt là tứ giác nội tiếp)
Tính chất tứ giá iép ( định lý)
ĐL: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180° HS 2: Trinh Bay các cách chứng minh một tứ giác nội tiếp?
=
©
Oo
9 - Ki nang giao tiép, lang nghe tich cuc khi ho ng nhóm 5 - Kĩ năng tự tin khi trình bày ý kiến trước lé
5 D.TIEN TRINH DAY HQC: c
s LỐn định tô chức:
= BA / 2.|B /
E aX
S Il Kiem tra bài cũ: 7 -
= ` HS 1: Phat biéu dinh ng —— chât của tử giác nội tiệp? = Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
ca giác có tông hai góc đôi băng 180”
2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Ð/C 10008 TRÀN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Reo 3: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) © Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
Trang 31https://plus.goodl e.com/+DayKèmQuyNhơn http://daykemquynhon.blogspot.com HĐI1.Đặt vấn đề: Với những kiến thức em đã được học ở hai tiết 48, 49 mà
thay vira nhac lai 6 trén, các em vận d ụng chúng như thế nào vào giải bài tập Các em vào bài hôm nay, Tiết 50 — Luyện Tập http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
HD2.Trién khai bài:
Hoạt động của GV và HS Nội dung
Bai 1 Bai 1
Cho tam giác ABC nhọn và nội
tiép (O), 2 duong cao BB’, CC’ Tia
AO cat (O) 6 D va cat B’C’ GI
Chimg minh rang
a) Tir gidc BC’B’C ndi tiép b) Tứ giác BDIC' nội tiếp
GV: Các em vẽ hình, viết giả thiết, „
kết luận Ay
HS: Thuc hién yéu cau, tu a“
nhap j Q
Đo
GV: Sau khi học sinh ]ầm xong cách 1; gv đặt cầu hỏi làeðn cách nào khác để làm ý a? GV gợi ý cách làm bằng định nghĩa; gọi M là trung điểm của cạnh BC Y xO 2
a) Tứ giác BC'B'C nội tiếp
Cách l (Tứ giác có hai đỉnh kê nhau cùng
nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc đ) Xét tứ giác BC”B°C có: BC'C = BB'C =901 = tu gidc BC’B’C ndi tiép Cách 2 Tứ giác có 4 đỉnh cách déu một diém (mà ta có thể xác định được) Điềm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ
giác
Gọi M là trung điểm của cạnh BC tức là
BM = MC = = (1) nối CM và B`M ta có:
AC'BC vuông tại C°, CˆM là trung tuyên ứng với cạnh huyền nên C'M “= (2)
Trang 32https://plus.google.com/+DayKémQuyNhon http://daykemquynhon.blogspot.com http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định GV: GV: Một em trình bày bằng lời cách làm ý b)
HS: một số học sinh tham gia ý kiến GV: trình bày sơ lược cách làm trên hình rồi cho học sinh làm chỉ tiết GV: Trong hình vẽ còn tứ giác nào nội tiếp
GV: Chốt lại kiến thức
Bài 2 Cho tam giác ABC có B và C nhọn, Đường cao AH và đường
trung tuyên AM không trùng nhau, N là à trung điể điểm của AB; Cho biệt a) BAH=MAC a) Chứng minh tứ giác “ust nội tiệp _ b) Tính BAC ` * ¥
GV: Yéu ca oe sinh vẽ hình, viết giả thiết, kết luận
HS: ién yéu cau
GV : với những tứ giác mà có sẵn hai
(đường chéo các em thường lưu ý tới
cách chứng minh tứ giác nội tiếp
băng cung chứa góc HS: có thể ghi chú ý này
GV trình bày sơ đô sau lên bảng kèm các câu hỏi goi mo:
1) MN//AC > AMN = MAC
2) sHAB vuông tại H
Từ (1); (2) và (3) thây
BM =CM =C'M =B'M -> tức 4 điểm
B,C',B',C cách đều điểm M hay B,C',B',C nội tiếp đường tròn đường kính BC
b) Theo phân a) tur tứ giac BC’B’C noi \ tiếp> BCB'+ BC'B'=180° (Tông hai góc) đối của tứ giác nội tiếp) a"
Mà : BDA = BCA (hai góc nội tiỆP cùng chắn cung AB) oe
= BDA+BC'B'= BDI +BO1=180"
=> 0 BDIC’ ndi tiếp đường tron (Dpcm) về Bai OY SY sp
a) Chứng minh tứ giác ANHM nội tiếp Do M, N lân lượt là trung điểm của BC,
AB nên MN là đường trung bình của tam giác ABC > MN//AC
= AMN = MAC (So le trong) (1)
Trang 33https://plus.google.com/+DayKémQuyNhon
3) Tam giác NHA cântạiN _ |tuyén nén HN=NA
4) MN//AC =ANHA cân tại N
5) Góc ANM = góc AHM=90 độ |SUY ra AHN = NAH (2) (Tinh chất tam giác can) Ma MAC = NAH (gia thiết) (3)
Từ (1); (2) và (3) có AMN = AHN suy ra
tứ giác NAMH nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kê nhau cùng nhìn cạnh chứa hai ` đỉnh còn lại dưới một góc @) = ANM =AHM =90" Re Lại có MN//AC nên AC L AB hay BAC =901 AY: Rút ra kết luận
HĐ 3 Hướng dẫn luyện tâ LY
IV Củng cô Lông vào bài học `
Bai 1: Cho duong tròn (O; R), từ một điểm A trên (OY ke tiép tuyén d voi (O)
Trén duong thang d lay diém M bat kì (M khác : A):kẻ cát tuyên MNP và gọi K
là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm) Kẻ AC L MB, BD L
MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là gfao điểm của OM và AB
1 Chứng minh năm điểm O, K A, M, ast nằm trên một đường tròn 2 Chứng minh OLOM = RỶ; OL IM 3 Chứng minh OAHB là hình thoi S http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định = dẫn:`⁄
hãy tứ giác MAOB nội tiếp, hãy chỉ ra K cũng thuộc đường tròn đó & ứng minh OM là trung trực của AB, áp dụng hệ thức lượng trong tam
giác vuông OAM, AI là đường cao
“SS Chi OAHB là hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau ả Dan dò về nhà
C) - Hoàn thành bài tập 3; học thuộc các cách chứng minh một tứ giác nội tiếp
Trang 34https://plus.google.com/+DayKémQuyNhon http://daykemquynhon.blogspot.com
TAI LIEU THAM KHAO
1 SGK toan 9 tap 2 — Phan Đức Chính ( Tong chủ tập )- Tôn Thân (chủ biên) — nhà xuất bản giáo dục năm 2005
2 Nâng cao và phát triển toán 9 tập 2 — Vũ Hữu Bình — Nhà xuất bản giáo an
duc nam 2005
3 Chung minh hinh hoc :
chimg minh hinh 9 — Nguyén Phiic Trinh — Nha xuất bản thành phố
Minh nam 1999
Đức Đông , Nguyễn văn Vinh — Nha xuat ban 6 Mạng Internet, giáo án violet.vn c© S http://daykemquynhon.ucoz.com Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định 40
phân loại và phương pháp giải 100
4 Cách tìm lời giải các bài toán THCS - tập II Hình wel Hai Chau và Nguyễn Xuân Quỳ — Nhà xuất bản Đại học Quốc gia HANG nam 1999