Đề tài nghiệp vụ sư phạm một số phương pháp giải phương trình bậc cao ơ THCS

Chúng ta thấybài tập thì rất nhiều rât đa dạng Trong quá trình giảng dậy ở chương trinh trình toán THCS nói đén vấn đề giải “Phương trình “ Tôi thấy giải phương trình là một báI toán cơ

PHẦN I :

ĐẶT VẤN ĐỀ

I-LỜI NÓI ĐẦU

Muốn giỏi toán thi ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản phải biết vậndụng thành thạo các kiến thức đó vào các bài tập từ dễ đến khs Chúng ta thấybài tập thì rất nhiều rât đa dạng

Trong quá trình giảng dậy ở chương trinh trình toán THCS nói đén vấn đề giải

“Phương trình “ Tôi thấy giải phương trình là một báI toán cơ bản liên quan đếnnhiều bài toán khác như : Tìm TXĐ ,giải bài toán có lời văn bằng cách lậpphương trình Ơ lớp 8chỉ nói về :Phương trình bậc nhât một ẩn và phương trìnhbậc hai một ẩn số Ngoài ra còn các phương trình bậc cao hơn và các dạngphương trình khác lạ

Đứng trước một bài toán giải “phương trình “ có thể xem xét nó thuộc dạngnào Từ đó mà biết cách vận dụng những kiến thức gì ? và giải nó theo trình tựnào Chính vì lẽ đó để giúp các em HS có cách giải các phương trình và một sốphương trình loại khác ,tôi chọn đề tài này

Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số cách giải phương trình bậc cao đưa vềphương trình quen thuộc và phương trình đã biết cách giải Đề tài này có thể chogiáo viên toán và những HS yêu thích môn toán tham khảo Cách giải và cáchtrình bày Tuy vậy ,nội dung của đề tài vẫn còn hạn chế do năng lực bản thân

Vì vậy tôi rất mong sự giúp đỡ cũng như những ý kiến đóng góp của các thầy côgiáo và của thầy : Giáo Sư – Tiến sĩ Lê Mậu Hải ,cùng các thầy trong khoatoán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội I đã giúp đỡ tôi trong hoàn cảnh đề tàinày

II/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :

-Phương pháp giải các phương trình bậc cao bằng cách đưa về các dạng phươngtrình đã biêt cách giải hoặc các dạng quen thuộc

-Các ví dụ minh hoạ

III/ Đ ỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- HS lớp 9: Trường THCS Trực Thái –Trực Ninh –Nam Định

-Giúp các HS có cách giải các phương trình bậc cao và một số phương trình loạikhác

IV./ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

_tham khảo tài liệu ,thu nhập tài liệu

-Phân tích ,tổng kết kinh nghiệm

-kiểm tra kết quả :Dự giờ ,kiểm tra chất lượng HS,nghiên cứu hồ sơ giảngdạy ,điều tra trực tiếp thông qua các giờ học

V / PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Giới hạn ở vấn đề giải các phương trình cơ bản ,phương trình bậc cao (một sốthường gặp ở lớp 9) Trong chương trình toán 9 ở THCS

PHẦN 2 :

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

A/ CƠ SỞ LÍ LUẬN :

I MỤC ĐÍCH , Ý NGHĨA CỦA VIỆC DẠY GIẢI BÀI TẬP TOÁN :

-Bài tập toán giúp cho HS củng cố khắc phục những kiến thức cơ bản một cách

có hệ thống (về toán học nói chung cũng như về phần phương trình bậc cao quy

về phương trình bậc hai trong chương trình dạy toán lớp 9)theo phương pháp tinhgiảm dễ hiểu

-Bài tập về “ phương pháp quy về phương trình bậc hai “ nhằm rèn luyện cho HSnhững kĩ năng thực hành giải toán về phương trình bậc hai Rèn luyện cho HScác thao tác tư duy ,so sánh ,khái quát hoá ,trừu tượng hoá ,tương tự

-Rèn luyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàngcác môn học khác ở trường THCS Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực

tế

-Bài tập “Phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai “còn góp phần rènluyện cho HS những đức tính cẩn thận ,sáng tạo …

II/ CÁC KĨ NĂNG ,KIẾN THỨC KHI HỌC VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH :

1 Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số :

-Biến x được gọi là ẩn

-Giá trị tìm được cuả ẩn gọi là nghiệm

-Mỗi biểu thức là một vế của phương trình

-việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình

2 Cách giải :

-Phương trình tổng quát : a x+b=0 (a#0) (1)

-dùng phép bién đổi tương đương , Phương trình (1) trở thành :

a x=-b x=-b/a

THCSPhương trình này có nghiệm duy nhất : x=

2 Cách giải một phương trình bậc hai :

-Ta dùng các phép biến đổi tương đương ,biến đổi phương trình đã cho về cácdạng

Phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc nhất ,phương trình dạng tích )

để tìm nghiệm của phương trình

-Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai :

-Ta thấy có các khả năng sau xảy ra :

a , <0  phương trình bậc hai vô nghiệm b , =0  phương trình bậc hai cóhai nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau) x1=x2 =

Để giải một phương trình bậc ba ta thường phải biến đổi về phương trình tích

Vế trái là tích của các nhị thức bậc nhất với tam thức bậc hai.Vế phải bằng 0Muốn làm tốt việc này đòi hỏi HS phải có kĩ năng ,phân tích một đa thức thànhnhân tử một cách thành thạo

Đây là mọt dạng phương trình khó ,nó không có cách giải tổng quát Trong phạm

vi của đề tài , tôI xin trình bày một số dạng đặc biệt của phương trình bậc 4 ,nhằn giúp HS có thể giải được những bài tập thường gặp trong SGK cũng nhưtrong các loại sách tham khảo khác

-Về phương pháp chung để giải bài toán này là dựa vào dạng cấu tạo đặc biệt củaphương trình ,bằng phương pháp đổi biến để đưa về phương trình có bậc thấphơn hoặc phân tích vế trái thành nhân tử đưa về dạng phương trình tích bằngviệc giải các phương trình có bậc thấp hơn ta có thể kết luận được nghiệm củaphương trình đã cho

2 Ước lượng nghiệm của phương trình :

Đối với phương trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát để tìmnghiệm của nó , ngay cả trong trường hợp là phương trình bậc 3 và bậc 4 mặc dù

có công thức song cũng hết sức phức tạp Trong nhiều trường hợp người ta chỉyêu cầu cho một đánh giá nào đó về độ lớn của nghiệm dưới dạng một bất đẳngthức

Ta có định lí dưới đây (đ/l Maclỏanh –Thừa nhận không chứng ninh )

a -Định lí Maclỏcanh : Xét phương trình

f(x) =a 0

1

1x a a

n

n

n      (1)Giả sử k là chỉ số lớn nhẩttong tất cả các chỉ số I mà ai<0 và b là giá trị tuyệtđối lớn nhất của các hệ số âm Khi đó nếu  là nghiệm dương của phương trìnhthì :

THCSBây giờ ta đi tìm cận dưới của nghiệm nguyên dương tức là xác định một sốdương b sao cho  >0 với mọi nghiệm dương 

0 a n  a n a 





Nếu A là cận trên của các nghiệm của (2) thì ta có

 A do đó  A1 vậy A1 là cận dưới của các nghiệm của (1)

b-Định lí (Ước lượng Niu tơn) :

1

1x a a

-Với x”khá bé “ thì dấu của f(x) là dấu của hệ số khác không đầu tiên

- Với x khá lớn thì dấu của f (x) là dấu của hệ số a0

Ta nói rằng x= là một nghiệm bội k của (1) nếu : f(x) =(x- )k g(x) ( k1)

Ơ đó g(x) là một đa thức không nhận  làm nghiệm

Định lí 1 : Nếu phương trình f(x) =0 có  làm bội k (k>1) thì phương trình

f’ (x) =0 có nghiệm  bội k-1

Định lí 2 : Giả sử a<c và f(a ) f(c) <0 khi đó phương trình (1) có một số

chẵn (có thể bằng không ), các nghiệm (kể cả nghiệm bội ) trong khoảng (a, c) Chứng minh:

Giả sử  2 n là các nghiệm của (1) với các bội tương ứng là k

Vì f(a) trái dấu với f(c) và g(a) cùng dấu với g(c) do đó f(a) trái dấu với g(a) Suy ra k1 k2  k n là một số lẻ Khẳng định sau được c/m tương tự

Định lí (Role) :Giữa 2 nghiệm của phương tình f(x)=0 phải có ít nhất một

nghiệm của phương trình f’’ (x) =0

Định lí này được áp dụng cho hàm khả vì(x) bất kỳ

Định lí (Đề các): Xét phương trình bậc n

f(x) =a x n a

n   1 0

1x  a =0

Gọ P là số các nghiệm dương của phương trình trên ( mỗi nghiệm kể một số lầnbằng số bội của nó )

Gọi C là số lần thay đổi dấu trong dãy hệ số  2 n

ra một số lần bằng bội của nó khi đó ta có hệ thức Vi ét sau :

x

n

n n

a

a x

Ví dụ :Định lí Vi ét cho phương trình bậc ba như sau :

Cho phương trình : a x3 + b x2 + cx + d =0 có ba nghiệm x1 , ,x2 ,x3 Khi đó x1x2 x3 a b

x1x2 x2x3 x3x1 a c

x1x2x3 a d

Định lí Vi ét cho phương trình bậc bốn như sau :

Cho phương trình : a x4 +bx3 +cx2 + dx +e =0 có 4 nghiệm thì

x4 + x1x2x3 a b

x1x2 x1x3x1x4 x2x4x2x3x3x4 

a c

x1x2x3 x4 = a c

2 Định nghĩa hai phương trình tương đương

-Hai phương trình gọi là tương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm

3 Định nghĩa hai phương trình hệ quả :

Nếu mỗi nghiệm của phương trình thứ nhất đều là nghiệm của phương trình thứhai thì phương trình thứ hai gọi là phương trình hệ quả của phương trình thứnhất

4 Định nghĩa phép biến đổi tương đương các phương trình :

Biến đổi các phương trình đã cho thành một phương trình khác tương đương với

nó , nhưng đơn giản hơn gọi là phép biến đổi tương đương

5 Các định lý về biến đổi tương đương phương trình

a/Định lý 1: Nừu cộng cùng một đa thức chứa ẩn vào hai vế của phương trìnhthì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho :

Ví dụ : 3x=27  3x +2x =27 +2x

Hệ quả1: Nừu chuển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trìnhđồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì được một phương trình mới tương đươngvới phương trình đã cho

Ví dụ : 3x -5 =7x+9 3x- 7x =9+5

Hệ quả 2 : Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương trình thì

ta được một phương trình mới tương đương với một phương trình đã cho

Ví dụ : 2x+4x2-8=4x2 -6 <=>2x-8=6

b, / Định lý 2 : Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thìđược một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

c -Chú ý : Nếu nhân hai vế của một phương trình với một đa thức chứa ẩn

nhưng không cùng tập xác định thì có thể chỉ được phương trình hệ quả màthôi

.C /PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO:

2 / Cách giải phương trình bậc hai :

_ Khi nghiên cứu về nghệm số của phương trình bậc hai ta cần đặc biệt quan tâmđến biệt số của phương trình

 = b2 -4ac

 gọi là biệt số của phương trình bậc hai.Vì biẻu thức = b2- 4ac quyết địnhnghiệm số của phương trình bậc hai

-Ta thấy có các khả năng sau xảy ra

a , <0  phương trình bậc hai vô nghiệm

b , =0  phương trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau)

- Đặc biệt khi b chẵn: b= 2b ( b’ Z ) Ta có thể tìm nghiệm số của phươngtrình

bậc hai qua biệt số thu gọn ’ =b’ 2 –ac

- Về số nghiệm số của phương trình bậc hai xét theo biệt số ’ cũng như ởphần trên

a , ’ <0 phương trình bậc hai vô nghiệm

Định lí Vi ét cho phương trình bậc hai được phát biểu như sau :

Định lí Vi ét : Nếu phương trình bậc hai a x 2 + bx +c = 0 (1) ( a 0) cóhai nghiệm là : x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm là

+ Nếu a+b+c =0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x11 x; 2 

a

c

+ Nếu a-b+c=0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x

- Sau khi dạy về định lí Vi ét tôi cho HS giải các phương trình bậc hai qualược đồ sau :

 0

a #0 =0

 0

<0 =0 >0 Ví dụ : Giải các phương trình sau

a , 3x2+5x +7 = 0

= 25 – 4 3 7 =25 - 84 =- 61 <0 Vậy phương trình vô nghiệm b , 5 x2 +2 10x +2 = 0

= (2 10 )2 -4.5.2 =0 nên phương trình có nghiệm kép

x1=x2 = a b 2  = 5 10  c ,: 3x2+5x - 1 = 0

= 52 - 4 3 (-1) =25+12 =37 >0 Vậy PT có hai nghiệm là : x1= 6 37 5   ; x2= 6 37 5  

TÝnh a-b+c phương trình (1) có hai nghiệm là x

a c x    2 1 1 ; TÝnh 

phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là:

x1= a b 2    ; x2= a b 2    phương trình (1) có hai nghiệm là x 1  1 ;x2 a c

phương trình (1) vô nghiệm

THCS d/ Giải phương trình x 2 -3x +6 =

- Để kết luận nghiệm của (1) ta cần phải kiểm tra xem các nghiệm của (2)

có thuộc TXĐ của (1) hay không ?

ở đây ta nhận thấy x1=1 thoả mãn điều kiện

x 2=3 không thoả mãn điều kiện

-Do đó ta mới kết luận nghiệmcủa (1) là x=1

+Sau khi giải được kết quả cần so sánh kết quả và kết luận nghiệm ( loại

bỏ những nghiệm của phương trình trung gian không nằm trong miền xác định )

-Để giải một phương trình bậc ba ta thường biến đổi về phương trình tích Vế trái

là tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai , vế phải bằng 0 Muốn làmtốt việc này cần đồi hỏi HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử mộtcách thành thạo

3- Ví dụ : giải phương trình 2x3 +7x2 +7x + 2=0

Giải

Phân tích vế trái thành nhân tử ta có

-Chú ý : tính chất của phương trình bậc ba : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 )

+Nếu a+b+c +d =0 thì phương trình có một nghiệm x=1

+Nếu a-b+c-d =0 thì phương trình có một nghiệm x= -1

Khi đã nhận biết được một nghiệmcủa phương trình ta dễ dàng phân tích vế tráithành nhân tử

- Phương trình : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) với các hệ số nguyên Nếu cónghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hạng tử tự do (đ/l sự tồntại nghiệm nguyên của phương trình nghiệm nguyên )

- Nếu phương trình : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) có 3 nghiệm x1 ; x2 ; x3

Thi 3 nghiệm đó sẽ thoả mãn các điều kiện sau

x1+x2+x3 = - a b

x1x2+ x2x3 +x1x3 =

a c

x1x2x3 = -d a

II / PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 :

Phương trình bậc 4 dạng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0

Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; ( a 0 )

Một phương trình bậc 4 mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về PT bậc hai

3.1/ Phương trình tamthức bậc 4 (Phương trình trùng phương )

c- Ví dụ : Giải phương trình sau

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là :

x1=3/2 ; x2= -3/2 ; x3 =5 ; x4=-5

d - Nhận xét :

-Khi nghiên cứu số nghiệm của phương trình trùng phương (1) ta thấy :

_ Phương trình vô nghiệm khi :

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm

+Hoặc phương trình bậc hai trung gian có cùng hai nghiệm âm

_ Phương trình trùng phương có hai nghiệm khi :

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép dương

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm âm

Ta nhận thấy x=0 không phảI là nghiệm của (1)

Do đó chia cả hai vế (10 cho x2 ta được

10x2 -27x – 110 - 2

10 27

x

x  = 0 Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được PT 10( x2 + 12) ( 1)

x

x

x   ) -110 =0 (2)Đặt ẩn phụ (x+1)

x =t (3) => x2+ 2

1

x =t2 -2 thay vào (2) ta có 10t2 -27t -130=0 (4)

THCS+ Với t1=-

1

; 2

; 2 1

c - Nhận xét :

* Về phương pháp giải gồm 4 bước

-Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x2rồinhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đượcphương trình (2)

-Đặt ẩn phụ : (x+1)

x =t (3) => x2+ 12

x =t2 -2 thay vào (2) -giảI phương trình đó ta được t = …

- thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1

5 và 1/5là nghịch đảo của nhau)

3 3 /Phương trình hồi quy :

c

 ; ( c 0)

Đối với phương tình hệ số đối xứng bậc 4chỉ là một trường hợp đặc biệt củaphương trình hồi quy

+/ Chú ý

 = 0 (2)_Nhóm hợp lí a (x2 + 2)  (  ) c 0

bx

d x b ax

c

-Đổi biến đặt x+ bx d =t

=> x2 +( 2

2 ) 2 t b

d bx

d



 do (d/b)2 =c/a nên x2+ c/ a x2=t2 -2 d/b

Khi đó ta có phương trình

a(t2 - 2d b ) bt +c =0

_Ta được phươnmg trình (3) trung gian như sau : at2+ bt +c=0 (3)

-Giải (3) ta được nghiệm của phương trình ban đầu

 ; Nên phương trình (1) là phương trình hồi quy

 x=0 không phải là nghiệm của (1)

 Do đó chia cả hai vế phương trình cho x2= ta được

x2- -4x -9 + 2

4 8

x

x =0  (x2 + 42)

.;

2

; 1

d/ nhận xét :

- Cũng tương tự như giải phương trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bướcđặt ẩn phụ