ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG TRƯỜNG THCS ppt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN – TIN ====***=== ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG TRƯỜNG THCS Giảng viên hướng dẫn: GS.TS.Tống Trần Hoàn Người thực hiện: Vũ Thị Hoa Hải Dương năm 2006 MỤC LỤC A NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I: Các định nghĩa Trang 3 II: Các tính chất B CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS Chủ đề I: Giải phương trình, hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối I Kiến thức cần lưu ý II Bài tập điển hình Chủ đề II: Giải bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối I Kiến thức cần lưu ý II Bài tập điển hình Chủ đề III: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối I Đồ thị hàm số y = f( x ) II Đồ thị y = f(x) III Đồ thị y = f (x) IV Đồ thị y = f ( x ) V Đồ thị y = f (x ) Chủ đề IV: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối I Kiến thức cần lu ý II Bài tập điển hình 9 10 14 14 14 17 17 18 19 20 20 24 24 24 26 30 31 32 C ĐÁP ÁN D TÀI LIỆU THAM KHẢO E.KẾT LUẬN F GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM PHẦN I: LỜI NÓI ĐẦU Giá trị tuyệt đối khái niệm phổ biến rộng rãi ngành khoa học Tốn - Lí, Kỹ thuật, Trong chương trình Tốn bậc THCS, khái niệm giá trị tuyệt đối số gặp nhiều lần, xuyên suốt từ lớp đến lớp lớp 6, học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm " Giá trị tuyệt đối" qua 2: " Thứ tự Z", học sinh nắm cách tìm giá trị tuyệt đối số nguyên bước đầu hiểu ý nghĩa hình học Nhờ sách giáo khoa đưa vào quy tắc tính số nguyên đến số hữu tỷ lớp 8, khơng có chương trình giảng dạy song bài: " Giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối" nhiều giáo viên quan tâm trang bị đầy đủ cho học sinh học sinh giỏi Đến lớp 9, xét tính chất thức bậc hai, khái niệm giá trị tuyệt đối lại có thêm ứng dụng mới( đưa thừa số căn, đưa thừa số vào căn, khử mẫu biểu thức lấy căn, ) Giá trị tuyệt đối khái niệm trừu tượng quan trọng sử dụng nhiều q trình dạy Tốn THCS THPT Đại Học, Việc nắm vững khái niệm bậc THCS tảng cần thiết để em tiếp thu kiến thức cao bậc học sau Trước nhu cầu nâng cao kiến thức thân nâng cao kiến thức cho người dạy người học khái niệm " Giá trị tuyệt đối", định chọn đề tài: " Giá trị tuyệt đối trờng THCS" Tôi mong đề tài giúp cho giáo viên học sinh trình giảng dạy học tập Tơi xin trân trọng cảm ơn GS TS Tống Trần Hoàn hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành tốt đề tài ! Vì hồn thành thời gian ngắn nên đề tài nhiều hạn chế, thiếu sót Tơi mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến thầy giáo bạn đồng nghiệp A NHỨNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I CÁC ĐỊNH NGHĨA 1 Định nghĩa Giá trị tuyệt đối thực chất ánh xạ f: R R+ a a ∈ R có giá trị f(a) = a ∈ R+ với giá trị a 1.2 Định nghĩa Giá trị tuyệt đối số thực a, ký hiệu a là: a a ≥ a = -a a < Ví dụ1: 15 = 15 − 32 = 32 −1 = =0 − 17 = 17 *Mở rộng khái niệm thành giá trị tuyệt đối biểu thức A(x), kí hiệu A(x) là: A(x) A(x) ≥ A(x) = -A(x) A(x) < Ví dụ 2: 2x - x ≥ 2x −1 = - 2x x < 2x - 2x- ≥ = -(2x - 1) 2x - < 1.3 Định nghĩa 3: Giá trị tuyệt đối số nguyên a, kí hiệu a , số đo( theo đơn vị dài dùng để lập trục số) khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc trục số ( hình 1) -a -a a a Hình Ví dụ 1: 3 a =3 ⇒ a= − Do đẳng thức cho nghiệm hai số tương ứng với hai điểm trục số ( hình 2) -3 Hình a = b b b ⇒a= ; a = b ⇒a= − b − b b > Tổng quát:  Ví dụ 2: a ≤3⇒ a ≤ a ≥ 0 ≤ a ≤3 ⇔ ⇔ -3 ≤ a ≤ -a ≤ a < -3 ≤ a < Do bất đẳng thức nghiệm tập hợp số đoạn [ − 3;3] trục sơd nghiệm tập hợp điểm đoạn [ − 3;3] ( hình 3) -3 Hình Ví dụ 3: a ≥ a ≥ a ≤ 3⇒ a ≥ a ≥ ⇔ ⇔ ≤ a a ≤ -a ≥ a < a ≤ -3 v a < Do bất đẳng thức đợc nghiệm tập hợp số hai nửa đoạn (- ∞ ; 3] [3; + ∞ ) trục số đợc nghiệm hai nửa đoạn tương ứng với khoảng số (hình 4) -3 Hình a ≥ b Tổng quát: a ≥ b ⇔  a ≤ −b BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tìm tất số a thoả mãn điều kiện sau: a) a = a b) a < a c) a > a d) a = -a e) a ≥ a f) a + a = g) a + b = b Bài 2:Tìm ví dụ chứng tỏ khẳng định sau không đúng: a) ∀ a ∈ Z ⇒ a > b) ∀ a ∈ Q ⇒ a > a c) ∀ a, b ∈ Z, a = b ⇒ a = b d) ∀ a, b ∈ Q, a > b ⇒ a > b Bài 3: Bổ sung thêm điều kiện để khẳng định sau a) a = b ⇒ a = b b) a > b ⇒ a > b Bài 4: Tìm tất số a thoả mãn điều kiện sau, sau biểu diễn số tìm lên trục số: a) a ≤ b) a ≥ c) a - = d) < a ≤ Bài 5: a) Có số nguyên x cho x < 50 b) Có cặp số nguyên (x, y) cho x + y = ( Các cặp số nguyên (1, 2) (2,1)là hai cặp khác nhau) c) Có cặp số nguyên (x, y) cho x + y < II - MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI a ≥0∀ a 2.1 Tính chất 1: 2.2 Tính chất 2: a = ⇔ a = 2.3 Tính chất 3: - a ≤ a ≤ a 2.4 Tính chất 4: a = − a Dựa định nghĩa giá trị tuyệt đối người ta rễ thấy tính chất 1, 2, 3, 2.5 Tính chất 5: a + b ≤ a + b Thật vậy: - a ≤ a ≤ a ; - b ≤ a ≤ b ⇒ -( a + b ) ≤ a + b ≤ a + b 2.6 Tính chất 6: a - b ≤ a −b ≤ a + b Thật vậy: a = a − b + b ≤ a − b + b ⇒ a − b ≤ a − b (1) a −b = a + ( −b) ≤ a + −b = a + b ⇒ a −b ≤ a + b (2) Từ (1) (2) ⇒ đpcm 2.7 Tính chất 7: a − b ≤ a b Thật vậy: a − b ≤ a − b (1) b − a ≤ b − a = − (b − a ) = a − b ⇒ − ( a − b ) ≤ a − b (2) a − b a−b = (3) − ( a − b )  Từ (1), (2) (3) ⇒ a − b ≤ a − b (4) a − b ≤ a − − b ≤ a − ( −b) ≤ a + b ⇒ a − b ≤ a + b (5) Từ (4) (5) ⇒ đpcm 2.8 Tính chất 8: a.b = a b Thật vậy: a = 0, b = a = 0, b ≠ hay a ≠ 0, b= (1) ⇒ a.b = a b a > b > ⇒ a = a, b = b a.b > ⇒ a.b = a.b = a b ⇒ a.b = a b (2) a < b < ⇒ a = -a, b = -b a.b > ⇒ a.b = a.b = (− a )(−b) = a b ⇒ a.b = a b (3) a > b < ⇒ a = a, b = -b a.b < (4) ⇒ a.b = − a.b = a.(−b) = a b ⇒ a.b = a b Từ (1), (2), (3) (4) ⇒ đpcm 2.9 Tính chất 9: a a = (b ≠ 0) b b Thật vậy: a = ⇒ a a a = ⇒ = ≡ (1) b b b a > b > ⇒ a = a, b = b a a a a >0⇒ = = b b b b a a a −a a >0⇒ = = = b b b −b b (3) a a a a a b < ⇒ a = a, b = -b (2) Từ (1), (2), (3) (4) ⇒ đpcm BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 6: Điền vào chỗ trống dấu ≥, ≤ , = để khẳng đinh sau ∀ a, b a) a + b a + b b) a − b a - b với a ≥ b c) a.b a b d) a a = b b Bài 7: Tìm số a, b thoả mãn điều kiện sau: a) a + b = a + b b) a + b = a - b Bài 8: Cho a − c < , b − c < Chứng minh a − b < Bài 9: Rút gọn biểu thức: a) a +a b) a - a c) a a d) a : a e) 3( x − 1) − x + f) x − − (4 x − 1) B CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS CHỦ ĐỀ I: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1.1 A(x) A(x) ≥ A(x ) = ( A(x) biểu thức đại số) -A(x) A(x) < 1.2 Định lí dấu nhị thức bậc ax + b (a ≠ 0) Nhị thức bậc ax + b (a ≠ 0) sẽ: + Cùng dấu với a với giá trị nhị thức lớn nghiệm nhị thức + Trái dấu với a với giá trị nhị thức nhỏ nghiệm nhị thức Giả sử x0 nghiệm nhị thức ax + b đó: + Nhị thức dấu với a ∀ x > x0 + Nhị thức trái dấu với a ∀ x < x0 1.3 Định lí dấu tam thức bậc hai Xét tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) - Nếu ∆ < 0, f(x) dấu với a ∀ x - Nếu ∆ ≥ thì: + f(x) dấu với a ∀ x nằm khoảng hai nghiệm + f(x) trái dấu với a ∀ x nằm khoảng hai nghiệm Hay - Nếu ∆ < ⇒ a.f(x) > ∀ x - Nếu ∆ ≥ ⇒ f(x) có hai nghiệm x1 ≥ x2 x1 < x < x2 ⇒ a.f(x) < x ≤ x1 x ≥ x2 ⇒ a.f(x) > Nhận xét: Giả trị tuyệt đối biểu thức banừg nó( biểu thức khơng âm) biểu thức đối nó( biểu thức âm) Vì khử dấu giá tị tuyệt đối biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối biến làm cho biểu thức dương hay âm( dựa vào định lí dấu nhị thức bậc định lí dấu tam thức bậc hai) Dấu biểu thức thường viết bảng xét dấu II CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH 2.1 Rút gọn biểu thức A = 2(3x - 1) - x − Thật vậy: + Với ( x - 3) ≥ hay x ≥ x − = x - + Với ( x- 3) < hay x < x − = -(x - 3) = - x ta xét hai trường hợp ứng với hai khoảng biến x + Nếu x ≥ A = 2(3x - 1) - x − = 2(3x - 1) - (x - 3) = 6x - - x + = 5x + + Nếu x < A = 2(3x - 1) - x − = 2(3x - 1) - (3 - x) = 6x - - + x = 7x - 2.2 Rút gọn biểu thức B = x − - x − Thật Với x-1 ≥ hay x ≥ 1thì x − =x-1 Với x-1 (1) * Xét ≤ x ≤ D = x - + - x = (2) * Xét x > D = x - + x - = 2x - Do x > nên 2x > ⇒ D > (3) So sánh (1), (2), (3) ta minD = ⇔ ≤ x ≤ Cách 2: Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|= |x - 2| + |3 - x| ≥ |x - + - x| = Do minD = ⇔ (x - 2)(3 - x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Cách 3: 23 ( chủ đề I), Ta có: D = |x - 2| + |x - 3| ≥ | (x - 2) - (x - 3)| ≥ |x - + - x| = Do minD = ⇔ (x - 2)(3 - x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ 2.4 Tìm giá trị lớn biểu thức: E = ||x - 1|- |x - 5|| Thật vậy: Cách 1: Ta có: E = ||x - 1|- |x - 5|| ≤ |(x - 1)- (x - 5)|= |x -1 +5 - x| = Do max E = ⇔ (x - 1)(x + 5) ≥ ⇔ ≤ x x ≤ Cách 2: Ta có: E = ||x - 1|- |x - 5|| = ||x - 1| + | - x|| ≤ |x -1 +5 - x| = Do max E = (x - 1)(5 - x) ≤ ⇔ ≤ x x ≤ III BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 26: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = - |2x - 1| b) B = x − + c) C = x+2 ∈ x với x Z Bài 27: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = 2|3x - 2| - b) B = x2 + 3|x - 2| - c) C = |x + 2|+ |x + 3| d) D = |2x - 1|+ | 2x + 4| e) E = |x2 - x - 1|+ |x2 - x - 2| f) F = (0,5x2 + x)2 - 3|0,5x2 + x| Bài 28: Tìm giá trị lớn biểu thức H = ||x - 2|- |x + 3|| C ĐÁP ÁN Bài 1: a) a > 0; h) a = b) không tồn tại; c) d) a < 0; 24 e) a > 0; f) a < 0; g) a = -5; Bài 2: a) a = 0; b) a = 2; c) a = 1, b = -1; d) a = - 5, b = -2 Bài 3: a) a, b dấu b) b = a, b dương Bài 4: a) -1 ≤ a ≤ 1; b) a ≥ a ≤ -3; c) a = ± 11; d) -3 ≤ a < -1; < a ≤ Bài 5: a) 99 số; b) 20 cặp số Bài 6: a) ≤ ; b) ≥ ; c) =; d) = Bài 7: a) Cách 1: Xét hai trờng hợp: Nếu b ≥ a + b = |a| + b ⇔ a = |a| ⇔ a ≥ Nếu b < a + b = |a| - b ⇔ |a| - a = 2b ⇒ VT ≥ 0, VP < ⇒ đăng thức không xẩy ⇒ a ≥ 0, b ≥ giá trị thoả mãn Cách 2: Ta có a ≤ |a|, b ≤ |b| Do a + b = |a| + |b| ⇒ a ≥ 0, b ≥ b) Tương tự b ≥ 0, a ≤ b < 0, a = -b Bài 8: |a - b| = |(a + c) + (c - b)| ≤ |a - c| + |c - b| = + = Bài 9: a) BT = 2a với a ≥ 0; BT = với a < b) BT = với a ≥ 0, BT = -2a với a < c) BT = a2 với a ≥ 0, BT = - a2 với a < d) BT = với a > 0, BT = -1 với a < e) BT = x - với x ≥ - 3, BT = 5x + với x < - f) BT = 2x + với x < 1/4, BT = -6x + với 1/4 ≤ x < 3, BT = -2x - với x ≥ Bài 10: a) x1 = 4, x2 = -1; b) x = -1/2 c) x1 = 5/2, x2 = -2/3 d) x1= 1/2, x2 = 3/2 e) x = f) x = -1/2 g) ≤ x ≤ i) x ≥ Bài 11: a) x = x = - b) ≤ x ≤ c) 2,3 e) x ≥ f) -3/2g) h) 3/2 Bài 12: a > b < a < b > Bài 13: a = b = a > 0; b< a = -b Bài 14: d) i) 2,0,-4 -6 25 −1 ± k) -5,7,3,-1,1         a)  ; −2 ÷ ;  ; − ÷ ;  − ; ÷;  −2 ; ÷ 2  2  2  2 2 b) (1; 3) ; (3 ; 1) ; (- 3; -1) ; (-1; -3) 1 1 1 1 ; y = −5 7 1 3   d)  ; − ÷ ;  −3 ;3 ÷ 2 2   c) x = Bài 15: |A| ≥ -A, dấu " = " xẩy ⇔ A ≤ ⇔ x2 - x - ≤ ⇔ (x + 1)(x - 2) ≤ ⇔ -1 ≤ x ≤ Bài 16: Nếu a > - a < 2a; Xét trường hợp x < -a, -a ≤ x ≤ 2a, x ≥ 2a ta nghiệm x = -7a, x = a Nếu a ≤ 2a < -a; Xét trường hợp x < 2a; 2a ≤ x ≤ -a, x > -a ta nghiệm x = -a Bài 17: a) -2 ≤ x ≤ 3; b) x > -2; c)x ≤ -2; x ≥ 5; d) x > 3/2 Bài 18: a) − < x < Bài 19: a) x < 1; g) x ≤ < x < c) x < − ; x > 2 b) b) x < -1; x > 7; d) x ≤ 0, x ≥ c) -3 < x < d) x ≤ e) ≤ x ≤ x ≥ 12 Bài 20: a) −1 − 15 −1 + 15