đề tài nghiệp vụ sư phạm hàm số và đồ thị

Nắm được bản chất của từng khái niệm, các tính chất của hàm số, đồ thị.. + Cần nắm vững khái niệm hàm số, cách cho một hàm số, biết xác định một ánh xạ nào đó có phải là hàm số hay không

MỤC LỤC

I MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU

I.1 Đối với giáo viên

I.2 Đối với học sinh

II NỘI DUNG

II.1 Đặt vấn đề

II.2 Bài toán xuất xứ

II.3 Các khái niệm và tính chất cơ bản

II.3.1 Định nghĩa ánh xạ

II.3.2 Định nghĩa hàm số

II.3.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, giá trị tuyệt đối

II.3.4.Sự biến thiên của hàm số

II.3.5 Đồ thị của hàm số

II.3.5.1 Đồ thị của hàm số chẵn, lẻ

II.3.5.2 Các phép biến đổi đồ thị

II.3.6 Chương trình đại số bậc THCS cần quan tâm

II.3.6.1 Hàm số bậc nhất y=ax+b

II.3.6.2 Hàm số bậc hai y=ax 2

II.3.6.3 Vị trí tương đối giữa y=ax và y=mx +n

II.4 Những sai lầm học sinh hay mắc phải và cách khắc phục

II.8 Bài dạy minh họa

II.8.1 Mục tiêu bài dạy

II.8.2 Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

II.8.3 Tổ chức day học

III KẾT LUẬN

I MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU

I.1 ĐỐI VỚI GIÁO VIÊN

Người giáo viên có kiến thức sâu rộng về hàm số, đồ thị hàm số và các kiếnthức có liên quan Nắm được bản chất của từng khái niệm, các tính chất của hàm số,

đồ thị Biết phân loại các dạng  bài tập đối với từng kiến thức, ứng dụng của cácđơn vị kiến thức đó

Trước khi dạy người giáo viên phải lường được những sai lầm mà học sinh cóthể mắc phải, từ đó điều chỉnh kịp thời bằng cách đó thông tin đến cho học sinhhoặc đưa bài tập tình huống cho học sinh trao đổi nhóm rút ra kết luận tránh sai lầm,hoặc có thể bổ xung vào những ví dụ, những bài tập nêu bật bản chất của những đơn

vị kiến thức đó

Tùy từng đối tượng học sinh giáo viên lựa chọn bài tập tình huống, câu hỏi, ví

dụ cho phù hợp

I.2 ĐỐI VỚI HỌC SINH.

+ Cần nắm vững khái niệm hàm số, cách cho một hàm số, biết xác định một ánh

xạ nào đó có phải là hàm số hay không?

Nắm được: tìm được chỉ ra được đâu là tập xác định của hàm số Các tính chất

cơ bản của các hàm số được học trong trường THCS Cách cho một hàm số: lấy ví

dụ về một hàm số Xác định được một hàm số

Hiểu được khái niệm đồ thị hàm số y =f(x) là gì ? Khái niệm hàm số về hàmsốvề hệ tọa độ, vẽ hệ tọa độ chính xác, đẹp Biết cách biểu diễn một cặp số hữu tỉtrên hệ tọa độ, biết xác định tọa độ của điểm trong mặt phẳng tọa độ và biết vẽ đồthị hàm số đặc biệt là các hàm số y=ax+b ( a  0) và y=ax2 ( a  0) một cáchchính xác, đẹp

2

+ Biết vận dụng linh hoạt các đơn vị kiến thức trên trong từng dạng bài tập cóliên quan.

II NỘI DUNG.

II.1 ĐẶT VẤN ĐỀ.

Khái niệm hàm số là một trong những khái niệm khó đối với học sinh trongtrương trình đại số của bậc THCS Các khái niệm hàm số, đồ thị hàm số mới đượcbắt đầu hình thành ở lớp 7, từ đó phát triển đến các lớp tiếp theo

Các bài toán về hàm số, đồ thị hàm số học sinh thường gặp nhiều khó khăn đặcbiệt là cách nhận ra một quy tắc cho tương ứng có phải là hàm số hay không? Cáchxác định hàm số khi biết một số điều kiện, học sinh vẫn còn lúng túngvề dạng củahàm số Vì vậy phải đòi hỏi người giáo viên phải có một kiến thức vững vàng cùngvới phương pháp truyền thụ, cách dẫn dắt các em tiếp xúc, làm quen và tư duy tốttiếp nhận kiến thức này một cách chủ động, tích cực

II.2 BÀI TOÁN XUẤT XỨ.

Xuất phát từ những bài toán thực tế, bài toán chuyển động, sự mua bán,…, mốiliên hệ giữa hai đại lượng, nhiều đại lượng Đại lượng là một khái niệm tổng quáthóa một số khái niệm cụ thể: độ dài, diện tích, thể tích, trọng lương,…, thời gian,…Mỗi khái niệm độ dài, diện tích, thể tích, trọng lượng được biểu hiện bằng giá trị số

Độ dài có thể lấy những giá trị khác nhau, cũng vậy diện tích sẽ khác nhau Từ đótoán học đã đưa đến khái niệm “Đại lượng biến thiên” Chẳng hạn quan niệm độ dài

là một đại lượng biến thiên theo dơn vị độ dài của cạnh và công thức tính diện tích

S = a2 của hình vuông cạnh a nêu lên mối quan hệ (mối tương quan )giữa hai đạilượng biến thiên ấy

Theo quan niệm toán học cổ điển: Một hàm số biểu thị mối tương quan giữahai đại lượng biến thiên x; y được viết dưới dạng y=f(x) trong đó f là một công thứccho phép chính xác với mỗi giá trị của x ta xác định được một giá trị tương ứng của

y Toán học ngày càng phát triển, các ứng dụng ngày càng nhiều hơn và đa dạnghơn, lý luận toán học càng sâu sắc hơn, thì người ta thấy cần phải định nghĩa kháiniệm hàm số một cách chuẩn xác hơn, phản ánh đúng bản chất vấn đề

II.3 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN.

* Hàm số: Để hiểu thêm về hàm số, trước hết ta hãy cho học sinh làm quen vớikhái niệm ánh xạ

II.3.1 Định nghĩa ánh xạ.

a) Cho hai tập X, Y Ta gọi ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y là một quy tắccho tương ứng cứ mỗi phần tử x  X với một và chỉ một phần tử y  Y Ký hiệuquy tắc đó f Ta có kí hiệu ánh xạ đó như sau:

2 Các phép toán cộng trừ nhân chia trong Q cũng là các ánh xạ Chẳng hạn 3, 1

và -5 thuộc Q cho ta tương ứng với số -1, 9 thuộc Q; ánh xạ này là quy tắc cộng hai

số trong Q

3 Các phép đối xứng qua trục, qua tâm,…cũng là những ánh xạ

4

4 Các phép chiếu vuông góc các điểm của đường thẳng (d) xuống đườngthẳng (a) là ánh xạ từ tập hợp các điểm của đường thẳng (d) đến các điểm thuộc (a).

5 Nếu ta biểu thị các phần tử của mỗi tập X và Y bởi các điểm, biểu thị các tậphợp ấy bởi các vòng tròn, sự tương ứng biểu thị bởi các mũi tên Xét các quy tắc cho tương ứng thể hiện ở hình sau: Quy tắc nào cho một ánh xạ? Tạisao?

Gọi hàm số này là f, ta viết:

F: XY

x y =f(x)

x: biến số; y=f(x) là giá trị của hàm số f tại x

X: tập nguồn hay còn gọi là tập xác định của hàm số

Y: là tập đích hay còn gọi là tập giá trị.

Chú ý:

a) X; Y đều là tập số (ánh xạ (f) là một hàm số).

b) Có thể tồn tại những giá trị của Y mà không có giá trị x tương ứng thuộc

X, nhưng không thể có một giá trị của X mà có giá trị nào tương ứng thuộc Y

c) Quy tắc cho tương ứng trong định nghĩa hàm số có thể được thể hiện bằng

* Các quy tắc khôg phải là hàm số

1) f : R R

6

x y

x

y - 3 3 1 2 1 2 - 1 - 2 - 2 - 1

2

-2-11

2

01

x y

x y

B

10

9

14

1

42

3

2) f : R R3)

4)

Xét hàm số f: X Y (X, Y  R)

* X được gọi là tập xác định của hàm số

Tập X có vai trò quan trọng, nó quy định biến số x được lấy những giá trị nào:

do đó tập xác định là tập tất cả các giá trị của x sao cho có thể xác định được giá trịtương ứng của y

Chúng ta cần chú ý tập xác định của các hàm số có dạng sau đây:

tập xác định là tập các giá trị x làm cho f(x)  0

tập xác định là tập các giá trị của x làm cho f(x)  0

Ví dụ:

1) Với hàm số Tập xác định (TXĐ): tập tất cả các số x  2

Hoặc tập xác định:  x  2

2) Với hàm số TXĐ: Tập tất cả các số x 0

x

x y=f(x) tức là nhấn mạnh hai yếu tố:

- TXĐ của hàm số

- Quy tắc xác định hàm số

Còn tập rất quan trọng ít được sử dụng trong chương trình tính toán THCS đó làtập giá trị của hàm số

Tập giá trị của hàm số f(x) là tập hợp gồm tất cả các phần tử f(x) khi x chạy khắp

X Đó là tập con của Y và được ký hiệu là f(x)

f(x)= {yY/y=f(x), xX}

Ví dụ: 1) Tìm tập giá trị của hàm số

* TXĐ: x  3, hay là X=(-; 3]

 Tập giá trị f(x)=R+={yR/ y  0}

II.3.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm giá trị tuyệt đối.

* Giả sử y=f(x) là một hàm số xác định trên tập số D

* Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu:

* Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm lẻ đối xứngqua gốc tọa độ.

* Tổng đại số của hàm chẵn (hay lẻ) là một hàm chẵn (hay lẻ) là một hàmchẵn (hay lẻ)

* Tích của hai hàm chẵn, hay hàm lẻ là một hàm chẵn Còn tích của một hàmchẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ

II.3.4 Sự biến thiên của hàm số

1 1

2

1

x x

y y

1 1

2

1

x x

y y

x x a x x

ax ax x x

y y

x x

b ax b ax x

x

y y

1 2 1

2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

1 -2

Đồ thị của hàm số f: X Y là tập con G = {(x; f(x)); xXƯ của tập tích

đề các X.Y trong đó: xX; f(x)z Y

Để phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS, thay cho việc xétkhái niệm tích đề các tổng quát ta chỉ xét các cặp số (x, y)

Nói cách khác hệ trục tọa độ Oxy xác định một song ánh giữa cặp số đượcsắp (x, y) (xR), (yR) với một điểm của mặt phẳng tọa độ

Đồ thị của hàm số có thể là một tập điểm rời rạc hay một tập đoạn đườngcong… Tuy nhiên đa số đồ thị thường gặp trong trường THCS là một tập hợpđiểm; một đoạn thẳng hay một đường cong liền nét Để xác định đúng dạng đồ

10

1 2 1

2

1 2 1 2 1

2

2 1 2 2 1 2

1 2

x x a x

x

x x x x a x x

ax ax x x

y y

thị của hàm số, thông thường ta phải nghiên cứu trước các tính chất của nó vàdựa vào tính chất ấy mà phác họa Sau đó mới chính xác hóa đồ thị bằng một sốđiểm của nó.

 Ta có thể biết đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc

tọa độ vì vậy khi vẽ đồ thị ta chỉ cần vẽ với x  0,

sau đó lấy đối xứng qua O

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x.

-11

1 -1 -2

-2

2 3

2 3 4

x

y

0

y = x

-1 -2

-2 -1

2 1

2 1 3 4 5 y

0

II.3.5.2 Các phép biến đổi đồ thị

a phép tịnh tiến.

+ Tịnh tiến thep trục hoành

Ví dụ: đồ thị hàm số y = f(x-a) suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng phươngpháp tịnh tiến theo trục hoành

Với a > 0 tịnh tiến theo chiều dương của Ox

Với a < 0 tịnh tiến theo chiều âm của Ox

Ví dụ: Từ đồ thị hàm số y = x ta suy ra đồ

thị hàm số y = x + 1 bằng cách tịnh tiến theo

chiều âm của Ox đi 1 đơn vị

+ Đồ thị hàm số y = x – 2 bằng

cách tịnh tiến theo chiều dương

của trục hoành đi 2 đơn vị

+ Tịnh tiến theo trục tung

Đồ thị hàm số y = f(x) + b được suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng cách: Nếu b > 0 tịnh tiến theo chiều dương của Oy

Nếu b < 0 tịnh tiến theo chiều âm của Oy

Ví dụ: Từ đồ thị hàm số y = x2 suy ra đồ thị hàm số y1 = x2 +1 bằng cách tịnhtiến theo chiều dương của Oy một đơn vị dài

Y2= x2 – 2 bằng cách tịnh tiến theo chiều âm của Oy hai đơn vị dài

12

-2 -1

-2 -1

2 1

2 1 0 3 y

x

y = x

y = x + 1

y = x - 2

-1 -1 -2 -2 -3 -4

3 2 1 4 y

x

y=x 2 -2x-3

y=x 2 +2x-3

b) Phép đối xứng.

+ Đối xứng qua trục hoành

Y = f(x) và y = - f(x) đối xứng nhau qua trục hoành

Ví dụ: y = 2x và y = -2x

+ Đối xứng của trục tung

y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung

2

y

x

y = 2x

Xuất phát từ đồ thị hàm số y = ax; đối với học sinh lớp 7 thì đồ thị hàm số

y = ax (a  0) là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0)

và điểm A(1; a) Đến lớp 9, do mở rộng tập Q R ( Tập số y = ax đã đượcchứng minh là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a) Suy ra đồ thịhàm số y =ax + b bằng cách tịnh tiến theo trục tung, đồ thị hàm số y = ax; đồ thịhàm số y = ax + b luôn cắt trục tung tại điểm B(0; b)

Ta biết rằng qua 2 điểm phân biệt ta hoàn toàn xác định được một và chỉmột đường thẳng Vì vậy để vẽ được đồ thị của hàm số y = ax + b tức là xác địnhđược đường thẳng (D) có phương trình y =ax + b, ta thường xác định hai điểm sau:

+ Giao điểm của (D) với các trục tọa độTrục hoành: A(-b/a; 0)

Trục tung: B(0; b) + a được gọi là hệ số góc của đường thẳng (D)

+ b gọi là tung độ góc của (D)

Trong hệ tọa độ vuông góc thì hệ số góc a của (D) là tang của góc x tạobởi đường thẳng (D) với chiều dương của trục hoành

- Nếu a > 0: góc tạo bởi đường thẳng (D) với chiều dương Ox là góc nhọn a cànglớn độ lớn của góc càng lớn nhưng đều nhỏ hơn 900

14

- Nếu a < 0: góc tạo bởi đường thẳng (D) với chiều dương Ox là góc tù a càng lớnthì góc x càng lớn nhưng đều nhỏ hơn 1800 và lớn hơn 900.

(D)// (D’)  a = a’ ; b  b’ (D) cắt (D’)  a  a’

(D)  (D’)  aa’ = -1

(D) (D’)  a = a’ ; b = b’

f) Các ví dụ:

1 Viết phương trình đường thẳng :

* Song song với đường thẳng y = x + 2 và đi qua điểm M(1; 2)

* Vuông góc với đường thẳng y = x – 3 và cắt trục tung tại điểm có tung

độ là 2

Giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b

* Do đường thẳng này song song với đường thẳng y = x + 2 nên a = 1 và

b  2

Do đường thằng này đi qua điểm M(1, 2) nên với x = 1, y = 2 thay vào tacó: 2 = 1.1 + b nên b = 1

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = x + 1

* Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng y = x – 3 nên: a.1 =-1 suy ra a = -1

Do đường thẳng cần tìm cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 nên x = 0; y

= 2 thay vào ta có: 2 = -1.0 + b

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = -x + 2

* Vẽ đồ thị của các hàm số trên một hệ tọa độ

16

-1 -2

-2 -1

2 1

2 1 3 4 y

x 0

y = x+ 2

y = x+ 1

-1 -2

-2 -1

2 1

2 1

3 4 y

x 0

y = - x+ 2

y = x - 3

-3

3

2/ Cho hai đường thẳng: y = (m2 + 1) x + m (d1)

y = 2mx + m – 2 (d2) Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau

a < 0: hàm số đồng biến trong R

-a > 0: hàm số nghịch biến trong R

-a < 0: hàm số nghịch biến trong R+

x = 0 thì y = 0

1 -2

3

-4

-7 y

y = - 2x 2

-3 -2 -1 0 1

b Đồ thị hàm số y = ax2 (a  0) có đồ thị là đường Parabol với các đặc điểmsau:

+ Đỉnh là gốc tọa độ: O(0;0)+ Trục đối xứng là trục: Oy+ a > 0: Parabol quay bề lõm lên phía trên, nhận gốc tọa độ làm điểm cựctiểu ( thấp nhất)

( nằm phía trên trục hoành)+ a < 0: Parabol quay bề lõm xuống phía dưới, nhận gốc tọa độ làm điểmcực đại (cao nhất)

(nằm phía dưới trục hoành)

Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a  0) ta cần xác định 1 số điểm để vẽ đường cong(ít nhất là 3 điểm) với x > 0 Sau đó lấy đối xứng qua trục hoành

II.3.6.3 Vị trí tương đối giữa Parabol y = ax 2 và đường thẳng y = mx + n.

Tọa độ giao điểm cùa Parabol y = ax2 (a  0) và đường thẳng y = mx + n là

nghiệm của hệ phương trình:

mx + n = y (d)

ax2 = y (p)

a Hoành độ giao điểm của Parabol y = ax2 (a  0) và đường thẳng y = mx +

n là nghiệm của phương trình ax2 = mx + n

1 -2

+ Xét phương trình x2 – x –1 = 0 ta có:

 = 1 + 4 = 5 > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

Đường thẳng y=x+1 cắt Parabol y =x2 tại hai điểm

+Xét phương trình x2 = 0 có nghiệm kép x1= x2 = 0.Đường thẳng y = 0 tiếp xúc vớiParabol y = x2 tại gốc tọa độ (trục hoành)

+ xét phương trình x2 +x +2 = 0 ta có  = 1- 8 < 0 phương trình vô nghiệm ,đường thẳng y = -x –2 không cắt Parabol y =x2 …

+ Xét phương trình : x2 – 2x + 1 = 0

 (x – 1)2 = 0

 Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = 1

Đường y = 2x – 1 tiếp xúc với Parabol tại điểm có hoành độ bằng 1

2/ Cho Parabol và đường thẳng

20

n x y x

y   

2

1 2

2

-1

1

1 -2

y 

0 -1 y

y = - 0,5x + 1 -2

-1

1

1 -2

y 

0 -1 y

y = - 0,5x + 1

a)Tìm giá trị của n để đường thẳng tiếp xúc với Parabol

b) Tìm giá trị của n để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm

c)Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng với Parabol nếu n = 1

Vẽ đồ thị của Parabol với đường thẳng trong trường hợp ấy

Khi đó đường thẳng có phương trình là

+ Điều kiện đẻ đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm làphương trình (2) có hainghiệm phân biệt ;tức là

1





 x y

8

1



n x

x





 2

1 2

2

2 x2

+Học sinh còn mắc phải sai lầm trong việc xác định tọa độ của một điêmtrong mặtphẳng tọa độ.

+ Việc tìm mối liên hệ giữa đường bậc hai (phương trình bậc hai ) và đường bậcnhất ( y = ax + b ) nhiều học sinh còn lúng túng.Vì vậy khi giải hệ phương trìnhcòn khó khăn

II.4.2.Cách khắc phục.

+ Cho học sinh nhìn nhận dưới nhiều dạng : bảng ,biểu thức, sơ đồ ven đồ thị

+ Giải thích vì sao ( Vi phạm điều kiện nào ) không phải là hàm số (dựa vào ?? ).+ Khi dạy về mặt phẳng tọa độ ,giáo viên hướng dẫn thật kỹ cách biểu diễn mộtđiểm trên mặt phẳng tọa độ ,cho học sinh biểu diễn nhiều điểm trên cùng mộtmặt phẳng tọa độ, cho học sinh quan sát một số cách biểu diễn sai để học sinhnhận xét và rút kinh nghiệm cho bản thân

+ Học sinh cần nắm vững cách tìm mối quan hệ giữa đường bậc hai (y = ax2) vàđường bậc nhất (y = mx + n) chính là biện luận các điều kiện nghiệm của phươngtrình bậc hai: