Để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, trước hết cần hiểu thế nào là một tứ giác nội tiếp đường tròn; biết có những tứ giác nào nội tiếp được, tứ giác nào không nội tiếp được và điề[r]
(1)Chuyên mục: Học ?
Kỳ I: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN NHƯ THẾ NÀO ?
Để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, trước hết cần hiểu tứ giác nội tiếp đường trịn; biết có tứ giác nội tiếp được, tứ giác không nội tiếp điều phải nắm điều kiện để tứ giác nội tiếp đường trịn Sau ta cần vận dụng linh hoạt, sáng tạo, phương pháp chủ yếu sau:
Phường pháp 1: Lợi dụng tam giác vng có cạnh huyền chung.
Nếu hai hay nhiều tam giác vng có cạnh huyền chung ta chứng minh đa giác tạo thành đỉnh tam giác nội tiếp đường trịn
Ví dụ minh hoạ: Cho đường trịn tâm O đường thẳng xy khơng cắt đường trịn Từ O hạ OA vng góc xy (A xy); từ A kẻ cát tuyến cắt đường tròn B C; tiếp tuyến đường tròn B C cắt xy D E Chứng minh tứ giác ODAB OCEA nội tiếp
Gợi ý: Xét tứ giác ODAB có OB vng góc với BD (tiếp tuyến vng góc với bán kính tiếp điểm ) => góc OBD = 900 có thêm góc
OAD = 900 (gt) => tứ giác ODAB nội tiếp (A và
B nhìn đoạn OD góc 900 khơng đổi).
Dễ dàng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác trung điểm DO
-Chứng minh tương tự OCEA nội tiếp Hãy giải t ươ ng tự tập sau:
a) Từ điểm M ngồi đường trịn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB cát tuyến MCD đường trịn Gọi I trung điểm dây CD Chứng minh điểm M, A, O, I, B thuộc đường tròn
b) Chứng minh từ điểm vẽ tiếp tuyến với hai đường tròn đồng tâm tất tiếp điểm tạo thành tứ giác nội tiếp
c) Bài tập 97 (trang 105 SGK Toán tập 2)
Phương pháp 2: Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối 1800
thì tứ giác nội tiếp đường tròn (định lý trang 88 SGK Tốn tập 2) Hay tứ giác có góc ngồi góc đối diện với góc kề tứ giác nội tiếp
y x
O
A
C
B
(2)2 G D E A B A D C B F
Ví dụ minh hoạ: Cho điểm A điểm cung BC từ A kẻ hai dây cung AD AE bất kỳ, cắt BC F G Chứng minh tứ giác DFGE nội tiếp
Gợi ý:
Cách 1: Để chứng minh tứ giác DFGE nội tiếp ta cần chúng minh góc D + góc G1 = 1800 Vậy thử xét quan hệ tổng số
đo hai góc với số đo cung có liên quan ? Ta có góc D = 12 sđ cung AE (số đo góc nội tiếp số đo cung bị chắn) => góc D = (sđ cung AC + sđ cung CE) : (vì C thuộc cung AE) (1) Cịn góc G1
= (sđ cung AC + sđ cung BDE) : (G góc có đỉnh bên đường trịn) => góc G1 =
(sđ cung AC + sđ cung BD + sđ cung DE) : = (sđ cung AB + sđ BD + sđ cung DE) : (vì cung AB = cung AC) (2) Cộng vế (1) (2) ta có góc D + góc G1 = 3600 : = 1800
= > DFGE nội tiếp
Cách 2: Ta chứng minh góc D = góc G2 mà góc G1 + G2 = 1800 (hai
góc kề bù) => góc D + góc G1 = 1800 => điều phải chứng minh
Các em áp dụng phương pháp để làm tập 54, 58 (SGK Tốn tập 2).
Ví dụ 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB Từ A kẻ hai đường thẳng cắt tiếp tuyến đường tròn điểm B E F, cắt đường tròn C D Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp
Để chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp ta cần chứng minh góc E2 + góc D2 =
1800 góc D
1 + góc D2 = 1800
(hai góc kề bù) Vậy cần chứng minh góc E2 = góc D1
Ta có góc D1 = góc B1 (hai góc nội tiếp
cùng chắn cung AC) Như cần chứng minh góc E2 = góc B1 Dễ thấy hai góc
này phụ với góc A1 (do góc ACB = 900
và góc ABE = 900).
(Còn )
E C O .
1 G
(3)