Đề tài Phương pháp tứ giác nội tiếp ppsx

Luận Văn Tốt Nghiệp Đề Tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp - 1 - Mục lục Nội dung Trang A. Đặt vấn đề 2 I. Lý do chọn đề tài 2 1. Cơ sở lý luận 2 2. Cơ sở thực tiễn 2 II. Mục đích nghiên cứu 3 III. Nhiệm vụ đề tài 3 IV. Giới hạn đề tài 3 B. Giải quyết vấn đề 4 I. Phương pháp nghiên cứu 4 II. Nội dung cụ thể 5 1. Kiến thức cơ bản 5 2. Bài tập minh hoạ 6 2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn 6 Phương pháp 1 6 Phương pháp 2 7 Phương pháp 3 7 Phương pháp 4 8 2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp 10 Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. 10 Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. 11 Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng. 13 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm. 15 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình. 16 III. Kết quả thu được 18 IV. Bài học kinh nghiệm 18 C. Kết luận 20 - 2 - A - Đặt vấn đề I. Lý do chọn đề tài 1. Cơ sở lý luận Trong hoạt động giáo dục hiện nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học tự nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục. Như vậy, học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư duy khoa học, từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội. Một trong những phương pháp để giúp học sinh đạt được điều đó đối với môn Toán (cụ thể môn Hình Học 9) đó là khích lệ các em sau mỗi đơn vị kiến thức cần khắc sâu, tìm tòi những bài toán liên quan. Làm được như vậy có nghĩa là các em rất cần sự say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức. 2. Cơ sở thực tiễn Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về đường tròn thì chuyên đề tứ giác nội tiếp và những bài toán liên quan là rất quan trọng. Đóng vai trò là đơn vị kiến thức trọng tâm của nội dung Hình Học lớp 9. Mà đa số các em mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn là như thế nào, còn ít biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm gì ? Ta biết rằng có nhiều phương pháp để chứng minh một tứ giác là nội tiếp đường tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đường tròn thì suy ra được góc trong ở một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các Định lý về mối liên hệ giữ các loại góc của đường tròn để tìm ra những cặp góc bằng nhau. Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay và khó . Với lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: “Phương - 3 - pháp tứ giác nội tiếp” II.Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để giải một số bài toán hay và khó như sau: Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình. Như vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ một cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn”. III. Nhiệm vụ của đề tài + Đưa ra các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa. + Đưa ra các loại bài tập vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp hay và khó có bài tập minh họa. IV. Giới hạn đề tài Đề tài này được gói gọn với một đơn vị kiến thức trọng tâm ở bộ môn Hình Học lớp 9. - 4 - B – Giải quyết vấn đề I – Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp cơ bản sau: 1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có được với sự nghiên cứu tài liệu, tôi đã sử dụng các tài liệu như: - Sách giáo khoa Tóan 9 (tập II) - Sách bài tập Toán 9 (tập II) - Tóan nâng cao Hình học 9 – NXB Thành phố Hồ Chí Minh - Tóan nâng cao và các chuyên đề 9 – NXB Giáo dục. - Các bài tóan hay và khó về đường tròn – NXB Đà Nẵng. 2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn. Tôi tiến hành dạy thử nghiệm đối với học sinh lớp 9A – Trường THCS Đại Đồng và bồi dưỡng đội tuyển học sinh Giỏi của trường. 3. Phương pháp đánh giá. Kết thúc chuyên đề đối với học sinh lớp 9A, tôi có tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức và suy luận của các em. - 5 - II – Nội dung cụ thể 1 – Kiến thức cơ bản 1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp * Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó. * Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. O C B D A Hình 1 1.2.Định lý. * Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o . * Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn. 1.3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 . - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α . 1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình. 2 - Bài tập minh hoạ - 6 - Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ ∠A + ∠C = 180 0 hoặc ∠B + ∠D = 180 0 2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa. Bài toán 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp. O C' B' B C A Chứng minh: Cách 1: Lấy O là trung điểm của cạnh BC. Xét ∆BB’C có : ∠ BB’C = 90 0 (GT) OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ OB’ = OB = OC = r (1) Xét ∆BC’C có : ∠ BC’C = 90 0 (GT) Tương tự trên ⇒ OC’ = OB = OC = r (2) Từ (1) và (2) ⇒ B, C’, B’, C ∈ (O; r) ⇒ ◊ BC’B’C nội tiếp đường tròn. Cách 2: Ta có: BB’ ⊥ AC (GT) ⇒ ∠ BB’C = 90 0 . CC’ ⊥ AB (GT) ⇒ ∠ BC’C = 90 0 . ⇒ B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông ⇒ B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC Hay ◊ BC’B’C nội tiếp đường tròn đường kính BC. - 7 - Phương pháp 2: Dựa vào định lý Bài toán 2: Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp (O), 2 đường cao BB’, CC’. a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp. b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ở I. Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp. I O C' B' B A C D Chứng minh: a/ (Bài toán 1) b/ Từ câu a ⇒ ∠ C + ∠ BC’B’ = 180 0 (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp) Mà : ∠ C = ∠ D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) ⇒ ∠ D + ∠ BC’I = 180 0 ⇒ ◊ BDIC’ nội tiếp đường tròn. Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc Bài toán 3: - 8 - Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ ∠A + ∠C = 180 0 hoặc ∠B + ∠D = 180 0 Cho ∆ ABC cân ở A nội tiếp (O). Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM=CN. Chứng minh ◊ AMNO nội tiếp. B 1 1 O 2 C M N A Chứng minh: Ta có: ∆ ABC cân ở A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ⇒ ∠ A 1 = ∠ A 2 ∆AOC cân tại O (vì OA = OC) ⇒ ∠A 2 = ∠C 1 nên ∠A 1 = ∠A 2 = ∠C 1 Mà ∠A 1 + ∠OAM = 180 0 và ∠C 1 + ∠OCN= 180 0 . ⇒ ∠AOM = ∠OCN Xét ∆OAM và ∆OCN có : OA = OC; ∠AOM = ∠OCN; AM = CN ⇒ ∆OAM = ∆OCN (c.g.c) ⇒ ∠AMO = ∠CNO hay ∠AMO = ∠ANO ⇒ ◊ AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh OA dưới cùng một góc). Phương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Bài toán 4: - 9 - Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn. A E P C O B D M Chứng minh: Ta có : ∠ MEP là góc có đỉnh nằm bên trong (O) · » ¼ ®(AD ) MEP 2 s MB+ ⇒ = Mà · ¼ = ®DM 2 s DCP (góc nội tiếp) Hay · » ¼ + = ®(AD ) 2 s MA DCP Lại có : ¼ ¼ =AM MB Nên : · MEP = · DCP Nghĩa là: ◊ PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C Vậy ◊ PEDC nội tiếp được đường tròn. Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp) Cho hình vẽ: Biết AC ⊥ BD tại O, OE ⊥AB tại E; OF ⊥ BC tại F; OG ⊥ DC tại G; OH ⊥AD tại H. Hãy tìm các tứ giác nội tiếp trong hình vẽ bên. F H E G O A C B D Chứng minh: * Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là: AEOH; BFOE; CGOF; DHOG * Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện - 10 - [...]... ⇒ ∠ FEH + ∠HGF = 1800 ( điều phải chứng minh) 2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp Bài tóan 1 Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn a Phương pháp: Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp Suy ra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn... các buổi học chuyên đề Như vậy, học sinh đã từ học thụ động giờ có thể chủ động hình thành tri thức bằng cách tự học - 19 - C Kết luận Trên đây là một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn đồng thời sử dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh một số bài toán hay và khó Do kinh nghiệm của mình qua thực tế giảng dạy còn ít nên sáng kiến kinh nghiệm của tôi chắc sẽ còn nhiều thiếu...AEFC; AHGC; BEHD; BFGD Thật vậy: Xét tứ giác AEFC Ta có: ∠EAC = ∠ EOB (cùng phụ với ∠ ABO) ∠ BFE = ∠EOB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB) ⇒ ∠EAC = ∠ BFE Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tương tự * Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 1800 Thật vậy: Ta có : ∠ OEH = ∠OAH ( vì cùng chắn cung OH) ∠OAH = ∠HOD (vì... và AB < AC nên AD ≤ AC Từ (*) ⇒ EF lớn nhất ⇔ AD lớn nhất - 18 - ⇔ D trùng với C b Bài tập: 1 Cho ∆ ABC nhọn nội tiếp (O) Gọi M là một điểm trên cung ABC Vẽ MD ⊥ BC; ME ⊥ AC; MF ⊥ AB Xác định vị trí của M để EF có độ dài lớn nhất III – Kết quả thu được Sau chuyên đề Phương pháp tứ giác nội tiếp tôi đã tiến hành dạy cho các đối tượng học sinh, đã thu được kết quả như sau: Đối với học sinh lớp 9A Sĩ... DHC =900 ; ∠ DOC = 900 nên ◊ HOCD nội tiếp ⇒ ∠ DHM = ∠ DCO = 450 Mặt khác ∠ DKM = 450 nên ∠ DHM = ∠ DKM ⇒ ◊ HKDM nội tiếp ⇒ ∠ KHM = 900 ⇒ KH ⊥ NM ⇒ H là hình chiếu của K trên MN - 17 - Kết luận: Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đường tròn đường kính CD, nửa đường tròn này nằm trong hình vuông Bài tóan 5 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình a Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), điểm D... từ tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác nhọn đến các cạnh của tam giác bằng tổng các bán kính của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác đó 2 Cho ∆ ABC nhọn với trực tâm H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại E a.Chứng minh các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn b.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC , chứng minh: ∠ BAE... thử nghiệm chuyên đề đồng thời tôi có lấy ý kiến của học sinh Thấy được: + Bản thân tôi nắm rõ ràng hệ thống kiến thức về tứ giác nội tiếp + Học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức hơn Vì vậy, các chuyên đề tiếp theo tôi đã đưa ra và yêu cầu học sinh dựa vào cách học như vậy tự nghiên cứu trước ở nhà hoặc thảo luận nhóm nhỏ sau đó tôi sẽ hoàn chỉnh giúp các em trong các buổi học chuyên đề Như vậy, học... ta có : ◊ ODCF nội tiếp đường tròn ⇒ ∠ OFC = ∠ BDO (2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện) Từ (1) và (2) ⇒ ∠ OFC = ∠ BEO ⇒ ◊ AEOF nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện) Vậy đường tròn (AEF) đi qua điểm O cố định c Bài tập: 1 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), I là điểm chính giữa của cung BC không chứa A Vẽ (O1) đi qua I và tiếp xúc với AB... đoạn thẳng bằng nhau, đoạn này gấp đôi đoạn kia….) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc là không đổi * Định lý Ptô - lê – mê Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của hai cặp cạnh đối Chứng minh: Ta có : ◊ ABCD nội tiếp (O) Ta phải chứng minh: AC BD = AB DC + AD BC Thật vậy Lấy E ∈ BD sao cho ∠ BAC = ∠ EAD ⇒ ∆ DAE ∆ CAB (g g) ⇒ B A E O D AD DE = AC BC ⇒ AD... Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN là đường trung bình của ∆HAB) Mà CH ⊥ AB (GT) ⇒ ME ⊥ MN (2) Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác MNDE là hình chữ nhật Gọi O là trung điểm của MD ⇒ O cũng là trung điểm của NE Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM) Chứng minh tương tự ta được hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM) Vì ∠ MID = 900 ⇒ I ∈ (O; OM) Vì ∠ FLP = 900 ; ∠ NKE = 900 ⇒ L; K ∈ (O; OM) Vậy ta có : 9 điểm M; . Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn”. III. Nhiệm vụ của đề tài + Đưa ra các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa. + Đưa ra các loại bài tập vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp hay. bản 1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp * Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó. * Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. O C B D A Hình. nhau. Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay và khó . Với lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: Phương - 3 - pháp tứ giác nội tiếp II.Mục