skkn- một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn đồng thời sử dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh một số bài toán hay và khó

Mục lục Nội dung A Đặt vấn đề I Lý chọn đề tài Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ đề tài IV Giới hạn đề tài B Giải vấn đề I Phương pháp nghiên cứu II Nội dung cụ thể Kiến thức Bài tập minh hoạ 2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Phương pháp Phương pháp Phương pháp Phương pháp 2.2 Bài toán hay khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn Chứng minh đường tròn qua điểm cố định Chứng minh quan hệ đại lượng Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để tìm quỹ tích điểm Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để dựng hình III Kết thu IV Bài học kinh nghiệm C Kết luận -1- Trang 2 2 3 4 5 6 7 10 10 11 13 15 16 18 18 20 A - Đặt vấn đề I Lý chọn đề tài Cơ sở lý luận Trong hoạt động giáo dục nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học tự nghiên cứu cao Tức đích cần phải biến q trình giáo dục thành trình tự giáo dục Như vậy, học sinh phát huy lực sáng tạo, tư khoa học, từ xử lý linh hoạt vấn đề đời sống xã hội Một phương pháp để giúp học sinh đạt điều mơn Tốn (cụ thể mơn Hình Học 9) khích lệ em sau đơn vị kiến thức cần khắc sâu, tìm tịi tốn liên quan Làm có nghĩa em cần say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức Cơ sở thực tiễn Đối với học sinh lớp học tốn đường trịn chun đề tứ giác nội tiếp toán liên quan quan trọng Đóng vai trị đơn vị kiến thức trọng tâm nội dung Hình Học lớp Mà đa số em biết đến chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn nào, cịn biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm ? Ta biết có nhiều phương pháp để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Khi biết tứ giác nội tiếp đường trịn suy góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện với hay vận dụng Định lý mối liên hệ giữ loại góc đường trịn để tìm cặp góc Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta vận dụng để giải số tốn hay khó -2- Với lý đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu cho là: “Phương pháp tứ giác nội tiếp” II.Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để giải số tốn hay khó sau: Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn Chứng minh đường tròn qua điểm cố định Chứng minh quan hệ đại lượng Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để tìm quỹ tích điểm Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để dựng hình Như vậy, giáo viên giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp đường tròn” III Nhiệm vụ đề tài + Đưa phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa + Đưa loại tập vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp hay khó có tập minh họa IV Giới hạn đề tài Đề tài gói gọn với đơn vị kiến thức trọng tâm mơn Hình Học lớp -3- -4- B – Giải vấn đề I – Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài này, sử dụng phương pháp sau: Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có với nghiên cứu tài liệu, sử dụng tài liệu như: - Sách giáo khoa Tóan (tập II) - Sách tập Tốn (tập II) - Tóan nâng cao Hình học – NXB Thành phố Hồ Chí Minh - Tóan nâng cao chun đề – NXB Giáo dục - Các tóan hay khó đường trịn – NXB Đà Nẵng Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Tôi tiến hành dạy thử nghiệm học sinh lớp 9A – Trường THCS Đại Đồng bồi dưỡng đội tuyển học sinh Giỏi trường Phương pháp đánh giá Kết thúc chun đề học sinh lớp 9A, tơi có tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức suy luận em -5- II – Nội dung cụ thể – Kiến thức 1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp * Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn B A O * Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD C D Hình 1.2.Định lý * Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o * Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o tứ giác nội tiếp đường trịn Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ ∠A + ∠C = 1800 ∠B + ∠D = 1800 1.3 Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α 1.4 Một số tốn hay khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn Chứng minh đường tròn qua điểm cố định Chứng minh quan hệ đại lượng Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để tìm quỹ tích điểm Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để dựng hình -6- - Bài tập minh hoạ 2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa Bài toán 1: Cho tam giác ABC, đường cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp A B' C' B O Chứng minh: Cách 1: Lấy O trung điểm cạnh BC Xét ∆BB’C có : ∠ BB’C = 900 (GT) OB’ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ OB’ = OB = OC = r (1) Xét ∆BC’C có : ∠ BC’C = 900 (GT) Tương tự ⇒ OC’ = OB = OC = r (2) Từ (1) (2) ⇒ B, C’, B’, C ∈ (O; r) ⇒ ◊ BC’B’C nội tiếp đường trịn Cách 2: Ta có: BB’ ⊥ AC (GT) ⇒ ∠ BB’C = 900 CC’ ⊥ AB (GT) ⇒ ∠ BC’C = 900 ⇒ B’, C’ nhìn cạnh BC góc vng ⇒ B’, C’ nằm đường trịn đường kính BC Hay ◊ BC’B’C nội tiếp đường trịn đường kính BC -7- C Phương pháp 2: Dựa vào định lý Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ ∠A + ∠C = 1800 ∠B + ∠D = 1800 Bài toán 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), đường cao BB’, CC’ a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp b/ Tia AO cắt (O) D cắt B’C’ I Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp A C' B' I O C B D Chứng minh: a/ (Bài toán 1) b/ Từ câu a ⇒ ∠ C + ∠ BC’B’ = 1800 (Tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp) Mà : ∠ C = ∠ D (hai góc nội tiếp chắn cung AB) ⇒ ∠ D + ∠ BC’I = 1800 ⇒ ◊ BDIC’ nội tiếp đường trịn Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc Bài tốn 3: M Cho ∆ ABC cân A nội tiếp (O) Trên tia đối tia AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho AM=CN Chứng minh ◊ AMNO nội tiếp A O B C N Chứng minh: Ta có: ∆ ABC cân A O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC -8- ⇒ ∠ A1 = ∠ A2 ∆AOC cân O (vì OA = OC) ⇒ ∠A2 = ∠C1 nên ∠A1 = ∠A2 = ∠C1 Mà ∠A1 + ∠OAM = 1800 ∠C1+ ∠OCN= 1800 ⇒ ∠AOM = ∠OCN Xét ∆OAM ∆OCN có : OA = OC; ∠AOM = ∠OCN; AM = CN ⇒ ∆OAM = ∆OCN (c.g.c) ⇒ ∠AMO = ∠CNO hay ∠AMO = ∠ANO ⇒ ◊ AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề M N nhìn cạnh OA góc) Phương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Bài tốn 4: M Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp đường tròn A P E B O D C Chứng minh: Ta có : ∠ MEP góc có đỉnh nm bờn (O) ằ ẳ sđ(AD + MB ) ẳ sđDM Ã MEP = M Ã DCP = (góc nội tiếp) Lại có : » ¼ sđ(AD + MA) Ã DCP = ẳ ẳ AM = MB Nên : · · MEP = DCP Hay Nghĩa là: ◊ PEDC có góc ngồi đỉnh E góc đỉnh C Vậy ◊ PEDC nội tiếp đường trịn Bài tốn 5: (Bài tập tổng hợp phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp) -9- Cho hình vẽ: Biết AC ⊥ BD O, OE ⊥AB E; OF ⊥ BC F; OG ⊥ DC G; OH ⊥AD H Hãy tìm tứ giác nội tiếp hình vẽ bên B E F A C O H G D Chứng minh: * Các tứ giác nội tiếp có hai góc đối góc vng là: AEOH; BFOE; CGOF; DHOG * Các tứ giác nội tiếp có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện AEFC; AHGC; BEHD; BFGD Thật vậy: Xét tứ giác AEFC Ta có: ∠EAC = ∠ EOB (cùng phụ với ∠ ABO) ∠ BFE = ∠EOB (Hai góc nội tiếp chắn cung EB) ⇒ ∠EAC = ∠ BFE Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tương tự * Tứ giác EFGH nội tiếp có tổng hai góc đối 1800 Thật vậy: Ta có : ∠ OEH = ∠OAH ( chắn cung OH) ∠OAH = ∠HOD (vì phụ với ∠AOH) ∠HOD = ∠HGD ( chắn cung HD) ⇒ ∠ OEH =∠HGD Chứng minh tương tự ta : ∠OEF = ∠FGC Từ : ∠ OEH + ∠OEF =∠HGD + ∠FGC ⇒ ∠ FEH =∠HGD + ∠FGC Mặt khác: ∠HGD + ∠FGC+ ∠HGF = 1800 ⇒ ∠ FEH + ∠HGF = 1800 ( điều phải chứng minh) 2.2 Bài tốn hay khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp Bài tóan Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn - 10 - a Phương pháp: Nếu ta phải chứng minh điểm A, B, C, D, E nằm đường trịn, ta chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp tứ giác ABCE nội tiếp Suy điểm A, B, C, D điểm A, B, C, E nằm đường trịn Hai đường trịn có ba điểm chung A, B, C nên theo định lý xác định đường trịn chúng phải trùng Từ suy điểm A, B, C, D, E nằm đường trịn b Ví dụ 1: (Bài tốn đường trịn Euler) A Chứng minh rằng, tam giác bất kì, ba trung điểm cạnh, ba chân đường cao, ba trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh đường tròn K M L F l E H O N B P I D C Chứng minh: Ta có: ME đường trung bình ∆AHC ND đường trung bình ∆BHC ⇒ ME = ND = HC/2 ⇒ tứ giác MNDE hình bình hành (1) Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN đường trung bình ∆HAB) Mà CH ⊥ AB (GT) ⇒ ME ⊥ MN (2) Từ (1) (2) ⇒ Tứ giác MNDE hình chữ nhật Gọi O trung điểm MD ⇒ O trung điểm NE Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM) Chứng minh tương tự ta hình chữ nhật FMPD nội tiếp (O; OM) Vì ∠ MID = 900 ⇒ I ∈ (O; OM) - 11 - Vì ∠ FLP = 900 ; ∠ NKE = 900 ⇒ L; K ∈ (O; OM) Vậy ta có : điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L ∈ (O; OM) (Điều phải chứng minh) c.Bài tập: Cho hình bình hành ABCD có ∠ A nhọn Đường trịn tâm A bán kính AB cắt đường thẳng BC điểm thứ hai E Đường trịn tâm C bán kính CB cắt đường thẳng AB điểm thứ hai K Chứng minh rằng: a DE = DK b năm điểm A, D, C, K, E thuộc đường tròn Cho hai đường trịn (O) (O’) ngồi nhau.Kẻ tiếp tuyến chung AB A’B’, tiếp tuyến chung CD EF (A, A’, C, E ∈ (O); B, B’, D, F ∈ (O’)) Gọi M giao điểm AB EF, N giao điểm CD A’B’ H giao điểm MN OO’ Chứng minh rằng: a MN ⊥ OO’ b năm điểm O’, B, M, H, F thuộc đường tròn c năm điểm O, A, M, E, H thuộc đường trịn Bài tóan Chứng minh đường trịn qua điểm cố định a Phương pháp: Nếu ta phải chứng minh đường tròn (ABC) qua điểm cố định, Cách 1: Ta xét thêm điểm D cố định chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Từ suy điều phải chứng minh Cách 2: Ta chọn điểm đường trịn (ABC) sau ta chứng minh điểm chọn điểm cố định b Ví dụ 1: - 12 - Cho đường trịn tâm O đường kính AB, điểm C cố định đường kính (C khác O) Điểm M chuyển động đường trịn Đường vng góc với AB C cắt MA, MB theo thứ tự E F Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua điểm cố định khác A E M F O K C A Chứng minh: Gọi K giao điểm đường tròn qua ba điểm A, E, F với AB Nối K với F Ta có ∠ F1 = ∠ A ( nửa số đo cung KE) ∠ F2 = ∠ A ( phụ với ∠ MBA) ⇒ ∠ F1 = ∠ F2 ⇒ K đối xứng với B qua C Do B C hai điểm cố định nên suy K cố định Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua điểm K cố định Ví dụ 2: Từ điểm A ngồi đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Lấy điểm D nằm B C Qua D vẽ đường thẳng vng góc với OD cắt AB, AC E F Khi điểm D di động BC, chứng minh đường trịn (AEF) ln qua điểm cố định khác A Chứng minh: Ta có : B E O A D C F ∠ EBO = 900 (AB tiếp tuyến với (O) B) - 13 - B ∠ EDO = 900 (GT) ⇒ hai đỉnh B D nhìn đoạn OE góc vng ⇒ ◊ EBOD nội tiếp đường tròn ⇒ ∠ BEO = ∠ BDO (1) (cùng chắn cung OB) Chứng minh tương tự ta có : ◊ ODCF nội tiếp đường trịn ⇒ ∠ OFC = ∠ BDO (2) (góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện) Từ (1) (2) ⇒ ∠ OFC = ∠ BEO ⇒ ◊ AEOF nội tiếp đường trịn (theo dấu hiệu góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện) Vậy đường tròn (AEF) qua điểm O cố định c Bài tập: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), I điểm cung BC khơng chứa A Vẽ (O1) qua I tiếp xúc với AB B, vẽ (O2) qua I tiếp xúc với AC C Gọi K giao điểm thứ hai hai đường tròn (O1) (O2) a/ Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng b/ Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối tia CA cho BD = CE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm cố định khác A Bài tóan Chứng minh quan hệ đại lượng Một số toán đề cập tới quan hệ đại lượng như: - Chứng minh hệ thức hình học - Chứng tỉ số đoạn thẳng khơng đổi (như hai đoạn thẳng nhau, đoạn gấp đơi đoạn kia….) chứng minh tổng hiệu góc không đổi * Định lý Ptô - lê – mê Chứng minh tứ giác nội tiếp, tích hai đường chéo tổng tích hai cặp cạnh đối - 14 - Chứng minh: Ta có : ◊ ABCD nội tiếp (O) Ta phải chứng minh: AC BD = AB DC + AD BC Thật Lấy E ∈ BD cho ∠ BAC = ∠ EAD ⇒ ∆ DAE ∆ CAB (g g) ⇒ B A E O C D AD DE = AC BC ⇒ AD BC = AC DE (1) Tương tự: ∆ BAE ∆ CAD (g g) ⇒ BE AB = CD AC ⇒ BE AC = CD AB (2) Từ (1) (2) ⇒ AD BC + AB CD = AC DE + EB AC ⇒ AD BC + AB CD = AC DB (ĐPCM) c Bài tập 1.Sử dụng Định lý Ptô - lê – mê để chứng minh ( Định lý Các – nô) Chứng minh tổng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn đến cạnh tam giác tổng bán kính đường trịn ngoại tiếp đường trịn nội tiếp tam giác Cho ∆ ABC nhọn với trực tâm H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường thẳng AH E a.Chứng minh điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn b.Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC , chứng minh: ∠ BAE = ∠ OAC BE = CD c Gọi M trung điểm BC, đường thẳng AM cắt OH G Chứng minh G trọng tâm ∆ ABC - 15 - Bài tóan Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để tìm quỹ tích điểm a Các bước giải tốn quỹ tích: Bước1: Chứng minh phần thuận Chứng minh điểm M có tính chất cho thuộc hình H + Giới hạn quỹ tích Bước 2: chứng minh phần đảo Chứng minh điểm hình H đề có tính chất cho Bước 3: Kết luận b Ví dụ : Cho hình vuông ABCD, tâm O Một đường thẳng xy quay quanh O cắt hai cạnh AD BC M N Trên CD lấy điểm K cho DK = DM Gọi H hình chiếu K xy Tìm quỹ tích điểm H B A N O H M l D K C Chứng minh: Phần thuận: Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm) Vì DK = DM (GT) nên CK = AM ⇒ CK = CN Lại có ◊ MHKD ◊ NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vng) ⇒ ∠ M1 = ∠ H1 = 450 ∠ N2 = ∠ H2 = 450 ⇒ ∠ DHC = 900 Vậy H nằm đường tròn đường kính DC Giới hạn: Vì đường thẳng xy quay quanh O phải cắt hai cạnh AD BC M N nên điểm H nằm nửa đường trịn đường kính CD nằm hình vng - 16 - Phần đảo: Lấy điểm H nửa đường trịn đường kính CD Vẽ đường thẳng HO cắt AD BC M N Lấy điểm K CD cho DK = DM Ta phải chứng minh H hình chiếu K MN Thật vậy, Vì ∠ DHC =900 ; ∠ DOC = 900 nên ◊ HOCD nội tiếp ⇒ ∠ DHM = ∠ DCO = 450 Mặt khác ∠ DKM = 450 nên ∠ DHM = ∠ DKM ⇒ ◊ HKDM nội tiếp ⇒ ∠ KHM = 900 ⇒ KH ⊥ NM ⇒ H hình chiếu K MN Kết luận: Vậy quỹ tích điểm H nửa đường trịn đường kính CD, nửa đường trịn nằm hình vng Bài tóan Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình a Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), điểm D di động cạnh BC Vẽ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC Xác định vị trí điểm D để: a/ EF có độ dài nhỏ b/ EF có độ dài lớn A a E O B Chứng minh: Gọi O trung điểm AD Tứ giác AEDF có : ∠ AED + ∠ AFD = 900 + 900 = 1800 - 17 - F M D C ⇒ ◊ AEDF nội tiếp (O; OA) Vẽ OM ⊥ EF ⇒ ME = MF Đặt ∠ BAC = a Ta có : ∠ EOM = ∠ EOF: = ∠ BAC = a Xét ∆ MOE có ∠ OME = 900 ⇒ EM = OE sin a ⇒ EF = OE sin a ⇒ EF = AD sin a (*) ( AD = 2OE) a/ Do a khơng đổi nên từ (*) suy EF nhỏ ⇔ AD nhỏ ⇔ AD ⊥ BC ⇔ D hình chiếu A BC b/ Vì D ∈ BC AB < AC nên AD ≤ AC Từ (*) ⇒ EF lớn ⇔ AD lớn ⇔ D trùng với C b Bài tập: Cho ∆ ABC nhọn nội tiếp (O) Gọi M điểm cung ABC Vẽ MD ⊥ BC; ME ⊥ AC; MF ⊥ AB Xác định vị trí M để EF có độ dài lớn - 18 - III – Kết thu Sau chuyên đề “Phương pháp tứ giác nội tiếp” tiến hành dạy cho đối tượng học sinh, thu kết sau: Đối với đội tuyển học sinh giỏi trường THCS Đại Đồng Kết kiểm tra cuối chuyên đề học sinh Phương :9 Hoa : 8,5 Tiền : 8,5 Huyền :6 Đức :7 Đối với học sinh lớp 9A Sĩ số : 42 Số lượng làm : 42 Điểm - 10 : 11 Điểm - : 21 Điểm – : Điểm – :1 IV – học kinh nghiệm Qua việc nghiên cứu tiến hành dạy thử nghiệm chun đề đồng thời tơi có lấy ý kiến học sinh Thấy được: + Bản thân nắm rõ ràng hệ thống kiến thức tứ giác nội tiếp + Học sinh hiểu rõ khắc sâu kiến thức Vì vậy, chuyên đề đưa yêu cầu học sinh dựa vào cách học tự nghiên cứu trước nhà thảo luận nhóm nhỏ sau tơi hoàn chỉnh giúp em buổi học chuyên đề Như vậy, học sinh từ học thụ động chủ động hình thành tri thức cách tự học - 19 - C Kết luận Trên số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn đồng thời sử dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh số tốn hay khó Do kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy cịn nên sáng kiến kinh nghiệm tơi cịn nhiều thiếu xót Rất mong nhận ý kiến đóng góp đồng nghiệp giúp sửa chữa bổ sung đầy đủ tốt Tôi xin chân thành cảm ơn ! - 20 - ... Một số tốn hay khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn Chứng minh đường tròn qua điểm cố định Chứng minh quan hệ đại lượng Chứng minh tứ giác nội tiếp đường. .. cách tự học - 19 - C Kết luận Trên số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn đồng thời sử dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh số tốn hay khó Do kinh nghiệm qua thực tế giảng... trịn nào, cịn biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm ? Ta biết có nhiều phương pháp để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Khi biết tứ giác nội tiếp đường tròn suy góc đỉnh góc ngồi