skkn phương pháp tứ giác nội tiếp

Mục lục Nội dung Trang A. Đặt vấn đề 2 I. Lý do chọn đề tài 2 1. Cơ sở lý luận 2 2. Cơ sở thực tiễn 2 II. Mục đích nghiên cứu 3 III. Nhiệm vụ đề tài 3 IV. Giới hạn đề tài 3 B. Giải quyết vấn đề 4 I. Phơng pháp nghiên cứu 4 II. Nội dung cụ thể 5 1. Kiến thức cơ bản 5 2. Bài tập minh hoạ 6 2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn 6 Phơng pháp 1 6 Phơng pháp 2 7 Phơng pháp 3 7 Phơng pháp 4 8 2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp 10 Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn. 10 Chứng minh đờng tròn đi qua một điểm cố định. 11 Chứng minh quan hệ giữa các đại lợng. 13 Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để tìm quỹ tích một điểm. 15 Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để dựng hình. 16 III. Kết quả thu đợc 18 IV. Bài học kinh nghiệm 18 C. Kết luận 20 - 1 - A - Đặt vấn đề I. Lý do chọn đề tài 1. Cơ sở lý luận Trong hoạt động giáo dục hiện nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học tự nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục. Nh vậy, học sinh có thể phát huy đợc năng lực sáng tạo, t duy khoa học, từ đó xử lý linh hoạt đợc các vấn đề của đời sống x hội. ã Một trong những phơng pháp để giúp học sinh đạt đợc điều đó đối với môn Toán (cụ thể môn Hình Học 9) đó là khích lệ các em sau mỗi đơn vị kiến thức cần khắc sâu, tìm tòi những bài toán liên quan. Làm đợc nh vậy có nghĩa là các em rất cần sự say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức. 2. Cơ sở thực tiễn Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về đờng tròn thì chuyên đề tứ giác nội tiếp và những bài toán liên quan là rất quan trọng. Đóng vai trò là đơn vị kiến thức trọng tâm của nội dung Hình Học lớp 9. Mà đa số các em mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội tiếp đờng tròn là nh thế nào, còn ít biết vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp để làm gì ? Ta biết rằng có nhiều phơng pháp để chứng minh một tứ giác là nội tiếp đ- ờng tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đờng tròn thì suy ra đợc góc trong ở một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các Định lý về mối liên hệ giữ các loại góc của đờng tròn để tìm ra những cặp góc bằng nhau. Với phơng pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay và khó . Với lý do đó, tôi đ chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: ã Phng phỏp t giỏc ni tip II.Mục đích nghiên cứu - 2 - Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp để giải một số bài toán hay và khó nh sau: Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn. Chứng minh đờng tròn đi qua một điểm cố định. Chứng minh quan hệ giữa các đại lợng. Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để tìm quỹ tích một điểm. Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để dựng hình. Nh vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ một cách có hệ thống đơn vị kiến thức Tứ giác nội tiếp trong một đờng tròn. III. Nhiệm vụ của đề tài + Đa ra các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa. + Đa ra các loại bài tập vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp hay và khó có bài tập minh họa. IV. Giới hạn đề tài Đề tài này đợc gói gọn với một đơn vị kiến thức trọng tâm ở bộ môn Hình Học lớp 9. - 3 - B Giải quyết vấn đề I Ph ơng pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các phơng pháp cơ bản sau: 1. Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có đợc với sự nghiên cứu tài liệu, tôi đã sử dụng các tài liệu nh: - Sách giáo khoa Tóan 9 (tập II) - Sách bài tập Toán 9 (tập II) - Tóan nâng cao Hình học 9 NXB Thành phố Hồ Chí Minh - Tóan nâng cao và các chuyên đề 9 NXB Giáo dục. - Các bài tóan hay và khó về đờng tròn NXB Đà Nẵng. 2. Phơng pháp nghiên cứu thực tiễn. Tôi tiến hành dạy thử nghiệm đối với học sinh lớp 9A Trờng THCS Đại Đồng và bồi dỡng đội tuyển học sinh Giỏi của trờng. 3. Phơng pháp đánh giá. Kết thúc chuyên đề đối với học sinh lớp 9A, tôi có tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức và suy luận của các em. - 4 - II Nội dung cụ thể 1 Kiến thức cơ bản 1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp * Tứ giác nội tiếp đờng tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đờng tròn đó. * Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. O C B D A Hình 1 1.2.Định lý. * Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o . * Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o thì tứ giác đó nội tiếp đợc một đờng tròn. 1.3. Một số phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 . - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định đợc). Điểm đó là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc . 1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn. Chứng minh đờng tròn đi qua một điểm cố định. Chứng minh quan hệ giữa các đại lợng. Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để tìm quỹ tích một điểm. Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để dựng hình. - 5 - Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn A + C = 180 0 hoặc B + D = 180 0 2 - Bài tập minh hoạ 2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn. Ph ơng pháp 1 : Dựa vào định nghĩa. Bài toán 1: Cho tam giác ABC, 2 đờng cao BB, CC. Chứng minh tứ giác BCBC nội tiếp. O C' B' B C A Chứng minh: Cách 1: Lấy O là trung điểm của cạnh BC. Xét BBC có : BBC = 90 0 (GT) OB là đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền OB = OB = OC = r (1) Xét BCC có : BCC = 90 0 (GT) Tơng tự trên OC = OB = OC = r (2) Từ (1) và (2) B, C, B, C (O; r) BCBC nội tiếp đờng tròn. Cách 2: Ta có: BB AC (GT) BBC = 90 0 . CC AB (GT) BCC = 90 0 . B, C cùng nhìn cạnh BC dới một góc vuông B, C nằm trên đờng tròn đờng kính BC Hay BCBC nội tiếp đờng tròn đờng kính BC. - 6 - Ph ơng pháp 2 : Dựa vào định lý Bài toán 2: Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp (O), 2 đờng cao BB, CC. a/ Chứng minh tứ giác BCBC nội tiếp. b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt BC ở I. Chứng minh tứ giác BDIC nội tiếp. I O C' B' B A C D Chứng minh: a/ (Bài toán 1) b/ Từ câu a C + BCB = 180 0 (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp) Mà : C = D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) D + BCI = 180 0 BDIC nội tiếp đờng tròn. Ph ơng pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc Bài toán 3: Cho ABC cân ở A nội tiếp (O). Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM=CN. Chứng minh AMNO nội tiếp. B 1 1 O 2 C M N A Chứng minh: - 7 - Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn A + C = 180 0 hoặc B + D = 180 0 Ta có: ABC cân ở A và O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC A 1 = A 2 AOC cân tại O (vì OA = OC) A 2 = C 1 nên A 1 = A 2 = C 1 Mà A 1 + OAM = 180 0 và C 1 + OCN= 180 0 . AOM = OCN Xét OAM và OCN có : OA = OC; AOM = OCN; AM = CN OAM = OCN (c.g.c) AMO = CNO hay AMO = ANO AMNO nội tiếp đờng tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh OA dới cùng một góc). Ph ơng pháp 4 : Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lợt ở E và P. Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp đợc đờng tròn. A E P C O B D M Chứng minh: Ta có : MEP là góc có đỉnh nằm bên trong (O) ã ằ ẳ đ(AD ) MEP 2 s MB+ = M ã ẳ = đDM 2 s DCP (góc nội tiếp) Hay ã ằ ẳ + = đ(AD ) 2 s MA DCP Lại có : ẳ ẳ =AM MB Nên : ã MEP = ã DCP Nghĩa là: PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C Vậy PEDC nội tiếp đợc đờng tròn. - 8 - Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp) Cho hình vẽ: Biết AC BD tại O, OE AB tại E; OF BC tại F; OG DC tại G; OH AD tại H. Hãy tìm các tứ giác nội tiếp trong hình vẽ bên. F H E G O A C B D Chứng minh: * Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là: AEOH; BFOE; CGOF; DHOG * Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện AEFC; AHGC; BEHD; BFGD Thật vậy: Xét tứ giác AEFC Ta có: EAC = EOB (cùng phụ với ABO) BFE = EOB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB) EAC = BFE. Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tơng tự. * Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 180 0 Thật vậy: Ta có : OEH = OAH ( vì cùng chắn cung OH) OAH = HOD (vì cùng phụ với AOH) HOD = HGD ( vì cùng chắn cung HD) OEH =HGD Chứng minh tơng tự ta đợc : OEF = FGC Từ đó : OEH + OEF =HGD + FGC FEH =HGD + FGC Mặt khác: HGD + FGC+ HGF = 180 0 FEH + HGF = 180 0 ( điều phải chứng minh) 2.2. Bài toán hay và khó vận dụng ph ơng pháp tứ giác nội tiếp . - 9 - Bài tóan 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đ ờng tròn. a. Phơng pháp: Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đờng tròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy ra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đờng tròn. Hai đờng tròn này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định đờng tròn thì chúng phải trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đờng tròn. b. Ví dụ 1: (Bài toán về đờng tròn Euler) Chứng minh rằng, trong một tam giác bất kì, ba trung điểm của các cạnh, ba chân của các đờng cao, ba trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh đều ở trên một đờng tròn. l O N P M H L K I D F E B C A Chứng minh: Ta có: ME là đờng trung bình của AHC ND là đờng trung bình của BHC ME = ND = HC/2 tứ giác MNDE là hình bình hành (1) Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN là đờng trung bình của HAB) Mà CH AB (GT) ME MN (2) Từ (1) và (2) Tứ giác MNDE là hình chữ nhật Gọi O là trung điểm của MD O cũng là trung điểm của NE - 10 - [...]... các buổi học chuyên đề Nh vậy, học sinh đã từ học thụ động giờ có thể chủ động hình thành tri thức bằng cách tự học - 18 - C Kết luận Trên đây là một số phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn đồng thời sử dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh một số bài toán hay và khó Do kinh nghiệm của mình qua thực tế giảng dạy còn ít nên sáng kiến kinh nghiệm của tôi chắc sẽ còn nhiều thiếu xót... Thật vậy, Vì DHC =900 ; DOC = 900 nên HOCD nội tiếp DHM = DCO = 450 Mặt khác DKM = 450 nên DHM = DKM HKDM nội tiếp KHM = 900 KH NM H là hình chiếu của K trên MN Kết luận: Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đờng tròn đờng kính CD, nửa đờng tròn này nằm trong hình vuông Bài tóan 5 Chứng minh tứ giác nội tiếp đ ờng tròn để dựng hình a Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), điểm D di động trên... tơng tự ta có : ODCF nội tiếp đờng tròn OFC = BDO (2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện) Từ (1) và (2) OFC = BEO AEOF nội tiếp đờng tròn (theo dấu hiệu góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện) Vậy đờng tròn (AEF) đi qua điểm O cố định c Bài tập: 1 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), I là điểm chính giữa của cung BC không chứa A Vẽ (O1) đi qua I và tiếp xúc với AB tại... cách từ tâm của đờng tròn ngoại tiếp một tam giác nhọn đến các cạnh của tam giác bằng tổng các bán kính của đờng tròn ngoại tiếp và đờng tròn nội tiếp tam giác đó 2 Cho ABC nhọn với trực tâm H Vẽ hình bình hành BHCD Đờng thẳng qua D và song song với BC cắt đờng thẳng AH tại E a.Chứng minh các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đờng tròn b.Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC , chứng minh: BAE = ... b/ Vì D BC và AB < AC nên AD AC Từ (*) EF lớn nhất AD lớn nhất D trùng với C b Bài tập: 1 Cho ABC nhọn nội tiếp (O) Gọi M là một điểm trên cung ABC Vẽ MD BC; ME AC; MF AB Xác định vị trí của M để EF có độ dài lớn nhất - 17 - III Kết quả thu đợc Sau chuyên đề Phơng pháp tứ giác nội tiếp tôi đã tiến hành dạy cho các đối tợng học sinh, đã thu đợc kết quả nh sau: 1 Đối với đội tuyển học sinh... thẳng bằng nhau, đoạn này gấp đôi đoạn kia.) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc là không đổi * Định lý Ptô - lê mê Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đờng chéo bằng tổng các tích của hai cặp cạnh đối - 13 - Chứng minh: Ta có : ABCD nội tiếp (O) Ta phải chứng minh: AC BD = AB DC + AD BC Thật vậy Lấy E BD sao cho BAC = EAD DAE CAB (g g) AD DE = AC BC B A E O C D AD BC =... Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy thử nghiệm chuyên đề đồng thời tôi có lấy ý kiến của học sinh Thấy đợc: + Bản thân tôi nắm rõ ràng hệ thống kiến thức về tứ giác nội tiếp + Học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức hơn Vì vậy, các chuyên đề tiếp theo tôi đã đa ra và yêu cầu học sinh dựa vào cách học nh vậy tự nghiên cứu trớc ở nhà hoặc thảo luận nhóm nhỏ sau đó tôi sẽ hoàn chỉnh giúp các em trong... minh tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn Từ đó suy ra điều phải chứng minh Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đờng tròn (ABC) sau đó ta đi chứng minh điểm đã chọn là điểm cố định b Ví dụ 1: - 11 - Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB, điểm C cố định trên đờng kính ấy (C khác O) Điểm M chuyển động trên đờng tròn Đờng vuông góc với AB tại C cắt MA, MB theo thứ tự ở E và F Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp. .. động trên cạnh BC Vẽ DE AB, DF AC Xác định vị trí của điểm D để: a/ EF có độ dài nhỏ nhất b/ EF có độ dài lớn nhất A a E O B Chứng minh: Gọi O là trung điểm của AD Tứ giác AEDF có : AED + AFD = 900 + 900 = 1800 - 16 - F M D C AEDF nội tiếp (O; OA) Vẽ OM EF ME = MF Đặt BAC = a Ta có : EOM = EOF: 2 = BAC = a Xét MOE có OME = 900 EM = OE sin a EF = 2 OE sin a EF = AD sin a (*) ( vì AD =...Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM) Chứng minh tơng tự ta đợc hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM) Vì MID = 900 I (O; OM) Vì FLP = 900 ; NKE = 900 L; K (O; OM) Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L (O; OM) (Điều phải chứng minh) c.Bài tập: . - II Nội dung cụ thể 1 Kiến thức cơ bản 1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp * Tứ giác nội tiếp đờng tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đờng tròn đó. * Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O). thức Tứ giác nội tiếp trong một đờng tròn. III. Nhiệm vụ của đề tài + Đa ra các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa. + Đa ra các loại bài tập vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp. minh một tứ giác nội tiếp đờng tròn là nh thế nào, còn ít biết vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp để làm gì ? Ta biết rằng có nhiều phơng pháp để chứng minh một tứ giác là nội tiếp đ- ờng tròn.