SKKN: Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng

Lý do chọn đề tài:a) Cơ sở lý luận: Đại đa số học sinh cấp hai không thích học môn hình học chính vì vậy chất lượng môn hình học thấp kéo theo chất lượng môn Toán không cao. Đối với học sinh lớp 9 kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn là rất quan trọng. Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc và đường tròn, định lý đảo về tứ giác nội tiếp, …. Đặc biệt phải biết hệ thống các kiến thức đó sau khi học xong chương III hình học 9 . b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện ở định lý đảo “Tứ giác nội tiếp” Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đã đặc biệt hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên chưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu. Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn. Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại được các bài toán đã giải ở lớp 8 để có cách giải hay cách lý giải căn cứ khác. Đối với các em khi học các bài toán về đường tròn thì chuyên đề tứ giác nội tiếp và những bài toán liên quan là rất quan trọng. Đóng vai trò là đơn vị kiến thức trọng tâm của nội dung Hình học lớp 9, mà đa số các em mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn là như thế nào, còn ít biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm gì ? Mặt khác ta biết rằng có nhiều phương pháp để chứng minh một tứ giác là nội tiếp đường tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đường tròn thì suy ra được góc trong ở một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các Định lý về mối liên hệ giữa các loại góc của đường tròn để tìm ra những cặp góc bằng nhau. Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay và khó Với lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là:“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng” nhằm trước hết giải quyết khó khăn trong thực tế giảng dạy của mình, của giáo viên trong trường, cũng mong được trao đổi với các đồng nghiệp khác. Rất mong được sự đóng góp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả.

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU

PHẦN II: NỘI DUNG

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

a) Cơ sở lý luận: Đại đa số học sinh cấp hai không thích học môn hình học chính

vì vậy chất lượng môn hình học thấp kéo theo chất lượng môn Toán không cao Đối vớihọc sinh lớp 9 kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn là rất quan trọng Đểchứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứagóc, quan hệ giữa góc và đường tròn, định lý đảo về tứ giác nội tiếp, … Đặc biệt phảibiết hệ thống các kiến thức đó sau khi học xong chương III hình học 9

b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản

thể hiện ở định lý đảo “Tứ giác nội tiếp” Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đã đặc biệthoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tuy nhiên chưa đặtcác dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đườngtròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu Dẫn đến học sinh rấtlúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

- Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan trọng giúp họcsinh nhìn nhận lại được các bài toán đã giải ở lớp 8 để có cách giải hay cách lý giải căn cứkhác Đối với các em khi học các bài toán về đường tròn thì chuyên đề tứ giác nội tiếp vànhững bài toán liên quan là rất quan trọng Đóng vai trò là đơn vị kiến thức trọng tâm củanội dung Hình học lớp 9, mà đa số các em mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nộitiếp đường tròn là như thế nào, còn ít biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm

gì ?

- Mặt khác ta biết rằng có nhiều phương pháp để chứng minh một tứ giác là nộitiếp đường tròn Khi biết một tứ giác nội tiếp đường tròn thì suy ra được góc trong ở mộtđỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các Định lý về mối liên hệ giữacác loại góc của đường tròn để tìm ra những cặp góc bằng nhau Với phương pháp tứ giácnội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay và khó

- Với lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là:“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng” nhằm trước hết giải quyết khó khăn

trong thực tế giảng dạy của mình, của giáo viên trong trường, cũng mong được trao đổi

với các đồng nghiệp khác Rất mong được sự đóng góp chân thành để đề tài được pháthuy hiệu quả.

2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:

a) Mục tiêu: Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp

chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để giải một

số bài toán hay và khó như:

+ Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn

+ Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định

+ Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng

+ Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm

+ Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình

+ Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm cực trị…

- Ngoài ra còn góp phần nâng cao chất lượng bộ môn toán ở trường THCS, giúp học sinhlớp 9 giải được các bài toán về tứ giác nội tiếp từ cơ bản đến nâng cao

- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm về một số phương pháp chứng minh tứ giác nộitiếp

- Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm

Như vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ một cách

có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn”.

- Ngoài những mục tiêu như trên thì ý của tôi khi thực hiện sáng kiến là có sự lồng ghépnho nhỏ cách phát triển bài toán từ một bài toán ban đầu để tìm ra nhiều phương phápchứng minh khác nhau

b) Nhiệm vụ:

Những nhiệm vụ cụ thể của đề tài là:

- Đưa ra các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa

- Đưa ra các loại bài tập vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp hay và khó có bài tậpminh họa

3 Đối tượng nghiên cứu:

:“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

4 Phạm vi nghiên cứu:

- Nghiên cứu về một số phương pháp hướng dẫn học sinh chứng minh tứ giác nội tiếptrong một đường tròn và cách vận dụng

- Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, sách nâng cao toán 9

- Phụ đạo và nâng cao kiến thức cho học sinh lớp 9A1, 9A2 năm học 2014-2015 trườngTHCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý thuyết

- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh

- Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận

- Thực hiện giảng dạy trên lớp và các tiết chuyên đề cho học sinh lớp 9A1, 9A2 trườngTHCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana

- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi tiến hành giảng dạy

PHẦN II NỘI DUNG 1.Cơ sở lí luận để thực hiện đề tài:

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất

là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông Là giáo viên aicũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duysáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học hội tụ được những yêu cầu đó

Đặc điểm của lứa tuổi HS THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự mìnhkhám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức Các em có khả năng điều chỉnh hoạt độnghọc tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướngdẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy, cô giáo Hình thành và pháttriển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho HS là một quá trình lâu dài

Dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp là dạng toán rất quan trọng trong chươngtrình toán 9 và làm cơ sở để học sinh làm tốt các bài toán có liên quan trong chương trìnhtoán trung học cơ sở Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh chứng minh tứ giác nộitiếp một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thực hiện tốt điều này đòihỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá

bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải bài toán hình học , kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theotừng đối tượng học sinh mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phươngpháp đã học để giúp học sinh học tập tốt hơn

- Hội cha mẹ học sinh hoạt động tích cực , phối hợp tốt với nhà trường trong cáchoạt động, duy trì tương đối hiệu quả việc học tập của con em trong địa phương

- Phòng Giáo dục Đào tạo và lãnh đạo nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất cảcác hoạt động chuyên môn của trường

- Hội khuyến học Xã hết sức nhiệt tình, quan tâm đến phong trào giáo dục xã nhànói chung và trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng

- Đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường còn có một đội ngũ thầy cô trẻ,khoẻ, nhiệt tình và hăng say công việc

- Thuận lợi lớn nhất khi thực hiện đề tài của tôi đó chính là HS, dạng toán này làdạng hơi khó nhưng các em đó cố gắng chăm chú lắng nghe đặc biệt là các em HS giỏiluôn thích tìm tòi và thường xuyên đặt câu hỏi cho tôi để tôi gợi mở khi các em thực hiện

b/ Khó khăn:

- Nhân dân xã Quảng Điền đa số nhiều gia đình đông con sống chủ yếu bằng nghềnông đời sống kinh tế còn nhiều khó khăn, trình độ dân trí không đồng đều, hằng nămchịu nhiều ảnh hưởng của thiên tai Do đó hoàn cảnh gia đình còn gặp nhiều khó khăn nênchưa thực sự quan tâm đến việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đếnviệc đầu tư thời gian, vật chất, tinh thần cho con em họ Từ đó ảnh hưởng đến kết quả họctập của học sinh và của nhà trường

- Đa số HS không yêu thích môn hình học, thậm chí còn sợ học môn này nên thờigian đầu làm sáng kiến các em chưa thực sự thích nên cũng không dám sáng tạo gì thêm

do đó không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân

2.2 Thành công, hạn chế:

a/ Thành công: Với nội dung của đề tài nghiên cứu:“Một số phương pháp chứng minh

Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”sau khi áp dụng vào thực tiễn tôi nhận thấy đã rèn

luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán hình học có hiệu quả đặc biệt là phần chứngminh tứ giác nội tiếp đường tròn

b/ Hạn chế: Vì đây là dạng toán mà đa số các em học yếu đều không thích học nên nói

thật phần vận dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh các bài tập thì đa số các em học sinhkhá giỏi có hứng thú hơn các em trung bình và yếu Để đề tài trên được áp dụng vào thựctiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả cần phải có lượng thời gian nhất định Tuy nhiên trongphân phối chương trình số tiết hình học ở lớp 9 là tiết hai tiết/ tuần Riêng phần tứ giácnội tiếp được hai tiết (1 tiết lý thuyết và một tiết bài tập) chính vì vậy mà giáo viên không

có thời gian để luyện tập nhiều Với những lý do trên đề tài khó có thể áp dụng và đem lạihiệu quả mong muốn

2.3 Mặt mạnh, mặt yếu:

a/ Mặt mạnh:

- Khi vận dụng đề tài này vào giảng dạy tôi nhận thấy phần lớn học sinh không còn

lúng túng trong khi giải bài toán hình học, đa số các em đó nhận dạng được bài tập và đóbiết lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí và trình bày lời giải tương đối chặt chẽ Những

em học sinh khá giỏi đặc biệt là ôn thi học sinh giỏi các em rất hào hứng trong việc ápdụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh hình học

không nhiều, không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hăng say học tập của học sinh Mức

độ kiến thức của dạng toán này tương đối trừu tượng và phức tạp

2.4 Nguyên nhân:

Thực tế học sinh ở trường THCS Lê Đình Chinh tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiếnthức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế Nguyên nhân chủ yếu của khó khăn trên là:

- Học sinh không đam mê môn Hình học

- Khả năng phán đoán ,định hướng không tới đích

- Không năng động trong khi chứng minh và vẽ hình Chính vì vậy hướng dẫn chohọc sinh nắm chắc về khái niệm để vận dụng vào chứng minh là điều quan trọng

- Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian

để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều

2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:

Đề tài:“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, chứng minh hình họccho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng và hiệuquả giảng dạy

- Như đã nói ở trên, trong phân phối chương trình của môn toán 9 không có thờilượng dành riêng cho vấn đề nghiên cứu này Do đó để thực hiện đề tài này, giáo viên cầnphải lồng ghép vào các tiết luyện tập, các tiết ôn tập chương, các tiết ôn tập học kì 2, cáctiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi

- Trong quá trình giảng dạy môn Toán, vai trò của người thầy trong việc tạo hứngthú cho học sinh đặc biệt quan trọng, do đó mỗi giáo viên phải thường xuyên đưa học sinhvào các tình huống có vấn đề để các em tư duy, tự tìm tòi kiến thức mới qua mỗi dạngtoán Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương sự cố gắng của các em, trântrọng thành quả đạt được của các em

- Ngày nay, phương pháp dạy học ở bậc THCS nói chung đã có nhiều biến đổi tíchcực, điều kiện về vật chất ngày càng được nâng lên rõ rệt Nhưng để đạt được kết quả tốtyêu cầu mỗi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian cho việc soạn bài và đặc biệt là phải tậntụy với công việc, tránh tư tưởng chủ quan chỉ cho học sinh tìm hiểu ở mức độ sơ sơ, đưa

ra lời giải ngay khi học sinh chưa suy nghĩ Sự đầu tư nhiệt tình của người giáo viên sẽđược đền bù xứng đáng bằng kết quả của học sinh.

3 Giải pháp, biện pháp:

3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:

- Những giải pháp, biện pháp được nêu trong đề tài này nhằm mục đích trang bịcho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng bài tập chứngminh tứ giác nội tiếp và vận dụng từ cơ bản đến nâng cao, nhằm giúp cho học sinh có khảnăng vận dụng tốt dạng toán này

3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:

- Bằng quan sát thực tế giảng dạy các giờ toán chứng minh tứ giác nội tiếp, bàitoán tổng hợp có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh và tính toán của GVTHCS

- Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi dưỡng ôn thi học sinh lớp 9 , những nămtrước đây thấy học sinh rất ít em phát hiện được tứ giác nội tiếp một cách nhanh nhất,nhất là những bài toán không dễ chứng minh ngay được tổng hai góc đối diện của tứ giácbằng 180 độ Hay HS cứ phải đưa về tổng hai góc đối diện bằng 180 độ nên dài, nhiều khidẫn đến sai

- Bằng đọc tài liệu để nắm các cơ sở lý luận khoa học về phương pháp chứng minh

và tính chất của tứ giác nội tiếp Đặc biệt là tìm cách nhận biết nhanh tứ giác nội tiếptrước khi phải chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180 độ trong các bài toán có chứngminh tứ giác nội tiếp hoặc có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp

- Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến của đồng nghiệp nhất là những thầy côdạy toán giỏi trong tổ, trong trường

- Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp, phụ đạo HSyếu kém, bồi dưỡng học sinh giỏi

- Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ của bài dạy đến các định

lý và bài toán khó hơn, phức tạp hơn tổng hợp lại một hệ thống các phương pháp chứngminh tứ giác nội tiếp

Từ các phương pháp trên đây đối chiếu với lý luận và thực tế tôi rút ra được kinhnghiệm nhỏ trong quá trình áp dụng đề tài cụ thể như sau:

*Nội dung:

1/ Chuẩn bị :

- Phần trọng tâm của lý thuyết, điều cần ghi nhớ

- Phân loại các bài tập để vận dụng chứng minh từng phần ghi nhớ

2/ Ph n lý thuy t: ần lý thuyết: ết:

2.1/ Định nghĩa: Nếu qua bốn đỉnh của một

tứ giác có một đường tròn thì tứ giác đó gọi

là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và

đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp

* Đảo lại : Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện nhau bằng hai góc vuông thì tứ giác

đó nội tiếp được trong một đường tròn

Khi đó : Tứ giác ABCD nội tiếp (O)  B DA C 22v v

2.2.1/ Chú ý: Hình chữ nhật ,hình vuông và hình thang cân luôn luôn nội tiếp được trong

một đường tròn vì các tứ giác này đều có tổng hai góc đối bù nhau

C

C D

D

B A

(Đây là cách nhận biết tứ giác nội tiếp một cách nhanh nhất mà chưa cần phải chứngminh)

3 Một số vấn đề liên quan đến tứ giác nội tiếp:

3.1 Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp:

Một tứ giác sẽ là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn nếu có một trong các điềukiện sau :

O

C' B'

A

+) Bốn đỉnh cùng cách đều một điểm nào đó ( đ/n)

+) Tổng các góc đối diện bằng 2v ( định lý đảo)

+) Từ hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh ứng với hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhaucủa tứ giác ABCD có : DAC DBC    Tứ giác ABCD nội tiếp

+) Hai đỉnh cùng nhìn xuống một cạnh dưới một góc vuông

(Tứ giác ABCD có:   0

90

DAC DBC  )  Tứ giác ABCD nội tiếp + Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

+ Dùng tỉ lệ thức để chứng minh tứ giác nội tiếp…

3.2 Vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh một số bài toán hay và khó.

- Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn

- Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định

- Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng

- Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm

- Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình

- Chứng minh tứ giác nội tiếp để tìm cực trị…

Sau đây là một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn kèm theobài tập minh họa

3.3 - BÀI TẬP MINH HOẠ:

3.3.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

*Ph ương pháp 1: Dựa vào định nghĩa ng pháp 1: D a v o nh ngh a ựa vào định nghĩa ào định nghĩa định nghĩa ĩa.

* Bài toán 1:

Cho tam giác ABC các đường cao BB’,

CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp

Tương tự trên  OC’ = OB = OC = r (2)

Từ (1) và (2)  B, C’, B’, C  (O; r)

  BC’B’C nội tiếp đường tròn

Từ bài toán 1 này nếu ta thay đổi dữ kiện là cho tam giác nội tiếp trong đường tròn

và kẻ các đường cao, ta lại phải chứng minh tứ giác mới nội tiếp

*Phương pháp 2: Dựa vào định lý

* Bài toán 2:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội

tiếp đường tròn (O), các đường cao AD,

BE,CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn(O)

tại M,N,P Chứng minh:

a Tứ giác CEHD nội tiếp

H P

CEH CDH  1800 (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

  CEHD nội tiếp đường tròn

T b i toán 2 ta l i thay tam giác ABC ào định nghĩa ại thay tam giác ABC đều và thay đổi dữ kiện sau đó đều và thay đổi dữ kiện sau đó u v thay ào định nghĩa đổi dữ kiện sau đó ữ kiện sau đó ện sau đó i d ki n sau ó đ yêu c u HS ch ng minh ti p i m D c ng thu c ần lý thuyết: ứng minh tiếp điểm D cũng thuộc đường tròn ết: đ ểm D cũng thuộc đường tròn ũng thuộc đường tròn ộc đường tròn đường tròn ng tròn

*Bài toán 3:

Cho ABC đều Trên nửa mặt phẳng bờ BC

không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB=DC

2

DCB  ACB

Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp

* Chứng minh: Ta có : ABC đều => A B C 600

Mặt khác:   0

1302

D

2

1 2

1

Tứ giác ABCD có ABD ACD 1800(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

nên tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn đường kính AD

* Khi ôn thi học sinh giỏi tôi đã thay bài toán trên một số dữ kiện liên quan đến quỹ tíchcung chứa góc nhằm củng cố cách sử dụng định lý để chứng minh đồng thời củng cố kiếnthức về lượng giác

* Bài toán 4: Cho đường tròn tâm O đường kính

AB cố định Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo

với nhau góc 600, nằm về hai phía của AB, cắt

đường tròn (O) lần lượt tại M và N Đường thẳng

BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F

Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF

1 Chứng minh rằng EF 3

2 Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp

*Chứng minh:

1) AMB ANB 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 B là trực tâm của tam giác AEF

 AB EF

 NEF NAB (cùng phụ với NFE)

 vuông NEF vuông NAB (g.g)

* Đặc biệt hoá bài toán 2: Phát tri n thêm b i toán ta l i ti p t c yêu c u h c ểm D cũng thuộc đường tròn ào định nghĩa ại thay tam giác ABC đều và thay đổi dữ kiện sau đó ết: ục yêu cầu học ần lý thuyết: ọc sinh ch ng minh ti p t giác BCEF n i ti p ứng minh tiếp điểm D cũng thuộc đường tròn ết: ứng minh tiếp điểm D cũng thuộc đường tròn ộc đường tròn ết:

O

K

F E

N M

B A

y x

D O

C

B

A

* Bài toán 5 ( Đề mở rộng của bài toán 2)

Câu b Chứng minh bốn điểm B,C,E,F cùng nằm

trên một đường tròn

H P

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900

=> E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC

=> Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn

Hay tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC

Đây chính là cách sử dụng cung chứa góc.Cũng từ bài toán 2 ta thay dữ kiện tam giác nộitiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh tứ giác nội tiếp cụ thể của phương pháp này nhưsau:

*Ph ương pháp 1: Dựa vào định nghĩa ng pháp 4: D a v o qu tích cung ch a góc ựa vào định nghĩa ào định nghĩa ỹ tích cung chứa góc ứng minh tiếp điểm D cũng thuộc đường tròn

* Bài toán 6:

Cho tam giác ACD Lấy điểm B sao cho A,

B nằm ở cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa

DC và có DAC DBC  Chứng minh tứ giác

ABCD nội tiếp

*Chứng minh: Thật vậy, giả sử DAC DBC    (00 1800) Vì do DC cố định nên A,

B nằm trên cung chứa góc  dựng trên đoạn DC (theo bài toán quỹ tích cung chứa góc ) Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ABCD nội tiếp Khi cho  900 ta có DAC DBC 900

Và A, B cùng một nửa mặt phẳng bờ DC thế thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đườngkính DC Sau khi đưa ra phương pháp đưa ra bài toán 7 để củng cố

M O

Cho  ABC cân ở A nội tiếp (O) Trên tia

đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của

tia CA lấy điểm N sao cho AM=CN

Chứng minh  AMNO nội tiếp

N A

C OCN  OAM OCN

Xét: OAM và OCN có : OA = OC; OAM OCN ; AM = CN

 OAM = OCN (c.g.c)

AMO CNO hayAMO ANO

Do đó:  AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh OA dướicùng một góc) Thế thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính DC

Cũng từ bài toán 1 ta lại thay đổi tiếp dữ kiện bài toán nhằm có thêm một cách nữachứng minh tứ giác nội tiếp đó là:

*Phương pháp 5: Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức:

* Bài toán 8:

Cho tam giác ABC Lấy một điểm D bất kỳ

sao cho hai đường thẳng AB và CD cắt

nhau tại M

Chứng minh  ABCD nội tiếp

*Chứng minh:

Nếu xét tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn

Ta có: AB cắt DC tại M ta suy ra được ABD ACD 900

Vậy là : MAC MDB

Đảo lại: Nếu MAC MDB Với A  BM và D MC

thì tứ giác ABCD nội tiếp

Thật vậy, vì MAC đồng dạng với MDB suy raABD ACD => tứ giác ABCD nội tiếp (

B, C ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AD và nhìn AD dưới hai góc bằng nhau )

 Từ đó nếu có MAC MDB, A BM,

D MC => Tứ giác ABCD cũng nội tiếp

 Nhưng nếu ta xét theo tính chất của tam giác đồng dạng ta lại có từ MAD đồng

dạng với MCB suy ra: MA MD

MC MB  MA MB = MC MDVậy là ta lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức:

Nghĩa là nếu MA MB = MC MD => A BM, D MC => Tứ giác ABCD nội tiếp Nhưng đối với bài tập này ta cũng chú ý

cho học sinh nếu vẽ hình trong trường hợp

b thì nó không phải tứ giác lồi

* C ng c ph ủng cố phương pháp này cho học sinh làm bài tập sau: ố phương pháp này cho học sinh làm bài tập sau: ương pháp 1: Dựa vào định nghĩa ng pháp n y cho h c sinh l m b i t p sau: ào định nghĩa ọc ào định nghĩa ào định nghĩa ập sau:

Bài toán 9:

Cho tam giác ABC vuông ở A Kẻ đường

cao AH Gọi I, K tương ứng là tâm đường

tròn nội tiếp tam giác ABH và ACH

Đường thẳng IK cắt AC tại N Chứng minh

tứ giác HCNK nội tiếp được

I R

S

1

A

B C

D

M

A B

C

D M O