SKKN: Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng

Lý do chọn đề tài:a) Cơ sở lý luận: Đại đa số học sinh cấp hai không thích học môn hình học chính vì vậy chất lượng môn hình học thấp kéo theo chất lượng môn Toán không cao. Đối với học sinh lớp 9 kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn là rất quan trọng. Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc và đường tròn, định lý đảo về tứ giác nội tiếp, …. Đặc biệt phải biết hệ thống các kiến thức đó sau khi học xong chương III hình học 9 . b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện ở định lý đảo “Tứ giác nội tiếp” Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đã đặc biệt hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên chưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu. Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn. Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại được các bài toán đã giải ở lớp 8 để có cách giải hay cách lý giải căn cứ khác. Đối với các em khi học các bài toán về đường tròn thì chuyên đề tứ giác nội tiếp và những bài toán liên quan là rất quan trọng. Đóng vai trò là đơn vị kiến thức trọng tâm của nội dung Hình học lớp 9, mà đa số các em mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn là như thế nào, còn ít biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm gì ? Mặt khác ta biết rằng có nhiều phương pháp để chứng minh một tứ giác là nội tiếp đường tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đường tròn thì suy ra được góc trong ở một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các Định lý về mối liên hệ giữa các loại góc của đường tròn để tìm ra những cặp góc bằng nhau. Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay và khó Với lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là:“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng” nhằm trước hết giải quyết khó khăn trong thực tế giảng dạy của mình, của giáo viên trong trường, cũng mong được trao đổi với các đồng nghiệp khác. Rất mong được sự đóng góp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả.

“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU Mục Tên đề mục Trang Lý chọn đề tài 2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài 3 Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG Mục Tên đề mục Cơ sở lý luận để thực đề tài Trang Thực trạng Giải pháp, biện pháp, nội dung Kết 27 PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Mục Tên đề mục Trang Kết luận 28 Kiến nghị 28 Tài liệu tham khảo 30 Dương Thị Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: a) Cơ sở lý luận: Đại đa số học sinh cấp hai khơng thích học mơn hình học chất lượng mơn hình học thấp kéo theo chất lượng mơn Tốn khơng cao Đối với học sinh lớp kỹ chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn quan trọng Để chứng minh tứ giác nội tiếp địi hỏi phải có kiến thức chắn quỹ tích cung chứa góc, quan hệ góc đường trịn, định lý đảo tứ giác nội tiếp, … Đặc biệt phải biết hệ thống kiến thức sau học xong chương III hình học b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế cách chứng minh tứ giác nội tiếp thể định lý đảo “Tứ giác nội tiếp” Trang 88 SGK toán tập SGK đặc biệt hố, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tuy nhiên chưa đặt dấu hiệu thành hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu sở dấu hiệu Dẫn đến học sinh lúng túng tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn - Với học sinh lớp dạng toán lạ lại quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại toán giải lớp để có cách giải hay cách lý giải khác Đối với em học toán đường trịn chun đề tứ giác nội tiếp tốn liên quan quan trọng Đóng vai trò đơn vị kiến thức trọng tâm nội dung Hình học lớp 9, mà đa số em biết đến chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn nào, cịn biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm ? - Mặt khác ta biết có nhiều phương pháp để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Khi biết tứ giác nội tiếp đường trịn suy góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện với hay vận dụng Định lý mối liên hệ loại góc đường trịn để tìm cặp góc Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta vận dụng để giải số tốn hay khó - Với lý đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu cho là:“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” nhằm trước hết giải khó khăn thực tế giảng dạy mình, giáo viên trường, mong trao đổi Dương Thị Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” với đồng nghiệp khác Rất mong đóng góp chân thành để đề tài phát huy hiệu Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài: a) Mục tiêu: Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để giải số tốn hay khó như: + Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn + Chứng minh đường tròn qua điểm cố định + Chứng minh quan hệ đại lượng + Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để tìm quỹ tích điểm + Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình + Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để tìm cực trị… - Ngồi cịn góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn trường THCS, giúp học sinh lớp giải toán tứ giác nội tiếp từ đến nâng cao - Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp - Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm Như vậy, giáo viên giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp đường tròn” - Ngồi mục tiêu ý tơi thực sáng kiến có lồng ghép nho nhỏ cách phát triển toán từ tốn ban đầu để tìm nhiều phương pháp chứng minh khác b) Nhiệm vụ: Những nhiệm vụ cụ thể đề tài là: - Đưa phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa - Đưa loại tập vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp hay khó có tập minh họa Đối tượng nghiên cứu: :“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” Dương Thị Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” Phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu số phương pháp hướng dẫn học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn cách vận dụng - Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, sách nâng cao toán - Phụ đạo nâng cao kiến thức cho học sinh lớp 9A1, 9A2 năm học 2014-2015 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lý thuyết - Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết học tập học sinh - Đưa tập thể tổ chuyên môn thảo luận - Thực giảng dạy lớp tiết chuyên đề cho học sinh lớp 9A1, 9A2 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana - Điều tra, đánh giá kết học tập học sinh sau tiến hành giảng dạy PHẦN II NỘI DUNG 1.Cơ sở lí luận để thực đề tài: Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học hội tụ u cầu Đặc điểm lứa tuổi HS THCS muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự khám phá, tìm hiểu q trình nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy, giáo Hình thành phát triển tư tích cực, độc lập, sáng tạo cho HS trình lâu dài Dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp dạng tốn quan trọng chương trình tốn làm sở để học sinh làm tốt tốn có liên quan chương trình tốn trung học sở Vấn đề đặt làm để học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá Dương Thị Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” toán, đặc biệt kĩ giải toán hình học , kĩ vận dụng tốn, tuỳ theo đối tượng học sinh mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học để giúp học sinh học tập tốt Thực trạng: 2.1 Thuận lợi, khó khăn: a/ Thuận lợi: - Xã Quảng Điền xã giàu truyền thống cách mạng, dân cư chủ yếu người Quảng Nam lại có truyền thống hiếu học Đặc biệt có quan tâm Đảng uỷ, UBND xã, quan tâm tổ chức, đoàn thể xã công tác giáo dục, đảm bảo sở vật chất cho công tác giảng dạy nhà trường - Hội cha mẹ học sinh hoạt động tích cực , phối hợp tốt với nhà trường hoạt động, trì tương đối hiệu việc học tập em địa phương - Phòng Giáo dục Đào tạo lãnh đạo nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất hoạt động chuyên môn trường - Hội khuyến học Xã nhiệt tình, quan tâm đến phong trào giáo dục xã nhà nói chung trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng - Đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường cịn có đội ngũ thầy trẻ, khoẻ, nhiệt tình hăng say cơng việc - Thuận lợi lớn thực đề tài HS, dạng tốn dạng khó em cố gắng chăm lắng nghe đặc biệt em HS giỏi ln thích tìm tịi thường xun đặt câu hỏi cho tơi để gợi mở em thực b/ Khó khăn: - Nhân dân xã Quảng Điền đa số nhiều gia đình đơng sống chủ yếu nghề nơng đời sống kinh tế cịn nhiều khó khăn, trình độ dân trí khơng đồng đều, năm chịu nhiều ảnh hưởng thiên tai Do hồn cảnh gia đình cịn gặp nhiều khó khăn nên chưa thực quan tâm đến việc học em dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đến việc đầu tư thời gian, vật chất, tinh thần cho em họ Từ ảnh hưởng đến kết học tập học sinh nhà trường Dương Thị Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” - Đa số HS khơng u thích mơn hình học, chí cịn sợ học mơn nên thời gian đầu làm sáng kiến em chưa thực thích nên khơng dám sáng tạo thêm khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân 2.2 Thành công, hạn chế: a/ Thành công: Với nội dung đề tài nghiên cứu:“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng”sau áp dụng vào thực tiễn nhận thấy rèn luyện cho học sinh kĩ giải tốn hình học có hiệu đặc biệt phần chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn b/ Hạn chế: Vì dạng tốn mà đa số em học yếu khơng thích học nên nói thật phần vận dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh tập đa số em học sinh giỏi có hứng thú em trung bình yếu Để đề tài áp dụng vào thực tiễn giảng dạy đem lại hiệu cần phải có lượng thời gian định Tuy nhiên phân phối chương trình số tiết hình học lớp tiết hai tiết/ tuần Riêng phần tứ giác nội tiếp hai tiết (1 tiết lý thuyết tiết tập) mà giáo viên khơng có thời gian để luyện tập nhiều Với lý đề tài khó áp dụng đem lại hiệu mong muốn 2.3 Mặt mạnh, mặt yếu: a/ Mặt mạnh: - Khi vận dụng đề tài vào giảng dạy nhận thấy phần lớn học sinh khơng cịn lúng túng giải tốn hình học, đa số em nhận dạng tập biết lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí trình bày lời giải tương đối chặt chẽ Những em học sinh giỏi đặc biệt ôn thi học sinh giỏi em hào hứng việc áp dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh hình học b/ Mặt yếu: - Tâm lý học sinh khơng thích học mơn hình học nên chưa thưc đề tài dường em ( kể học sinh giỏi) không muốn khám phá dạng tốn Đại đa số em thích học Đại số Điều dễ hiểu học phần lý thuyết song số tập để củng cố để khắc sâu, để bao quát hết dạng lại Dương Thị Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” khơng nhiều, khơng có sức thuyết phục để lơi kéo hăng say học tập học sinh Mức độ kiến thức dạng toán tương đối trừu tượng phức tạp 2.4 Nguyên nhân: Thực tế học sinh trường THCS Lê Đình Chinh tiếp thu cịn chậm vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm tập hạn chế Nguyên nhân chủ yếu khó khăn là: - Học sinh khơng đam mê mơn Hình học - Khả phán đốn ,định hướng khơng tới đích - Khơng động chứng minh vẽ hình Chính hướng dẫn cho học sinh nắm khái niệm để vận dụng vào chứng minh điều quan trọng - Do thời lượng luyện tập khóa cịn ít, học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm tập, giải tập nhiều 2.5 Phân tích, đánh giá vấn đề thực trạng mà đề tài đặt ra: Đề tài:“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” góp phần nâng cao kiến thức, tư tốn học, khả phân tích, chứng minh hình học cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng hiệu giảng dạy - Như nói trên, phân phối chương trình mơn tốn khơng có thời lượng dành riêng cho vấn đề nghiên cứu Do để thực đề tài này, giáo viên cần phải lồng ghép vào tiết luyện tập, tiết ôn tập chương, tiết ơn tập học kì 2, tiết phụ đạo học sinh yếu bồi dưỡng học sinh giỏi - Trong q trình giảng dạy mơn Tốn, vai trị người thầy việc tạo hứng thú cho học sinh đặc biệt quan trọng, giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh vào tình có vấn đề để em tư duy, tự tìm tịi kiến thức qua dạng tốn Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương cố gắng em, trân trọng thành đạt em - Ngày nay, phương pháp dạy học bậc THCS nói chung có nhiều biến đổi tích cực, điều kiện vật chất ngày nâng lên rõ rệt Nhưng để đạt kết tốt yêu cầu giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian cho việc soạn đặc biệt phải tận tụy với công việc, tránh tư tưởng chủ quan cho học sinh tìm hiểu mức độ sơ sơ, đưa Dương Thị Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” lời giải học sinh chưa suy nghĩ Sự đầu tư nhiệt tình người giáo viên đền bù xứng đáng kết học sinh Giải pháp, biện pháp: 3.1 Mục tiêu giải pháp, biện pháp: - Những giải pháp, biện pháp nêu đề tài nhằm mục đích trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống phương pháp giải dạng tập chứng minh tứ giác nội tiếp vận dụng từ đến nâng cao, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng toán 3.2 Nội dung cách thức thực giải pháp, biện pháp: - Bằng quan sát thực tế giảng dạy toán chứng minh tứ giác nội tiếp, toán tổng hợp có sử dụng kết tứ giác nội tiếp để chứng minh tính tốn GV THCS - Bằng kinh nghiệm đứng lớp bồi dưỡng ôn thi học sinh lớp , năm trước thấy học sinh em phát tứ giác nội tiếp cách nhanh nhất, tốn khơng dễ chứng minh tổng hai góc đối diện tứ giác 180 độ Hay HS phải đưa tổng hai góc đối diện 180 độ nên dài, nhiều dẫn đến sai - Bằng đọc tài liệu để nắm sở lý luận khoa học phương pháp chứng minh tính chất tứ giác nội tiếp Đặc biệt tìm cách nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp trước phải chứng minh tổng hai góc đối diện 180 độ tốn có chứng minh tứ giác nội tiếp có sử dụng kết tứ giác nội tiếp - Bằng việc tham khảo học hỏi ý kiến đồng nghiệp thầy dạy tốn giỏi tổ, trường - Bằng thử nghiệm đề tài dạy giải toán lớp, phụ đạo HS yếu kém, bồi dưỡng học sinh giỏi - Và cuối việc từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ dạy đến định lý tốn khó hơn, phức tạp tổng hợp lại hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Từ phương pháp đối chiếu với lý luận thực tế rút kinh nghiệm nhỏ trình áp dụng đề tài cụ thể sau: Dương Thị Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” *Nội dung: 1/ Chuẩn bị : - Phần trọng tâm lý thuyết, điều cần ghi nhớ - Phân loại tập để vận dụng chứng minh phần ghi nhớ 2/ Phần lý thuyết: 2.1/ Định nghĩa: Nếu qua bốn đỉnh tứ giác có đường trịn tứ giác gọi tứ giác nội tiếp đường trịn đường trịn gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác 2.2/ Định lý : Trong tứ giác nội tiếp đường tròn tổng góc đối diện hai góc vng * Đảo lại : Nếu tứ giác có tổng hai góc đối diện hai góc vng tứ giác nội tiếp đường trịn Khi : Tứ giác ABCD nội tiếp (O) ⇔ [ µA + C µ = 2v µ +D µ = 2v B 2.2.1/ Chú ý: Hình chữ nhật ,hình vng hình thang cân ln ln nội tiếp đường trịn tứ giác có tổng hai góc đối bù A B D C A B C D (Đây cách nhận biết tứ giác nội tiếp cách nhanh mà chưa cần phải chứng minh) Một số vấn đề liên quan đến tứ giác nội tiếp: 3.1 Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp: Dương Thị Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” Một tứ giác tứ giác nội tiếp đường trịn có điều kiện sau : +) Bốn đỉnh cách điểm ( đ/n) +) Tổng góc đối diện 2v ( định lý đảo) +) Từ hai đỉnh kề nhìn cạnh ứng với hai đỉnh cịn lại hai góc · · tứ giác ABCD có : DAC = DBC = α ⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp +) Hai đỉnh nhìn xuống cạnh góc vng · · (Tứ giác ABCD có: DAC = DBC = 900 ) ⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp + Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện + Dùng tỉ lệ thức để chứng minh tứ giác nội tiếp… 3.2 Vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh số toán hay khó - Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn - Chứng minh đường tròn qua điểm cố định - Chứng minh quan hệ đại lượng - Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để tìm quỹ tích điểm - Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình - Chứng minh tứ giác nội tiếp để tìm cực trị… Sau số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn kèm theo tập minh họa 3.3 - BÀI TẬP MINH HOẠ: 3.3.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn *Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa * Bài toán 1: Cho tam giác ABC đường cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp Chứng minh: Lấy O trung điểm cạnh BC · ' C = 900 (GT) Xét ∆BB’C có : BB OB’ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Dương Thị Kim Nhân 10 THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” · Từ giả thiết dễ thấy HIK = µA = 900 (1) ¶ = NCH · giả sử tứ giác HCNK nội tiếp thì: K (2) Thế ∆HIK ∆ABC (3) Chứng minh (3): ∆HAB ∆HCA đồng dạng => HA AB = (4) HC AC Chứng minh : ∆HAS Từ (4) (5) => ∆HCR ⇒ HA HI = (5) HC HK HI HK = (6) AB AC Từ (1) (6) => (3) => (2) => Tứ giác HCNK nội tiếp Ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp ta hướng cho học sinh khai thác sử dụng tính chất hai góc kề bù *Phương pháp 3: Sử dụng tính chất hai góc kề bù: * Bài tốn 10: Chứng minh tứ giác ABCD có µA + C µ = 1800 nội tiếp đường trịn *Chứng minh: Gọi tia đối tia AB tia Ax chẳng hạn · · · · giả sử xAD xAD = BCD + DAB = 1800 (kề bù) · · ⇒ BCD + DAB = 1800 => Tứ giác ABCD nội tiếp Thực chất phương pháp dựa vào tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện đưa phương pháp sử dụng tính chất hai góc kề bù nhằm phát huy trí sáng tạo học sinh ( Khi dạy hỏi em thử dùng tính chất hai góc kề bù để chứng minh Tứ giác nội tiếp không?) Dương Thị Kim Nhân 16 THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” *Phương pháp : Dựa vào tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện *Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp đường tròn Chứng minh: · Ta có : MEP góc có đỉnh nằm bên (O) · ⇒ MEP = » + MB ¼ ) sđ(AD ẳ sd DM Ã M DCP = Hay (góc nội tiếp) » ) sd ( »AD + MA · DCP = Lại có : ¼ sđ ¼ AM = sđ BM Nên : · · MEP = DCP Nghĩa là: ◊ PEDC có góc ngồi đỉnh E góc đỉnh C Vậy ◊ PEDC nội tiếp đường tròn 3.3.2 Vận dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh tập hay khó: * Bài tốn 1: Tính số đo góc: Cho hình vẽ: E Hãy tìm số đo góc tứ giác ABCD 400 B x O A Dương Thị Kim Nhân 17 C x • D 200 F THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” · * Giải: Gọi số đo BCE = x Do tứ giác ABCD nội tiếp nên : ·ABC + ·ADC = 1800 Mà: ·ABC = 400 + x ·ADC = 200 + x (theo t/c góc ngồi tam giác) => 400 + x + 200 + x = 180 => x = 1200 ⇒ x = 600 0 0 0 0 · · · => ABC = 40 + x = 40 + 60 = 100 => BAD = 180 − BCD = 180 −120 = 60 * Bài toán 2: Chứng minh điểm thẳng hàng: * Bài toán: Cho điểm A,B ,C đường tròn Chứng minh chân đường vng góc hạ từ điểm M đường tròn xuống đường thẳng AB,BC,CA nằm đường thẳng * Chứng minh : · · = BIM = 1800 Ta có : Tứ giác BHMI nội tiếp BHM ¶ =M ¶ (1) ⇒H 1 µ K µ nhìn MC góc vng ) Tứ giác MHKC nội tiếp (vì H ¶ =M ¶ ⇒H (2) 2 ¶ +B µ = 900 (∆ BIM vuông I) Và M ¶ + ·ACM = 900 (∆ MKC vuông K) Ta có ⇒ M µ Mà ·ACM = B ¶ =M ¶ (◊ ABMC nội tiếp ) Suy M ( 3) ¶ =H ¶ Từ ( 1), (2) (3) suy H · ¶ = 1800 ( B,H,C thẳng hàng ) +H Mà BHK · ¶ = 1800 ⇒ BNK +H Do I , H ,K thẳng hàng * Bài tốn 3: Chứng minh góc nhau: Dương Thị Kim Nhân 18 THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” * Bài toán: Gọi H giao điểm đường cao AA';BB';CC' Chứng minh đường cao tam giác ABC phân giác góc tam giác A ' B ' C ' *Chứng minh : Xét tứ giác BA ' HC ' có : · ' H = 900 (CC ' ⊥ AB ) BC · ' H = 900 (AA' ⊥ BC ) BA · ' H + BA · ' H = 1800 ⇒ BC ⇒ Tứ giác BA ' HC ' nội tiếp đường trịn đường kính BH ⇒µ B1 = µ A '1 (cùng chắn cung HC ' )(1) - Mặt khác : Xét tứ giác ABA ' B ' có: ·AB ' B = 900 ( BB ' ⊥ AC ) ·AA ' B = 900 (AA' ⊥ BC ) ⇒ A’ ; B’ nhìn xuống cạnh AB gócvng Suy ABA ' B ' nội tiếp đường trịn đường kính AB µ1 = µ Do : B A '2 (cùng chắn cung AB’) (2) Từ (1) (2) suy : µA '1 = µA '2 · ' A' B ' Do AA’ phân giác góc C Chứng minh tương tự : BB’ phân giác góc ·A ' B ' C ' CC’ phân giác góc ·A ' C ' B ' Vậy đường cao tam giác ABC phân giác góc tam giác A’B’C’ *Bài tốn 4: Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn a Phương pháp: Nếu ta phải chứng minh điểm A, B, C, D, E nằm đường trịn, ta chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp tứ giác ABCE nội tiếp Suy điểm A, B, C, D điểm A, B, C, E nằm đường trịn Hai đường trịn có ba điểm Dương Thị Kim Nhân 19 THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” chung A, B, C nên theo định lý xác định đường trịn chúng phải trùng Từ suy điểm A, B, C, D, E nằm đường trịn b Ví dụ : (Bài tốn đường tròn Euler) Chứng minh rằng, tam giác bất kì, ba trung điểm cạnh, ba chân đường cao, ba trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh đường trịn *Chứng minh: Ta có: ME đường trung bình ∆AHC ND đường trung bình ∆BHC ⇒ ME = ND = HC ⇒ Tứ giác MNDE hình bình hành (1) Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN đường trung bình ∆HAB) Mà CH ⊥ AB (GT) ⇒ ME ⊥ MN (2) Từ (1) (2) ⇒ Tứ giác MNDE hình chữ nhật Gọi O trung điểm MD ⇒ O trung điểm NE Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM) Chứng minh tương tự ta hình chữ nhật FMPD nội tiếp (O; OM) · Vì MID = 90 ⇒ I ∈ (O; OM) 0 · · Vì FLP = 90 ; NKE = 90 ⇒ L; K ∈ (O; OM) Vậy ta có : điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L ∈ (O; OM) (Điều phải chứng minh) * Bài toán 5: Chứng minh đường tròn qua điểm cố định a Phương pháp: Nếu ta phải chứng minh đường tròn (ABC) qua điểm cố định, Dương Thị Kim Nhân 20 THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” Cách 1: Ta xét thêm điểm D cố định chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Từ suy điều phải chứng minh Cách 2: Ta chọn điểm đường trịn (ABC) sau ta chứng minh điểm chọn điểm cố định b.Ví dụ : Từ điểm A ngồi đường trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Lấy điểm D nằm B C Qua D vẽ đường thẳng vng góc với OD cắt AB, AC E F Khi điểm D di động BC, chứng minh đường trịn (AEF) ln qua điểm cố định khác A Chứng minh: · Ta có : EBO = 90 (AB tiếp tuyến với (O) B) · EDO = 900 (GT) ⇒ hai đỉnh B D nhìn đoạn OE góc vng ⇒ ◊ EBOD nội tiếp đường tròn · · ⇒ BEO (1) (cùng chắn cung OB) = BDO Chứng minh tương tự ta có : ◊ ODCF nội tiếp đường tròn · · ⇒ OFC (2) (góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện) = BDO · · Từ (1) (2) ⇒ BEO ⇒ ◊ AEOF nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu góc = OFC đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện) Vậy đường trịn (AEF) qua điểm O cố định Bài toán 6: Chứng minh tìm cực trị Dương Thị Kim Nhân 21 THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” Ví dụ : M Cho đường trịn (O), dây AB khơng qua tâm Trên cung nhỏ AB lấy điểm M (M không trùng với A, B) Kẻ dây MN vng góc với AB H Kẻ MK vng E H A góc với AN ( K ∈ AN ) 1) Chứng minh: Tứ giác AMHK nội tiếp 2) Chứng minh: MN phân giác góc BMK 3) Khi M di chuyển cung nhỏ AB Gọi E giao điểm HK BN Xác định vị trí điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn Giải : O B K N · · 1) Từ giả thiết: AKM = 900 , AHM = 900 Bốn điểm A, K, H, M thuộc đường Tròn Suy tứ giác AMHK nội tiếp · · 2) NAH = = NMK » sđ KH (1) » · · = sđ NB (2) NAH = NMB · · Từ (1) (2) ⇒ NMK = NMB ⇒ MN phân giác góc KMB ¼ ¼ · · · · = MNB = sđ MB = MKH = sđ MH 3) MAB ; MAB 2 · · ⇒ K,M,E,N thuộc đường tròn ⇒ MNB = MKH · · ⇒ MEN + MKN = 1800 ⇒ ME ⊥ NB 1 S ∆MAN = MK.AN; S ∆MNB = ME.NB; S Y AMBN = MN.AB 2 ⇒ MK.AN + ME.BN = MN.AB ⇒ ( MK.NA + ME.NB ) lớn ⇔ MN.AB lớn » ⇔ MN lớn (Vì AB= const ) ⇒ M AB Dương Thị Kim Nhân 22 THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” * Bài toán 7: Chứng minh quan hệ đại lượng Một số toán đề cập tới quan hệ đại lượng như: - Chứng minh hệ thức hình học - Chứng minh tỉ số đoạn thẳng không đổi (như hai đoạn thẳng nhau, đoạn gấp đôi đoạn kia….) chứng minh tổng hiệu góc khơng đổi * Bài toán: Chứng minh tứ giác nội tiếp, tích hai đường chéo tổng tích hai cặp cạnh đối Nghĩa là: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) Khi đó: AC.BD=AB.CD+AD.BC Chứng minh: Ta có : ◊ ABCD nội tiếp (O) Ta phải chứng minh: AC BD = AB DC + AD BC Thật · · Lấy E ∈ BD cho: BAC = EAD ⇒ ∆ DAE ⇒ ∆ CAB (g g) AD DE = AC BC ⇒ AD BC = AC DE (1) Tương tự: ∆ BAE ⇒ ∆ CAD (g g) BE AB = CD AC ⇒ BE AC = CD AB (2) Từ (1) (2) ⇒ AD BC + AB CD = AC DE + EB AC ⇒ AD BC + AB CD = AC DB (ĐPCM) Dương Thị Kim Nhân 23 THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” * Bài toán 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để tìm quỹ tích điểm * Bài tốn B A Cho hình vng ABCD, tâm O Một đường thẳng xy quay quanh O cắt hai cạnh AD N BC M N Trên CD lấy điểm O K cho DK = DM Gọi H hình chiếu K xy Tìm quỹ tích điểm H H M l D K C Chứng minh: * Phần thuận: Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm) Vì DK = DM (GT) nên CK = AM ⇒ CK = CN Lại có ◊ MHKD ◊ NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vng góc) 0 ¶ ¶ ¶ ¶ ⇒ M1 = H1 = 45 N2 = H2 = 45 · ⇒ DHC = 90 Vậy H nằm đường trịn đường kính DC Giới hạn: Vì đường thẳng xy quay quanh O phải cắt hai cạnh AD BC M N nên điểm H nằm nửa đường trịn đường kính CD nằm hình vng * Phần đảo: Lấy điểm H nửa đường trịn đường kính CD Vẽ đường thẳng HO cắt AD BC M N Lấy điểm K CD cho DK = DM Ta phải chứng minh H hình chiếu K MN Thật vậy, · · Vì DHC = 900 ; DOC = 900 nên ◊ HOCD nội tiếp Dương Thị Kim Nhân 24 THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” · · ⇒ DHM = DCO = 45 · Mặt khác DKM = 90 · · Nên: DHM = DKM = 450 · ⇒ ◊ HKDM nội tiếp ⇒ KHM = 900 ⇒ KH ⊥ NM ⇒ H hình chiếu K MN Kết luận: Vậy quỹ tích điểm H nửa đường trịn đường kính CD, nửa đường trịn nằm hình vng * Bài tốn 9: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình * Bài tốn :Cho tam giác ABC nhọn (AB < A AC), điểm D di động cạnh BC Vẽ DE a ⊥ AB, DF ⊥ AC Xác định vị trí điểm E D để: a/ EF có độ dài nhỏ O F M b/ EF có độ dài lớn B D C Chứng minh: Gọi O trung điểm AD · Tứ giác AEDF có : ·AED + AFD = 900 + 900 = 1800 ⇒ ◊ AEDF nội tiếp (O; OA) Vẽ OM ⊥ EF ⇒ ME = MF · Đặt BAC =a · EOF · · Ta có : EOM = = BAC = a · Xét ∆ MOE có OME = 900 ⇒ EM = OE sin a ⇒ EF = OE sin a Dương Thị Kim Nhân 25 THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” ⇒ EF = AD sin a (*) ( AD = 2OE) a/ Do a không đổi nên từ (*) suy EF nhỏ ⇔ AD nhỏ ⇔ AD ⊥ BC ⇔ D hình chiếu A BC b/ Vì D ∈ BC AB < AC nên AD ≤ AC Từ (*) ⇒ EF lớn ⇔ AD lớn D trùng với C 3.3 Điều kiện để thực giải pháp, biện pháp: Để thực giải pháp, biện pháp nêu phải đảm bảo điều kiện sau: - Yêu cầu học sinh phải nắm thật kiến thức chứng minh tứ giác nội tiếp - Việc nắm hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp để áp dụng vào giải toán đem lại hứng thú cho người giải toán, HS với toán chứng minh tứ giác nội tiếp HS tự mày mị tìm hướng giải khơng bị bế tắc Có tứ giác nội tiếp lại dùng tính chất tức phần đảo lại để khai thác đề xuất câu hỏi mới, toán thực lý thú Nó đem lại tự tin, niềm say mê với mơn hình học, tưởng tượng phong phú tư nhanh nhạy - Học sinh biết trình bày chứng minh hình học cách đầy đủ, xác khoa học - Thường xuyên kiểm tra, hướng dẫn, sữa sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến phản hồi học sinh để có hướng điều chỉnh 3.4 Mối quan hệ giải pháp, biện pháp: Hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp thiếu người thầy để bồi dưỡng phương pháp giải toán lực tư sáng tạo cho HS Mặt khác dạng toán khơng thể thiếu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học sở Các dạng toán đưa đề tài có mối liên quan mật thiết với Trong trình áp dụng vào thực tiễn giảng dạy, vai trò giáo viên việc tạo hứng thú học tập cho học sinh đặc biệt quan trọng Vì giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh vào tình có vấn đề em tư duy, tự tìm tịi kiến thức qua dạng toán 3.5 Kết khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu: Dương Thị Kim Nhân 26 THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” 3.5.1/ Kết khảo nghiệm: Đề tài thực lớp 9A1 lớp 9A2 năm học 2014 - 2015 Mặc dù hai lớp có nhiều học sinh yếu sau áp dụng đề tài, em có hứng thú học tập tiếp thu tốt Những em học sinh trung bình yếu tiến rõ rệt, em học sinh giỏi ngày linh hoạt toán vận dụng mức độ cao Bảng thống kê: * Chất lượng học sinh chưa áp dụng đề tài: GIỎI LỚP KHÁ SĨ SỐ SL % SL % 9A1 33 12,1 24,2 9A2 34 8,9 20,5 * Chất lượng học sinh áp dụng đề tài: GIỎI LỚP KHÁ TRUNG YẾU BÌNH SL % 11 33,4 13 38,2 SL 8 TRUNG YẾU KÉM % 24,2 23,5 SL % 6,1 8,9 KÉM SĨ SỐ BÌNH SL % SL % SL % SL % SL % 9A1 33 21,2 11 33,3 10 30,3 15,2 0 9A2 34 17,6 10 29,4 12 35,3 14,7 Kết thu qua khảo nghiệm; Giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu: Bằng chút kinh nghiệm thân thực tiễn giảng dạy, tơi mạnh dạn đưa đề tài :“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng”và đưa vào áp dụng Với kết đạt thống kê chưa cao phần góp phần khơi dậy niềm say mê học tập em học sinh, đặc biệt mơn hình học Tơi hy vọng đề tài góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng đại trà dạy học mơn Tốn ngành Giáo dục nói chung trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng Trong q trình giảng dạy mơn Tốn, tơi nhận thấy việc hướng dẫn phương pháp giải toán cụ thể giúp cho học sinh hình thành kỹ tự giải tốn tốt hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức cách có hệ thống hình thành khả tư logic, nâng cao lực tự học cho thân Cụ thể, dạy toán chứng minh tứ giác nội tiếp cách vận dụng vào việc giải tốn hay khó Từ hướng dẫn cho học sinh cách tìm cách chứng minh, cách nhận Dương Thị Kim Nhân 27 THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” dạng tập nhanh, tìm phương pháp giải ghi nhớ lý thuyết nhanh Kết cho thấy học sinh tiếp thu tốt tự chứng minh tập tương tự số tập ứng dụng cao PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1.Kết luận: Qua việc nghiên cứu đề tài: :“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng”và tiến hành dạy thử nghiệm chuyên đề đồng thời tơi có lấy ý kiến học sinh giáo viên tổ Thấy được: + Bản thân nắm rõ ràng hệ thống kiến thức tứ giác nội tiếp + Học sinh hiểu rõ khắc sâu kiến thức từ vận dụng cách tốt Như vậy, học sinh từ học thụ động chủ động hình thành tri thức cách tự học Trên số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn đồng thời sử dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh số tốn hay khó Do kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy cịn nên sáng kiến kinh nghiệm tơi nhiều thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp đồng nghiệp giúp tơi sửa chữa bổ sung đầy đủ tốt Kiến nghị: * Đối với giáo viên: - Với đối tượng HS trung bình trở xuống khả lĩnh hội kiến thức, tư duy, nhận thức chậm nên chuyển tải kiến thức khó khăn Do cần có thời gian phải vận dụng linh hoạt, thường xuyên, kiên trì để giảng dạy em có hiệu - Ln ln tìm tịi học hỏi để nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ từ tìm phương pháp để truyền thụ kiến thức đến học sinh đạt hiệu hơn, thường xuyên quan tâm động viên khuyến khích em giải tập dù đơn giản Từ chất lượng học tập học sinh ngày nâng cao * Đối với nhà trường: - Mỗi năm lần tổ chức chuyên đề sáng kiến kinh nghiệm để giáo viên viết sáng kiến kinh nghiệm tốt áp dụng đề tài đạt giải vào thực tiễn giảng dạy Dương Thị Kim Nhân 28 THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” * Đối với Phòng Giáo dục Đào tạo: - Phong trào thi viết sáng kiến kinh nghiệm trường học phong trào có ý nghĩa, đặc biệt xu thời đại cần sáng tạo, chủ động, tích cực lĩnh vực cơng tác Vì vậy, tơi mạnh dạn mong muốn Phịng Giáo dục Đào tạo cấp trì phong trào này, khích lệ động viên tập thể, cá nhân có sáng kiến hữu hiệu, tích cực; có hình thức phổ biến, trao đổi sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên để nâng cao chất lượng mũi nhọn học sinh Vì thời gian có hạn, lực thân cịn có hạn chế định khả tư nên trình nghiên cứu viết đề tài tránh khỏi thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học cấp q thầy đóng góp xây dựng để đề tài ngày tốt Quảng Điền, tháng năm 2016 Người thực hiện: Dương Thị Kim Nhân NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN (Ký tên, đóng dấu) NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Dương Thị Kim Nhân 29 THCS Lê Đình Chinh “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng” Tài liệu tham khảo: Hướng dẫn viết , đánh giá sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016 Phịng Giáo dục Đào tạo Krơng Ana SGK toán tập – Phan Đức Chính ( Tổng chủ tập )- Tơn Thân (chủ biên) – nhà xuất giáo dục năm 2005 Nâng cao phát triển toán tập – Vũ Hữu Bình – Nhà xuất Giáo dục năm 2005 Chứng minh hình học : phân loại phương pháp giải 100 tốn chứng minh hình – Nguyễn Phúc Trình – Nhà xuất thành phố Hồ Chí Minh năm 1999 Cách tìm lời giải tốn THCS – tập III - Hình học Tác giả : Lê Hải Châu Nguyễn Xuân Quỳ – Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội năm 1999 Sưu tầm 80 hình học lớp Nguồn Internet Dương Thị Kim Nhân 30 THCS Lê Đình Chinh ... tiếp: 3.1 Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp: Dương Thị Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh ? ?Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp cách vận dụng? ?? Một tứ giác tứ giác nội tiếp đường... Đưa phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa - Đưa loại tập vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp hay khó có tập minh họa Đối tượng nghiên cứu: :? ?Một số phương pháp chứng minh Tứ giác. .. chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn nào, biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm ? - Mặt khác ta biết có nhiều phương pháp để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Khi biết tứ giác