Bài giảng Phuong phap chung minh tu giac noi tiep

Một số kinh nghiệm hệ thống hoá phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn HỆ THỐNG HÓA CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRỊN I/ Đặt vấn đề: Trong chương trình PTCS việc rèn luyện cho em giải tốn hình học theo chuyên đề không hệ thống, cụ thể mà phải vận dụng tuỳ nơi, tuỳ lúc kiến thức khác ,làm cho em khó hình thành phương pháp chung giải dạng toán Cho nên nhiều em ngại làm tốn hình lúng túng việc tìm cách vẽ thêm đường phụ , tìm hướng giải toán để làm cho toán trừu tượng lại trở thành cụ thể có hướng rõ ràng để đến điều cần chứng minh II/ Lý chọn đề tài : Trên sở thực tế giảng dạy thời gian dành cho luyện tập có hạn, việc bồi dưỡng theo chuyên đề lại khơng có số học sinh đại trà ngại làm tốn hình học mà kỳ thi TNTHCS làm tốn đường trịn lớp em thường gặp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn cần chứng minh yêu cầu đề ta cần phải liên quan nhiều đến tứ giác nội tiếp đường tròn đòi hỏi em phải có kỷ phân loại tốn để dể nhìn tìm hướng đạt hiệu , lúc em bậc THCS phần lớn khơng giỏi mơn Hình học nhiều, chứng minh đòi hỏi phải vẽ đường phụ học sinh lại lúng túng Cho nên muốn giúp học sinh suy nghĩ hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn mà em thường gặp giải tốn hình học lớp , để em có hướng phân tích làm tốn mà vận dụng mang lại hiệu chứng minh số toán HHọc bậc THCS III/ Phần nội dung : Khi toán yêu cầu chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn cần chứng minh yêu cầu qua suy luận ta cần phải chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để đáp ứng yêu cầu cho toán đề ra.Trong chương trình sách giáo khoa để chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn ta có định nghĩa vài định lí, sở ta suy vài hệ định lí để hướng dẫn học sinh phân loại có nhận dạng chứng minh dễ dàng 1/ Trường hợp 1: Vận dụng định nghĩa: Tập hợp điểm M cách điểm O cố định với khoảng R khơng đổi nằm đường trịn tâm O,bán kính R Ví dụ:Cho tam giác ABC vng A Dựng đường trịn đường kính AC cắt BC H.Gọi D,E trung điểm AB,BC Chứng minh : O,A,D,H,E thuộc đường tròn A D + Để chứng minh điểm nằm đường trịn ta có chứng minh điểm nằm đường B E H C -www.thaytuong.tk Một số kinh nghiệm hệ thống hoá phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn tròn sau chứng minh điểm cịn lại nằm đường trịn +Nếu chứng minh diểm nằm đường trịn trước : D,A,O thuộc đường trịn đường trịn có tâm đâu bán kính R=? (Đường trịn I đường kính AO, R=AO/2, I trung điểm AO) +Nếu tiếp tục chứng minh E thuộc đường trịn ta chứng minh góc DEO độ?( góc DEO vng DAOE hình chữ nhật H/S tự C/M) +Để C/minh H thuộc đường tròn ta C/minh H cách tâm đường trịn bao nhiêu? ( Tam giác AHE vng H mà trung điểm AE trùng với trung điểm DO AO=EA ADEO hình chữ nhật) + Từ ý ta suy O,A.D,H,E cách tâm I nên thuộc đường trịn Ví dụ : Cho tam giác ABC cạnh a.Dựng đường cao AH,M thuộc BC ,dựng MP vng góc AB,MQ vng góc AC Chứng minh :A,P,M,H,Q thuộc đường tròn A P B M H Q C + Em có nhận xét tứ giác APMH nội tiếp đường trịn? Vì ?Tâm đường trịn? Có bán kính bao nhiêu? (Đường trịn tâm O ,O trung điểm AM, có bán kính AM/2) +So sánh OQ với AM ,từ ta suy Q ,A,P,M,H so với tâm O 2/ Trường hợp 2: Vận dụng định lí : Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Tổng góc đơí diện vng Ví dụ: Cho đường trịn tâm O đường kính AB,lấy điểm C nửa đường tròn, nối CA,CB Dựng tiếp tuyến CN đường tròn O Từ điểm D AB vẽ đường vng góc AB D cắt AC E, Cắt CN G,Cắt BC F a/ Chứng minh : Tam giác GEC cân b/ Chứng minh G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FEC + Để CM tam giác GEC ta cần chứng minh F điều gì? ( Góc E = Góc C) + Ta kiểm tra góc C = góc nào?( Góc C = Góc ABC chắn cung AC) E C -www.thaytuong.tk Một số kinh nghiệm hệ thống hoá phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn A D B + Như ta cần chứng minh Góc GEC = Góc ABC mà góc GEC bù với góc CED, điều gợi ta chứng minh tứ giác ECBD nào?( Nội tiếp đường trịn) + Tứ giác nội tiếp đường trịn sao?( Có góc ECB + Góc BDE = 2V) Như dẫn dắt ta C/M từ tứ giác nội tiếp suy điều cần chứng minh b/ +Để chứng minh G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FEC ta cần chứng minh G EF ? ( Trung điểm EF) + Để C/M G trung điểm EF ta cần chứng minh điều gì? ( GC=GF=GE) + Để chứng minh GF= GC ta chứng minh góc GFC= góc GCF, mà góc GCF =góc ECO = góc CAO(cùng phụ với góc ACO, mà góc ACO= góc OAC tam giác AOC cân O) Điều gợi cho ta góc GFC= Góc nào? (góc GFC = góc CAB) + Góc GFC = Góc CAB sao? ( Vì tứ giác FCDB nội tiếp phụ góc ABC) Bài tốn gợi ta điều cần chứng minh Ví dụ : (Đề thi TNTHCS 07-08) Cho đường trịn tâm O đường kính AB.Dựng tiếp tuyến đường tròn O A,trên tiếp tuyến lấy điểm C cho AC=AB.Từ C dựng CD tiếp tuyến đường tròn O, CO cắt AD H,CB cắt đường trịn M a/ Tính AH,AD b/ Chứng minh : góc MHD = 450 c/ Gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MHB Tính diện tích phần hình trịn nằm ngồi (O,R) C M H A O a/ Việc tính AH,AD Vận dụng hệ thức lượng tam giác vuông b/ Để chứng minh góc MHD = 450 ta tìm tốn nầy có góc D 450 ta chứng minh góc MHD ? ( góc ACB = ABC tam giác ACB vuông cân A) B +Nếu để chứng minh góc MHD = góc ACM ta phải chứng minh tứ giác CMHA nội tiếp đường tròn sao? ( Vì để bù với góc MHA), Tứ giác đủ yếu tố kết luận nội tiếp đường trịn khơng? -www.thaytuong.tk Một số kinh nghiệm hệ thống hoá phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn (( Tứ giác có góc AHC vng ,Góc AMC vng (do góc AMB nội tiếp chắn nửa đường trịn) nen tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính AC)) c/ Để gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MBH điều gợi cho ta tam giác MHB phải vuông I thuộc MB khơng việc tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp khó tính tốn,cho nên cho phép ta dự đốn chứng minh tam giác MHB vng H tứ giác MHOB nội tiếp đường trịn Điều chứng minh tam giác DHB vuông cân D (Vì AD=2 HD,AH= HD= 2R ( Tính trên) Tam Giác ADB vng D tính DB == 2R ) Suy góc DHB = 450 Do góc MHB=900- Từ ta xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp ta tìm theo u cầu tốn Ví dụ: Cho đường tròn (O) ,Gọi H trung điểm dây AB ,qua H dựng cát tuyến PQ,KL Nối KP,QL cắt dây MN I T Chứng minh : HI=HT A P L Q H B K G Ta nhận thấy dây PQ,KL dây ta dựng dây PQ đối xứng qua đường kính ta cần chứng minh góc HPI= góc HGT tạo tam giác ta suy HI=HT Nhưng để chứng minh góc HPI= góc HGT lại tiếp tục phân tích tiếp, Ta có góc KPQ= góc KLQ, Do muốn chứng minh góc HPI= góc HGT ta lại cần chứng minh tứ giác HGLT nội tiếp đường tròn thoả mãn vấn đề đặt Thật ta dựng PG vng góc với OH , xét tứ giác HGLT Ta có: Góc GHT = Sđo(PM+NQ)/2 ( gócGHT= gócMPH) (1) Góc TLG = Sđo(QM+MG)/2 (2) Vì : Cung MP = CungGN ( Do MN song song với PG) Nên suy góc TLG + Góc THG = 1800 Vậy tứ giác HTLG nội tiếp đường tròn, ta suy điều phân tích dẫn đến tốn chứng minh 3/Trường hợp 3: -www.thaytuong.tk Một số kinh nghiệm hệ thống hoá phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Ta chứng minh góc tứ giác góc ngồi góc đối diện tứ giác : Thực toán nầy đưa trường hợp song thực tế ta theo hướng nầy lại dể nhận thấy Ví dụ: Cho đường trịn tâm O đường kính AB.Trên tiếp tuyến đường tròn O B, lấy MB=AB,AM cắt đường tròn (O) C,I trung điểm BM a/Chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn b/AI cắt đường tròn (O) E Chứng minh MCEI nội tiếp đường tròn c/ CO cắt đường tròn (O) F Chứng minh M,F,E thẳng hàng M a/ Chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn ( Giản đơn) b/Để chứng minh tứ giác MCEI nội tiếp ta chứng minh góc CMI= góc CEA để C I suy góc CMI + góc CEI = 1800(vì góc E CEI+ góc CEA = 1800 kề bù) Thật vậy: Góc AMB = góc ABC ( phụ góc A B CAB) O Góc ABC = góc AEC ( chắn cung AC) Từ ta suy điều cần tìm F C/ Từ tứ giác MCEI nội tiếp đường trịn góc CÈ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ta suy điều chứng minh Ví dụ : Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy điểm C,D cho cung AC= cung CD= cung DB AC ,AD cắt tiếp tuyến đường tròn O B E F Chứng minh : ECDF nội tiếp đường trịn Bài tốn nầy liên quan đến sđo cung E +Ta tính sđo góc ADC= 300 +Sđo góc AIB góc có đỉnh ngồi đường trịn ta tính góc AIB= 300 Từ ta đưa trường thứ để kết luận tứ giác nội tiếp dể dàng C A D F B -www.thaytuong.tk Một số kinh nghiệm hệ thống hoá phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn B E D A A A P Vi dụ : Cho tam giác ABC Dựng đường cao AE CD Từ D E dựng DP song song với BC,EQ song song với AB A/tính tỉ số : Diện tích tam giác BDE diện tích tam giác ABC B/ Chứng minh tứ giác DPQE nội tiếp đường tròn ( Trong trường hợp tứ giác DQPE tương tự) Q C a/ S.BDE/S.ABC=BD.BE/BC.BA =BD2/BC2 (Sin BAE= Sin DCB) b/Để chứng minh DPQE nội tiếp đường trịn ta chứng minh góc PDE= góc EQC để ta đưa trường hợp mà kết luận tứ giác nội tiếp Ta có: Góc EQC= Góc BAC (Đồng vị) Mà : Góc BAC = Góc A1+góc A2 Ta lại có : góc A1= Góc D1( chắn cung EC) Góc A2=Góc C2( Cùng chắn cung DE),mà góc C2= góc D2( so le trong) Từ ta suy : Góc EQC= góc D1 + góc D2= góc EDP (ĐCCM) 4/ Trường hợp 4: Hai tam giác vng ABC DBC có chung cạnh huyền BC ABCD nội tiếp đưịng trịn đường kính BC Ví dụ: từ M ngồi đường trịn (O),ta vẽ tiếp tuyến MA,MB đường tròn (O).H điểm nằm BA , qua H dựng đường vng góc OH cắt MA E,cắt MB F Chứng Minh :OE=OF a/ Để chứng minh OE=OF ta chứng minh A tam giác EFO cân O hay góc OEF= E góc OFE -Nhưng xét tiếp góc OFE Góc OEF góc M O mà chúng nội tiếp đường tròn?(Tứ H giác OHBF nội tiếp ta có : góc OBH= góc OEH chắn cung OH,tương tự B góc OEH = góc OAH chắn cung F OH ,mà tam giác OBA cân O) Từ ta suy điều cần chứng minh A A -www.thaytuong.tk Một số kinh nghiệm hệ thống hoá phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông A.AH đường cao M,N điểm đối xứng H qua AB,AC a/ Chứng minh : góc ABC= Góc AMN b/Chứng minh đường kính BC tiếp xúc với MN A c/Chứng minh đường trịn đường kính MN M tiếp xúc BC A a/ +Để chứng minh góc ABC= Góc AMN ta phải chứng minh tứ giác nội tiếp đường N tròn?(tứ giác BHAM) – O B H C + T ứ gi ác BHAM nội tiếp đường tròn cần chứng minh góc BAM độ? (= 900)? + Đi ều dể dàng tam giác BAM= tam giác BAH) Từ ta suy ra( ĐCCM) b/Ta có :+ Góc AMH =góc ABH chắn cung AH + Mà góc ABH = góc ABM ( Do tam giác nhau) + Góc OBA= Góc OAB ( Tam giác OAB cân O) Ta suy Góc MBA= Góc OAB( so le trong), nên OA Song song MB mà MB vng góc MA nên OA vng góc AM Chứng minh tương tự OM vng góc AN Ta kết luận M,A,N thẳng hàng C/Để chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính MN ta chứng minh tam giác MHN vuông H A trung điểm MN(bài nầy quen thuộc em) Ví dụ : cho tam giác ABC vng A.D thuộc AC,Dựng đường tròn tâm D tiếp xúc BC E,dựng BF tiếp tuyến (D) Mlà trung điểm BC,AM cắt BF N Chứng minh : AN= NF B M N E A D F Phân tích: Để chứng minh AN= NF ta cần ch ứng minh Tam gi ác ANF cân A hay góc N AF= g óc FAN +Ta kiểm tra góc AFN góc nội tiếp đường trịn? Chứng minh điều đó? (=Góc ADB, Tứ giác ABDF nội tiếp đường trịn) + Góc ADB góc tam giác BDC? ( =Góc ACB+ góc CBD) + Tìm mối liên quan NAD với góc MCA,góc C DAF với góc FBD).từ ta suy điều cần chúng minh? -www.thaytuong.tk Một số kinh nghiệm hệ thống hoá phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Vi du: Cho tam giác ABC vuông A P,Q theo thứ tự giao điểm đường phân giác BAH với ABH,Giao điểm đường đường phân giác HAC với góc ACH CQ kéo dài cắt AP N A/ Chứng minh : ANHC nội tiếp B/ Đường PQ cắt AB E cắt AC F Chứng minh AE=AF Phân tích : a/ Để chứng minh tứ giác ANHF nội tiếp đường trịn ta chứng minh góc ANF băng độ?( = 900, góc A AHF=1 vng) + Kiểm tra xem góc NAC + góc NCA=? độ( N Chú ý góc BCN=Góc NAB) G E E P Q b/Từ NC vng góc AP, tương tự BM B vng góc AQ, từ tích chất ba đường cao H C tam giác APQ tích chất đường phân giác tam giác ABC ta suy AG đường gố BAC, điều gợi í cho ta Tam giác AEF ? ( Vuông cân) 5.Trường hợp 5: Vận dụng tích chất cung chứa góc : + Hai góc ABC ,ADC có số đo thuộc nửa mặt phẳng bờ AC tứ giác ABDC nội tiếp đường trịn Ví dụ : Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi B’,C’,A’ điểm đối xứng H qua cạnh AC,AB,BC A/ Chứng minh điểm A’,B’,C’ thuộc đường tròn (ABC) C’ A B’ Phân tích: Để chứng minh B’ thuộc đường H trịn ta chứng minh góc AB’B góc B thuộc đường trịn (ABC)? ( = góc ACB) + Mà ta có góc AB’B= góc AHB’ sao? C + Điều gợi cho ta chứng minh điều gì? A’ Từ suy luận tta có hướng chứng minh tứ giác AB’CB nội tiếp đường trị Ví du:Cho tam giác ABC Dựng đường cao AE,CD Từ D,E dựng DP song song BC,EQ song AB Chứng minh DEPQ nội tiếp đường trịn Phân tích : Tứ giác EDQP tứ giác chéo , để chứng minh nội tiếp đường trịn ta chứng B minh điều gì?(có thể góc EDP=góc EQP) E D + Ta tìm mối liên quan hai góc trên, Ta có: góc EDP= 1800-( góc BDE+góc ADP) A www.thaytuong.tk Một số kinh nghiệm hệ thống hoá phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Mà Góc ADP= góc ABC (đồng vị) Góc ACB= góc BDE ( Do tứ giác DECA P C nội tiếp đường trịn) Nên góc EDP= Góc BAC, Góc BAC= Góc EQP (Đồng vị) Từ phân tích ta đưa trường hợp Ví dụ : Cho hai đường tròn (O),(O’) cắt AB,OB cắt đường tròn (O’) F.O’B cắt đường tròn O E A/ Chứng minh O,O’E,F,A thuộc đường tròn B/ Dựng MN qua B song song EF( M thuộc đường tròn O, N thuộc đường tròn O’ Chứng minh EBAM hình thang cân C/ Chứng minh MN= AE + AF Phân tích: A/ Để chứng minh điểm nội tiếp đường tròn /ta chứng ming E điểmNE,O,A,O’ nội tiếp đường tròn? M F Ta Kiểm tra : B gócƠAO’ + góc OE O’= góc OBO’ + N GócOBE O O Q A B/ Để chứng minh EBAM hình thang cân ta cần chứng minh EB song song với MA tương đương EB phân giác góc AEF, để chứng minh điều ta vận dụng cung chứa góc tứ giác nội tiếp đường trịn (EOAO’F) đường tròn O’ ta suy điều cần chứng minh C/Trên sở câu b/ ta chứng minh đựơc điều cần chứng minh Vdu.: Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC,các tiếp điểm (O) với cạnh BC,CA,AB D,E,F Dựng BB’ vng góc AO, AA’ vng góc BO Chứng minh : E,A’,B’,D thẳng hàng Phân tích:Trước hết ta chứng minh điểm B’,A’,E thẳng hàng tương đương góc EA’B’ 180 ( góc BA’B’ + góc Â’E 900 ) Mà Tứ giác ABB’A’ nội tiếp đường tròn( C/ m được) ta góc BA’B’= góc BAB’ ( chắn cung BB’),góc AA’E = góc AOE ( chắn cung AE) ,mà góc -www.thaytuong.tk Một số kinh nghiệm hệ thống hoá phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn BAB’= góc B’AE AB tia phân giác góc BAC từ suy luận ta suy điều chứng minh,Tương tự chứng minh D,B’A’ thẳng hàng 6/ Trường hợp : Ứng dụng tam giác đồng dạng ta đưa trường hợp cung chứa góc( chương trình lớp 10 gọi phương tích đường trịn) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn cho ta tam giác AID đồng dạng tam giác CIB ( góc-góc) suy :AI/ CI= ID/IB hay AI*IB=IC*ID.(1) Ngược lại :Nếu có hệ thức AI*IB=IC*ID ta chứng minh dẫn đến hai tam gi ác AID đ ồng d ạng CIB cho ta hai góc thuộc nửa mặt phẳng đưa trường hợp cung chứa góc để ch ứng minh tứ giác nội tiêp đường trịn Do để chứng minh tứ giác nội tiếp ta cần chứng minh hệ thức (1) ta tạm chấp nhận tứ giác ABCD nội tiếp khỏi viết dài dịng ( chương trình cấp II thầy cô cần đưa cụ thể hai tam giác đồng dạng suy hai góc chắn cung ,cùng thuộc nửa mặt phẳng để kết luận tứ giác nội tiếp) Ví dụ : Cho đường tròn tâm O, Dựng cát tuyến AB CD cắt I Dựng đường trịn đường kính AB dựng đường trịn dường kính CD Đối với đường trịn đường kính AB dựng đường vng góc I cắt đường trịn tạiH, đường trịn đường kính CD dựng đường vng góc I cắt đường trịn K Chứng minh IH=IK Nhận xét: Đối với đường tròn đường kính AB Ta có IH2 = IA*IB Đối với đường trịn đường kính CD Ta có : IK2 = IC*ID Đối với đường tròn tâm O ta chứng IA*IB=IC*ID dể dàng 7/ Trường hợp 7: Ứng dụng phương tích đường tròn đưa tam giác đồng dạng ti ếp tục đưa cung chứa góc tương tự trường 10 www.thaytuong.tk Một số kinh nghiệm hệ thống hoá phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Trường hợp ABCD nội tiếp đường tròn,mà AB cắt CD : IA*IB=IC*ID ngược lại ( Tự chứng minh) Khi A trùng B IA tiếp tuyến đường trịn ta có IA2 =IC*ID (Đây phương tích đường tròn mà lớp 10 em học , song đề thi tuyển lớp 10 thường hay có dạng nâng cao nầy em thường khó nhận dạng , cấp II giới thiệu để em làm quen làm ta biến đổi cụ thể đưa trường hợp cung chứac góc nhău chắn cung thuộc nửa mặt phẳng để suy hai tam giác đồng dạng Ví dụ: Cho F nằm A B> dựng ( O,AF/2) (O’,AB/2) Dây BE đường tròn O’ tiếp xúc đường tròn O C AC kéo dài cắt đường tròn O’ D Chứng minh: AC*AD+BC*BE= AB2 Phân tích: Nên cho HS làm quen với biểu thức phương tích đường trịn, hoăc kiểm tra xem biểu thức nầy đâu mà có thường hệ thức tam giác vuông + Nêú nhìn dạng phương tích ta suy luận sau : -Để AC*AD=AH*AB chẳng hạn H thuộc đường trịn BDHC , ta tìm H thuộc AB H thuộc đường trịn BDCH? ( Dựng CH vng góc AB) -Để BC*BE= BK*BA chẳng hạn K thuộc AB cho HCEA nội tiếp đường trịn,vì góc BEA vng nên CK phải vng góc AB hay CK trùng CH) Từ hai biểu thức cộng lại điều cần chứng minh Ví dụ ( Thi TNTHCS 04-05) Từ điểm A ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến AB,AC tới đường tròn B,C tiếp điểm, đường thẳng qua A cắt đường tròn D E( D nằm A E,Dây DE không qua tâm,H trung điểmDE,AE cắt BC K A/ Chứng minh : ABOC nội tiếp B/ HA phân giác góc BHC C/ Chứng Minh : 2/AK=1/AD +1/ AE 11 www.thaytuong.tk Một số kinh nghiệm hệ thống hoá phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Phân tích: Câuc/ Ta biến đổi để đưa biểu thức biểu thức đơn giản để nhận dạng cần chứng minh 2/AK = 1/AD + 1/AE 2AD*AE = AK( AE+AD) Mà AD*AE thoả mản hệ thức đường tròn (O)? 2AD*AE = AB2 (1) Tứ giác HKIO nội tiếp đường tròn ( Tự Cminh) HK OI cắt A cho ta hệ thức nào? AK*AH = AI*AO suy AK = AI*AO/AH (2) Mà AI*AO hệ thức tam giác vuông OBA vuông B có BI đường cao? ( = AB2 ) (4) Đồng thời AH= (AD + E D)/2 ? (3) Trên sở vừa vận dụng hệ thức lượng tam giác vng nhìn dạng phương tích đường trịn ta có hệ thức từ (1) ,(2),(3), (4), ta dể dàng chứng minh ĐCCM Ví dụ : Cho A,B,C thẳng hàng Dựng (O,AB/2), dựng d đường thẳng vng góc với CA C,lấy M,N tuỳ ý thuộc đường tròn ,nối AM,AN cắt đường thẳng d M’,N’ Chứng minh M’,M,N,N’ nội tiếp đường tròn Nhận xét : Nếu nhìn dạng phương tích đường trịn đưa tam giác đồng dạng đẫn đến cung chứa góc trường hợp ta dể dàng tìm cách chứng minh + Đối với (M’MBC) ta có: AM * AM’ = AB * AC + Đối với (CBNN’) ta có AN*AN’ = AB *AC Từ ta suy : AM*AM’= AN*AN’ Ta đưa trường hợp ta chứng minh MM’N’N nội tiếp dể dàng Ví dụ : Cho (O) từ M ngồi đường trịn ta dựng MA tiếp tuyến đường tròn(O),một cát tuyến qua M cắt đường tròn E F ,dựng AH vng góc MO chứng minh EHOF nội tiếp đường tròn 12 www.thaytuong.tk Một số kinh nghiệm hệ thống hoá phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Nếu nhìn dạng phương tích đường trịn Ta có : ME*MF=? ( MA2 ) Nhìn dạng hệ thức lượng tam giác vng MAO vng A,AH đường cao ta có MH*MO=? ( MA2 ) Từ hai hệ thức ta suy điều cần suy luận để có hướng chứng minh tứ giác EFOH nội tiếp dể dàng IV.Kết luận : Đây chuyên đề mang tính chất gợi ý nhằm giúp HS có hướng q trình phân tích tìm hướng chứng minh số dạng toán tứ giác nội tiếp ứng dụng tứ giác nội tiếp , chưa phải hệ thống đầy đủ ,mà cịn tuỳ thuộc linh hoạt q trình phân tích định hướng cách giải, khơng thể đầy đủ mong thầy cô đồng môn bổ sung hoàn thiện Người viết 13 www.thaytuong.tk ... BM a/Chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn b/AI cắt đường tròn (O) E Chứng minh MCEI nội tiếp đường tròn c/ CO cắt đường tròn (O) F Chứng minh M,F,E thẳng hàng M a/ Chứng minh IC tiếp tuyến đường... ABC) Bài tốn gợi ta điều cần chứng minh Ví dụ : (Đề thi TNTHCS 07-08) Cho đường trịn tâm O đường kính AB.Dựng tiếp tuyến đường tròn O A,trên tiếp tuyến lấy điểm C cho AC=AB.Từ C dựng CD tiếp tuyến... a/ Chứng minh : góc ABC= Góc AMN b/Chứng minh đường kính BC tiếp xúc với MN A c/Chứng minh đường trịn đường kính MN M tiếp xúc BC A a/ +Để chứng minh góc ABC= Góc AMN ta phải chứng minh tứ giác