MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Toán học là môn học chính trong chương trình trung học, với rất nhiều giáo viên giảng dạy thì cùng với đó cũng đã rất nhiều đề tài, sáng kiến kinh nghiệm được viết ra với mọi góc nhìn, với chủ đề “Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp” thì cũng có khá nhiều tác giả đã viết, tôi với góc nhìn cá nhân mong muốn có một chuyên đề cho riêng mình giảng dạy học sinh đại trà về vấn đề “Tứ giác nội tiếp” nên tôi đã viết chuyên đề này.

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

TỨ GIÁC NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN

MỤC LỤC

BẢNG CHỮ CÁI VIẾT TẮT 3

1 Lời giới thiệu 4

2 Tên sáng kiến “Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp” 4

3 Tác giả sáng kiến 4

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: 4

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 4

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 4

7 Mô tả bản chất của sáng kiến: 4

PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU 5

I Lý do chọn đề tài 5

II Mục đích của đề tài 5

III Nhiệm vụ nghiên cứu 6

IV Đối tượng của đề tài: 6

V Phạm vi của đề tài : 6

VI Phương pháp nghiên cứu 6

VII Địa điểm, thời gian nghiên cứu 7

PHẦN B: NỘI DUNG 8

I THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 8

1, Về con người : 8

2, Về kiến thức: 8

II MỘT SỐ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 8

1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp 8

1.2.Định lý 8

1.3 Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp 9

1.4 Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp 9

2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn 10

Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa 10

Phương pháp 2: Dựa vào định lý 10

Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc 11

Phương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong

của đỉnh đối diện 12

2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp 14

Bài tóan 1 Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn 14

Bài toán 2 Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định 15

Bài toán3 Chứng minh quan hệ về đại lượng 18

Bài toán4 19

Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm 19

Bài toán 5 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình 20

IV HIỆU QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 24

V GIẢI PHÁP MỚI VÀ SÁNG TẠO: 24

B ỨNG DỤNG VÀO THỰC TẾ CÔNG TÁC GIẢNG DẠY 25

Ứng dụng 1: 25

Ứng dụng 2: 25

Ứng dụng 3: 26

Bài học kinh nghiệm: 27

PHẦN C : KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 28

1 Kết luận 28

2 Kiến nghị 28

3 Khả năng áp dụng của sáng kiến 29

Nội dung tiết giảng minh họa 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

1 Lời giới thiệu

Toán học là môn học chính trong chương trình trung học, với rất nhiều giáo viên giảng dạy thì cùng với đó cũng đã rất nhiều đề tài, sáng kiến kinh nghiệm được viết ra với mọi góc nhìn, với chủ đề “Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp” thì cũng có khá nhiều tác giả đã viết, tôi với góc nhìn cá nhân mong muốn có một chuyên đề cho riêng mình giảng dạy học sinh đại trà về vấn đề

“Tứ giác nội tiếp” nên tôi đã viết chuyên đề này

2 Tên sáng kiến “Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp”

3 Tác giả sáng kiến

- Họ và tên:

- Trường :……….…………

- Địa chỉ: ………

- Điện thoại:………

- Email: ……….…………

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

Cá nhân tự đầu tư, nghiên cứu

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Môn Toán lớp 9

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Tháng 2/2014

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

Sáng kiến viết về một số phương pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp,

có tính liên hệ, mở rộng trong quá trình giảng dạy thích hợp cho học sinh

từ trung bình đến khá, giỏi

PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

a) Cơ sở lý luận: Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minh

tứ giác nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các gócbằng nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh cácđiểm cùng thuộc một đường tròn, … Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏiphải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc vàđường tròn, định lý đảo về tứ giác nội tiếp, … Đặc biệt phải biết hệ thống cáckiến thức đó sau khi học xong chương III hình học 9 Đây là việc làm hết sứcquan trọng của giáo viên đối với học sinh

b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất

cơ bản thể hiện ở định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thìSGK đã đặc biệt hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nộitiếp Tuy nhiên chưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứngminh tứ giác nội tiếp một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu

cơ sở của dấu hiệu Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứgiác nội tiếp một đường tròn

Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan trọnggiúp học sinh nhìn nhận lại được các bài toán đã giải ở lớp 8 để có cách giải haycách lý giải căn cứ khác

Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đưa ra một số cách để chứngminh một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong bài “Tứ giác nội tiếp mộtđường tròn”

Với tên gọi:

“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN“

II Mục đích của đề tài

Giúp Giáo viên hệ thống hoá kiến thức tạo nên các phương pháp để hướng dẫnhọc sinh chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh các điểm nằm trên một đườngtròn , chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định, chứng minh quan hệ

tiếp Rèn học sinh kỹ năng phân tích tự tìm lời giải bằng các cách khác nhau, kỹnăng nhận biết nhanh một tứ giác nội tiếp.

Vì thời gian có hạn, năng lực của bản thân còn có hạn chế nhất định về khảnăng tư duy nên quá trình nghiên cứu và viết đề tài này không thể tránh khỏinhững thiếu sót Kính mong các thầy cô đồng nghiệp trong nhà trường và trongcụm đóng góp xây dựng để sáng kiến của tôi được phát huy tác dụng trong giảngdạy toán ở nhà trường

III Nhiệm vụ nghiên cứu

Tạo ra một tài liệu có tính khả thi trong quá trình giảng dạy cho học sinh khối 9

về Tứ giác nội tiếp và các bài toán liên quan

IV Đối tượng của đề tài:

Là học sinh đại trà lớp 9 – THCS, giáo viên mới ra nghề dạy ở bậc THCS

V Phạm vi của đề tài :

Là phương pháp chứng minh hình học THCS ở phạm vi hẹp, cụ thể là chứngminh tứ giác nội tiếp một đường tròn để từ đó chứng minh các đẳng thức vềgóc, đẳng thức tích các đoạn thẳng, … Tuy nhiên về ứng dụng của nó thì cũngkhá rộng rãi

VI Phương pháp nghiên cứu

- Bằng quan sát thực tế giảng dạy các giờ toán chứng minh tứ giác nội tiếp, bàitoán tổng hợp có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh và tínhtoán của GV THCS

- Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi dưỡng ôn thi học sinh đại trà lớp 9 ,những năm trước đây thấy học sinh rất ít em phát hiện được tứ giác nội tiếp mộtcách nhanh nhất, nhất là những bài toán không dễ chứng minh ngay được tổnghai góc đối diện của tứ giác bằng 180o Hay HS cứ phải đưa về tổng hai góc đốidiện bằng 1800 nên dài, nhiều khi dẫn đến sai

- Bằng đọc tài liệu để nắm các cơ sở lý luận khoa học về phương phápchứng minh và tính chất của tứ giác nội tiếp Đặc biệt là tìm cách nhận biếtnhanh tứ giác nội tiếp trước khi phải chứng minh tổng hai góc đối diện bằng

180o trong các bài toán có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc có sử dụng kết quảcủa tứ giác nội tiếp

- Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến của đồng nghiệp nhất là nhữngthầy cô dạy toán giỏi trong Huyện.

- Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp, cácbuổi ôn toán thi vào lớp 10 THPT, bồi dưỡng học sinh giỏi

- Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ của bài dạy đếncác định lý và bài toán khó hơn, phức tạp hơn tổng hợp lại một hệ thống cácphương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp

Từ các phương pháp trên đây đối chiếu với lý luận và thực tế tôi rút rađược kinh nghiệm nhỏ trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán bởi nộidung cụ thể như sau:

VII Địa điểm, thời gian nghiên cứu

- Địa điểm: ……….

- Thời gian: 02/2013 – 02/2017

I I MỘT SỐ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

* Kiến thức cơ bản

1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp

* Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có

bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.

* Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và

(O) ngoại tiếp tứ giác ABCD

1.2.Định lý.

* Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o

* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn.

O

C B

D A

1.3 Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) Điểm

đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc 

1.4 Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.

Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.

Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.

Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.

Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.

Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.

Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ để tứgiác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O là thoả mãn một trong các hệ thứctrên

Với cách hệ thống hoá như trên, học sinh được ghi nhớ một cách lôgic và

từ đó nhận biết nhanh được tứ giác nội tiếp một đường tròn và cũng từ đó sửdụng nhanh các tính chất của tứ giác nội tiếp trong giải toán hình học

Bài toán 2 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp một

đường tròn là AB.CD + BC.AD=AC.BD

Bài toán 3 Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E và AB cắt

CD tại F Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp làEA.ED+FA.FB=EF2

* Một số ví dụ minh hoạ:

Trong phần ví dụ này, mỗi ví dụ được trình bày theo hướng phân tích đểtìm ra phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Phần trình bày lời giải trên cơ

sở phân tích nên cho phép tôi không trình bày ở đây

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  A + C = 1800 hoặc B + D = 1800

2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.

Bài toán 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’,

CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp

Cho tam giác ABC nhọn và nội

tiếp (O), 2 đường cao BB’, CC’

a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội

(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

Mà :  C =  D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

  D +  BC’I = 1800

  BDIC’ nội tiếp đường tròn

Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc

Bài toán 3:

Cho  ABC cân ở A nội tiếp (O) Trên

tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia

đối của tia CA lấy điểm N sao cho

N A

  A1 =  A2

AOC cân tại O (vì OA = OC)

 A2 = C1 nên A1 = A2 = C1

Mà A1 + OAM = 1800 và C1+ OCN= 1800

 AOM = OCN

Xét OAM và OCN có : OA = OC; AOM = OCN; AM = CN

 OAM = OCN (c.g.c)

 AMO = CNO hay AMO = ANO

  AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh

OA dưới cùng một góc)

Phương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của

đỉnh đối diện

Bài toán 4:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O),

M là điểm chính giữa của cung AB

Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt

ở E và P

Chứng minh tứ giác PEDC nội

tiếp được đường tròn

(góc nội tiếp)Hay

Nghĩa là:  PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C

Vậy  PEDC nội tiếp được đường tròn

Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp)

Cho hình vẽ:

Biết AC  BD tại O, OE

AB tại E; OF  BC tại F; OG 

DC tại G; OH AD tại H

Hãy tìm các tứ giác nội tiếp

trong hình vẽ bên

F

H E

* Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là:

AEOH; BFOE; CGOF; DHOG

* Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

AEFC; AHGC; BEHD; BFGDThật vậy: Xét tứ giác AEFC

Ta có: EAC =  EOB (cùng phụ với  ABO)

 BFE = EOB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

 EAC =  BFE

Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tương tự

* Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 180 0

Thật vậy: Ta có :  OEH = OAH ( vì cùng chắn cung OH)

OAH = HOD (vì cùng phụ với AOH)

HOD = HGD ( vì cùng chắn cung HD)

  OEH =HGD

Chứng minh tương tự ta được : OEF = FGC

Từ đó :  OEH + OEF =HGD + FGC

  FEH =HGD + FGC

Mặt khác: HGD + FGC+ HGF = 1800

  FEH + HGF = 1800 ( điều phải chứng minh)

2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.

Bài tóan 1 Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn

b Ví dụ 1: (Bài toán về đường tròn Euler)

Chứng minh rằng, trong

một tam giác bất kì, ba trung

điểm của các cạnh, ba chân của

các đường cao, ba trung điểm của

các đoạn thẳng nối trực tâm với

đỉnh đều ở trên một đường tròn

Ta có: ME là đường trung bình của AHC

ND là đường trung bình của BHC

 ME = ND = HC/2

 tứ giác MNDE là hình bình hành (1)

Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN là đường trung bình của HAB)

Mà CH  AB (GT)

 ME  MN (2)

Từ (1) và (2)  Tứ giác MNDE là hình chữ nhật

Gọi O là trung điểm của MD  O cũng là trung điểm của NE

Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM)

Chứng minh tương tự ta được hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM)

Vì  MID = 900  I  (O; OM)

Vì  FLP = 900 ;  NKE = 900  L; K  (O; OM)Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L  (O; OM)

(Điều phải chứng minh)

c.Bài tập:

1 Cho hình bình hành ABCD có  A nhọn Đường tròn tâm A bán kính

AB cắt đường thẳng BC ở điểm thứ hai E Đường tròn tâm C bán kính CB cắtđường thẳng AB ở điểm thứ hai K Chứng minh rằng:

a DE = DK

b năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn

2 Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyến chung

ngoài AB và A’B’, các tiếp tuyến chung trong CD và EF (A, A’, C, E  (O); B,B’, D, F  (O’)) Gọi M là giao điểm của AB và EF, N là giao điểm của CD vàA’B’ H là giao điểm của MN là OO’ Chứng minh rằng:

a MN  OO’

b năm điểm O’, B, M, H, F cùng thuộc một đường tròn

c năm điểm O, A, M, E, H cùng thuộc một đường tròn

Bài toán 2 Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định

a Phương pháp:

Nếu ta phải chứng minh một đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định,

Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi chứng minh điểm đã chọn là điểm cố định.

b Ví dụ 1:

Cho đường tròn tâm O đường

kính AB, điểm C cố định trên

đường kính ấy (C khác O)

Điểm M chuyển động trên

đường tròn Đường vuông góc

với AB tại C cắt MA, MB theo

thứ tự ở E và F Chứng minh

rằng đường tròn ngoại tiếp tam

giác AEF luôn đi qua một điểm

 K đối xứng với B qua C

Do B và C là hai điểm cố định nên suy ra K cố định

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF đi qua điểm K cố định

Ví dụ 2:

2 1

K F E

A

O

B C M

Từ một điểm A ở

ngoài đường tròn (O) ta vẽ

hai tiếp tuyến AB, AC với

đường tròn Lấy điểm D

 hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dưới một góc vuông

  EBOD nội tiếp đường tròn

  BEO =  BDO (1) (cùng chắn cung OB)

Chứng minh tương tự ta có :  ODCF nội tiếp đường tròn

  OFC =  BDO (2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)

D

b/ Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho BD = CE Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua một điểm cố định khác A.

Bài toán3 Chứng minh quan hệ về đại lượng

Một số bài toán đề cập tới quan hệ về đại lượng như:

- Chứng minh các hệ thức hình học.

- Chứng tỉ số các đoạn thẳng không đổi (như hai đoạn thẳng bằng nhau, đoạn này gấp đôi đoạn kia….) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc là không đổi

* Định lý Ptô - lê – mê.

Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo bằngtổng các tích của hai cặp cạnh đối

Chứng minh:

Ta có :  ABCD nội tiếp (O)

Ta phải chứng minh: AC BD =

B

D A

E