Rèn một số kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường THCS lê lợi TPTH

Đối với học sinh lớp 9, tuy đã quen với cách học toán, nhưng khi gặp các dạng toán như: Tìm quỹ tích; dựng hình; chứng minh tứ giác nội tiếp và vận dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh cá

MỤC LỤC Mục Nội dung Trang

1.1 Lý do chọn đề tài……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……… 3

2.2 Thực trạng……… 4

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện……… 5

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……… 15

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 16 Kết luận……… 16

Kiến nghị……… 16

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

1 THCS: Trung học cơ sở

2 THPT: Trung học phổ thông

3 TW: Trung ương

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Toán học là một môn khoa học cơ bản, được rất nhiều người quan tâm và nghiên cứu Với vai trò là môn học công cụ để phát triển tư duy logic, môn toán góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác

Do vậy, dạy Toán như thế nào để học sinh nắm vững kiến thức cơ bản một cách có hệ thống và nâng cao, phát triển để các em hứng thú say mê trong học tập là câu hỏi mà mỗi nhà giáo luôn phải đặt ra và tìm mọi cách để trả lời Qua kinh nghiệm thực tế giảng dạy toán ở các khối lớp trường THCS, tôi nhận thấy nhiều em học sinh khối 9 khi học môn hình học, mặc dù kiến thức cơ bản đã nắm chắc, nhưng khả năng vận dụng những kiến thức đó vào giải các bài tập là chưa cao Trước thực tế đó, để giúp học sinh hình thành thói quen tìm tòi

và vận dụng sáng tạo kiến thức đã học, tôi đã cho học sinh tiếp cận dần bằng cách cho học sinh làm các bài tập từ đơn giản đến phức tạp Ngoài ra khi giải quyết xong các bài tập, học sinh biết phân chia các dạng bài tập ở các mức độ từ

dễ đến khó Sau đó hệ thống và phân dạng bài tập, các phương pháp giải cho mỗi dạng bài tập Riêng đối với học sinh khá, giỏi cần phải biết tổng quát, phát triển, mở rộng bài toán từ bài toán ban đầu

Đối với học sinh lớp 9, tuy đã quen với cách học toán, nhưng khi gặp các dạng toán như: Tìm quỹ tích; dựng hình; chứng minh tứ giác nội tiếp và vận dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, chứng minh hệ thức, … thì học sinh còn rất lúng túng Đối với các dạng toán chứng minh liên quan đến

tứ giác nội tiếp, đây là các dạng toán thường gặp trong chương trình lớp 9 và các

đề thi vào lớp 10 THPT hàng năm Do mới được làm quen với dạng toán này ở cuối chương trình Hình học lớp 9 với thời gian còn hạn chế; các phương pháp chứng minh chưa được trình bày đầy đủ trong sách giáo khoa và sách bài tập Toán 9 nên gây không ít khó khăn cho học sinh trong việc tiếp cận và làm quen với các dạng toán này Trước yêu cầu thực tế cần rèn luyện cho học sinh nắm vững lý thuyết và vận dụng giải tốt dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp và các

bài tập liên quan, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Rèn một số kỹ năng chứng

minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hoá”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu đề tài là:

- Cung cấp cho học sinh lớp 9 một số phương pháp thường dùng, quan trọng để chứng minh tứ giác nội tiếp trong khuôn khổ lý thuyết sách giáo khoa, giúp học sinh thành thạo trong việc chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp và vận dụng vào các bài toán liên quan

- Qua các dạng toán này giúp cho học sinh được ôn lại các kiến thức đã học

ở các lớp dưới Đặc biệt là được ôn lại nội dung của chương III: Góc với đường tròn

-Qua mỗi bài tập giúp cho học sinh biết cách nhận xét, sử dụng giả thiết bài toán tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài Qua gợi mở của giáo viên, học

sinh tìm nhiều hướng giải khác nhau Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất, phù hợp nhất đối với các em Cuối cùng học sinh phát hiện ra được cách giải tương tự và khái quát thành các phương pháp chứng minh

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, Thành phố Thanh Hóa trong năm học 2016 – 2017

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Trong đề tài này tôi vận dụng kết hợp một số phương pháp sau:

- Phương pháp khảo sát, so sánh, đối chiếu

- Phương pháp phân tích đi lên

- Thực nghiệm giảng dạy cho các em học sinh

- Đúc rút kinh nghiệm giảng dạy qua dự giờ, kiểm tra học sinh, nghiên cứu

hồ sơ giảng dạy và kiểm tra trên nhiều đối tượng học sinh, kiểm tra nhiều lần bằng nhiều hình thức khác nhau

- Đánh giá kết quả học tập của học sinh trước và sau khi giảng dạy chuyên đề theo nội dung đề tài

- Trao đổi, học hỏi đồng nghiệp qua các buổi sinh hoạt chuyên môn

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Xuất phát từ mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” Để đào tạo ra lớp người như

vậy thì từ nghị quyết TW 4 khoá 7 năm 1993 đã xác định ''Phải áp dụng phương

pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề" Nghị quyết TW 2 khoá 8 tiếp tục khẳng định: "Phải đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh'' Cho đến nay, Nghị quyết

TW số 29 tại Hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo

dục và đào tạo nhấn mạnh: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí

tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời.”

Định hướng này đã được pháp chế hoá trong Luật giáo dục, điều 24 mục

II đã nêu ''Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác

chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh".

Trong chương trình giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay, nhìn chung tất cả các môn học đều giúp học sinh tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa học ứng dụng Đặc biệt với môn toán, các em được tiếp thu kiến thức xây dựng trên tinh thần toán học hiện đại Trong đó, chứng minh tứ giác nội tiếp yêu cầu học sinh phải có khả năng phân tích, khái quát, tổng hợp, liên kết các giả thiết với nhau, chuyển đổi các mối quan hệ toán học Những bài toán dạng này hầu hết là khó với học sinh nên đòi hỏi giáo viên phải xây dựng được hệ thống bài tập và các phương pháp giải tỉ mỉ, ngắn gọn Với mục đích cung cấp cho học sinh lớp 9 bậc THCS một số phương pháp thường dùng, quan trọng để chứng minh tứ giác nội tiếp và các bài toán liên quan trong khuôn khổ lý thuyết sách giáo khoa Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường THCS tôi đã

mạnh dạn viết đề tài: “Rèn một số kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm

nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hoá”.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

a Thuận lợi:

- Được sự quan tâm của Chi bộ, Ban giám hiệu nhà trường, đã tạo điều kiện cho giáo viên được tổ chức các hoạt động dạy và học toán trong nhà trường diễn

ra thuận lợi, đạt kết quả cao

- Nhà trường đã tổ chức triển khai các chuyên đề đổi mới phương pháp dạy học do đội ngũ giáo viên cốt cán đi tiếp thu tại Sở và Phòng giáo dục, đã tổ chức dạy thực nghiệm tại trường

- Phần lớn học sinh hiếu học, ham thích tìm hiểu kiến thức môn hình học

b Khó khăn:

- Một bộ phận học sinh chưa thật sự hiểu rõ tầm quan trọng của toán học trong học tập và cuộc sống, kiến thức về hình học của nhiều em còn rỗng Kỹ năng vẽ hình, chứng minh đang còn hạn chế, lúng túng, gặp nhiều khó khăn

- Trường THCS Lê Lợi tuy đóng trên địa bàn gần trung tâm Thành phố Thanh Hóa, nhưng đại bộ phận dân cư sống chủ yếu bằng nghề tự do, buôn bán nhỏ lẻ, nên thời gian và sự quan tâm của phụ huynh đến điều kiện học tập của các em còn chưa cao

- Qua thực tế trước khi thực hiện áp dụng đề tài, tôi đã tiến hành kiểm tra tình hình, thực trạng học tập môn Hình của học sinh lớp 9A3 và 9A4 trường THCS Lê Lợi thông qua việc kiểm tra miệng lý thuyết, thăm dò sở thích của học sinh và bằng bài kiểm tra:

Đề bài: Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của đường

tròn Trên tia Bx lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D) Các tia AC và AD cắt đường tròn tại E và F Hai dây AE và BF cắt nhau tại N Hai dây AF và BE cắt nhau tại M Chứng minh rằng:

a) Tứ giác FNEM nội tiếp

b) Tứ giác CDFE nội tiếp

Qua khảo sát tôi nhận thấy trong khi chứng minh tứ giác nội tiếp các em còn mắc những sai lầm đáng tiếc vì thế nên có kết quả còn thấp cụ thể như sau :

Bảng khảo sát trước khi áp dụng đề tài:

Bảng 1:

Tổng

số

HS

Điểm

9 - 10

Điểm 7- 8

Điểm

5 - 6

Điểm

3 - 4

Điểm

0 – 2

(%) SL

TL (%) SL

TL (%) SL

TL (%) SL

TL (%)

Từ kết quả khảo sát trên tôi thấy, tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên

là 51,3%, tỉ lệ học sinh đạt điểm yếu còn cao 48,7% Tỉ lệ học sinh đạt điểm

khá giỏi rất ít Học sinh còn lúng túng trong cách chứng minh, trình bày chứng minh chưa thật sự chặt chẽ và chủ yếu học sinh mới sử dụng định nghĩa để chứng minh được tứ giác nội tiếp mà chưa có cách làm nào khác được sử dụng

Do đó trong quá trình giảng dạy tôi luôn trăn trở, tìm tòi và đã mạnh dạn đưa ra

để chia sẻ, cũng như mong muốn các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để tôi

hoàn thiện đề tài: “Rèn một số kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm

nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 9 trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hoá”.

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

- Qua các tiết dạy trên lớp, tiết ôn tập, giáo viên tiến hành khảo sát, so sánh, đối chiếu qua thực tế bài tập học sinh làm và các bài kiểm tra

- Giáo viên tạo ra các tình huống có vấn đề liên quan đến các cách giải cho một bài toán

- Giáo viên hướng dẫn học sinh tăng cường các hoạt động tìm tòi, quan sát,

đo đạc, dự đoán tiếp cận lời giải

- Qua các ví dụ minh hoạ cung cấp cho học sinh các phương pháp chứng minh

- Học sinh học lí thuyết một cách chủ động, chủ yếu là chương III: “Góc với đường tròn”

A Lý thuyết.

Học sinh được ôn tập về các kiến thức ở các lớp (Thông qua các bài tập), đặc biệt là:

- Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn Số đo cung

- Cung chứa góc

- Tứ giác nội tiếp

Khái niệm tứ giác nội tiếp:

 Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác

có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.

Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp

(O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD

Hình 1

Định lý:

 Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o

 Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  A C   180 0hay B D   180 0

Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp:

+ Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp;

+ Phương pháp 2: Dựa vào định lí đảo tứ giác nội tiếp;

+ Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc;

+ Phương pháp 4: Dựa vào tính chất phương tích;

B.

Bài tập minh hoạ :

Chú ý:

Để học sinh có thể chứng minh tốt một bài toán hình, chúng ta cần tích cực rèn luyện cho học sinh các kỹ năng sau:

- Kỹ năng vẽ hình, viết giả thiết, kết luận

- Kỹ năng suy luận và chứng minh, kỹ năng tính toán

- Kĩ năng suy luận ngược từ cuối để tìm ra cách chứng minh bài toán

Hình vẽ đóng vai trò quan trọng trong quá trình giải toán, do đó khi vẽ hình cần lưu ý cho học sinh:

- Hình vẽ chính xác, rõ ràng giúp học sinh dễ tìm ra lời giải Tránh vẽ hình vào các trường hợp đặc biệt

- Khi vẽ hình thì phải vẽ hết các trường hợp có thể xảy ra của bài toán

- Sau khi vẽ hình xong nên đánh dấu các giả thiết lên hình vẽ Như vậy việc chứng minh sẽ đơn giản, dễ dàng hơn

Bài toán 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của đường

tròn Trên tia Bx lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D) Các tia AC và AD cắt đường tròn tại E và F Hai dây AE và BF cắt nhau tại M Hai dây AF và BE cắt nhau tại N Chứng minh rằng:

a) Tứ giác FNEM nội tiếp

b) Tứ giác CDFE nội tiếp

Chứng minh:

a) Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp.

j x

I F

E M

N

D

C

A

Nhận xét:

Để chứng minh tứ giác FNEM nội tiếp ta phải chứng minh 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn

Chứng minh:

Gọi I là trung điểm của NM

Ta có:AFB 90 0(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> MFN  90 0(kề bù với A ˆ F B)

=>MFN là tam giác vuông tại F Có FI là đường trung tuyến

=> IF = IN = IM (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông) (1) Tương tự: IN = IM = IE (2)

Từ (1) và (2) suy ra IF=IE=IN=IM => Bốn điểm F, N, E, M nằm trên đường tròn Hay tứ giác FNEM nội tiếp

Kết luận: Có những bài toán ta chứng minh tứ giác nội tiếp không cần tìm vị trí

của tâm, song một số bài toán ta có thể tìm được tâm cụ thể

Có 2 cách để tìm vị trí tâm I của đường tròn thông qua các nhận xét sau như sau:

- Ba đỉnh của tam giác vuông nằm trên đường tròn có đường kính là

cạnh huyền.

Ví dụ: Như bài tập trên, ta thấy tứ giác FNEM có góc NFM là góc vuông vậy

trung điểm I của cạnh NM chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác FNEM

- Vẽ đường trung trực của 2 đoạn thẳng bất kì nối 2 đỉnh bất kì của tứ

giác, giao điểm của 2 đường trung trực đó chính là tâm của đường tròn Đây

là cách làm được đối với tất cả các bài toán

Ví dụ: Điểm I chính là giao điểm của hai đường trung trực của ME và EN Khi

vẽ xong ta cần nhìn vào hình vẽ để xác định xem vị trí điểm I có gì đặc biệt không? ở bài tập trên thì vị trí đặc biệt của điểm I là trung điểm của cạnh MN

Phương pháp 2: Dựa vào định lý (Chứng minh tổng 2 góc đối diện bằng

180 0 )

Nhận xét:

Ta phải chứng minh tổng 2 góc đối (NEM NFM  hoặc FNE FME  ) bằng

0

180 Với mỗi cặp góc đó thì mỗi góc là góc gì của đường tròn Với cặp góc đầu

ta thấy góc NEM không phải là góc nào của đường tròn.Nhưng góc kề bù với góc này (góc BEA) là góc nội tiếp (chắn nửa đường tròn) Vậy ta cũng sẽ tính được góc NEM

Chứng minh:

Ta có:AFB 90 0(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> MFN  90 0(Kề bù với A ˆ F B)

Tương tự: MEN 90 0

Suy ra: MFN MEN    90 0  90 0  180 0

=> Tứ giác FNEM nội tiếp (đpcm)

Chú ý: Ta có thể chứng minh theo cách khác:

Ta có:   

2

FNE  (Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)

2

FME  (Tính chất của góc có đỉnh bên trong đường tròn)

180 2

Sd AB FNE FME  

=> Tứ giác FNEM nội tiếp (đpcm)

Kết luận:

- Với cách chứng minh này, ta chỉ cần nhận ra các góc của tứ giác có đặc điểm gì đặc biệt là góc gì của đường tròn (Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn), sau đó dựa vào tính chất của các góc sẽ tìm ra lời giải (Kiến thức này học sinh mới được học nên dễ nhận biết, học sinh thường dùng)

Phương phá p 3 : Áp dụng quỹ tích cung chứa góc  .

Chứng minh:

AFB  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => BF  AN

Tương tự: AE  BN

Xét ABN có BF và AE là đường cao Mà BF và AN cắt nhau tại điểm M Suy ra M là trực tâm của tam giác ABN

=> MN  AB mà BD  AB (Tính chất tiếp tuyến) suy ra MN //BD

=> FNM FDB (Hai góc đồng vị) (1)

Mà FDB FBA   (Cùng phụ với góc FBD) (2)

FBA FEA  (Cùng chắn cung nhỏ AF) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra FNM FEM

Như vậy 2 điểm N và E cùng nhìn đoạn thẳng FM dưới một góc không đổi

Nên tứ giác FNEM nội tiếp (đpcm)

Chú ý:

Cách làm này học sinh hay mắc sai lầm như sau: Học sinh chỉ ra “hai

đỉnh đối diện của một tứ giác cùng nhìn cạnh còn lại dưới một góc bằng nhau thì

tứ giác đó nội tiếp” Khẳng định này là sai Điều này chỉ đúng khi góc nhìn đó là góc vuông

Nhận xét:

- Nhận xét mối liên hệ giữa các góc của tứ giác xem là góc gì của đường tròn Sau đó phân tích tìm hướng chứng minh

- Ở câu b ta thấy rằng nếu sử dụng định nghĩa tứ giác nội tiếp hoặc sử dụng quỹ tích cung chứa góc  để chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp thì sẽ rất khó khăn chính vì vậy ta lựa chọn sử dụng phương pháp thứ hai để chứng minh Với phương pháp này ta cũng có rất nhiều hướng đi để đưa tới kết quả tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 1800

Lớn nhỏ

nhỏ Lớn sđ

sđ sđ

sđ

Cách 1:

Ta có: FBA FDB   (Cùng phụ với góc FBD)

FBA FEA   ( Góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AF)

FEA FDB   ( Vì cùng bằng góc FBA)

Mà FEA FEC    180 0 suy ra FDB FEC    180 0 suy ra tứ giác CDFE nội tiếp

Cách 2:

( T/c góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)

2

AF

FEA  (2) (Tính chất góc nội tiếp)

Từ (1) và (2) suy ra FEA FDB 

Mà FEA FEC   180 0 suy ra FDB FEC    180 0 suy ra tứ giác CDFE nội tiếp

Cách 3:

Ta đi chứng minh cho tổng hai góc DFE và góc DCE bằng 180 0

Nhận xét:

Dễ dàng nhận thấy góc DFE không phải là góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong, hay góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn Nhưng góc kề bù với góc này là góc AFE là góc nội tiếp của đường tròn, ta sẽ dựa vào góc này

Chứng minh:

Ta có:  1 

2

AFE AE (Tính chất góc nội tiếp)

ACB    (Tính chất góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)

180

AFE ACB       (1)

Mà DFE kề bù với AFE(2); DCE kề bù với ACB(3)

Từ (1); (2); (3) suy ra DFE DCE    180 0 suy ra tứ giác CDFE nội tiếp

Bài toán 2 : Cho tam giác ABC Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H Gọi D

là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC

a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp Xác định tâm O của đường tròn đó b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I Chứng minh 5 điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn

Ta nhận thấy rằng tứ giác BHCD có 2 đường chéo Cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành  CD // BH , CH // BD

Mà BEAC,CF  AB

 DC AC,BDAB

9

nhỏ

nhỏ

Lớn

Lớn

sđ

sđ

A

E

C

B

F

H

M I

O