MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG HÌNH HỌC 7

Cùng một vấn đề có thể phân tích theo nhiều cách khác nhau từ đó có nhiều cách chứng minh khác nhau. Cho nên sau mỗi bài phân tích học sinh tự hỏi có thể phân tích khác không, đừng bao giờ tự bằng lòng với một cách phân tích. Với hy vọng đóng góp một phần nào đó có ích cho công cuộc giảng dạy, giúp cho học sinh không còn cảm thấy quá sợ phân môn hình học ở THCS. Tôi mạnh dạn viết chuyên đề này với mong muốn đóng góp một phần nhỏ cho giáo viên và học sinh yêu thích say mê với môn toán.

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIấN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

TRONG HèNH HỌC 7

1.Lời giới thiệu

-Sáng kiến kinh nghiệm :Một số phơng pháp chứng minh hai đờng thẳng

song song trong Hình học 7 cũng là một chuyên đề mà tôi thực hiện tại

tr-ờng đối với học sinh đại trà.Thông qua chuyên đề ,qua thực tế khi đề cập triển khai nội dung này tôi thấy học sinh rất hứng thú trong việc củng cố kiến thức ,tìm ra các phơng pháp chứng minh về nội dung khác ,hứng thú với môn học Hình học và giải bài tập Hình học mà hiện nay học sinh có tâm

lý thích học Đại số hơn Hình học

-Qua đây tôi cũng thấy đợc rằng giáo viên biết gợi cho học sinh tìm tòi ,xây dựng phơng pháp chứng minh từ những vấn đề mà giáo viên đặt ra khi đợc giải quyết học sinh sẽ có hứng thú trong học tập hình học nói riêng

và môn Toán nói chung

2.Tờn sỏng kiến kinh nghiệm:

’’Một số phơng pháp chứng minh hai đờng thẳng song song trong Hình học 7’’

3 Tỏc giả sỏng kiến:

- Họ và tờn:

- Địa chỉ : -

4.Chủ đầu tư ra sỏng kiến: Lờ Thị Hạnh

5 Lĩnh vực được ỏp dụng: -Đề tài đợc áp dụng cho học sinh đại trà

giúp học sinh củng cố kiến thức ,hình thành phơng pháp học tập nói chung ,tự xây dựng cho mình phơng pháp chứng minh Hình Học hình thành hứng thú học tập ,rèn đợc kỹ năng trình bày bài ,nâng cao năng lực ngời học

6 Ngày sỏng kiến được ỏp dụng lần đầu tiờn: Thỏng 9 năm 2015

7 Mụ tả về bản chất của sỏng kiến:

- Về nội dung : Trong phạm vi chuyên đề này tôi chỉ đề cập một số dạng bài tập chứng minh hai đờng thẳng song song trong trong Hình học 7 và

Một số ph

’’ ơng pháp chứng minh hai đờng thẳng song song trong Hình học 7 ’’ Qua đó các em sẽ có những cách nhìn ,tự xây dựng và hình thành

phơng pháp học tập ,phơng pháp chứng minh các kiến thức khác

- Về khả năng ỏp dụng:

Giúp học sinh khái quát kiến thức cơ bản tự hình thành Một số ph’’

-ơng pháp chứng minh hai đờng thẳng song song trong Hình học 7 ’’ Biết vận dụng trình bày phơng pháp trên khi trình bày lời giải một số bài tập chứng minh hai đờng thẳng song song trongHình học 7

Trên cơ sở đó ,từ đó các em biết phát huy khả năng sáng tạo ,củng

cố ,khắc sâu mở rộng kiến thức và tích cực chủ động của học sinh Hình thành niềm say mê học Toán ,giải Toán ,giải quyết đợc những bài toán đặt

ra

A.Cơ sở lý thuyết

1.Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song : sở lý thuyết

Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a,b và trong các góc tạo thành

có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau ) thì a và b song song với nhau.(H.1)

2

2)Tiên đề ơ clít:

Qua một điểm ở ngoài một đờng thẳng chỉ có một đờng thẳng song song với đờng thẳng đó (H.2)

3)Tính chất 1(Từ vuông góc đến song song )

Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đờng thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau (H.3)

4)Tính chất 2(Từ vuông góc đến song song )

Một đờng thẳng vuông góc với một trong hai đờng thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đờng thẳng kia (H.3)

5)Tính chất 3(Từ vuông góc đến song song )

Hai đờng thẳng phân biệt cùng song song với đờng thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau (H.4)

B.Một số phơng pháp chứng minh

hai đờng thẳng song song

1.Cách 1(Chỉ ra hai góc so le trong bằng nhau )

2.Cách 2 (Chỉ ra hai góc đồng vị bằng nhau )

M

a

c

a

b

d d’

d’’

c

a

b

3.Cách 3(Chỉ ra hai góc trong cùng phía bù nhau)

4 Cách 4.Vận dụng tiên đề ơ clít

5.Cách 5.Vận dụng tính chất 1(Từ vuông góc đến song song )

6.Cách 6.Vận dụng tính chất 2(Từ vuông góc đến song song )

7.Cách 7.Vận dụng tính chất 3 (Từ vuông góc đến song song )

c.Một số bài toán vận dụng

.Bài toán 1:

Mục tiêu đề cập trong bài tập này của tôi không phải vấn đề đa ra bài tập khó hay dễ mà là hớng dẫn và yêu cầu học sinh phải biết vận dụng và trình bày tất cả các cách chứng minh về hai đờng thẳng song song

A

B

a

b c

M

a

c

a

b

d d’

d’’

c

a

b

Cho hình vẽ bên biết :

A

B

C

a

b

c

0

70

0

110

0

70

D

E

F

E’

F’

1

1 2

1 2

.

.

A

B

C

a

b

c

0

70

0

110

0

70

D

E

F

E’

F’

1

1 2

1 2

A

B

C

a

b

c

0

70

0

110

0

70

D

E

F

E’

F’

1

1 2

1 2

.

.

a)Chứng minh rằng :a// b (bằng nhiều cách )

b)Chứng minh rằng :BE//CF;BE’//CF’

c)Chứng minh rằng :b//c(bằng cách vận dụng tiên đề ơ clít )

d)a//b hay không ,vì sao?

Giải:

a)Cách 1

A

B

C

a

b

c

0

70

0

110

0

70

D

E

F

E’

F’

1

1 2

1 2

.

.

A

B

C

a

b

c

0

70

0

110

0

70

D

E

F

E’

F’

1

1 2

1 2

A

B

C

a

b

c

0

70

0

110

0

70

D

E

F

E’

F’

1

1 2

1 2

.

.

Ta có :

là hai góc trong cùng phía bù nhau suy ra a//b(Theo dấu hiệu nhận biết hai

đờng thẳng song song -cách 3)

Cách 2.

Vì   0

A B  (Hai góc kề bù )

 B 2  1800 B1

A  B  C 

 

 

    1 1 0

180

d a A

d b B d a A d b B A B

A B



 







2

0

2

70

B

B

Ta có :

là hai góc so le trong bằng nhau suy ra a//b(Theo dấu hiệu nhận biết hai

đờng thẳng song song-Cách 1 )

b)

Giải:

Ta có :

là hai góc đồng vị bằng nhau suy ra BE//CF(Theo dấu hiệu nhận biết hai

đờng thẳng song song-Cách 2 )

Giải:

Vì   0

C C  (Hai góc kề bù )

 C 2  1800 C1





2

0

2

110

C

C

Ta có :

là hai góc đồng vị bằng nhau suy ra BE’//CF’(Theo dấu hiệu nhận biết hai

đờng thẳng song song-Cách 2 )

c)

Giải:

Ta có :

BE//CF (chứng minh phần b) →BE//c (1)

BE’//CF’(chứng minh phần b) → BE’//c (2)

Từ (1);(2) theo tiên đề ơclit

suy ra EE’//c hay b//c

d)

Giải:

Ta có :

 

 

    1  2 0

70

d a A

d b B d a A d b B A B

A B



 





 

 

0

70

;

d b B

d c C

d a A d c C C B

C B

E b F c



 







 

 

0

110

d b B

d c C

d b B d c C C B

C B

E b F c



 







a//b (chứng minh phần a) (3)

b//c(chứng minh phần c) (4)

Từ (3);(4) suy ra a//c (Tính chất 3 Từ vuông góc đến song song-Cách 7 ) Bài toán 2: Cho tam giác cân ABC(AB=AC) Trên các cạnh AB và AC lấy tơng ứng gọi điểm D và E sao cho AD=AE.Gọi M là trung điểm của BC • Chứng minh rằng :DE//BC Hớng dẫn Ta có :AD=EA(gt) → tam giác ADE cân tại A do đó (1)

Tam giác ABC cân tại A (gt) do đó

(2)

Từ (1) và(2) suy ra mà hai góc này ở vị trí đồng vị suy ra là hai góc đồng vị bằng nhau Vậy DE//BC(Theo dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song-Cách 2 ) Bài toán 3: Cho tam giác ABC cân ở A.Trên tia đối của tia AB lấy điểm D ,trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AD=AE Chứng minh rằng:DE//BC Hớng dẫn Ta có:AE=AD(gt).Tam giác AED cân ở A do đó (1)

Tam giác ABC cân ở A (gt) do đó

(2)

Mà (Hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1);(2);(3) suy ra mà là hai góc so le trong →

là hai góc so le trong bằng nhau do đó DE//BC.( Theo dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song-Cách 1 )

Bài tập 4: Cho ABC, AB = AC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD

CMR: AB // DC

Bài tập

GT ABC, AB = AC

2

A ADE 

2

A ABC 

ADEABC

ADE ABC; 

2

EAD AED 

2

BAC ACB 

EAD BAC

AED ACB 

AED ACB; 

AED ACB; 

A

B

A

E

D C

MB = MC, MA = MD

KL b) AB // DC

Chứng minh:

Xét ABM và DCM có:

AM = MD (GT) (1)

AMB DMC (Hai góc đối đỉnh )

(2)

BM = MC (GT) (3)

Từ (1);(2);(3)  ABM = DCM

(c.g.c)

 ABM DCM (Hai góc tơng

ứng ) Mà 2 góc này ở vị trí so le

trong  ABM DCM ; là hai góc so le

trong bằng nhau 

AB // CD.( Theo dấu hiệu nhận biết

hai

đờng thẳng song song-Cách 1 )

M

A

D

Bài tập 5:

Vẽ ABC

- Qua A vẽ AH  BC (H thuộc BC), Từ H vẽ KH  AC (K thuộc AC)

- Qua K vẽ đờng thẳng song song với BC cắt AB tại E

a Chỉ ra 1 số cặp góc bằng nhau

b Chứng minh rằng: AH  EK

c Qua A vẽ đờng thẳng m  AH,

CMR: m // EK

Giải:

GT AH KE // BC, Am  BC, HK  BC

 AH

KL a) Chỉ ra 1 số cặp góc bằng nhau b) AH  EK

c) m // EK

Chứng minh:

a) E1 B1 (hai góc đồng vị của

EK // BC)

K K (hai góc đối đỉnh)

K H (hai góc so le trong của EK

// BC)

b) Vì AH  BC mà BC // EK  AH

 EK(Tính chất 2 .Từ vuông góc

đến song song –Cách 6)

c) Vì m  AH mà BC  AH 

m // BC, mà BC // EK  m //

EK(Tính chất 3 Từ vuông góc đến

song song –Cách 7)

3 2 1

1

1

1

m

E

A

H

K

Bài tập 6:

Cho ABC, góc A = 900; AB = AC Điểm K là trung điểm của BC.Từ C kẻ

đờng thẳng vuông góc với BC, cắt BA kéo dài tại E

Chứng minh: EC // AK?

GT ABC,

90

A  , AB

= AC

KB = KC, CE  BC

KL EC // AK,

A

E

Chứng minh:

Xét AKB và AKC:

AB = AC (GT) (1)

AK là cạnh chung (2)

KB = KC (GT) (3)

Từ (1);(2);(3) AKB = AKC (c.c.c) AKB AKC

(Hai góc tơng ứng ) mà AKBAKC  180 0(Hai góc kề bù) 

90 2

AKB AKC   hay AK  BC (4)

Mặt khác CE  BC (GT) (5)

Từ (4);(5) EC // AK(Tính chất 1 Từ vuông góc đến song song –Cách 5)

Bài tập 7: (Bài 26-t118 –SGK Hình học 7)

Xét bài toán :

‘’ Cho tam giác ABC ,M là trung điểm của BC.Trên tia đối của tia MA lấy

điểm E sao cho ME=MA.Chứng minh rằng AB//CE’’

Dới đây là hình vẽ và giả thiết ,kết luận của bài toán :

GT ABC,MA=ME;MB=MC

KL AB // CE ,

Hãy sắp xếp lại năm câu sau đây một cách hợp lý để giải bài toán trên : 1)MB=MC (Giả thiết )

AMB EMC  (hai góc đối đỉnh )

MA=ME (Giả thiết )

2)Do đó AMB=EMC(c.g.c)

3)MAB MEC    AB CE// (có hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong )

4) AMB=EMC MAB MEC   (Hai góc tơng ứng )

5) AMB và EMC có :

Giải :

Thứ tự các bớc chứng minh nh sau :

5) AMB và EMC có :

1)MB=MC (Giả thiết )

AMB EMC  (hai góc đối đỉnh )

MA=ME (Giả thiết )

2)Do đó AMB=EMC(c.g.c)

4) AMB=EMC MAB MEC   (Hai góc tơng ứng )

3)MAB MEC    AB CE// (có hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong –Cách 1)

Bài tập 8: (Bài 8-Tr109 –SGK Hình học 7)

Cho tam giác ABC có B C    40 0.Gọi Ax là tia phân giác của góc ngòai ở

đỉnh A Hãy chứng tỏ rằng Ax//BC

Giải :

A

B

C

E M

GT ABC, B C   400

xAD xAC

KL Ax // BC ,

Ta có :

Vì CAD là góc ngoài của ABC tại đỉnh A nên :

ACD B C     (Theo tính chất góc ngoài của tam giác)

Vì Ax là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A (GT) nên:

2

1

80 : 2 40 2

A  CAD  (Theo tính chất tia phân giác của một góc ) (1)

Mặt khác C  40 0(GT) (2)

Từ (1) và (2)  A2 C mà A C2; là hai góc ở vị trí so le trong  A C2; là hai góc so le trong bằng nhau nên Ax//BC.( Theo dấu hiệu nhận biết hai

đờng thẳng song song-Cách 1 )

Bài tập 9:

Tại sao sử dụng tiên đề Ơclit thì suy ra đợc tính chất ‘’Hai đờng thằng phân biệt cùng song song với một đờng thẳng thứ ba thì song song với nhau’’

Hớng dẫn :

GT a//cb//c

KL a// b

Cách suy luận nh sau :

Giả sử hai đờng thẳng phân biệt a và b không song song với nhau thì chúng phải cắt nhau tại một điểm gọi điểm đó là M.Khi đó qua M vừa có a//c,vừa

có b//c ,điều đó trái với tiên đề Ơclit

Vậy điều giả sử trên là sai ,ta có a//b

Bài tập 10:

Cho hình vẽ bên ,biết CAx  50 ; 0 CBy  40 ; 0 ACB 90 0

Hãy chứng tỏ rằng Ax//By

A

D

x

C

a b c

M

Phân tích Dựa vào dấu hiệu nhận biết hai

đờng thẳng song song ,đề chứng minh

Ax //By trớc hết ta đi tính ADB rồi so sánh

ADB với DAx

Giải :

Xét tam giác BCD.Ta có :

Vì BCA là góc ngoài tại đỉnh C

của tam giác BCD  BCA B BDC    

(Tính chất góc ngoài của tam giác )

nên :BDC BCA B      BDC 90 0  40 0  50 0 hay BDA 50 0(1)

Mặt khác ta lại có: DAx=500 (GT) (2)

Từ (1) và (2)  BDA DAx  mà BDA DAx;  là hai góc ở vị trí so le trong 

BDA DAx là hai góc so le trong bằng nhau nên Ax//By(Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song –Cách 1)

Bài tập 11: (Bài 24-Tr129 –Luyện giải và Ôn tập Toán 7 T1)

Xem hình vẽ bên

a)Tại sao a//b

b) Đờng thẳng c có song song

với đờng thẳng b không ?

Giải:

a)Ta có :

ad = A (1)

bd = B (2)

Từ (1) và (2)  a//b

(Tính chất 1.Từ vuông góc đến song song-Cách 5 ) (3)

b)Ta có D G    50 0  30 0  80 0 mà D G  ; là hai góc trong cùng phía   D G; là hai góc trong cùng phía bù nhau  a//c

(Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song –Cách 3 ) (4)

Từ (3) và (4)  c//b(Tính chất 3.Từ vuông góc đến song song –cách 7)

Bài tập 12:

Xem hình vẽ bên Giải thích tại sao Ax//Cy

12

C

d a

b

c

A B

C

D

E

G

B

Qua B vẽ đờng thẳng Bz //Ax (I)

Vì Bz //Ax Theo tính chất về hai đờng thẳng

song song nên ta có 

1

B và A

là hai góc trong cùng phía

bù nhau    0

B A



0

1

1

180

B

Ta lại có :

B B  (Hai góc kề bù )

B



0

0

3

110

110

B B

B

Ta có :





0

3

3 0

50

50

B

B C

C





(1)

Mặt khác B C3; là hai góc ở vị trí so le trong  B C3; là hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau  Bx//Cy (Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song-Cách 1 )

(II)

Từ (I);(II)  Ax//Cy(Tính chất 3.Từ vuông góc đến song song –Cách 7)

Bài tập 13:

x

y

A

C B

z

Cho tam giác ABC ,M và N lần lợt là trung điểm của AB và AC.Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD=MC.Trên tia đối của tia NB lấy điểm E sao cho NE=NB Chứng minh rằng :DE//BC

GT MA=MB;NA=NCABC

MD=MC;NE=NB

KL DE//BC

Giải :

Xét AMD và BMC có:

MA=MB(GT) (1)

AMD BMC  (Hai góc đối đỉnh ) (2)

MD=MC(GT) (3)

Từ (1);(2);(3)  AMD = BMC(c.g.c)  DAM CBM (Hai góc tơng ứng)

mà DAM CBM ;  ở vị trí so le trong  DAM CBM ; ở vị trí so le trong bằng nhau  AD//BC (Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song-Cách 1 ) (I)

Xét ANE và CNB có:

NA=NC(GT) (4)

ANE CNB (Hai góc đối đỉnh ) (5)

NE=NB(GT) (6)

Từ (4);(5);(6)  ANE = CNB (c.g.c)  EANBCN (Hai góc tơng ứng)

màEAN BCN ;  ở vị trí so le trong  EAN BCN; ở vị trí so le trong bằng nhau

 AE//BC (Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song –Cách 1) (II)

Từ (I) và (II)  AD và AE cùng song song với BC nên theo tiên đề Ơclit  DE//BC(Cách 4)

8 Những thụng tin được bảo mật: khụng.

9 Cỏc điều kiện cần thiết để ỏp dụng sỏng kiến:

-Đề tài đợc áp dụng cho học sinh đại trà giúp học sinh củng cố kiến thức ,hình thành phơng pháp học tập nói chung ,tự xây dựng cho mình

ph-ơng pháp chứng minh Hình Học hình thành hứng thú học tập ,rèn đợc kỹ năng trình bày bài ,nâng cao năng lực ngời học

10 Đỏnh giỏ lợi ớch thu được hoặ dụ kiến cú thể thu được do

ỏp dụng sỏng kiến theo ý kiến của tỏc giả và theo ý kiến của tổ chức , cỏ nhõn ỏp dụng sỏng kiến lần đầu:

Sáng kiến kinh nghiệm : Một số ph’’ ơng pháp chứng minh hai đờng thẳng song song trong Hình học 7 ’’ cũng là một chuyên đề mà tôi thực hiện tại Trờng đối với học sinh đại trà.Thông qua chuyên đề ,qua thực tế khi đề cập triển khai nội dung này tôi thấy học sinh rất hứng thú trong việc củng cố kiến thức ,tìm ra các phơng pháp chứng minh về nội dung khác ,hứng thú với môn học Hình học và giải bài tập Hình học mà hiện nay học sinh có tâm

lý thích học Đại số hơn Hình học

-Qua đây tôi cũng thấy đợc rằng giáo viên biết gợi cho học sinh tìm tòi ,xây dựng phơng pháp chứng minh từ những vấn đề mà giáo viên đặt ra khi đợc giải quyết học sinh sẽ có hứng thú trong học tập hình học nói riêng

và môn Toán nói chung

Ngày 15 thỏng 02 năm 2016 Ngày 12 thỏng 02 năm 2016

Hiệu trưởng Tỏc giả sỏng kiến

Bựi Quang Ba Lờ Thị Hạnh