MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈVới nội dung chuyên đề trên tôi đã áp dụng vào giảng dạy cho độituyển HS lớp 9. Hầu hết sau khi học xong chuyên đề này các em đã cơ bản nắm được một số phương pháp giải phương trình vô tỉ và vận dụng tốt vào để giải các phương trình vô tỉ trong các đề thi HS giỏi và thi vào lớp 10.

S GIO DC V O TO VNH PHC PHềNG GIO DC V O TO BèNH XUYấN CHUYấN MT S PHNG PHP GII PHNG TRèNH Vễ T Ngi thc hin: c Anh; ST: 0988865901 n v cụng tỏc: GV Trng THCS Lý T Trng i tng bi dng: HSG Lp D kin s tit bi dng: 18 tit CHUYấN : MT S PHNG PHP GII PHNG TRèNH Vễ T A.Lí THUYT I nh ngha Phng trỡnh vụ t l phng trỡnh cú cha n cỏc du cn II Cỏc bc thng dựng gii phng trỡnh vụ t Bc 1: Tỡm KX Bc 2: La chn phng phỏp gii phự hp v gii bi toỏn Bc 3: i chiu vi iu kin xỏc nh v kt lun nghim III Cỏc kin thc liờn quan Cỏc phộp bin i tng ng phng trỡnh, cỏc phộp bin i h qu phng trỡnh Cỏc phộp bin i cn thc Cỏc dng phng trỡnh ó hc -Phng trỡnh bc nht -Phng trỡnh tớch -Phng trỡnh cha n mu -Phng trỡnh cha du giỏ tr tuyt i -Phng trỡnh bc 2, phng bc cao Cỏc phng phỏp gii h phng trỡnh Cỏc phng phỏp ỏnh giỏ giỏ tr ca biu thc B MT S PHNG PHP GII PHNG TRèNH Vễ T I Phng phỏp nõng lờn ly tha Phng phỏp Phng phỏp ny ỏp dng gii mt s phng trỡnh c bn sau Dng 1: f ( x) f ( x ) g ( x ) g ( x) f ( x ) g ( x) Dng 2: f ( x) f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) g ( x) Dng 3: f ( x) f ( x ) g ( x ) h( x ) g ( x ) f ( x) g ( x) f ( x).g ( x) h( x) Dng 4: 2n f ( x) 2n f ( x) g ( x) g ( x) (n N * ) f ( x) g ( x) Dng 5: 2n g ( x) f ( x) g ( x) (n N * ) 2n f ( x) g ( x) Dng 6: n f ( x) n g ( x) f ( x) g ( x) ( n N * ) Dng 7: n f ( x) g ( x) f ( x) g n ( x) (n N * ) Cỏc vớ d Vớ d ii phng trỡnh: x x (1) Gii x x x x3 x x (x 1) x 3x (1) Vớ d ii phng trỡnh: x x Gii Ta cú: x x x x phương trình vô nghiệm 2 x ( x 1) x x ii phng trỡnh: x x 12 x Vớ d Gii Ta cú: x x 12 x x 12 x x x x 12 12 x x (12 x )( x 7) (ĐK TM Đk cũ) x 12 x x (12 x )( x 7) x 12 x 12 x 2 x 8,8 ( x 4) 4( x 7)(12 x) x 84 x 352 Vớ d ii phng trỡnh: x x (1) Gii x KX: x x (2) Cỏch 1: (1) x ( x 2)( x 2) x x x x2 x 17 x (3) Kt hp (2) v (3) ta c: x = Cỏch 2: x x2 x x2 x 9( x 4) x 9( x 2)( x 2) x ( x 2) 9( x 2) x 17 T ú cng tỡm c x=2 l nghim 3x x Vớ d ii phng trỡnh: 3x Gii K: x ú phng trỡnh ó cho tng ng: 3 10 10 x x 3x x x 3 3 Vớ d ii phng trỡnh sau: x x x Gii KX: x phng trỡnh tng ng: x x x 3x 9x x 97 x 3x 18 Vớ d ii phng trỡnh sau: 3 x x x 3 3x x Gii 3 x2 x x 3 3x x Vớ d ii phng trỡnh x 3x x 3x x x 3x x x x x (x ) Gii x 3x x x x x ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 1) x x x x x x x x x x2 x * x x x x ( x 2)( x 1) x2 x x x x2 x x x x 16 * x x Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l S= 2;3 Vớ d 9: ii cỏc phng trỡnh sau: 2x x Gii: 3 2x x 3x 3 2x x( 2x x) thay 2x x ta cú: 3x 3 2x x 2x x x (2x 1)x x x(x 1)2 x1 0;x Th li ch cú x = tha Vy x = l nghim ca phng trỡnh ó cho Nhn xột: Nu dựng phộp bin h qu thỡ sau tỡm c x ta phi th li ri mi kt lun nghim Vớ d 10 ii v bin lun phng trỡnh: x x a Gii x a x a x x 2xa a 2ax (a 4) Ta cú: x x a 2 Nu a = 0: phng trỡnh vụ nghim a2 a2 iu kin cú nghim: x a 2a 2a 2 Nu a > 0: a 2a a a Nu a 0: x 2a2 a2 Nu a < 0: a2 a a Túm li: Nu a ho c < a 2: phng trỡnh cú m t nghim x Nu < a ho c a > 2: phng trỡnh vụ nghim Bi ỏp dng: Bi 1: ii cỏc phng trỡnh sau: a) x x 13 b) x 34 x e) x x d) x x2 x g) x x x x h) x Bi 2: ii phng trỡnh: d) x x a) x x b) x x e) 3x x c) x x f) 3x x x Bi 3: Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim: x2 3x Bi 4: Cho phng trỡnh: x2 x m a) ii phng trỡnh m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 5: Cho phng trỡnh: x2 mx x m a) ii phng trỡnh m=3 b) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh cú nghim Bi 6: ii cỏc phng trỡnh sau: a) x x x x x 17 d) 2 a2 2a c) 2x 3x f) x x 12 x 5x i) g) x x h) x x i) x 4x 2m x x g) x x x x b) 2x e) x x 27 x 12 h) x x c) 3x x i) 5x x 12 f) ( x 3) 10 x x x 12 II Phng phỏp a v phng trỡnh cha n du giỏ tr tuyt i Phng phỏp S dng hng ng thc sau: f ( x ) g( x ) ( Nếu f ( x ) 0) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) (Nếu f ( x ) 0) Cỏc vớ d Vớ d ii phng trỡnh: x 6x x (1) Gii (1) (x 3)2 x |x 3| = x Nu x < 3: (1) x = x vụ nghim) Nu x 3: (1) x = x x = 5,5 tho món) Vy: x = 5,5 Vớ d ii phng trỡnh: x x x x Gii KX: x Phng trỡnh x x 14 2x x 15 Tho món) Vy:x = 15 Vớ d ii phng trỡnh: x x x x Gii KX: x Phng trỡnh x x x x x 1 x 1 Nu x phng trỡnh x x x Loi) Nu x phng trỡnh x x x Luụn ỳng vi x ) Vy nghim ca phng trỡnh l: S x R | x Vớ d ii phng trỡnh: x x x 10 x x x (2) Gii x (2) x x x 2.3 x x x x x | x | 2.| x 1| (*) t u = x (u 0) phng trỡnh ) ó cho tr thnh: u | u 3| | u 1| Nu u < 1: u + + u = 2u u = loi) Nu u 3: u + + u = 2u u = Nu u > 3: u + + u = 2u (vụ s nghim) Vi u = x + = x = tho món) Vy: x = Vi u>3 phng trỡnh vụ s nghim: x -1 Vớ d Cho phng trỡnh x 2ax a2 15 x x a) Khi cho a=-2, hóy gii phng trỡnh; b) Chng minh rng vi mi giỏ tr ca a phng trỡnh cú ỳng hai nghim khỏc x1 , x2 Gii x 2ax a2 15 x x x a x 15 (1) a) Vi a=-2 phng trỡnh 1) cú dng x x x x 15 x x x b) Trng hp 1: x , phng trỡnh 1) tr thnh x x a x 27 x 27 x a x 27 x x x a 27 x a x 27 x x x a x 27 x 2 x a x 27 x a 27 a 27 a 27 a x1 a Suy x1 Trng hp 2: x phng trỡnh 1) tr thnh x a 6a 3a a3 a x2 a Kim tra cỏc khong thy x1 x2 suy iu phi chng minh Tng t TH1 cú x2 Bi ỏp dng: ii cỏc phng trỡnh sau: 1) x x 12) x x x x 2) x x x 13) 3) x x x x 14) x x x x 10 4) x x x 5) x x x x x2 x x2 6x 15) 16) x x x x 6) x x 17) x x x 11 x 7) x x x x 18) x x x x 8) x x x 10 19) x x x 2x 2x 2x 2x x3 1 9) x x x 2 10) x x 5x 11) x x 20) x x 21) x x x x x x 22) ( x 1) x x x III.Phng phỏp t n ph Phng phỏp t n ph thụng thng 1.1 Phng phỏp i vi nhiu phng trỡnh vụ vụ t, gii chỳng ta cú th t t= f(x) ú f(x) l biu thc di du cn ho c biu thc cha du cn v chỳ ý iu kin ca t nu phng trỡnh ban u tr thnh phng trỡnh ch cha m t bin t m ta cú th gii c phng trỡnh ú theo t, thỡ vic t ph xem nh hon ton 1.2 Cỏc vớ d Vớ d ii phng trỡnh: x x2 x x2 Gii KX: x Nhn xột x x x x 1 t t t x x t 0, x thỡ phng trỡnh cú dng: t t Thay vo tỡm c x Vớ d ii phng trỡnh: x2 x x Gii KX: x t2 t t x 5(t 0) thỡ x Thay vo ta cú phng trỡnh sau: t 10t 25 2 (t 5) t t 22t 8t 77 16 2 (t 2t 7)(t 2t 11) Ta tỡm c bn nghim l: t1,2 2; t3,4 Do t nờn ch nhn cỏc giỏ tr t1 2, t3 T ú tỡm c cỏc nghim ca phng trỡnh l: x x Cỏch khỏc: Ta cú th bỡnh phng hai v ca phng trỡnh vi iu kin x2 x Ta c: x ( x 3) ( x 1) , t ú ta tỡm c nghim tng ng n gin nht l ta t: y x v a v h i xng Xem phn t n ph a v h) x Vớ d ii phng trỡnh: x x x 3x Gii x x x iu kin x Ta thy x = khụng phi l nghim ca phng trỡnh Chia c hai v ca phng trỡnh cho x ta c: 1 x x t 1 x t (t 0) ta cú phng trỡnh: t 2t x t (Loại) x2 x t 1 x2 x x ( Thỏa mãn) x Vớ d Gii phng trỡnh x x ( x 1)( x 3) x Vi t=1 suy x Gii iu kin: x t t x x t x ( x 1)( x 3) t t (loại) Phng trỡnh cú dng: t t Vi t=2 ta cú x x x Vi phng trỡnh ny ta cú th gii nh sau Vỡ x x Suy VT 2; VP= - x Du = xy x=1 Tng quỏt: Vi phng trỡnh dng f ( x ) h( x ) a f ( x ).h( x ) g( x ) a l hng s cho trc) Ta xỏc nh iu kin ri t t f ( x ) h( x ) (t 0) t f ( x ) h( x ) f ( x ).h( x ) sau ú tip tc gii Nhn xột: i vi cỏch t n ph nh trờn chỳng ta ch gii quyt c m t lp bi n gin, ụi phng trỡnh i vi t li quỏ khú gii Do vy ta cú th t n ph theo cỏch khỏc 1.3 Bi ỏp dng ii cỏc phng trỡnh sau: 5) x2 x4 x2 x 1) x x 2) x 2004 x x 3) x x x 6) 3x 21x 18 x x 7) x x x x 33 3x x 4) x x x x x 8) x x x x 13 x t n ph a v phng trỡnh thun nht bc i vi bin: 2.1 Phng phỏp Chỳng ta ó bit cỏch gii phng trỡnh: u uv v 1) bng cỏch u u Xột v phng trỡnh tr thnh: v v v th trc tip Cỏc trng hp sau cng a v c 1) a A x bB x c A x B x u v mu nv Chỳng ta hóy thay cỏc biu thc A x), B x) bi cỏc biu thc vụ t thỡ s nhn c phng trỡnh vụ t theo dng ny a) Phng trỡnh dng: a A x b.B x c A x B x Nh vy phng trỡnh Q x P x cú th gii bng phng phỏp trờn nu: P x A x B x Q x aA x bB x Xut phỏt t ng thc: x3 x x x x x x x x x x x x x4 x2 x x2 x x x x x x Hóy to nhng phng trỡnh vụ t dng trờn vớ d nh: x2 2 x x cú m t phng trỡnh p, chỳng ta phi chn h s a,b,c cho phng trỡnh bc hai at bt c gii c b) Phng trỡnh dng: u v mu nv Phng trỡnh cho dng ny thng khú phỏt hin hn dng trờn, nhng nu ta bỡnh phng hai v thỡ a v c dng trờn 2.2 Cỏc vớ d Vớ d ii phng trỡnh: x x3 Gii KX x t u x (u 0) ; v x x (v ) u 2v 37 Phng trỡnh tr thnh: u v 5uv Tỡm c: x u v 2 x x (*) Vớ d ii phng trỡnh: x 3x 2 Gii D thy: x x x x x x x x x 4 2 Ta vit x x x x ng nht v trỏi vi ) ta c: x x x x x 3 x x x x x x x 3 t: u x x u ; v x x v 4 Phng trỡnh tr thnh: -3u+6v=- uv u 3v Suy x2 x 3x2 3x 2x2 4x x 10 ii phng trỡnh: x2 x2 x x Gii Vớ d x KX x u x Ta t: u, v 0; u v ú phng trỡnh tr thnh: u 3v u v2 v x hay: 2(u + v) - (u - v)= u v u v Vớ d ii phng trỡnh: 5x2 14 x x x 20 x Gii iu kin x Chuyn v bỡnh phng ta c: x2 5x x x 20 x Nhn xột: Khụng tn ti s , : x x x x 20 x vy ta u x x 20 v x khụng th t: Ta cú: x x 20 x x x x x x x Ta vit li phng trỡnh: x x x ( x x 5)( x 4) n õy bi toỏn c gii quyt 2.3 Bi ỏp dng Bi ii phng trỡnh sau: x2 5x x3 (*) Bi ii phng trỡnh: x3 3x x 6x Bi ii phng trỡnh: 10 x3 x Bi ii phng trỡnh sau: x2 x x 3x x Phng phỏp t n ph khụng hon ton 3.1 Phng phỏp T nhng phng trỡnh tớch x 1 x x , 2x x 2x x Khai trin v rỳt gn ta s c nhng phng trỡnh vụ t khụng tm thng chỳt no, khú ca phng trỡnh dng ny ph thu c vo phng trỡnh tớch m ta xut phỏt 3.2 Cỏc vớ d Vớ d ii phng trỡnh: x x x x Gii t t x t t x2 ; t , ta cú: t x t 3x 3.3 Bi ỏp dng ii phng trỡnh: a) x2 3x x x x b) ( x 1) x x x 11 c) x2 x x2 x d) 3x x 48 (3x 10) x 15 e) 2( x 1) x x x x f) x x ( x 2) x x 15 39 g) (1 x) x x x h) (4 x 1) x3 x3 x i) x3 3x ( x 2) x3 x j) x x2 2x x2 k) x2 3x x x2 t nhiu n ph a v tớch 4.1 Phng phỏp Xut phỏt t m t s h i s p chỳng ta cú th to c nhng phng trỡnh vụ t m gii nú chỳng ta li t nhiu n ph v tỡm mi quan h gia cỏc n ph a v h Xut phỏt t ng thc a b c a3 b3 c3 a b b c c a , ta cú a3 b3 c3 a b c a b a c b c T nhn xột ny ta cú th to nhng phng trỡnh vụ t cú cha cn bc ba x x2 x x2 8x 3x x x x 4.2 Cỏc vớ d Vớ d ii phng trỡnh: x x x x x x x Gii KX: x u x ; u t v x ; v , ta cú: w x ; w 30 239 x ta c: u 60 120 u v u w 2 u uv vw wu v uv vw wu u v v w , gii h w2 uv vw wu v w u w Vớ d ii phng trỡnh sau: x2 x2 3x x2 x x x Gii a b Ta t: c d 2x2 x 3x 2x 2x a b c d , ú ta cú: 2 2 a b c d x x2 x Vớ d ii phng trỡnh: x2 5x x2 x x 12 x 5x a a, b ta cú: t 2 x x b a b a b a b a b a b a b 1 x x2 5x x2 x x 3 2 x x x x x x x x x Vớ d ii phng trỡnh: x3 3x2 ( x 2)3 6x Gii - t y x ta c phng trỡnh: x3 3x y x x3 y 3x( x 2) x y x3 3xy y nghiờm x 2; 2-2 x y - Chỳ ý cú th sa li bi thnh: x3 ( x 2)(3x x 2) - Bi tng t: x3 3x2 ( x 1)3 3x - Bi tng t: x3 (3x2 x 4) x 4.3 Bi ỏp dng: ii cỏc phng trỡnh sau: 1) x x x x x x x x 2) x2 5x x x x 3) x x 2x x x x t n ph a v h: 5.1.t n ph a v h thụng thng 5.1.1 Phng phỏp t u x , v x v tỡm mi quan h gia x v x t ú tỡm c h theo u,v 5.1.2 Cỏc vớ d Vớ d ii phng trỡnh: x 25 x3 x 25 x3 30 Gii t y 35 x3 x3 y3 35 xy ( x y ) 30 3 x y 35 Khi ú phng trỡnh chuyn v h phng trỡnh sau: gii h ny ta tỡm c ( x; y) (2;3) (3;2) Tc l nghim ca phng trỡnh l x {2;3} Vớ d ii phng trỡnh: x x iu kin: x 13 t x u x v 0u 1,0 v u v u v Ta a v h phng trỡnh sau: u v v v ii phng trỡnh th 2: (v 1) v 0, t ú tỡm v ri thay vo tỡm 2 nghim ca phng trỡnh 5.1.3 Bi ỏp dng ii phng trỡnh: 1) 2x 2x x x 2) x x 5.2 Xõy dng phng trỡnh vụ t t h i xng loi II 5.2.1 Phng phỏp Ta hóy i tỡm ngun gc ca nhng bi toỏn gii phng trỡnh bng cỏch a v h i xng loi II x y Ta xột m t h phng trỡnh i xng loi II sau: y x (1) vic (2) gii h ny thỡ n gin Bõy gi ta s bin h thnh phng trỡnh bng cỏch t y f x cho (2) luụn ỳng, y x , ú ta cú phng trỡnh: x ( x 1) x2 x x Vy gii phng trỡnh: x x x ta t li nh trờn v a v h x ay b Bng cỏch tng t xột h tng quỏt dng bc 2: , ta s xõy dng y ax b c phng trỡnh dng sau: t y ax b , ú ta cú phng trỡnh: a x ax b b a n Tng t cho bc cao hn: x n ax b b Túm li phng trỡnh thng cho di dng khai trin ta phi vit v dng: n x p n a ' x b ' v t y n ax b a v h, chỳ ý v du ca Vic chn ; thụng thng chỳng ta ch cn vit di dng: x n p n a ' x b ' l chn c 5.2.2 Cỏc vớ d Vớ d ii phng trỡnh: x x 2 x Gii 14 iu kin: x Ta cú phng trỡnh c vit li l: ( x 1)2 2 x x x 2( y 1) t y x thỡ ta a v h sau: y y 2( x 1) Tr hai v ca phng trỡnh ta c ( x y )( x y ) ii ta tỡm c nghim ca phng trỡnh l: x Vớ d ii phng trỡnh: x2 x x Gii KX x Ta bin i phng trỡnh nh sau: x 12 x x (2 x 3) x 11 t y x ta c h phng trỡnh sau: (2 x 3) y ( x y )( x y 1) (2 y 3) x Vi x y x x x Vi x y y x x Kt lun: Nghim ca phng trỡnh l {1 2; 3} 5.3 Dng i xng loi I 5.3.1 Phng phỏp Bc 1: t iu kin xỏc nh nu phng trỡnh vụ t cha cỏc cn bc chn) Bc 2: t n ph A( x) a o, B( x) b o ho c B( x) b v A x a Bc 3: ii h phng trỡnh hai n a, b Bc 4:Thay ngc tr li A( x) a, B( x) b tỡm x i chiu KX nu cú tr li) 5.3.2 Cỏc vớ d Vớ d ii phng trỡnh x x (2) Gii KX x t: x a a b a b a b ú ta cú h phng trỡnh 3 x b x 1 x x tha KX) Do ú, ta cú: x 1 x Vy phng trỡnh ó cho cú nghim x=0 Vớ d 2: ii phng trỡnh (2) 97 x x Gii KX x 97 a b t 97 x a 0, x b ú ta cú h phng trỡnh n a , b l: 4 a b 97 15 a b a b a b 25 2ab a b 25 2ab ab 44 ab 44 2 2 a b (25 2ab) 2a b 97 (ab) 50ab 264 ab ab 2 2 gii h phng trỡnh ny ta c a = 3, b = tha KX) v a = , b = tha KX), ú ta cú h phng trỡnh I) 97 x 97 x 81 x 16 tha KX) x 16 x 97 x 97 x 16 x 81 tha KX) x 81 x Vy phng trỡnh ó cho cú nghim S= 16;81 5.3.3 Bi ỏp dng 1) ii phng trỡnh tng quỏt sau: m x x a ú m v a l cỏc tham s cũn x l n) 2) 48 x3 35 x3 13 3)/ 629 x 77 x 5.4 Dng h gn i xng 5.4.1 Phng phỏp (2 x 3)2 y x (1) õy khụng phi l h i xng loi nhng Ta xột h sau: (2 y 3) x chỳng ta gii h c, v t h ny chỳng ta xõy dng c bi toỏn phng trỡnh sau: Bi ii phng trỡnh: x2 13x 3x Nhn xột: Nu chỳng ta nhúm nh nhng phng trỡnh trc: 13 33 x 3x 4 13 t y 3x thỡ chỳng ta khụng thu c h phng trỡnh m chỳng ta cú th gii c thu c h (1) ta t: y 3x , chn , cho h chỳng ta cú th gii c, (i xng hoc gn i xng ) 2 2 y 3x y y 3x (1) Ta cú h: (*) x 13 x y (2) x 13 x y gii h trờn thỡ ta ly 1) nhõn vi k c ng vi 2): v mong mun ca chỳng ta l cú nghim x y 2 Nờn ta phi cú: , ta chn c 2; 13 Ta cú li gii nh sau: iu kin: x , 16 t 3x (2 y 3), ( y ) (2 x 3)2 y x ( x y )(2 x y 5) Ta cú h phng trỡnh sau: (2 y 3) 3x 15 97 Vi x y x 11 73 Vi x y x 15 97 11 73 Kt lun: nghim ca phng trỡnh l: ; 8 Chỳ ý: Khi ó lm quen, chỳng ta cú th tỡm ; bng cỏch vit li phng trỡnh Ta vit li phng trỡnh nh sau: (2 x 3) x x ú t 3x y , nu t y x thỡ chỳng ta khụng thu c h nh mong mun, ta thy du ca cựng du vi du trc cn Mt cỏch tng quỏt f ( x) A.x B y m f ( y ) A '.x m ' Xột h: (1) (2) h cú nghim x = y thỡ: A-A=-B v m=m, Nu t 2) tỡm c hm ngc y g x thay vo 1) ta c phng trỡnh Nh vy xõy dng phng trỡnh theo li ny ta cn xem xột cú hm ngc v tỡm c v hn na h phi gii c 5.4.2 Cỏc vớ d Vớ d 1: ii phng trỡnh 25 x 10 x (1) Gii KX 10 x 10 t 25 x2 a 0, 10 x2 b a b a b a (tha món) a b 15 a b b Khi ú ta cú h phng trỡnh n a,b sau: 2 2 25 x 25 x 16 x Do ú ta cú x x (tha KX) 2 10 x 10 x x Vy nghim ca phng trỡnh vụ t ó cho l v-3 Cỏch2: Bỡnh phng hai v sau t iu kin 10 x 10 25 x 10 x 25 x 10 x 10 x 10 x 10 x x (tha KX) Vy nghim ca phng trỡnh vụ t ó cho l v-3 Vớ d ii phng trỡnh: x x Gii a b KX x , t x a, x b ú ta cú h phng trỡnh: a b 17 T a b = ta cú b = - a thay vo phng trỡnh th hai ca h a3 b2 ta cú a3 (3 a)2 a3 a2 6a (a 1)(a2 6) a ú x a3 x tha KX) Khi ú phng trỡnh cú nghim x=3 Vớ d ii phng trỡnh: x x Gii KX: x a b t x a, x b , ú ta cú h phng trỡnh n a,b l: a b a a a , , b b b ii h ny ta c cỏc nghim: tha món) x TH1:a = , b = ta cú h: x (tha KX) x a b TH2:a =1 , b = ta cú h: a b x x (tha KX) x x TH3:a =-2 , b = ta cú h: x 10 (tha KX) x Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l S = {1;2;10} Nhn xột: T VD ta cú th gii bi toỏn tng quỏt sau: mx mx vi m l tham s, m ) Cỏch gii: t mx a, mx b ú ta cng cú h phng trỡnh a b sau a b cho ta cỏc nghim a = v b = 1; a =1 v b = 0; a =-2 v b = 3 mx TH1:a = v b = ú ta cú h phng trỡnh: mx x m mx mx 1 TH2:a = 1v b = ú ta cú h phng trỡnh: mx x mx 10 TH3:a = -2 v b = ú ta cú h phng trỡnh x m Vớ d 4: ii phng trỡnh x x x x Gii Vi iu kin: x3 x x3 x t u x3 x2 Vi v > u v x x m (1) Phng trỡnh 1) tr thnh u + v = Ta cú h phng trỡnh 18 uv 2 v u u v uv u (v u )(v u ) v v u x x x x x3 x2 x x x3 x2 ( x 1)( x x 2) x 1( x x 0) Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l S = {1} 5.4.3 Bi ỏp dng ii cỏc phng trỡnh sau 1) x x 2) 24 x 12 x 3) x x 4) 10 2x 2x 5) 32 x x 6) x 82 x 7) x 20 x IV.Phng phỏp nhõn liờn hp Phng phỏp M t s phng trỡnh vụ t ta cú th nhm c nghim x0 nh vy phng trỡnh luụn a v c dng tớch x x0 A x ta cú th gii phng trỡnh A x ho c chng minh A x vụ nghim, chỳ ý iu kin ca nghim ca phng trỡnh ta cú th ỏnh gớa A x vụ nghim S dng cỏc biu thc liờn hp Biu thc Biu thc liờn hp Tớch A+B A-B A2-B2 A-B A+B A2-B2 A+B A2-AB+B2 A3+B3 A-B A2+AB+B2 A3-B3 Cỏc vớ d Vớ d 1: ii phng trỡnh: x x x x x (1) Gii Cỏch 1: KX x x 1 x2 x x2 2x x x x x 3x x x x x 2x 2x 19 x x x x Nu x ta cú x x x x x x x x ii 3) ta tỡm c x x x x x Nu x -2 ta cú x x x x x x x x ii 4) ta tỡm c x Cỏch 2: K: x x Nu x ta chia c hai v cho x ta c: x x x Bỡnh phng hai v sau ú gii phng trỡnh ta tỡm c x Nu x -2 t t = -x t Thay vo phng trỡnh ta c t t t t t t t t t t 2 Chia c hai v cho t ta c t t t Bỡnh phng hai v tỡm c t Sau ú tỡm x Trong cỏch ta ó s dng kin thc liờn hp Cũn cỏch ta dng kin thc xỏc nh v n ca phng trỡnh Nhỡn chung thỡ vic dng theo cỏch n gin hn Vớ d ii phng trỡnh sau: 3x 5x x x x x 3x Gii Ta nhn thy: 3x x 3x 3x x v x 2 x 3x x Ta cú th trc cn thc v: x 3x x x x 3x x x 3x D dng nhn thy x = l nghim nht ca phng trỡnh Vớ d ii phng trỡnh sau: 10 x 3x x x Gii 10 x x iu kin x (1) 3x x x x 10 x x 3x x x x 1 10 x x 3x x Vy phng trỡnh cú nghim x=3 Vớ d ii phng trỡnh sau: x2 12 3x x2 Gii 20 x 12 x 3x x phng trỡnh cú nghim thỡ: Ta nhn thy: x = l nghim ca phng trỡnh, nh vy phng trỡnh cú th phõn tớch v dng x A x , thc hin c iu ú ta phi nhúm, tỏch nh sau: x2 x 12 3x x 2 x 12 x x2 x2 x2 x x x 2 x2 x 12 x2 x2 D dng chng minh c: 0, x 2 x 12 x x2 Vớ d ii phng trỡnh: x x2 x2 x x2 x Gii KX: x Nhõn vi lng liờn hp ca tng mu s ca phng trỡnh ó cho ta c: x x x x x x 3.x x x x 3 x x 2 3.x x 27 x x ; x2 x4 x 4 4 2 ( x 3) x x 4( x 3) x x ii h trờn ta tỡm c x Vớ d 6: ii phng trỡnh 3x x 3x 2 x (1) Gii Điều kiện x (1) x x( x 2) x 2 x x x( x 2) 2x2 x 3x x(3 x 6) x( x 2) 3x 3x 2x2 x x 3x 3x 2x (2) x 3x 2x2 x Ta có: 3x x (3 x x x 1) A 3x 2x2 x 3x 2x2 x 21 18 x 12 x 17 nên x x x 0, x 3 x 3x Vì x Suy A>0 phng trỡnh 2) vụ nghim Vy Phng trỡnh cú nghim x=2 Bi ỏp dng: ii phng trỡnh: 1) x x x x x 2) x x x x x Tng quỏt: f x g x f x h x f x 3x 3) 4) 5) 6) 3x 10 3x x x x3 x2 2x x9 3x ( 3x 1) 3x 10 7) x x 2x x x x 2 8) x x x x x x x 9) 10 x 3x x x 10) x 16 x 18 x x V.Phng phỏp ỏnh giỏ Kin thc c bn a Dựng hng ng thc: T nhng ỏnh giỏ bỡnh phng: A2 B , ta xõy dng phng trỡnh dng A2 B T phng trỡnh phng trỡnh: 5x x x 12 x x x x x x ta khai trin cú b Dựng bt ng thc A m nu du B m M t s phng trỡnh c to t du bng ca bt ng thc: bng (1) v (2) cựng t c ti x0 thỡ x0 l nghim ca phng trỡnh A B Ta cú: x x Du bng v ch x v x , du x bng v ch x=0 Vy ta cú phng trỡnh: 2015 x 2015 x x x 22 A f x ú: B f ( x) ụi m t s phng trỡnh c to t ý tng: A f x A B B f x Nu ta oỏn trc c nghim thỡ vic dựng bt ng thc d dng hn, nhng cú nhiu bi nghim l vụ t vic oỏn nghim khụng c, ta dựng bt ng thc ỏnh giỏ c Cỏc vớ d Vớ d ii phng trỡnh: 13 x2 x4 x x 16 Gii: iu kin: x Bin i phng trỡnh ta cú: x2 13 x2 x2 256 p dng bt ng thc Bunhiacopxki: 13 13 x2 3 x2 13 27 13 13x 3x 40 16 10x 2 2 16 p dng bt ng thc Cụsi: 10 x 16 10 x 64 2 x x2 x Du bng 10 x 16 10 x x 2 Vớ d Gii phng trỡnh: x3` 3x x 40 4 x Gii Ta chng minh: x x 13 v x 3x2 8x 40 x x x 13 2x 2x 2x 2x Gii: Vớ d 3: ii phng trỡnh: iu kin: x > 0; x < 2x 2x 2x 2x p dng BT Cụ si suy VT Du = xy 4x2 = 4x2 + 4x + x khụng tha iu kin Vy phng trỡnh vụ nghim Vớ d 4: ii phng trỡnh: x x Gii: iu kin: x Vi x phng trỡnh cú VT du = xy x = Vy nghim ca phng trỡnh l x = Vớ d 5: ii phng trỡnh: x2 + x - 2x + 1= Gii: 23 iu kin: x -1 phng trỡnh c bin i thnh (x 1)2 x (x 1) + x =0 khụng tỡm c x x x Vy phng trỡnh vụ nghim Bi ỏp dng ii cỏc phng trỡnh sau x x x 10 x 14 x x 1) 2) x 94 96 x x 190 x 9027 3) 8x x x 2x 4) 5) 6) x2 2x x3 4x 7) 2x 2x 8) x 3x 8x 40 4 x 4 2x 2x 2x 2x x x x x 9) x4 4 x4 x4 10) 16 x x3 x 11) x3` 3x x 40 4 x 12) x3 64 x3 x 8x 28 C KT QU TRIN KHAI CHUYấN TI N V MèNH Vi n i dung chuyờn trờn cỏ nhõn tụi ó ỏp dng vo ging dy cho i tuyn HS lp Hu ht sau hc xong chuyờn ny cỏc em ó c bn nm c m t s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t v dng tt vo gii cỏc phng trỡnh vụ t cỏc thi HS v thi vo lp 10 24 [...]... iải phương trình: x  x  1  1 Giải: Điều kiện: x 0 Với x 0 phương trình có VT 1 dấu “ =” xảy ra khi x = 0 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 Ví dụ 5: iải phương trình: x2 + x  1 - 2x + 1= 0 Giải: 23 Điều kiện: x -1 phương trình được biến đổi thành (x  1)2  0 x  1 2 (x – 1) + x  1 =0     không tìm được x x   1   x  1  0 Vậy phương trình vô nghiệm 3 Bài tập áp dụng iải các phương. .. (*) Bài 2 iải phương trình: x3  3x 2  2  x  2 3  6x  0 Bài 3 iải phương trình: 10 x3  1  3  x 2  2   Bài 4 iải phương trình sau: x2  2 x  2 x  1  3x 2  4 x  1 3 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 3.1 Phƣơng pháp Từ những phương trình tích x  1 1 x  1  x  2  0 , 2x  3  x 2x  3  x  2  0      Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm... của phương trình vô tỉ đã cho là 3 và-3 Cách2: Bình phương hai vế sau khi đ t điều kiện  10  x   10  25  x 2  3  10  x 2  25  x 2  9  10  x 2  6 10  x 2  6  6 10  x 2  1  10  x 2  x  3 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm của phương trình vô tỉ đã cho là 3 và-3 Ví dụ 2 iải phương trình: 3 x  2  x  1  3 Giải a  b  3 ĐKXĐ x  1 , đ t 3 x  2  a, x  1  b  0 khi đó ta có hệ phương. .. x  2  0) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1} 5.4.3 Bài tập áp dụng iải các phương trình sau 1) 3 2  x  x 1  1 2) 3 24  x  12  x  6 3) 3 x  2  x  1  3 4) 10  2x  2x  3  1 5) 32  x 2  1  x 2  4 6) 3 x 1  3  4 82  x 7) x  4 20  x  4 IV.Phƣơng pháp nhân liên hợp 1 Phƣơng pháp M t số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa... bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II 2   x  1  y  2 Ta xét m t hệ phương trình đối xứng loại II sau:  2   y  1  x  2 (1) việc (2) giải hệ này thì đơn giản Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đ t y  f  x  sao cho (2) luôn đúng, y  x  2  1 , khi đó ta có phương trình:  x  1 2  ( x  2  1)  1  x2  2 x  x  2 Vậy để giải phương trình: ... Với n i dung chuyên đề trên cá nhân tôi đã áp dụng vào giảng dạy cho đ i tuyển HS lớp 9 Hầu hết sau khi học xong chuyên đề này các em đã cơ bản nắm được m t số phương pháp giải phương trình vô tỉ và vận dụng tốt vào để giải các phương trình vô tỉ trong các đề thi HS và thi vào lớp 10 24 ... Phƣơng pháp Xuất phát từ m t số hệ “đại số đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đ t nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ 3 Xuất phát từ đẳng thức  a  b  c   a3  b3  c3  3 a  b b  c  c  a  , ta có a3  b3  c3   a  b  c    a  b  a  c b  c   0 3 Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ. .. dụ 1 iải phương trình: x 2  2 x  2 2 x  1 Giải 14 Điều kiện: x  1 2 Ta có phương trình được viết lại là: ( x  1)2  1  2 2 x  1  x 2  2 x  2( y  1) Đ t y  1  2 x  1 thì ta đưa về hệ sau:  2  y  2 y  2( x  1) Trừ hai vế của phương trình ta được ( x  y )( x  y )  0 iải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x  2  2 Ví dụ 2 iải phương trình: 2 x2  6 x  1  4 x  5 Giải ĐKXĐ... 2  Ta đưa về hệ phương trình sau:  2 u 2  v 4  2  1  1  v   v 4  2  1    4 2  2 1   iải phương trình thứ 2: (v  1)   v  4   0, từ đó tìm ra v rồi thay vào tìm 2  2 2 nghiệm của phương trình 5.1.3 Bài tập áp dụng iải phương trình: 1) 6  2x 6  2x 8   5 x 5 x 3 2) x  5  x  1  6 5.2 Xây dựng phƣơng trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II 5.2.1 Phƣơng pháp Ta hãy đi tìm... TH2:a = 1và b = 0 khi đó ta có hệ phương trình:   mx  1  x    mx  1  0 10 TH3:a = -2 và b = 3 khi đó ta có hệ phương trình  x  m Ví dụ 4: iải phương trình x 3  x 2  1  x 3  x 2  2  3 Giải Với điều kiện: x3  x 2 1  0  x3  x 2  2  0 3 2  Đ t  u  x3  x2  1 Với v > u v  x  x  2 m (1) 0 Phương trình 1) trở thành u + v = 0 Ta có hệ phương trình 18  uv 3  2 2 v  u  ... x3 x x (x 1) x 3x (1) Vớ d ii phng trỡnh: x x Gii Ta cú: x x x x phương trình vô nghiệm 2 x ( x 1) x x ii phng trỡnh: x x 12 x Vớ d Gii Ta cú: x x 12