MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈVới nội dung chuyên đề trên tôi đã áp dụng vào giảng dạy cho độituyển HS lớp 9. Hầu hết sau khi học xong chuyên đề này các em đã cơ bản nắm được một số phương pháp giải phương trình vô tỉ và vận dụng tốt vào để giải các phương trình vô tỉ trong các đề thi HS giỏi và thi vào lớp 10.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH XUYÊN

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Người thực hiện: Đỗ Đức Anh; SĐT: 0988865901 Đơn vị công tác: GV Trường THCS Lý Tự Trọng Đối tượng bồi dưỡng: HSG Lớp 9

Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 18 tiết

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

A.LÝ THUYẾT

I Định nghĩa

Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong các dấu căn

II Các bước thường dùng khi giải phương trình vô tỉ

Bước 1: Tìm ĐKXĐ

Bước 2: Lựa chọn phương pháp giải phù hợp và giải bài toán

Bước 3: Đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm

III Các kiến thức liên quan

1 Các phép biến đổi tương đương phương trình, các phép biến đổi hệ quả phương trình

2 Các phép biến đổi căn thức

3 Các dạng phương trình đã học

-Phương trình bậc nhất

-Phương trình tích

-Phương trình chứa ẩn ở mẫu

-Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

-Phương trình bậc 2, phương bậc cao

4 Các phương pháp giải hệ phương trình

5 Các phương pháp đánh giá giá trị của biểu thức

B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I Phương pháp nâng lên lũy thừa

* 2

x x

Kết hợp (2) và (3) ta được: x = 2

Cách 2:

 

2 2 2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S= 2;3

Ví dụ 9: iải các phương trình sau:3 2x 1  3 x 1

Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho

Nhận xét: Nếu dùng phép biến hệ quả thì sau khi tìm được x ta phải thử lại rồi mới kết luận nghiệm

Ví dụ 10 iải và biện luận phương trình: 2

4 2a2 a2 ≤ 4  0   a 2

Nếu a < 0: a2

4 ≤ 2a2 a2 4  a ≤ –2 Tóm lại:

– Nếu a ≤ –2 ho c 0 < a ≤ 2: phương trình có m t nghiệm x a2 4

a) iải phương trình khi m=3

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

Bài 6: iải các phương trình sau:

– Nếu x < 3: (1)  3 – x = – x vô nghiệm)

– Nếu x  3: (1)  x – 3 = 8 – x  x = 5,5 thoả mãn) Vậy: x = 5,5

Nếu x 2 phương trình  x   1 1 x   1 1 2  x 2 Loại)

Nếu x 2 phương trình  x    1 1 1 x  1 2  0x 0 Luôn đúng với x) Vậy tập nghiệm của phương trình là: S xR| 1  x 2

Với u = 3  x + 1 = 9  x = thoả mãn) Vậy: x = 8

Với u>3 phương trình vô số nghiệm: x -1

Ví dụ 5 Cho phương trình 2 2 2

x  axa   x  xa) Khi cho a=-2, hãy giải phương trình;

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a phương trình có đúng hai nghiệm

a x

Tương tự TH1 có 2 3 nÕu 1 hoÆc 2 3 nÕu 1

Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ, để giải chúng ta có thể đ t t= f(x) trong đó

f(x) là biểu thức dưới dấu căn ho c biểu thức chứa dấu căn và chú ý điều kiện của t

nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chỉ chứa m t biến t mà ta có thể giải được phương trình đó theo t, thì việc đ t phụ xem như “hoàn toàn”

Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: x  1 2 vµ x  2 3

Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện

2

2x  6x  1 0

x x  x  , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng

Đơn giản nhất là ta đ t: 2y  3 4x 5 và đưa về hệ đối xứng Xem phần đặt ẩn

Điều kiện 1 0 1

x x

Với phương trình này ta có thể giải như sau

Vì x  1 x  3 2 Suy ra VT 2; VP= 4 - 2x 2. Dấu “=” xảy ra khi x=1

Tổng quát: Với phương trình dạng f x( )  h x( ) a f x h x( ) ( ) g x( ) a là hằng số cho trước)

Ta xác định điều kiện rồi đ t 2

( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) 2 ( ) ( )

t f x  h x t  t f x h x  f x h x

sau đó tiếp tục giải

Nhận xét: Đối với cách đ t ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được m t lớp

bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải Do vậy ta có thể đ t ẩn phụ theo cách khác

20 1

2.3 Bài tập áp dụng

Bài 1 iải phương trình sau:2x2 5x  1 7 x3 1(*)

Bài 2 iải phương trình: 3 2  3

Bài 3 iải phương trình: 3  2 

10 x   1 3 x  2

Bài 4 iải phương trình sau: x2 2x 2x  1 3x2 4x 1

3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

2 2

4

1 1

2 2

nghiệm của phương trình

giải hệ này thì đơn giản

Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đ t y f x  sao cho (2) luôn đúng, y x  2 1, khi đó ta có phương trình:

Trừ hai vế của phương trình ta được (xy x)( y)  0

iải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x  2 2

Ta biến đổi phương trình như sau: 4x2  12x  2 2 4x  5 (2x 3) 2  2 4x  5 11

Đ t 2y  3 4x 5 ta được hệ phương trình sau:

Bước 3: iải hệ phương trình hai ẩn a, b

Bước 4:Thay ngược trở lại A x( ) a, B x( ) b để tìm x Đối chiếu ĐKXĐ

a b ab

a b ab

giải 2 hệ phương trình này ta được a = 3, b = 2 thỏa mãn ĐKXĐ) và a = 2 , b =

3 thỏa mãn ĐKXĐ), khi đó ta có hệ phương trình I)

4

4

16 16

2

x x

3

x x

chúng ta vẫn giải hệ được, và từ hệ này chúng ta xây dựng được bài toán phương trình

sau:

Bài 1 iải phương trình: 4x2  5 13x 3x  1 0

Nhận xét: Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước:

Để thu được hệ (1) ta đ t: y  3x 1, chọn  , sao cho hệ chúng ta có thể

giải được, (đối xứng hoặc gần đối xứng )

2 2

Ta viết lại phương trình như sau: (2x 3)2   3x   1 x 4

khi đó đ t 3x   1 2y 3, nếu đ t 2y  3 3x 1 thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn, ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn

Nếu từ 2) tìm được hàm ngược yg x  thay vào 1) ta được phương trình

Như vậy để xây dựng phương trình theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được

Vậy nghiệm của phương trình vô tỉ đã cho là 3 và-3

Cách2: Bình phương hai vế sau khi đ t điều kiện  10   x 10

Từ a b = 3 ta có b = 3 - a thay vào phương trình thứ hai của hệ 3 2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1;2;10}

Nhận xét: Từ VD 3 ta có thể giải bài toán tổng quát sau:3 2 mx mx  1 1

với m là tham số, m 0)

Cách giải:Đ t3

2 mx a, mx   1 b 0 khi đó ta cũng có hệ phương trình sau 3 21

2 3

x x

v

x x

u

Với v > u 0

Phương trình 1) trở thành u + v = 0

Ta có hệ phương trình

1 1

2 2

1 1

2

1 1

3 3

) )(

(

3 3

v

v u u

Nếu x 1 ta chia cả hai vế cho x ta được: x 2 x  1 2 x

Bình phương hai vế sau đó giải phương trình ta tìm được x

Nếu x-2 Đ t t = -x  t 2 Thay vào phương trình ta được

2 2

Chia cả hai vế cho t ta được t 2 t  1 2 t

Bình phương hai vế tìm được t

Sau đó tìm ra x

Trong cách 1 ta đã sử dụng kiến thức liên hợp Còn trong cách 2 ta vận dụng kiến thức miền xác định về ẩn của phương trình Nhìn chung thì việc vận dụng theo cách đơn giản hơn

Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 3 iải phương trình sau: 10x  1 3x  5 9x  4 2x 2

Vậy phương trình có nghiệm x=3

Ví dụ 4 iải phương trình sau: 2 2

Giải

2 2

Suy ra A>0 phương trình 2) vô nghiệm

Vậy Phương trình có nghiệm x=2

bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại x0 thì x0là nghiệm của phương trình AB

Ta có: 1  x 1  x 2 Dấu bằng khi và chỉ khi x 0 và 1 1 2

Đôi khi m t số phương trình được tạo ra từ ý tưởng:  

2 1

5 1

Với x 0 phương trình có VT 1 dấu “ =” xảy ra khi x = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1

Ví dụ 5: iải phương trình: x2

+ x 1 - 2x + 1= 0

Giải:

Điều kiện: x -1 phương trình được biến đổi thành

8 2

x

x   4) 4 3

2 8

x   x

x  x  x  x 6) x3  3x2  8x 40  8 4 4 x 4

C KẾT QUẢ TRIỂN KHAI CHUYÊN ĐỀ TẠI ĐƠN VỊ MÌNH

Với n i dung chuyên đề trên cá nhân tôi đã áp dụng vào giảng dạy cho đ i tuyển HS lớp 9

Hầu hết sau khi học xong chuyên đề này các em đã cơ bản nắm được m t số phương pháp giải phương trình vô tỉ và vận dụng tốt vào để giải các phương trình

vô tỉ trong các đề thi HS và thi vào lớp 10