PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1.Cơ sở lí luận: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc là một trong những phần kiến thức xuyên suốt trong chương trình hình học. Nó là cơ sở cho nhiều kiến thức hình học sau này, không chỉ trong mặt phẳng mà trong cả không gian. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc giúp cho học sinh có những kĩ năng chứng minh hình học, nhận biết hình và đặc biệt đó là một phần kiến thức cơ bản giúp cho học sinh có thể thực hành khai thác bài toán, làm cho tư duy hình học của học sinh phát triển. Khai thác bài toán nói chung và khai thác phát triển bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc nói riêng sẽ là một trong những phương pháp giúp phát triển tư duy, khả năng sáng tạo cho học sinh. 1.2. Cơ sở thực tiễn: Học sinh trung học cơ sở chưa biết hoặc hệ thống còn chưa đầy đủ các phương pháp chứng minh hình học nói chung và chứng minh hai đường thẳng vuông góc nói riêng. Học sinh chưa biết cách khai thác một bài toán hình học, chưa đúc rút được kinh nghiệm qua mỗi bài giải. Thời gian trên lớp học còn hạn chế nên việc hệ thống lại các phương pháp chứng minh cho học sinh còn hạn chế ở mọi cấp lớp. Vì vậy trong khuôn khổ cho phép, em xin nghiên cứu đề tài về “ Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong chương trình toán THCS”. 2. Mục đích nghiên cứu: Giúp cho học sinh nắm vững những kiến thức cơ bản có liên quan đến chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Củng cố cho học sinh những kĩ năng chứng minh hình học. Giúp cho học sinh có sự hệ thống trong phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Giúp cho học sinh biết cách khai thác một bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Làm cho học sinh thêm sự hứng thú khi học phân môn hình học nói chung và khi học chứng minh hai đường thẳng vuông góc nói riêng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ một số vấn đề sau: Tôi đã đề xuất một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong hình học phẳng Sưu tầm một số bài toán về chuyên đề chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Sưu tầm một số ví dụ cụ thể để thấy rõ việc nắm chắc các phương pháp có thể giải quyết dễ dàng một bài toán chứng minh. 4.Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản có liên quan đến chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong chương trình toán trung học cơ sở. Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong chương trình toán trung học cơ sở. PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Các kiến thức trong chương này được trích ở mục số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 trong tài liệu tham khảo. 1. Đường thẳng vuông góc và đường thẳng song song. 1.1 Hai đường thẳng vuông góc: Định nghĩa 3, trang 84: Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc và kí hiệu là xx’ yy’. Tiên đề Ơclit về đường thẳng vuông góc 3, trang 92: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước. Đường trung trực của đoạn thẳng: Định nghĩa 3, trang 85: Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy. Tính chất: Khi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì ta cũng nói AB đối xứng nhau qua đường thẳng d. 1.2 Hai đường thẳng song song: Định nghĩa: Là hai đường thẳng không có điểm chung. Ký hiệu: ab. Tính chất 3, trang 93: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: Hai góc đồng vị bằng nhau. Hai góc so le trong bằng nhau . Hai góc trong cùng phía bù nhau. 1.3 Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của ba đường thẳng 3, trang 96: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng cùng song song với nhau. Ba đường thẳng d, d, d song song với nhau từng đôi một thì ta nói ba đường thẳng ấy song song với nhau. Kí hiệu d d d. 2. Tam giác 2.1 Tam giác vuông: Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông (góc ). Định lí 4, trang 65: Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông (định lí đường trung tuyến ). Định lí Pytago 3, trang 129: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. ∆ABC vuông tại A, ta có: BC2=AB2+AC2 Định lí Pytago đảo 3, trang 129: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bẳng tổng bình phương các cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông, ∆ABC: BC2=AB2+AC2. 2.2 Đường trung trực của tam giác 4, trang 78: Định nghĩa: Đường trung trực của cạnh của tam giác là đường trung trực của tam giác. Định lí: Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác. Tính chất: Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến tương ứng với cạnh này. 2.3 Đường cao của tam giác 4, trang 81: Định nghĩa: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao. Định lí: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này gọi là trực tâm. Tính chất: Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện. 2.4 Tam giác cân 3, trang 125: Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Tính chất: Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau. Tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. 3. Đường tròn 3.1 Định nghĩa, các tính chất liên quan và sự xác định đường tròn: Định nghĩa: Đường tròn là tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm I cho trước một khoảng bằng R cho trước. Điểm I gọi là tâm của đường tròn. R gọi là bán kính của đường tròn. Nếu đường tròn có tâm I bán kính R thì ký hiệu là (I; R). Tính chất liên quan đến đường tròn 7, trang 97: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm ở ngoài đường tròn thì đường thẳng đi qua điểm đó và tâm đường tròn phải vuông góc với dây cung nối hai tiếp điểm. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó. Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó. Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. Sự xác định đường tròn 7, trang 97: Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một bởi một điều kiện của nó. Nếu AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm M sao cho góc. Khi đó tâm O sẽ là trung điểm của AB còn bán kính thì bằng R=AB2. Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng luôn vẽ được một đường tròn và chỉ một mà thôi. 3.2 Tiếp tuyến của đường tròn 7, trang 110 – 115: Định nghĩa: Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó có một điểm chung với đường tròn. Điểm đó được gọi là tiếp điểm. Đường tròn nội tiếp của tam giác là: Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp của tam giác đó. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của ba đường phân giác của tam giác. Đường tròn bàng tiếp của tam giác là: Đường tròn tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài của hai cạnh kia. Tính chất: Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Ngược lại, đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán kính với đường tròn được gọi là tiếp tuyến. Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đến hai tiếp điểm: Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. 3.3 Đường kính và dây cung của đường tròn 7, trang 102: Định nghĩa: Đường kính là: Trong hình học phẳng, đường kính của một đường tròn là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ trên đường tròn đó. Dây cung là: Nếu hai đường thẳng chứa hai dây cung AB và CD của một đường tròn (hai cát tuyến) cắt nhau tại P, (tính chất phương tích của một điểm). Tính chất: Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. Trong đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây ấy. Trong đường tròn, đường kính đi qua trung điểm với một dây không qua tâm thì vuông góc với dây. 3.3 Tứ giác nội tiếp đường tròn 8, trang 87: Định nghĩa: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn. Tính chất: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng hai góc vuông. Ngược lại, trong một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn. 3.4 Định lí bốn điểm: Định lí: Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau khi và chỉ khi tổng bình phương của hai cạnh đối diện bằng nhau. Định lí 1 (định lí thuận): Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Định lí 2 (định lí đảo): Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. 4 Góc: 4.1 Định nghĩa và các tính chất liên quan đến góc: Định nghĩa: Trong hình học phẳng, Góc nằm giữa hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Hai đường thẳng được gọi là cạnh của góc. Giao điểm của chúng gọi là đỉnh của góc. Tính chất: Góc ở tâm (góc có đỉnh ở tâm đường tròn) 8, trang 60: Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn. Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm 8, trang 77: Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây bằng một nửa số đo của cung bị chắn. Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn 8, trang 80: Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy. Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn 8, trang 81: Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc. 4.2 Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 8, trang 72: Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên một đường tròn và hai cạnh của nó cắt đường tròn. Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. Hệ quả: Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn thì bằng nhau. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông . Trong một đường tròn, mọi góc nội tiếp không quá 90O có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung . 4.3 Cách dựng tâm O của cung chứa góc trên đoạn AB 8, trang 60: Dựng đường trung trực d của AB. Dựng tia Ax tạo với AB một góc µ, sau đó dựng Ax’ vuông góc với Ax. O là giao của Ax’ và d. 4.4 Quỹ tích cung chứa góc 8, trang 83: Quỹ tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc µ không đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc µ dựng trên đoạn thẳng AB. Đặc biệt là cung chứa góc là đường tròn đường kính AB.
TRNG I HC QUNG BèNH KHOA KHOA HC - T NHIấN - HONG TH THANH HUYN MT S PHNG PHP CHNG MINH HAI NG THNG VUễNG GểC TRONG CHNG TRèNH TON THCS KHểA LUN TễT NGHIấP I HC KHểA: 2013 - 2017 Quang Binh, nm 2017 Li Cm n Trong quỏ trỡnh tụi thc hin khúa lun t t nghi p tụi ó gp rt nhiu khú khn Nhng nh vo s giỳp ng viờn ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn em ó hon thnh khúa lun ny Li u tiờn tụi xin gi n thy giỏo ThS Trn M nh Hựng li cm n sõu sc nht, cm n thy ó trc tip hng dn, giỳp tn tỡnh chu ỏo cho tụi quỏ trỡnh th c hin khúa lun ny V hon thnh khúa lun ny, chỳng tụi rt trõn trng cm n cỏc quý thy cụ khoa Khoa h c t nhiờn sut quỏ trỡnh ging dy ó cung cp kin thc nn tng tụi cú th nghiờn cu c Tụi cng xin gi li cm n n quý thy cụ ó dnh thi gian quý bỏu ca mỡnh c v gúp ý cho khúa lun ca tụi, quỏ trỡnh lm khúa lun khụng trỏnh kh i nh ng khuyt im, thit sút kớnh mong nhn c s úng gúp ch bo ca cỏc quý thy cụ Tụi xin chõn thnh cm n ! ng Hi, thỏng nm 2017 Sinh viờn thc hin Hong Th Thanh Huyn LI CAM OAN Tụi xin cam oan khúa lun tt nghip ny l t bn thõn thc hin cú s h tr t giỏo viờn hng dn v khụng chộp cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca ngi khỏc Cỏc d liu thụng tin th cp s dng khúa lun l cú ngun gc v c trớch dn rừ rng Tụi xin chu hon ton trỏch nhim v li cam oan ny! Sinh viờn Hong Th Thanh Huyn DANH MC T VIT TT Ch cỏi vit tt/ký hiu Cmt pcm gt kt ^ // g.g c.g.c THCS Cm t y Chng minh trờn iu phi chng minh Gi thit Kt lun Tam giỏc Gúc ng dng Song song Thuc Gúc - gúc Cnh- gúc- cnh Vuụng gúc Trung hc c s MC LC Cú ADEM l t giỏc ni tip nờn (vỡ cựng chn) (1.2) 10 (gúc cú nh bờn ngoi ng trũn) 21 Ta cú: + = 27 Tớnh cht gúc ni tip chn na ng trũn .28 nh ngha ba ng cao tam giỏc, nh ngha ng trung trc ca on thng, ng cao v cnh i din tam giỏc 30 PHN I: M U Lý chn ti 1.1.C s lớ lun: Chng minh hai ng thng vuụng gúc l mt nhng phn kin thc xuyờn sut chng trỡnh hỡnh hc Nú l c s cho nhiu kin thc hỡnh hc sau ny, khụng ch mt phng m c khụng gian Chng minh hai ng thng vuụng gúc giỳp cho hc sinh cú nhng k nng chng minh hỡnh hc, nhn bit hỡnh v c bit ú l mt phn kin thc c bn giỳp cho hc sinh cú th thc hnh khai thỏc bi toỏn, lm cho t hỡnh hc ca hc sinh phỏt trin Khai thỏc bi toỏn núi chung v khai thỏc phỏt trin bi toỏn chng minh hai ng thng vuụng gúc núi riờng s l mt nhng phng phỏp giỳp phỏt trin t duy, kh nng sỏng to cho hc sinh 1.2 C s thc tin: Hc sinh trung hc c s cha bit hoc h thng cũn cha y cỏc phng phỏp chng minh hỡnh hc núi chung v chng minh hai ng thng vuụng gúc núi riờng Hc sinh cha bit cỏch khai thỏc mt bi toỏn hỡnh hc, cha ỳc rỳt c kinh nghim qua mi bi gii Thi gian trờn lp hc cũn hn ch nờn vic h thng li cỏc phng phỏp chng minh cho hc sinh cũn hn ch mi cp lp Vỡ vy khuụn kh cho phộp, em xin nghiờn cu ti v Mt s phng phỏp chng minh hai ng thng vuụng gúc chng trỡnh toỏn THCS Mc ớch nghiờn cu: Giỳp cho hc sinh nm vng nhng kin thc c bn cú liờn quan n chng minh hai ng thng vuụng gúc Cng c cho hc sinh nhng k nng chng minh hỡnh hc Giỳp cho hc sinh cú s h thng phng phỏp chng minh hai ng thng vuụng gúc Giỳp cho hc sinh bit cỏch khai thỏc mt bi toỏn chng minh hai ng thng vuụng gúc Lm cho hc sinh thờm s hng thỳ hc phõn mụn hỡnh hc núi chung v hc chng minh hai ng thng vuụng gúc núi riờng Nhim v nghiờn cu: t c mc ớch trờn, ti cú nhim v lm rừ mt s sau: Tụi ó xut mt s phng phỏp chng minh hai ng thng vuụng gúc hỡnh hc phng Su tm mt s bi toỏn v chuyờn chng minh hai ng thng vuụng gúc Su tm mt s vớ d c th thy rừ vic nm chc cỏc phng phỏp cú th gii quyt d dng mt bi toỏn chng minh 4.i tng nghiờn cu: Cỏc kin thc c bn cú liờn quan n chng minh hai ng thng vuụng gúc chng trỡnh toỏn trung hc c s Cỏc phng phỏp chng minh hai ng thng vuụng gúc chng trỡnh toỏn trung hc c s PHN II: NI DUNG CHNG I: MT S KIN THC C S Cỏc kin thc chng ny c trớch mc s: [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8] ti liu tham kho ng thng vuụng gúc v ng thng song song 1.1 Hai ng thng vuụng gúc: nh ngha [3, trang 84]: Hai ng thng xx v yy ct v cỏc gúc to thnh cú mt gúc vuụng c gi l hai ng thng vuụng gúc v kớ hiu l xx yy Tiờn -clit v ng thng vuụng gúc [3, trang 92]: Cú mt v ch mt ng thng a i qua im O v vuụng gúc vi ng thng a cho trc ng trung trc ca on thng: nh ngha [3, trang 85]: ng thng i qua trung im ca on thng v vuụng gúc vi on thng c gi l ng trung trc ca on thng y Tớnh cht: Khi d l ng trung trc ca on thng AB thỡ ta cng núi AB i xng qua ng thng d 1.2 Hai ng thng song song: nh ngha: L hai ng thng khụng cú im chung Ký hiu: a//b Tớnh cht [3, trang 93]: Nu mt ng thng ct hai ng thng song song thỡ: Hai gúc ng v bng Hai gúc so le bng Hai gúc cựng phớa bự 1.3 Quan h gia tớnh vuụng gúc v tớnh song song ca ba ng thng [3, trang 96]: Hai ng thng phõn bit cựng vuụng gúc vi mt ng thng th ba thỡ chỳng song song vi Mt ng thng vuụng gúc vi mt hai ng thng song song thỡ nú cng vuụng gúc vi ng thng Hai ng thng phõn bit cựng song song vi mt ng thng th ba thỡ chỳng cựng song song vi Ba ng thng d, d', d'' song song vi tng ụi mt thỡ ta núi ba ng thng y song song vi Kớ hiu d // d' // d'' Tam giỏc 2.1 Tam giỏc vuụng: o nh ngha: Tam giỏc vuụng l tam giỏc cú mt gúc vuụng (gúc 90 ) nh lớ [4, trang 65]: Nu mt tam giỏc cú trung tuyn thuc mt cnh bng na cnh y thỡ tam giỏc ú l tam giỏc vuụng (nh lớ ng trung tuyn ) nh lớ Pytago [3, trang 129]: Trong mt tam giỏc vuụng, bỡnh phng ca cnh huyn bng tng bỡnh phng hai cnh gúc vuụng ABC vuụng ti A, ta cú: BC2=AB2+AC2 nh lớ Pytago o [3, trang 129]: Nu mt tam giỏc cú bỡnh phng ca mt cnh bng tng bỡnh phng cỏc cnh cũn li thỡ tam giỏc ú l tam giỏc vuụng, ABC: BC2=AB2+AC2 2.2 ng trung trc ca tam giỏc [4, trang 78]: nh ngha: ng trung trc ca cnh ca tam giỏc l ng trung trc ca tam giỏc nh lớ: Ba ng trung trc ca tam giỏc cựng i qua mt im im ú cỏch u ba nh ca tam giỏc ả 1=M ả a, Ta cú: MH // AO ( vỡ cựng vuụng gúc vi Ax) suy ra: M ả =à ả =M ả A1 nờn M Mt khỏc: M b, Tia phõn giỏc My ct ng trũn ti mt im th hai l B Ta cú ãAMB = 90o (tớnh cht hai tia phõn giỏc ca hai gúc k bự) Suy AB l ng kớnh ca ng trũn (o), ú B l mt im c nh Tớnh cht gúc ni tip chn na ng trũn Trong mt ng trũn: a) Cỏc gúc ni tip bng chn cỏc cung bng b) Cỏc gúc ni tip chn mt cung hoc chn cỏc cung bng thỡ bng c) Gúc ni tip ( nh hn hoc bng ) cú s o bng na s o ca gúc tõm cựng chn mt cung d) Gúc ni tip chn na ng trũn l gúc vuụng Bi 1: Cho hai ng trũn (o) v (o) ct to A v B V cỏc ng kớnh AC v AD ca hai ng trũn Chng minh rng ba im C, B, D thng hng Bi lm: Ni BA, BC, BD ta cú: A ãABD = ãABD = 90 (gúc ni tip chn na ng trũn) o Suy ra: ãABC = ãABD =O 180o Vy C, B, D thng hng O C B D Bi tp2: Cho mt ng trũn tõm O, ng kớnh AB v S l mt im nm ngoi ng trũn SA v SB ln lt ct ng trũn ti M, N Gi H l giao im ca BM v AN Chng minh rng SH vuụng gúc vi AB Bi lm: BM SA ( ãAMB = 90o vỡ l gúc ni tip chn na ng trũn) Tng t, cú: AN SB Nh vy BM v AN l hai ng cao ca tam giỏc SAB v H l trc tõm Suy SH AB (Trong mt tam giỏc ba ng cao ng quy) Bi 3: Cho na ng trũn (O) ng kớnh AB Mt ng trũn (K) tip xỳc vi ng trũn (O) Ti C v tip xỳc vi AB ti D Gi E v F ln lt l giao im ca CA, CB vi ng trũn (K) Chng minh rng: a, Ba im A, K, F thng hng b, KD EF Bi lm: ã Ta cú OCB = ãABC = 90o (gúc ni tip chn na ng trũn ng kớnh AB) ã suy ECF = 90o ú EF l ng kớnh ca ng trũn (K) Vy E, K, F thng hng b, Hai ng trũn (O) v (K) tip xỳc vi ti C ú ba im O, K, C thng hng ã ã ã Ta cú: CEK (cựng chn OCB ) EF // AB Mt khỏc KD AB nờn = CBO KD EF nh ngha ba ng cao tam giỏc, nh ngha ng trung trc ca on thng, ng cao v cnh i din tam giỏc Bi 1: Cho hỡnh trờn Chng minh: NS ML Bi lm: Chng minh: NS ML Xột MNL, ta cú: LP MN, suy LP l ng cao th nht, MQ LN MQ l ng cao th hai, v LP ct MQ ti S, suy S l trc tõm ca MNL Nờn NS l ng cao th ba Vy NS ML Bi 2: Cho tam giỏc ABC cõn ti A, cú ng cao CH ct tia phõn giỏc gúc A ti D Chng minh BD vuụng gúc AC Bi lm: Xột tam giỏc ABC cõn ti A Cú: AE l tia phõn giỏc, nờn AE ng cao th nht CH ng cao th hai M AE ct CH ti D, suy D l trc tõm Ta cú: BD l ng cao th ba, suy ra: BD vuụng gúc AC Bi 3: Cho ng trũn tõm O, ng kớnh AB, S l mt im nm bờn ngoi ng trũn SA v SB ln lt ct ng trũn ti M, N Gi H giao im ca BM v AN Chng minh rng SH vuụng gúc vi AB Bi lm: Ta cú: M , N O, AB ữ 1ằ ã AMB = AB ãANB = ằAB ãAMB = ãANB = 90o AM MB; AN NB AM MB Trong SAB cú: AN NB Suy ra: AN, BM l hai ng cao ca SAB Li cú: AN BM = { H } ,nờn SH l ng cao ca SAB Vy H l trc tõm ca SAB 10 Tớnh cht tip tuyn ca ng trũn v ng thng th ba Bi 1: Cho hỡnh thang ABCD ( AB //CD), àA = 90o hai ng chộo ct ti K Bit AD = AB AC a, Chng minh rng AC BD b, Gi M l trung im CD, chng minh rng KM l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ADK Bi lm: a, Ta cú: AD = AB AC suy AD AB = CD AD ả = 90O àA = D = 90O nờn ABD ~ DAC (c.g.c) ú A1 = D Mt khỏc : àA = D ả =D ả = 90o ả = 90o Suy ãAKD = 90o Vy AC BD A1 + D Ta cú: D 2 ằ KD ả =à b, KCM vuụng ti K, m MC = MD nờn MK = MD suy K A1 = Vy KM l tip tuyn ca ng trũn (AKD) Bi 2: Cho tam giỏc cõn ti A,cỏc gúc u nhn, ni tip ng trũn (O; 2,5) Hai ng cao BE, CF ct ti H V ng kớnh AD Chng minh rng t giỏc BHCD l hỡnh thoi Bi lm: Ta cú: ãABD = 90O ãABD = 90O ; ãACD = 90O (gúc ni tip chn na ng trũn ng kớnh AD) suy BD // CF; CD // BE (cựng vuụng vi ng thng th ba) Vy t giỏc BHCD l hỡnh bỡnh hnh Ta cú: AB = AC; OB = OC nờn AO l ng trung trc ca BC, Suy AO BC, ú AO i qua H Hỡnh bỡnh hnh Y BHCD cú hai ng chộo vuụng gúc nờn nú l hỡnh thoi 11 S dng tớnh cht tam giỏc cõn, tam giỏc u, hỡnh ch nht Bi tp1: Cho tam giỏc ABC, cỏc ng cao BD v CE Gi M, N l chõn cỏc ng vuụng gúc k t B, C n DE Gi I l trung im ca DE, K l trung im ca BC Chng minh rng: KI vuụng gúc vi ED ABC Gi thit BD AC ; CE AB IE = ID; KB = KC Kt lun KI ED Xột BDC cú: DK l ng trung tuyn DK = BC (7.1) Xột BEC cú: EK l ng trung tuyn Vy EK = BC (7.2) T (7.1) v (7.2) cú DK = EK Vy KD ED (trong tam giỏc cõn ng trung tuyn ng thi l ng cao ng phõn giỏc) Bi 2: Cho gúc vuụng xOy, im A thuc tia Ox, im B thuc tia Oy Gi D, E theo th t l trung im ca OA, OB ng vuụng gúc vi OA ti D v ng vuụng gúc vi OB ti E ct C Chng ming rng: a) CE // OD b) CE CD Bi lm: a, Theo gi thit ta cú: CE Oy; OD Oy suy ra: CE // OD ( vỡ cựng vuụng gúc vi Oy) (pcm) =O =D = 90o ( gt ) C = 90o (vỡ tng cỏc gúc b) Xột t giỏc ECDO cú: E mt t giỏc 360o ) Nờn t giỏc ECDO l hỡnh ch nht Vy CE CD (pcm) Bi 3: Cho tam giỏc ABC cõn ti A, AB > BC, ni tip ng trũn (O) V ng kớnh BD, trờn cung CD ly im M V tia Bx AM, ct tia CM ti E Chng minh rng cỏc tam giỏc MBE, ABE cõn Bi lm: T giỏc ABCM ni tip => ãAME = ãABC = ãACB = ãAMB BME cú MA va l ng phõn giỏc, va l ng cao nờn l tam giỏc cõn, MA l ng trung trc ca BE, ú AB = AC suy ABE cõn 12 S dng tớnh cht ng kớnh i qua trung im ca dõy cung thỡ vuụng gúc vi dõy cung Bi tp1: Cho tam giỏc ABC, cỏc ng cao BD v CE Gi M, N l chõn cỏc ng vuụng gúc k t B, C n DE Gi I l trung im ca DE, K l trung im ca BC Chng minh rng: KI vuụng gúc vi ED Gi thit ABC BD AC ; CE AB IE = ID; KB = KC Kt lun KI ED Bi lm: Vỡ BD AC ; CE AB Nờn t giỏc BEDC ni tip Suy ra: KI ED (ng kớnh i qua trung im dõy cung thỡ vuụng gúc vi dõy cung ú) Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú ng phõn giỏc BE (E thuc AC) ng trũn ng kớnh AB ct BE, BC ln lt ti M, N (M, N khỏc B) ng thng AM ct BC ti K chng minh rng AE.AN = AM.AK Bi lm: Vỡ CA AB suy CA tip xỳc vi ng trũn ng kớnh AB v ANK cú ãAME = ãANK = 90o Hai tam giỏc AME v ANK cú ãAME = ãANK = 90o ã ã ã Mt khỏc MAE = ãABE = MBN = NAM Suy ra: AME ~ ANK nờn AN AK = AN AE = AM AK AM AE 13 S dng nh lý hai ng thng song song ng no vuụng gúc vi ng th nht thỡ cng vuụng gúc vi ng th hai v chỳng song song vi hai ng thng vuụng gúc khỏc Bi 1: Cho ng trũn tõm O, ng kớnh AB, S l mt im nm bờn ngoi ng trũn SA v SB ln lt ct ng trũn ti M, N Gi H giao im ca BM v AN Chng minh rng SH vuụng gúc vi AB Bi lm: K tip tuyn Bx vi (O) ti B suy ra: Bx AB (8.1) T giỏc SMHN cú ả = Sà (8.2) ã ã SMH = SNH = 90o Nờn Y SMHN l t giỏc ni tip Vy M 1 ả =B = NB ằ Li cú: M (8.3) 1 M hai gúc ny v trớ so le T (8.2) v (8.3) suy Sà = B 1 Suy ra: SH // Bx T (8.3) v (8.4) Vy SH AB (8.4) Bi 2: Cho gúc vuụng xOy, im A thuc tia Ox, im B thuc tia Oy Gi D, E theo th t l trung im ca OA, OB ng vuụng gúc vi OA ti D v ng vuụng gúc vi OB ti E ct C Chng ming rng : a) CE // OD b) CE CD Bi lm: a, Theo gi thit ta cú: CE Oy; OD Oy suy ra: CE // OD ( vỡ cựng vuụng gúc vi Oy) (pcm) b, Theo cõu a ta cú CE // OD ã = 90o ) Li cú CD // OE (Vỡ OD ^ Ox v xoy ã = 90o Nờn CE CD Mt khỏc OD ^ OE Vỡ xoy PHN III: KT LUN Trong ti ny tụi ó trỡnh by c nhng c bn sau: Ch v trớch dn c cỏc kin thc c s v chng minh hai ng thng vuụng gúc H thng cỏc phng phỏp chng minh hai ng thng vuụng gúc H thng bi phự hp vi tng dng phng phỏp c th T nhng phng phỏp gii bi toỏn chng minh hai ng thng vuụng gúc tụi ó rỳt mt s bi hc sau: i vi nhng bi toỏn cú cu trỳc ging quỏ trỡnh gii thng d nhm ln mỏy múc gia bi toỏn ny vi bi toỏn khỏc Vỡ vy c so sỏnh phõn bit tng dng toỏn Phi hiu bi toỏn bng cỏch gi ý hoc lp h thng cõu hi Do ú cn phi nm chc cỏc d kin ca bi, phi túm tt toỏn theo cỏch ngn ngn, d hiu a nhiu cỏch gii bi toỏn v trỡnh t cỏc bc, cỏc phộp tớnh phi chớnh xỏc khoa hc Vic nghiờn cu cỏc phng phỏp chng minh trờn l mt c hi chỳng ta luyn v dng cỏc kin thc khc sõu trớ nh giỳp ớch cho vic hc mụn hỡnh hc ca hc sinh Tuy nhiờn s hn ch v mt kinh nghim, nng lc, thi gian, ti liu, vỡ vy quỏ trỡnh khai thỏc v trin khai ti khụng trỏnh nhng thiu sút Rt mong c úng gúp ý kin ca quý thy cụ giỏo v cỏc bn ti hon thin hn TI LIU THAM KHO [1] Phan c Chớnh (Tng ch biờn) (2006) - Toỏn 6, Tp 1, Nh xut bn giỏo dc Vit Nam [2] Phan c Chớnh (Tng ch biờn) (2005) - Toỏn 6, Tp 2, Nh xut bn giỏo dc Vit Nam [3] Phan c Chớnh (Tng ch biờn) (2006) - Toỏn Tp1, Nh xut bn giỏo dc Vit Nam [4] Phan c Chớnh (Tng ch biờn) (2006)- Toỏn Tp 2, Nh xut bn giỏo dc Vit Nam [5] Phan c Chớnh (Tng ch biờn) (2006)- Toỏn Tp 1, Nh xut b n giỏo dc Vit Nam [6] Phan c Chớnh (Tng ch biờn) (2006) - Toỏn Tp 2, Nh xut bn giỏo dc Vit Nam [7] Phan c Chớnh (Tng ch biờn) (2006)- Toỏn Tp 1, Nh xut bn giỏo dc Vit Nam [8] Phan c Chớnh (Tng ch biờn) (2006) - Toỏn Tp 2, Nh xut bn giỏo dc Vit Nam [9] Tụn Thõn (Ch biờn) (2006)- Bi toỏn (Tp 2), Nh xut bn giỏo dc Vit Nam [10] Tụn Thõn (Ch biờn) (2006)- Bi toỏn (Tp - 2), Nh xut bn giỏo dc Vit Nam [11] Tụn Thõn (Ch biờn) (2006)- Bi toỏn (Tp 2), Nh xut bn giỏo dc Vit Nam [12] Nhúm tỏc gi: Nguyn c Tn, Nguyn Anh Hong, Lng Anh Vn, Bựi Ruy Tõn, Trng c Long, V c on, Nguyn c Húa (2003) - Li gii thi toỏn 8, Nh xut bn i hc quc gia thnh ph H Chớ Minh [13] Nguyn c Tn (2003)- V thờm yu t ph gii mt s bi toỏn hỡnh hc, Nh xut bn giỏo dc [14] Tỏc gi: Vng Dng Thu - Lờ Thng Nht - Nguyn Anh Quõn (2003)Tuyn thi mụn toỏn THCS, Bi 14, 21, 42, 47 [15] Tỏc gi Phm Vn c Nguyn Hong Khang (2003)- Tuyn chn 400 bi toỏn 8, Bi 251 trang 153 [13] Tỏc gi Tụn Thõn V Hu Bỡnh - Nguyn V Thanh Bựi Vn Tuyờn- Cỏc dng toỏn v phng phỏp gii toỏn tp1(2003), Bi 12 trang 187; 10 trang 202; 11 trang 203 NHN XẫT CA GING VIấN HNG DN Ging viờn hng dn (Ký, ghi rừ h tờn) NHN XẫT CA PHN BIN Phn bin (Ký, ghi rừ h tờn) NHN XẫT CA PHN BIN Phn bin (Ký, ghi rừ h tờn) ... CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định nghĩa: Phương pháp: Để chứng minh hai đường vuông góc thực chất ta chứng minh góc. .. ba đường thẳng [3, trang 96]: Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song vuông góc với đường thẳng Hai. .. khảo Đường thẳng vuông góc đường thẳng song song 1.1 Hai đường thẳng vuông góc: Định nghĩa [3, trang 84]: Hai đường thẳng xx’ yy’ cắt góc tạo thành có góc vuông gọi hai đường thẳng vuông góc kí