cac phuong phap chung minh tu giac noi tiep va ung dung

Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳn[r]

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Lĩnh vực mơn: Tốn

Cấp học: Trung học sở

PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lí chọn đề tài.

1.1 Cơ sở lý luận:

Trong lĩnh vực giáo dục, số vấn đề quan tâm bàn luận sôi từ nhiều thập niên qua là: Đổi phương pháp dạy học Ở Nghị IV, khóa II năm 1993, Đảng ta đề nhiệm vụ: “Phải đổi phương pháp dạy học tất cấp học, bậc học” đến Nghị TWII, khóa VIII lại tiếp tục khẳng định: “Phải đổi phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư sáng tạo người học” Định hướng pháp chế hóa Luật giáo dục điều 24.2 ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh phù hợp đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào sống, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập học sinh

Bước sang kỉ XXI, khoa học công nghệ phát triển vũ bão ngành Giáo dục có nhiệm vụ vô nặng nề phải đào tạo hệ tương lai phải người biết hành động cách động sáng tạo Để thực nhiệm vụ tất cấp học, ngành học phải áp dụng phương pháp dạy học theo hướng “Phát huy tính tích cực người học” nhân tố có vai trò thúc đẩy nhà trường phát triển gắn kết, hịa nhập với phát triển cơng nghệ, tạo nguồn lực đem lại lợi ích to lớn cho tồn xã hội

1.2 Cơ sở thực tế:

Đối với học sinh lớp học tốn đường trịn chun đề tứ giác nội tiếp toán liên quan quan trọng Đóng vai trị đơn vị kiến thức trọng tâm nội dung Hình Học lớp Mà đa số em sợ học hình, số biết đến chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn nào, cịn biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm ?

Ta biết có nhiều phương pháp để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Khi biết tứ giác nội tiếp đường trịn suy góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện với hay vận dụng Định lý mối liên hệ giữ loại góc đường trịn để tìm cặp góc Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta vận dụng để giải số tốn hay khó

Với lý đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu cho là: “Phương pháp tứ giác nội tiếp”

Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp học sinh nắm rõ phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để giải số tốn hay khó sau:

Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn Chứng minh đường tròn qua điểm cố định

Chứng minh quan hệ đại lượng

Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để tìm quỹ tích điểm Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để dựng hình

Như vậy, giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp đường tròn” 3 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp khảo sát thực tiễn - Phương pháp đọc tài liệu

- Thống kê, lập bảng số liệu đối sánh

- Rút kinh nghiệm trình giảng dạy 4 Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9A5 trường THCS Phương Trung - Phạm vi nghiên cứu : Được gói gọn với đơn vị kiến thức trọng tâm mơn Hình Học lớp 9, học kì năm học 2016-2017

5 Kế hoạch nghiên cứu

Tháng 9-10 : Khảo sát thực tế

Tháng 11-12: Nghiên cứu tìm giải pháp giảng dạy cho phương pháp tứ giác nội tiếp

Các tháng lại áp dụng giải pháp tìm để nâng cao hiệu việc vận dụng chứng minh tập Hình Học lớp

6 Khảo sát thực trạng chưa thực đề tài.

Khi phân cơng dạy mơn Tốn lớp 9A5, từ đầu năm tiến hành khảo sát thực tế, kết sau:

* Số liệu điều tra trước thực hiện: a Điều tra, khảo sát tâm lý, sở thích:

Lớp 9A5: Tổng số 44 học sinh Tôi đưa câu hỏi khảo sát sau: “Mơn học em u thích ? ”

Kết quả:

Khơng thích Bình thường Thích

24/44 15/44 5/44

(54,55%) (34,09%) (11,36%)

Nhận xét:

b Điều tra qua tập học sinh:

Tôi thu kiểm tra 44 tập học sinh Kết quả:

Không làm tập Làm tập qua loa, đối phó (chép sách giải tập)

Làm tập

20/44 14/44 10/44

(45,46%) (31,81%) (22,73%)

Nhận xét:

Tỉ lệ học sinh làm tập trước đến lớp thấp, học sinh không làm tập chiếm tỉ lệ cao

* Kết khảo sát chất lượng đầu năm:

Lớp TS

HS

TB (%)

Phân loại (%)

G % K % TB % Y % Kém %

9A5 44 4,5 11,4 27 61,4 10 22,7 0

PHẦN B:NỘI DUNG

TÊN ĐỀ TÀI: “PHƯƠNG PHÁP TỨ GIÁC NỘI TIẾP” 1 Cơ sở lí luận vấn đề nghiên cứu.

Để nghiên cứu viết đề tài vào sở lí luận khoa học sau:

1.1 Về phương pháp dùng phương pháp phân tích – tổng hợp:

Giả sử A giả thiết toán, B kết luận toán: Để chứng minh A  B, ta chứng minh A  A1 A2  B

Các quan hệ kéo theo nói trình bày dạng: A1  A2 (lí do) hoặc: (lí do) A1 A2

Trong q trình tìm lời giải toán, ta thường:

a - Khai thác giả thiết toán : Từ A  A1, từ A1  A2 , Và cuối suy Am

b - Phân tích lên từ kết luận tốn: Để chứng minh B ta chứng minh B1 , để chứng minh B1 ta chứng minh B2,…, cuối ta chứng minh Bn

Nếu chứng minh Am  Bn tốn chứng minh A  B chứng minh với sơ đồ sau: A  A1 A2  … Am Bn  …. B2 B1  B 1.2 Một số phương pháp chứng minh hai góc nhau.

* Phương pháp 1: Là hai góc đồng vị (hay so le trong) hai đường thẳng song song…

* Phương pháp 2: Áp dụng định lý góc có cạnh tương ứng song song hay vng góc

* Phương pháp 3: Là hai góc tương ứng hai tam giác đồng dạng

* Phương pháp 4: (Tính chất góc nội tiếp, góc tia tiếp tuyến dây cung)…

Ngoài ta cịn sử dụng phương pháp bắc cầu, phụ, bù để chứng minh hai góc

1.3 Các toán quỹ tích cung chứa góc.

Bài tốn 1: Quỹ tích điểm M cho AMB 90  0 , AB một đoạn cho trước đường trịn đường kính AB

Bài tốn 2: Quỹ tích điểm M tạo với hai mút đoạn thẳng AB cho trước AMB có số đo khơng đổi  (0o <  < 180o) hai cung tròn đối xứng qua AB gọi cung chứa góc  dựng đoạn AB

1.4 Định lý thuận, đảo “Tứ giác nơị tíêp đường trịn” Trang 87, 88 SGK Toán tập

1.6 Dựa vào định nghĩa đường tròn. 2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu. 2.1 Đặc điểm nhà trường

Trường THCS Phương Trung thuộc địa bàn xã Phương Trung, trường có số lượng học sinh đơng, đứng thứ huyện Tổng số cán bộ, giáo viên, nhân viên 65 người Tổ Khoa Học Tự Nhiên có 28 người, số giáo viên có chun mơn giảng dạy mơn Tốn 17, có giáo viên hợp đồng

Trường nằm địa bàn đông dân với nhiều thành phần kinh tế khác phức tạp, có ảnh hưởng đến nhận thức học tập học sinh Một số phụ huynh quan tâm đến việc học tập em số cịn thờ ơ, chưa có phối hợp với nhà trường việc giáo dục ý thức học cho em Trường có đội ngũ giáo viên nhiệt tình, nhiều giáo viên giảng dạy lâu năm có kinh nghiệm; đội ngũ giáo viên trẻ giàu nhiệt huyết, chuẩn trình độ chun mơn

Ban lãnh đạo nhà trường tạo khối đoàn kết trí cao tập thể sư phạm Chi nhà trường đạo kịp thời, sâu sát Chính quyền, cơng đồn, đồn niên phối hợp với nhịp nhàng, chặt chẽ, sở tôn trọng lẫn nhau, góp phần thúc đẩy nhà trường thực tốt kế hoạch năm học hội nghị cán bộ, viên chức đề Hội Khuyến học, Ban đại diện cha mẹ học sinh hoạt động có hiệu góp phần thúc đẩy nhà trường không ngừng phát triển

2.2 Những ưu điểm bất cập thực vấn đề nghiên cứu 2.2.1 Những ưu điểm :

Việc đổi phương pháp dạy học “lấy học sinh làm trung tâm” áp dụng nhà trường giúp học sinh phát huy vai trò chủ động việc lĩnh hội kiến thức, kích thích khả sáng tạo học sinh trình học tập Cùng với việc đổi phương pháp, số phương tiện, kĩ thuật dạy học đại áp dụng vào trình giảng dạy giáo viên lớp giúp học sinh động mang lại hiệu cho học

Hàng năm, Sở giáo dục Đào tạo Hà Nội, phòng giáo dục đào tạo huyện Thanh Oai tổ chức chun đề tập huấn cho giáo viên mơn Tốn với mục đích nâng cao chất lượng học tập môn

2.2.2 Những bất cập:

đảo tứ giác nội tiếp, … Đặc biệt phải biết hệ thống kiến thức sau học xong chương III hình học Đây việc làm quan trọng giáo viên học sinh

Trên thực tế cách chứng minh tứ giác nội tiếp thể định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK tốn tập SGK đặc biệt hố, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tuy nhiên chưa đặt dấu hiệu thành hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu sở dấu hiệu Dẫn đến học sinh lúng túng tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn Trong nhiều tập khơng u cầu chứng minh tứ giác nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp lại chứng minh yêu cầu toán rễ dàng

3.

Những giải pháp:

3.1Học sinh nắm phương pháp để học tốt mơn Hình học lớp

Đối với bạn học sinh cấp 2, đặc biệt bạn học sinh lớp mơn Tốn mơn học khó đạt điểm cao có nhiều kiến thức tốn vẽ hình, tính tốn phức tạp Để học giỏi mơn Hình học lớp nói riêng mơn Tốn nói chung, ta cần lưu ý thêm điều sau đây:

3.1.1.Nắm thật lý thuyết.

Chương trình Tốn lớp có nhiều lý thuyết, định nghĩa, định lý, bạn phải nắm thật lý thuyết, thuộc định lý hiểu áp dụng chúng vào tập Đặc biệt chương trình Hình học lớp bạn phải nắm thật phần lý thuyết hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông, tỷ số lượng giác cuả góc nhọn hình vng…đặc biệt lý thuyết đường tròn, bạn phải nắm các định nghĩa như: góc nội tiếp, tính chất tiếp tuyến cắt Nếu bạn không nhuần nhuyễn định nghĩa, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, quy định góc với đường trịn v.v…thì bạn khơng thể sáng tạo giải tốn hình học

3.1.2 Rèn luyện kỹ vẽ hình

Đối với mơn Hình học lớp 9, để làm cách xác bạn cần đọc thật kỹ đề Khi vẽ hình nên vẽ hình bút chì để dễ dàng sửa lại lỗi sai Nên vẽ hình thật to rõ ràng để làm dễ dàng 3.1.3 Rèn luyện kỹ giải toán.

khi gặp tương tự, ngồi bạn cịn phải đọc sách tham khảo để có tốn dạng toán riêng

3.1.4.Đọc nhiều sách tham khảo

Có nhiều sách tham khảo chương trình Hình học lớp để tìm đọc luyện tập Nên chọn loại sách có ví dụ bản, dễ hiểu với cách làm khoa học có phần giải thích rõ ràng để nắm ý quan trọng cách làm

3.2 – Kiến thức

3.2.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp * Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm trờn đường trịn đó.

* Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD

3.2.2.Định lý.

* Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o.

* Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

3.2.3 Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800.

- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện. - Tứ giác có đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm

đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một góc 

3.2.4 Một số toán hay khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.

Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn Chứng minh đường tròn qua điểm cố định

Chứng minh quan hệ đại lượng

Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích điểm Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để dựng hình

3.3 - Bài tập minh họa.

3.3.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.

Bài toán 1:

Cho tam giác ABC, đường cao BB’, CC’

C' B' A

O

C B

Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp Chứng minh:

Cách 1: Lấy O trung điểm cạnh BC Xét BB’C có : BB'C 90  (GT)

OB’ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền  OB’ = OB = OC = r (1)

Xét BC’C có : BC'C 90  (GT)

Tương tự  OC’ = OB = OC = r (2) Từ (1) (2)  B, C’, B’, C  (O; r)  Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn Cách 2: Ta có: BB’  AC (GT)  BB'C 90 

CC’  AB (GT)  BC'C 90 

 B’, C’ nhìn cạnh BC góc vng  B’, C’ nằm đường trịn đường kính BC

Hay tứ giác BC’B’C nội tiếp đường trịn đường kính BC Phương pháp 2: Dựa vào định lý

Bài toán 2:

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), đường cao BB’, CC’ a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp

b/ Tia AO cắt (O) D cắt B’C’ I Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp

Chứng minh: a/ (Bài toán 1)

b/ Từ câu a  BCB' BC'B' 180 

(Tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp)

Mà : BCB' BDA (hai góc nội tiếp chắn cung AB)  BDI BC'I 180 

O

B C

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  A C 180   0 B + D 180   0

I

O C' B'

B

A

C

 Tứ giác BDIC’ nội tiếp đường trịn (Tổng số đo hai góc đối tứ giác 1800)

Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc Bài tốn 3:

Cho  ABC cân A nội tiếp (O) Trên tia đối tia AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho AM=CN

Chứng minh tứ giác AMNO nội tiếp

Chứng minh:

Ta có:  ABC cân A O tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC  A = A 

AOC cân O (vì OA = OC) A = C1 nên A = A  C1 Mà A OAM1 1800  

0

1 180

C OCN   AOM = OCN 

Xét OAM OCN có :

OA = OC; AOM = OCN  (chứng minh trên) AM = CN (giả thiết)

 OAM = OCN (c.g.c)

 AMO = CNO  hay AMO = ANO 

 Tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề M N nhìn cạnh OA góc)

Phương pháp 4: Dựa vào đặc điểm tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện.

Bài toán 4:

B

1

1 O

2

C M

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp đường trịn

Chứng minh:

Ta có :



 

 

sd AD MB MEP

2

 

( góc có đỉnh nằm bên (O))

Mà

 sdDM

DCP

2



(góc nội tiếp)

Hay



 

 

sd AD MA DCP

2



 

Lại có : AM MB

Nên : MEP= DCP

Nghĩa là: Tứ giác PEDC có góc ngồi đỉnh E góc đỉnh C Vậy tứ giác PEDC nội tiếp đường trịn

Bài tốn 5: (Bài tập tổng hợp phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp) Cho hình vẽ:

Biết AC  BD O, OE AB E; OF  BC F; OG  DC G; OH AD H

Hãy tìm tứ giác nội tiếp hình vẽ bên

Chứng minh:

* Các tứ giác nội tiếp có hai góc đối góc vng là: AEOH; BFOE; CGOF; DHOG

* Các tứ giác nội tiếp có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện là:

AEFC; AHGC; BEHD; BFGD Thật vậy: Xét tứ giác AEFC

Ta có: EAC = EOB  (cùng phụ với ABO )

 

BFE = EOB (Hai góc nội tiếp chắnEB )

 EAC = BFE 

Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tương tự

* Tứ giác EFGH nội tiếp có tổng hai góc đối 1800

Thật vậy: Ta có : OEH = OAH  (Hai góc nội tiếp chắnOH )

 

OAH = HOD (vì phụ với AOH )

 

HOD = HGD (Hai góc nội tiếp chắnHD )

 OEH = HGD 

Chứng minh tương tự ta : OEF = FGC  Từ : OEH + OEF = HGD + FGC    FEH=HGD+FGC

Mặt khác: HGD + FGC HGF 180   

 FEH HGF 180   ( điều phải chứng minh)

3.3.2 Bài toán hay khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp Bài toán Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn. a Phương pháp:

Nếu ta phải chứng minh điểm A, B, C, D, E cựng nằm đường tròn, ta chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp tứ giác ABCE nội tiếp Suy ra điểm A, B, C, D điểm A, B, C, E nằm đường tròn Hai đường tròn có ba điểm chung A, B, C nên theo định lý xác định đường trịn chúng phải trùng Từ suy điểm A, B, C, D, E cùng nằm đường trịn.

b Ví dụ: (Bài tốn đường trịn Euler) Chứng minh rằng,

một tam giác bất kì, ba trung điểm cạnh, ba chân đường cao, ba trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh trờn đường trịn

Chứng minh:

Ta có: ME đường trung bình AHC ND đường trung bình BHC

l

O

N P

M

H L

K

I D

F E

B C

 ME = ND =

HC

 Tứ giác MNDE hình bình hành (1)

Lại có : ME // CH (vì ME đường trung bình AHC) MN // AB (vì MN đường trung bình HAB)

Mà CH  AB (giả thiết)  ME  MN (2)

Từ (1) (2)  Tứ giác MNDE hình chữ nhật

Gọi O trung điểm MD  O trung điểm NE Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM)

Chứng minh tương tự ta hình chữ nhật FMPD nội tiếp (O; OM)

Vì MID = 90  I  (O; OM)

Vì FLP = 90 ; NKE 90   0 L; K  (O; OM) Vậy ta có : điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L  (O; OM)

(Điều phải chứng minh) c.Bài tập:

1 Cho hình bình hành ABCD có A nhọn Đường trịn tâm A bán kính AB cắt đường thẳng BC điểm thứ hai E Đường trịn tâm C bán kính CB cắt đường thẳng AB điểm thứ hai K Chứng minh rằng:

a DE = DK

b Năm điểm A, D, C, K, E thuộc đường tròn

2 Cho hai đường trịn (O) (O’) ngồi nhau.Kẻ tiếp tuyến chung AB A’B’, tiếp tuyến chung CD EF (A, A’, C, E  (O); B, B’, D, F  (O’)) Gọi M giao điểm AB EF, N giao điểm CD A’B’ H giao điểm MN OO’ Chứng minh rằng:

a MN  OO’

b Năm điểm O’, B, M, H, F thuộc đường tròn c Năm điểm O, A, M, E, H thuộc đường trịn Bài tốn Chứng minh đường tròn qua điểm cố định.

a Phương pháp:

Nếu ta phải chứng minh đường tròn (ABC) qua điểm cố định: Cách 1: Ta xét thêm điểm D cố định chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Từ suy điều phải chứng minh.

b Ví dụ 1: Cho đường trịn tâm O đường kính AB, điểm C cố định trên đường kính (C khác O) Điểm M chuyển động đường trịn Đường vng góc với AB C cắt MA, MB theo thứ tự E F Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua điểm cố định khác A

Chứng minh:

Gọi K giao điểm đường tròn qua ba điểm A, E, F với AB Nối K với F

Ta có F = A1  ( nửa số đo cung KE)

F = A2  ( phụ với MBA )  F = F1 2

 K đối xứng với B qua C

Do B C hai điểm cố định nên suy K cố định

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua điểm K cố định Ví dụ 2:

Từ điểm A ngồi đường trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Lấy điểm D nằm B C Qua D vẽ đường thẳng vng góc với OD cắt AB, AC E F

Khi điểm D di động BC, chứng minh đường trịn (AEF) ln qua điểm cố định khác A

Chứng minh:

Ta có : EBO 90  0 (AB tiếp tuyến với (O) B)



EDO 90 (GT)

 Hai đỉnh B D nhìn đoạn OE góc vng  Tứ giác EBOD nội tiếp đường tròn

 BEO = BDO  (1) (cùng chắn cung OB)

Chứng minh tương tự ta có : Tứ giác ODCF nội tiếp đường tròn

 OFC = BDO  (2) (góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện) Từ (1) (2)  OFC = BEO 

1

K F E

A

O

B C M

2

F E

A O

C B

 Tứ giác AEOF nội tiếp đường trịn (Tứ giác có góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện)

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua điểm O cố định c Bài tập:

1 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), I điểm cung BC khơng chứa A Vẽ (O1) qua I tiếp xúc với AB B, vẽ (O2) qua I tiếp xúc với AC C Gọi K giao điểm thứ hai hai đường tròn (O1) (O2)

a/ Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng

b/ Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối tia CA cho BD = CE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm cố định khác A

Bài toán Chứng minh quan hệ đại lượng.

a Phương pháp: Một số toán đề cập tới quan hệ đại lượng như: - Chứng minh hệ thức hình học.

- Chứng tỉ số đoạn thẳng không đổi (như hai đoạn thẳng nhau, đoạn gấp đôi đoạn kia….) chứng minh tổng hiệu góc khơng đổi

b Ví dụ: Định lý Ptoleme.

Chứng minh tứ giác nội tiếp, tích hai đường chéo tổng tích hai cặp cạnh đối

Chứng minh:

Ta có : Tứ giác ABCD nội tiếp (O) Ta phải chứng minh:

AC BD = AB DC + AD BC Thật

Lấy E  BD cho BAC = EAD   DAE  CAB (g g)



AD DE

AC BC

 AD BC = AC DE (1)

Tương tự:  BAE  CAD (g g) 

BE AB

=

CD AC

 BE AC = CD AB (2)

Từ (1) (2)  AD BC + AB CD = AC DE + EB AC  AD BC + AB CD = AC DB (ĐPCM)

C O

B

D A

c Bài tập

1.Sử dụng Định lý Ptoleme để chứng minh ( Định lý Carnot)

Chứng minh tổng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn đến bacạnh tam giác tổng bán kính đường trịn ngoại tiếp bán kính đường trịn nội tiếp tam giác

2 Cho  ABC nhọn với trực tâm H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường thẳng AH E

a.Chứng minh điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn b.Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC , chứng minh:

 

BAE = OAC BE = CD.

c Gọi M trung điểm BC, đường thẳng AM cắt OH G Chứng minh G trọng tâm  ABC

Bài toán Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để tìm quỹ tích điểm.

a Các bước giải toán quỹ tích: Bước1: Chứng minh phần thuận

Chứng minh điểm M có tính chất cho thuộc hình H + Giới hạn quỹ tích

Bước 2: chứng minh phần đảo

Chứng minh điểm hình H đề có tính chất cho. Bước 3: Kết luận

b Ví dụ :

Cho hình vng ABCD, tâm O Một đường thẳng xy quay quanh O cắt hai cạnh AD BC M N Trên CD lấy điểm K cho DK = DM Gọi H hình chiếu K xy Tìm quỹ tích điểm H

Chứng minh: Phần thuận:

Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm) Vì DK = DM (GT) nên CK = AM

 CK = CN

Lại có tứ giác MHKD tứ giác NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vng)   

0

1

M = H 45 N = H 2  2 450

2

2

K H

N O

B A

D C

M

 DHC = 90 o

Vậy H nằm đường trịn đường kính DC Giới hạn:

Vì đường thẳng xy quay quanh O phải cắt hai cạnh AD BC M N nên điểm H nằm nửa đường trịn đường kính CD nằm hình vng

Phần đảo:

Lấy điểm H nửa đường trịn đường kính CD Vẽ đường thẳng HO cắt AD BC M N Lấy điểm K CD cho DK = DM

Ta phải chứng minh H hình chiếu K MN Thật vậy,

Vì DHC = 90 ;DOC = 90  ; nên tứ giác HOCD nội tiếp  DHM = DCO = 45 

Mặt khác DKM = 45 nênDHM = DKM   Tứ giác HKDM nội tiếp  KHM = 90  KH  NM

 H hình chiếu K MN Kết luận:

Vậy quỹ tích điểm H nửa đường trịn đường kính CD, nửa đường trịn nằm hình vng

Bài tốn Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để dựng hình

Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), điểm D di động cạnh BC Vẽ DE  AB, DF  AC Xác định vị trí điểm D để:

a/ EF có độ dài nhỏ b/ EF có độ dài lớn Chứng minh:

Gọi O trung điểm AD Tứ giác AEDF có :

  0

AED AFD = 90 90 180  Tứ giác AEDF nội tiếp (O; OA) Vẽ OM  EF  ME = MF

Đặt BAC a 

a

O

F E

B C

A

Ta có :

  

EOM EOF BAC a

2

  

(quan hệ góc nội tiếp góc tâm chắn cung) Xét  MOE có OME = 90

 EM = OE sin a  EF = OE sin a

 EF = AD sin a (*) ( AD = 2OE)

a/ Do a không đổi nên từ (*) suy EF nhỏ  AD nhỏ  AD  BC  D hình chiếu A BC

b/ Vì D  BC AB < AC nên AD  AC

Từ (*)  EF lớn  AD lớn  D trùng với C 3.4 Ứng dụng vào công tác giảng dạy.

- Về tâm lý HS học không thụ động phải tìm tổng hai góc đối diện tứ giác 180o kết luận tứ giác nội tiếp Phát huy tính độc lập, nhanh nhẹn sáng tạo tìm lời giải hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp hình thành dễ ghi nhớ, tạo điều kiện tìm cách giải khác cho tốn hình học

- Ngoài kết học sinh biết cách chứng minh tứ giác nội tiếp nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp ta dùng tính chất để ứng dụng chứng minh hình học có sử dụng kết tứ giác nội tiếp:

3.4.1.Ứng dụng 1: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học; Chứng minh góc , đẳng thức tích đoạn thẳng , bất đẳng thức diện tích hình, …

Ví dụ : Từ kết ví dụ ( tốn 4) ta dùng tứ giác HCNK nội tiếp để giải toán :

Giữ nguyên giả thiết bổ xung thêm M giao điểm IK với AB Kết luận chứng minh SAMN ≤

1

SABC (với SAMN, SABC thứ tự ký hiệu diện tích tam giác AMN tam giác ABC )

Ta phân tích giải tiếp sau (hình vẽ ví dụ toán 4)

Tứ giác HNCK nội tiếp => ANM KHC 45   0=> AMN tam giác vuông cân A => AM = AN (1)

Lại chứng minh AKN = AKH (g.c.g) => AN = AH (2) Từ (1) (2) => AM = AN =AH

Do SAMN =

1

AM AN =

AH2 S

ABC =

1

AB AC AB AC SABC AC AB AC AB AC AB AC AB AH 1 2 2 2 2

2   

 

 

Hay: SAMN SABC

1

2



 SAMN 

1

SABC ( đpcm)

3.4.2.Ứng dụng 2: Dùng tứ giác nội tiếp để chứng minh cặp đường thẳng song song, cặp đường thẳng vng góc:

Ví dụ: Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Dường thẳng AO cắt đường tròn (O) điểm thứ hai B C (AB<AC) Qua A vẽ đường thẳng khơng qua O cắt đường trịn (O) hai điểm D E (AD<AE) Đường thẳng vng góc với AB A cắt CE F M giao điểm thứ hai FB với đường tròn (O) Chứng minh DM vng góc với AC

Chứng minh:

Ta có BEC 90 

(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  BEF 90  0(hai góc kề bù)

Mà BAF 90   BAF BEF 180    Tứ giác ABEF tứ giác nội tiếp.  AFB AEB 

(hai góc nội tiếp chắn AB ) Trong đường trịn (O) cóBMD AEB  (hai góc nội tiếp chắn BD )

 AFB BMD  cặp góc so le trong AF MD Lại có:AFAC(giả thiết)  DMAC

3.4.3 Ứng dụng 3: Dùng cách chứng minh tứ giác nội tiếp để chứng minh nhiều A1, A2, A3, … An thuộc đường tròn :

Bước 1: Chọn bốn điểm, ví dụ A1, A2, A3, A4 tạo thành tứ gíac nội tiếp (sử dụng cách chứng minh tứ giác nội tiếp )

Bước 2: Lại chọn bốn điểm khác : A1, A2, A3, A5 chẳng hạn tạo thành tứ giác nội tiếp

Cứ tiếp tục chứng minh trên, cuối nhận xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác chung điểm A1, A2, A3 Do đường trịn phải trùng => A1, A2, A3,…,An thuộc đường trịn

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông A, điểm E thuộc BC, kẻ hai trung trực AB AC gặp I Trung trực AE cắt hai trung trực F, K Chứng minh điểm A, E, F, I, K nằm đường trịn

Phân tích :

Chứng minh điểm A, E, F, I, K nằm đường tròn (1)

 Chứng minh tứ giác nội tiếp AKIE AKIF (có điểm chung A, K , I) (2)

Thật vậy, từ giả thiết => I BC IB =IC (A 90  0) Vì IK trung trực AC, KF trung trực AE  KA = KC = KE => KAI KEI  (cùng bằngKCE )

 Tứ giác AKIE nội tiếp (3) (theo cách 4) ta lại có K K  I1 I2

(Các góc nội tiếp chắn cung tính chất đường trung trực ) hay K I1=> tứ giác AKIF nội tiếp (theo cách 4) (4)

Từ (3)và (4) => (2) => (1) đpcm

Chú ý : Ở ví dụ kẻ đường cao AH tam giác ABC Hình vẽ là ứng với điểm E thuộc đoạn HC trường hợp E thuộc đoạn HB E nằm đoạn BC chứng minh tương tự

3.4.4 Bài tập:

1 Cho  ABC nhọn nội tiếp (O) Gọi M điểm tròn cung ABC Vẽ MD  BC; ME  AC; MF  AB Xác định vị trí M để EF có độ dài lớn

2 Cho đường trịn (O), điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B,C hai tiếp điểm) Kẻ đường thẳng qua hai điểm A O cắt đường tròn E F (E nằm A O) BB’, CC’ hai đường kính đường trịn (O) Gọi K giao điểm thứ hai AB’ với đường tròn(O) Chứng minh:

a) Tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp b) AE.AF=AB’.AK

c) BC' C'B

d) Tam giác FB’C’ tam giác cân

B

K

A C

I E H F

1

1

3 Cho đoạn thẳng AB cố định điểm M nằm A B Qua M kẻ tia Mx AB, Mx lấy điểm C D cho MC=MA MD=MB Vẽ đường tròn (O1) đường kính AC đường trịn (O2) đường kính BD Hai đường tròn cắt điểm N (khác điểm M) Chứng minh:

a) Ba điểm A, N, D thẳng hàng ba điểm B,N, C thẳng hàng b) D trực tâm tam giác ABC

c) Khi M chuyển động đoạn AB đường thẳng MN qua điểm cố định

4 Cho đường trịn (O) đường kính BC Trên tia đối tia BC lấy điểm A Qua A vẽ đường thẳng d AC Gọi M điểm thuộc đường tròn (O) cho MB<MC Tia CM cắt đường thẳng d D, tia AM cắt đường tròn (O) N, tia DB cắt đường tròn (O) K Chứng minh:

a) Tứ giác ABMD tứ giác nội tiếp

b) Tích CM.CD khơng đổi M chuyển động đường tròn (O) c) Tứ giác AKND hình thang

d) Khi M chuyển động đường trịn (O) trọng tâm G tam giác MAC chuyển động đường tròn cố định

5 Trên đường trịn (O) đường kính AB=2R, lấy điểm M cho AM=R N điểm cung nhỏ BM (N khác M,B) Gọi I giao điểm AN BM, H hình chiếu I AB

a) Chứng minh tứ giác IHBN tứ giác nội tiếp b) Chứng minh HI phân giác góc MHN

c) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác MHN ln qua điểm cố định

d) Xác định vị trí điểm N cung nhỏ BM để chu vi tứ giác AMNB đạt giá trị lớn

PHẦN C: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1 Kết đạt áp dụng vào thực tiễn

Sau nhiều nỗ lực, cố gắng ,tìm tịi khơng ngừng đổi mới, tơi nhận thấy khơng khí thái độ học sinh học tốn, đặc biệt học tốn hình thay đổi đáng kể:

Kết mặt cụ thể sau:

Lớp Sĩ số

Thời gian

Các nội dung khảo sát

Đầu năm Cuối năm

Số lượng Tỉ lệ ( %) Số lượng Tỉ lệ ( %)

9A5 44 Khơng thích học Tốn

24 54,55 9,09

Bình thường 15 34,09 10 22,73

Thích 11,36 30 68,18

Không làm tập

20 45,46 0

Làm tập qua loa, đối phó

14 31,81 11,36

Làm tập 10 22,73 39 88,64

* Nhận xét:

- Việc làm tập học nhà em tiến rõ rệt: + Nhiều em biết cách chứng minh hình

+ Nhiều em nắm lý thuyết hình, đặc biệt kiến thức phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp

+ Phương pháp chứng minh hình em gắn gọn, lập luận chứng minh chắn

* Trong học lớp:

Các em tích cực, hào hứng chăm Khơng cịn tình trạng học sinh ngủ học, em tự tìm cách chứng minh riêng mình, khơng cịn lệ thuộc vào cách giải sách giải tập hay đáp án đề cương ôn tập

* Kết cuối năm môn học:

Lớp TS

HS

TB (%)

Phân loại (%)

G % KH % TB % Y % K %

9A5 44 100% 15 34,09 19 43,18 10 22,73 0

Hoàn cảnh đời (1971) Nhan đề Lê Minh Khuê

(1949) Quê Thanh Hóa

Là bút nữ chuyên viết truyện ngắn

Nhận xét:

Như vậy, so sánh kết khảo sát đầu năm với kết cuối năm học mơn Hình học lớp 9A5 – lớp học đại trà, có tiến rõ rệt: từ lớp khơng có học sinh giỏi số học sinh yếu chiếm tỉ lệ 10/44, sau thực đề tài Phương pháp tứ giác nội tiếp nói riêng áp dụng cho học hình khác nói chung số học sinh xếp loại yếu, khơng cịn, số học sinh xếp loại trung bình trở lên đạt 100%, đặc biệt nâng cao chất lượng mũi nhọn ( 15 học sinh giỏi 27 học sinh khá)

2 Kết luận:

Từ việc nghiên cứu đề tài: “Phương pháp tứ giác nội tiếp” tôi rút kết luận sau:

- Đổi phương pháp dạy học, phát huy tính tích cực cho học sinh việc làm cần thiết phải thực suốt trình dạy - học Để học sinh có hứng thú học u thích mơn văn giáo viên cần có “nghệ thuật” thu hút em vào giảng Không kiến thức, kĩ năng, nghiệp vụ sư phạm mà người giáo viên phải người bạn, người đồng hành em trình giảng dạy để nắm bắt tâm tư, tình cảm, sở thích em Thầy khơng nên q tiết kiệm lời ngợi khen, động viên em phát biểu ý kiến xây dựng hay em có cách chứng minh hay, lí luận chắn, …

- Từng bước hình thành củng cố phương pháp học tập môn cho học sinh Khi dạy học, cần hướng dẫn kĩ cho học sinh kĩ vẽ hình, kĩ chứng minh,…

- Cần thiết rèn luyện kĩ vẽ hình, kĩ phân tích từ kết luận giả thiết toán cho học sinh dự thi học sinh giỏi cấp, cịn kĩ khác rèn luyện cho đối tượng

- Kiến thức kĩ cung cấp, củng cố vào buổi học thêm, song song với chương trình học tập buổi sáng

- Đặc biệt, vào giai đoạn ôn luyện cho học sinh thi chuyển cấp đạt kết quả, giáo viên nên có thao tác hệ thống lại tất kĩ năng, hệ thống tập rèn luyện theo dạng tập, cho học sinh rèn luyện thành thạo kĩ nắm vững kiến thức để tự tin chứng minh hình

3 Khuyến nghị

Qua việc nghiên cứu thực đề tài: “Phương pháp tứ giác nội tiếp”, xin đề xuất số ý kiến sau:

* Đối với giáo viên:

- Cần chấp hành nghiêm chỉnh chủ trương đổi phương pháp dạy học Bộ giáo dục

kinh nghiệm giảng dạy để có phương pháp tối ưu phù hợp với trình độ học sinh địa phương

- Trong trình giảng dạy phải nắm vững trình độ học sinh để đưa phương pháp giảng dạy phù hợp, linh hoạt, tạo hứng thú cho học sinh phát huy tính chủ động sáng tạo em

- Tránh tạo áp lực không cần thiết em học, giáo viên cần nghiêm túc song thiếu cởi mở, chân thành Luôn gần gũi thân thiện với học sinh, dạy bảo em nhiệt tình, tâm huyết Gặp vấn đề khó, cần phải gợi mở, khuyến khích, động viên em

- Trong học cần sử dụng đa phương pháp, đa phương tiện, làm tròn vai trò dẫn dắt người thầy để phát huy tối đa tính chủ động, tích cực sáng tạo học sinh, lơi học sinh vào giảng

* Đối với học sinh:

- Phải có chuẩn bị tốt nhà theo định hướng thầy, phần chuẩn bị phải thật cụ thể, chi tiết

- Trong học cần tuyệt đối nghiêm túc, kết hợp giác quan: mắt nhìn, tai nghe, óc suy ngẫm phán đốn, tích cực phát biểu ý kiến xây dựng bài, tự giác sáng tạo qua trình thảo luận nhóm hướng dẫn thầy

- Phải nắm kiến thức sau học áp dụng vào làm tập để khắc sâu kiến thức

- Phải có thái độ tơn trọng thầy cô, bạn bè, tôn trọng môn học

Trên vài kinh nghiệm nhỏ mà thân áp dụng qua năm giảng dạy Tôi mong nhận góp ý, chia sẻ giúp đỡ nhiều Phòng giáo dục, Ban giám hiệu nhà trường, tổ chuyên môn đồng nghiệp để tơi hồn thiện thân tự tin giảng dạy

Tôi xin chân thành c m n !ả ơ

Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác

Phương Trung, ngày 20 tháng4 năm2017

Tác giả sáng kiến

Phạm Thị Minh Hằng

Tài liệu tham khảo

1 Thiết kế giảng Toán tập - Tác giả Nguyễn Ngọc Diệp (Chủ biên) Toán tập – Tác giả Phan Đức Chính (Tổng chủ biên)

3 Sách giáo viên Toán tập 2- Tác giả (Chủ biên)

4 Phương pháp giải tốn Hình học lớp 9- Tác giả: Trần Văn Thương, Hồ Thị Kim Khánh, Lê Văn Đỗ, Phạm Đình

MỤC LỤC

TT Tiêu đề Trang

Phần A: Đặt vấn đề

1 Lí chọn đề tài

1.1 Cơ sở lí luận

1.2 Cơ sở thực tế

2 Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm

3 Phương pháp nghiên cứu

4 Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu

5 Kế hoạch nghiên cứu

6 Khảo sát thực trạng chưa thực đề tài

Phần B: Nội dung

Tên đề tài

1 Cơ sở lí luận vấn đề nghiên cứu

2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu

2.1 Đặc điểm nhà trường

2.2 Những ưu điểm bất cập thực vấn đề nghiên cứu

3 Những giải pháp

3.1 Học sinh nắm phương pháp để học tốt mơn Hình học lớp

6

3.2 Kiến thức

3.3 Bài tập minh họa

3.3.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn 3.3.2 Bài tốn hay khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp 11

3.4 Ứng dụng vào công tác giảng dạy 17

3.4.1 Ứng dụng 17

3.4.2 Ứng dụng 18

3.4.3 Ứng dụng 18

3.4.4 Bài tập 19

Phần C: Kết luận khuyên nghị 21

1 Kết đạt áp dụng vào thực tiễn 21

2 Kết luận 22

3 Khuyến nghị 22

Ý kiến hội đồng khoa học 24

Tài liệu tham khảo ……… Mục lục ………