chuyên đề chứng minh tứ giác nội tiếp

http://luongdiep.com CHUYÊN ðỀ: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP Biên soạn: TRẦN VĂN THỌ - GV Trường THCS Dũng Sĩ ðiện Ngọc, ðiện Bàn, Quảng Nam I KIẾN THỨC CƠ BÀN: * Học sinh cần nắm vững ñịnh nghĩa: Tứ giác nội tiếp ñường tròn tứ giác có bốn ñỉnh nằm ñường tròn - ðể chứng minh tứ giác nội tiếp ñược ñường tròn, học sinh cần phải nắm vững dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp ñược ñường tròn sau: * Dấu hiệu 1: Nếu tứ giác có tổng số ño hai góc ñối 1800 tứ giác ñó nội tiếp ñược ñường tròn * Dấu hiệu 2: Tứ giác có góc ñỉnh góc ñỉnh ñối ñỉnh ñó nội tiếp ñược ñường tròn * Dấu hiệu 3: Tứ giác có ñỉnh cách ñều ñiểm ( mà ta xác ñịnh ñược) ðiểm ñó tâm ñường tròn ngoại tiếp tứ giác * Dấu hiệu 4: Tứ giác có hai ñỉnh kề nhìn cạnh chứa hai ñỉnh lại góc ∝ (an-pha) nội tiếp ñược ñường tròn II Một số toán luyện tập: * Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A ( AB< AC ) nội tiếp ñường tròn tâm I; bán kính r Gọi P trung ñiểm AC; AH ñường cao tam giác ABC a/ Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp ñược ñường tròn tâm K Xác ñịnh tâm K ñường tròn b/ Chứng minh hai ñường tròn ( I ) ( K ) tiếp xúc @ Gợi ý: a/ Chúng minh IP ⊥ AC ⇒ p = 900 Dựa vào dấu hiệu ñể chứng minh APIH nội tiếp ñược ñường tròn ( H + P = 1800 ) - Xác ñịnh tâm K ñường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: ðiểm P nhìn ñoạn thẳng AI góc vuông nên P thuộc ñường tròn ñường kính AI Chứng minh tương tự ñối với ñiểm H Từ ñó xác ñịnh ñược tâm K ( trung ñiểm ñoạn AI ) ( HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích ñiểm nhìn ñoạn thẳng AB góc vuông ñường tròn ñường kính AB – SGK lớp 9/ tập trang 85) b/ Nhắc lại kiến thức hai ñường tròn tiếp xúc nhau: - Tiếp xúc khoảng cách hia tâm tổng hai bán kính OO’ = R + r - Tiếp xúc khoảng cách hai tâm hiệu hai bán kính OO’ = R – r> http://luongdiep.com - Tính IK ñể kết luận (I) ( K ) tiếp xúc A Bài 2: CHo ñường tròn tâm O, ñường kính AB cố ñịnh ðiểm I nằm A O cho AI = AO Kẻ dây MN ⊥ AB I Gọi C ñiểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC, cắt MN E a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp ñược ñường tròn Xác ñịnh tâm ñường tròn b/ Chứng minh tam giác AME ñồng dạng với tam giác ACM Và chứng minh AM = AE AC c/ Chứng minh AE AC − AI IB = AI @ Gợi ý: câu a/ HS chứng minh tương tự câu a ở Câu b, c : HS tự ch minh * Bài 3: Cho tam giác ABC cân A ( A < 900 ) ðường vuông góc với AB A cắt ñường thẳng BC E Kẻ EN ⊥ AC Gọi M trung ñiểm BC Hai ñường thẳng AM EN cắt F a/ Chứng minh tứ giác MCNF AMNE nội tiếp ñược ñường tròn Xác ñịnh tâm ñường tròn b/ Chứng minh EB phân giác góc AEF @ Gợi ý: a/ Dựa vào dấu hiệu ñể ch.minh MCNF dựa vào dấu hiệu ñể chứng minh AMNE nội tiếp b/ Tính AEB + MAE = ? tính BAM + MAE = ? So sánh AEB BAM So sánh BAM MAC ( 1) - Tứ giác AMNE nội tiếp nên MAC MEN với nhau, ( 2) Từ ( 1) ( 2) nêu kết luận Bài 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax Ay cho xAy = 450 Tia Ax cắt CB ND E P Tia Ay cắt CD BD F Q a/ Chứng minh EBAQ FDAP nội tiếp ñược ñường tròn b/ Chúng minh năm ñiểm Q, P, E, C, F nằm ñường tròn @ Gợi ý: a/ Chứng minh EBAQ nội tiếp: - BD ñường chéo hình vuông ABCD nên DBC = ? - Dựa vào dấu hiệu ñể chứng minh EBAQ nội tiếp ( Hướng dẫn HS lập luận sau: Hai ñỉnh A B hai góc QAE BQE nhìn ñoạn thẳng QE chứa hai ñỉnh lại tứ giác EBAQ góc 450 nên EBAQ nội tiếp ñược ñường tròn - Chứng minh tương tự ñối với tứ giác FPAD b/ Chứng minh năm ñiểm Q, P, E, C, F nằm ñường tròn http://luongdiep.com HS cần nắm ñược kiến thức sau: Góc ñỉnh tứ giác nội tiếp góc ñỉnh ñối ñỉnh ñó (ðịnh lý) - Góc FQE góc ñỉnh Q tứ giác nội tiếp EBAQ nên góc EQF góc nào? Và ñộ? - Góc EPF góc ñỉnh P tứ giác nội tiếp APFD nên góc EPF góc nào? Và ñộ? - Xét ñiểm P, Q, C có nhìn ñoạn thẳng EF góc vuông không? Vậy P, Q, C thuộc ñường tròn nào? Từ ñó kết luận ñiểm Q, P, E, C, F nằm ñường tròn Bài 5:Cho ñường tròn ( O;R) ñường thẳng xy cách tâm O khoảng OK= a ( < a < R ) Từ ñiểm A thuộc xy ( OA > R ), vẽ hai tiếp tuyến AB AC ñến ñường tròn (O) ( B, C tiếp ñiểm; O B nằm phía với xy) a/ Chứng minh ñường thẳng xy cắt ñường tròn ( O) hai ñiểm D E b/ Chứng minh ñiểm O, A, B, C, K nằm ñường tròn Xác ñịnh tâm ñường tròn c/ BC cắt OA OK theo thứ tự M S Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp ñược ñường tròn @ Gợi ý: Câu b: dựa vào dấu hiệu ñể chứng minh ñiểm thuộc ñường tròn Câu c: dựa vào dấu hiệu ñể chứng minh AMKS nội tiếp Bài 6: Từ ñiểm A ñường tròn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với ñường tròn ( B, C tiếp ñiểm) Trên tia ñối tia BC, lấy ñiểm D Gọi E giao ñiểm DO AC Qua E, vẽ tiếp tuyến thứ hai với ñường tròn (O), có tiếp ñiểm M; tiếp tuyến cắt ñường thẳng AB K a/ Chứng minh bốn ñiểm D, B, O, K thuộc ñường tròn b/ Chứng minh D, B, O, M, K thuộc ñường tròn @ Gợi ý: - Câu a/ - So sánh góc MOE góc MBC - So sánh góc MOD góc MBD - Hai ñiểm O B nhìn ñoạn thẳng DM góc Vậy kết luận tứ giác DBOM? - Câub/ Chứng minh B, O, M, K thuộc ñường tròn ( dấu hiệu 1) Rồi kết luận ñiểm B, O, M, K, D thuộc ñường tròn *** *** Bài tập vận dụng dấu hiệu (Tứ giác có góc ñỉnh góc ñỉnh ñối ñỉnh ñó nội tiếp ñược ñường tròn.) http://luongdiep.com Bài 7: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp ñường tròn tâm O; ñường kính AI Gọi E trung ñiểm AB ;K trung ñiểm OI; H trung ñiểm EB a/Chứng minh HK ⊥ EB b/ Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp ñược ñường tròn @ Gợi ý: Câu a/ B thuộc nửa ñường tròn ñường kính AI ⇒ AIB = ?0 - Chúng minh HK ñường trung bình hình thang EBOI, từ ñó kết luận HK ⊥ EB Câu b/ Chứng minh tam giác EKB cân K ñể suy BEK = EBK (1) - Chứng minh EBK = AKC (2) - Từ (1) (2) suy BEK = ACK Góc BEK góc ñỉnh E tứ giác AEKC góc ACK ( góc ñỉnh ñối ñỉnh E) Do ñó, vào dấu hiệu 2, kết luận AEKC nội tiếp ñược ñường tròn Bài 8: Cho nửa ñường tròn tâm I, ñường kính MN Kẻ tiếp tuyến Nx lấy ñiểm P nửa ñường tròn Trên cung PN, lấy ñiểm Q ( không trùng với P, N ) Các tia MP MQ cắt tiếp tuyến NX theo thứ tự S T a/ Chứng minh NS MN b/ Chứng minh tam giác MNT ñồng dạng với tam giác NQT c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp ñược ñường tròn @ Gợi ý: a/ ðiểm P nằm nửa ñường tròn, góc PMN ñộ? ( HS nhớ lại kiến thức góc nội tiếp chăn1/4 ñường tròn) Kết luận tam giác MNS tam giác gì? ( cân?), suy ñiều cần chứng minh b/ HS tự chứng minh tam giác ñề ñồng dạng( trường hợp gócgóc) c/ Do tam giác MNT ñồng dạng với tam giác NQT( ch minh trên) nên TMN = TNQ ( 1) QNM = NTQ ( 1) Mà góc SPQ có góc QNM không?( nhớ lại ñịnh lý góc ñỉnh tứ giác nội tiếp ñể trả lời- Tứ giác MPQN nội tiếp phải không?)(2) Từ (1) (2) kết luận góc NTQ góc SPQ không? Xét vị trí hai góc ñối với tứ giác PQTS ñể kết luận tứ giác PQTS có nội tiếp ñược hay không ( dựa vào dấu hiệu 2) Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A Nửa ñường tròn ñường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy ñiểm E Nối BE kéo dài cắt AC F Chứng minh CDEF tứ giác nội tiếp @ Gợi ý: Chứng minh tương tự http://luongdiep.com Bài 10:Bài tập vận dụng dấu hiệu 3: Cho ñường tròn tâm O Kẻ ñường kính AB CD vuông góc với Gọi E ñiểm cung nhỏ CB EA cắt CD F; ED cắt AB M a/ Các tam giác CEF EMB tam giác gì? b/ Chứng minh bốn ñiểm D, C, M, B thuộc ñường tròn tâm E @ Gợi ý: Câu a: Góc CEF góc có ñỉnh nằm bên ñường tròn; góc FCE góc nội tiếp chắn cung ED Lập biểu thức số ño góc ñó, so sánh ñể thấy góc ñó Kết luận tam giác CEF tam giác gì? ( Cân?) - Chứng minh tương tự ñối với tam giác EMB - Từ ñó suy EC = EB = EF = EM Dựa vào dấu hiểu ñể kết luận ñiều phải chứng minh HẾT Cuối năm 2010 Trần Văn Thọ LỜI KẾT: Những tập ñây ñể giúp Hs diện yếu, trung bình khá.tự ôn tậpñể thi vào lớp 10 ðề thi vào lớp 10 naynói chung tương ñối nhẹ nhàng Do ñó tập ñược lựa chọn ñây phù hợp ñể HS tự học