Chủ đề Đ10.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC CƠ BẢNPhương phỏp chứng minh -Chứng minh bốn đỉnh của tứ giỏc cựng cỏch đều một điểm.. a Chúng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác n
Trang 1Chủ đề Đ10.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương phỏp chứng minh
-Chứng minh bốn đỉnh của tứ giỏc cựng cỏch đều một điểm.
-Chứng minh tứ giỏc cú hai gúc đối diện bự nhau.
-Chứng minh hai đỉnh cựng nhỡn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm cũn lại hai gúc bằng nhau.
-Chứng minh tổng của gúc ngoài tại một đỉnh với gúc trong đối diện bự nhau.
-Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thỡ tứ giỏc ABCD nột tiếp (Trong
đú M AB CD; N AD BC )
-Nếu PA.PC = PB.PD thỡ tứ giỏc ABCD nội tiếp (Trong đú P AC BD )
-Chứng minh tứ giỏc đú là hỡnh thang cõn; hỡnh chữ nhật; hỡnh vuụng; …
Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cựng thuộc một đường trũn ta cú thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lỳc Song cần chỳ ý tớnh chất “Qua 3 điểm khụng thẳng hàng xỏc định duy nhất một đường trũn”
Dạng V Bài tập Hình tổng hợp
Câu IV(3,5đ): HN
Cho đờng tròn (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đờng tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với
đờng tròn (B, C là các tiếp điểm)
1/ Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.
2/ Gọi E là giao điểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R2 3/ Trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O;R) lấy điểm K bất kỳ (K khác B và C) Tiếp tuyến tại K của đờng tròn (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
4/ Đờng thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đờng thẳng AB, AC theo thứ tự tại các
điểm M, N Chứng minh PM + QN ≥ MN.
Câu V: (4,0đ) C tho Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 14, BC = 50 Đờng phân giác
của góc ABC và đờng trung trực của cạnh AC cắt nhau tại E.
1 Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đợc trong một đờng tròn Xác định tâm O của
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Vẽ tiếp tuyến d với đờng tròn (O) tại B Gọi C và
D là hai điểm tuỳ ý trên tiếp tuyến d sao cho B nằm giữa C và D Các tia AC và AD cắt (O) lần lợt tại E và F (E, F khác A)
1 Chứng minh: CB2 = CA.CE
2 Chứng minh: tứ giác CEFD nội tiếp trong đờng tròn tâm (O’).
3 Chứng minh: các tích AC.AE và AD.AF cùng bằng một số không đổi Tiếp tuyến của (O’) kẻ từ A tiếp xúc với (O’) tại T Khi C hoặc D di động trên d thì điểm T chạy trên đờng thẳng cố định nào?
Câu V: HCM Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) có tâm
O, bán kính R Gọi H là giao điểm của ba đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC Gọi S
là diện tích tam giác ABC.
Trang 2a) Chúng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đờng tròn.
b) Vẽ đờng kính AK của đờng tròn (O) Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau Suy ra AB.AC = 2R.AD và S =
D, E, F laàn lửụùt laứ hỡnh chieỏu vuoõng goực cuỷa C treõn AB, AM, BM.
a Chửựng minh AECD laứ moọt tửự giaực noọi tieỏp.
b Chửựng minh: CDE CBA
c Goùi I laứ giao ủieồm cuỷa AC vaứ ED, K laứ giao ủieồm cuỷa CB vaứ DF Chửựng minh IK//AB.
d Xaực ủũnh vũ trớ ủieồm C treõn cung nhoỷ AB ủeồ (AC2 + CB2) nhoỷ nhaỏt Tớnh giaự trũ nhoỷ nhaỏt ủoự khi OM = 2R.
Bài 4: Cho đường trũn tõm O cú cỏc đường kớnh CD, IK (IK khụng trựng CD)
1 Chứng minh tứ giỏc CIDK là hỡnh chữ nhật
2 Cỏc tia DI, DK cắt tiếp tuyến tại C của đường trũn tõm O thứ tự ở G; H
a Chứng minh 4 điểm G, H, I, K cựng thuộc một đường trũn.
b Khi CD cố định, IK thay đổỉ, tỡm vị trớ của G và H khi diện tớch tam giỏc DỊJ đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Bài 4: (3 điểm) BèNH ĐỊNH
Cho tam giỏc ABC nội tiếp trong đường trũn (O), I là trung điểm của BC, M là 1 điểm trờn đoạn CI (M khỏc C và I) Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại Q.
a Chứng minh DM AI = MP IB
b Tớnh tỉ số
Baứi 4: (3,0 ủieồm) BèNH ẹềNH ẹeà chớnh thửực
Cho tam giaực vuoõng ABC noọi tieỏp trong ủửụứng troứn taõm O ủửụứng kớnh AB Keựo daứi AC (veà phớa C) ủoaùn CD sao cho CD = AC.
1 Chửựng minh tam giaực ABD caõn.
Trang 32 ẹửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi AC taùi A caột ủửụứng troứn (O) taùi E Keựo daứi AE
(veà phớa E) ủoaùn EF sao cho EF = AE Chửựng minh raống ba ủieồm D, B, F cuứng naốm treõn moọt ủửụứng thaỳng.
3 Chửựng minh raống ủửụứng troứn ủi qua ba ủieồm A, D, F tieỏp xuực vụựi ủửụứng
troứn (O).
Bài 4 (4.0 điểm ) QUẢNG NAM
Cho đường trũn tõm (O) ,đường kớnh AC Vẽ dõy BD vuụng gúc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trờn cung nhỏ CD ( E khụng trựng C và D), AE cắt BD tại H.
a) Chứng minh rằng tam giỏc CBD cõn và tứ giỏc CEHK nội tiếp.
b) Chứng minh rằng AD2 = AH AE.
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tớnh chu vi của hỡnh trũn (O).
d) Cho gúc BCD bằng α Trờn nửa mặt phẳng bờ BC khụng chứa điểm A , vẽ tam giỏc MBC cõn tại M Tớnh gúc MBC theo α để M thuộc đường trũn (O).
Bài 3. nam định ( 3,0 điểm) Cho đờng tròn (O; R) Và điểmA nằm ngoài (O; R) Đờng tròn
đờng kính AO cắt đờng tròn (O; R) Tại M và N Đờng thẳng d qua A cắt (O; R) tại B và C (
d không đi qua O; điểm B nằm giữa A và C) Gọi H nlà trung điểm của BC.
1) Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đờng tròn đờng kính AO.
2) Đờng thẳng qua B vuông góc với OM cắt MN ở D Chứng minh rằng:
đ-1 Chứng minh rằng BE.BF = 4R2.
2 Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn.
3 Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đờng thẳng cố định.
Bài 5 (3,0 điểm) QUẢNG NINH
Cho điểm M nằm ngoài đờng tròn (O;R) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đờng tròn(O;R) ( A; B là hai tiếp điểm)
a) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp
b) Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM = 5cm và R = 3 cm
c) Kẻ tia Mx nằm trong góc AMO cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa M
và D ) Gọi E là giao điểm của AB và OM Chứng minh rằng EA là tia phân giác của gócCED
Bài 3 : (3 điểm) HẢI PHềNG
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Một đường trũn (O) đi qua B và C cắt cỏc cạnh AB ,
AC của tam giỏc ABC lần lượt tại D và E ( BC khụng là đường kớnh của đường trũn tõm O).Đường cao AH của tam giỏc ABC cắt DE tại K
1.Chứng minh ADE ACB .
2.Chứng minh K là trung điểm của DE.
3.Trường hợp K là trung điểm của AH Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường trũn đường kớnh BH và đường trũn đường kớnh CH.
Trang 4Bài 4: (3,5 điểm) KIÊN GIANG
Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho
BC = R, trên đường tròn lấy điểm D sao cho BD = R, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt tia AD ở M.
a) Chứng minh tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh tam giác ABM là tam giác cân
c) Tính tích AM.AD theo R
d) Cung BD của (O) chia tam giác ABM thành hai hần Tính diện tích phần của tam giác ABM nằm ngoài (O)
Bài 5 : (3,5 điểm) AN GIANG
Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và dây CD vuông góc với nhau (CA < CB) Hai tia BC và DA cắt nhau tại E Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H ; EH cắt CA ở
F Chứng minh rằng :
1/ Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn.
2/ Ba điểm B , D , F thẳng hàng.
3/ HC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 4 (3,5 điểm) THÁI BÌNH Cho đường tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngoài
đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
1)Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.
2)Gọi E là giao điểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc với OA
Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Qua B kẻ đường thẳng vuônggóc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K
Trang 51 Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn;
Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A và B Trên cùng một nửa mặt phẳng có
bờ là AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P ( P khác I)
a, Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đường tròn, chỉ rõ đường tròn này.
b, Chứng minh CIP PBK .
c, Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI lớn nhất.
Bài 4 (3,5 điểm) THANH HÓA
Cho nửa đương tròn tâm O đường kính AB = 2R Trên tia đối của tia BA lấy điểm G (khác với điểm B) Từ các điểm G; A; B kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) Tiếp tuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A avf B lần lượt tại C và D.
1 Gọi N là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O) Chứng minh tứ giác BDNO nội tiếp được.
2 Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từ đó suy ra CN DN
b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC.
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2.
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Câu 4 : PHÚ YÊN ( 2,5 điểm ) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn
đường kính AB = 2R Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC
a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp được
Trang 6b) Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC
c) Xỏc định vị trớ của điểm D để diện tớch hỡnh bỡnh hành ABCD cú diện tớch lớn nhất và tớnh diện tớch trong trường hợp này
Bài 4: (3,0 điểm) hƯng yên
Cho A là một điểm trên đờng tròn tâm O, bán kính R Gọi B là điểm đối xứng với O qua A Kẻ đờng thẳng d đi qua B cắt đờng tròn (O) tại C và D (d không đi qua O, BC < BD) Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại C và D cắt nhau tại E Gọi M là giao điểm của
OE và CD Kẻ EH vuông góc với OB (H thuộc OB) Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, H,M, E cùng thuộc một đờng tròn.
b) OM.OE = R2
c) H là trung điểm của OA.
Bài 5 (3,5 điểm). QUẢNG TRỊ
Cho tam giỏc ABC cú gúc A bằng 60 0 , cỏc gúc B, C nhọn vẽ cỏc đường cao BD và CE của tam giỏc ABC Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a/ Chứng minh tứ giỏc ADHE nội tiếp.
b/ Chứng minh tam giỏc AED đồng dạng với tam giỏc ACB
c/ Tớnh tỉ số
BC
DE
d/ Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC Chứng minh OA vuụng gúc với DE.
Cõu 5 (3,5 điểm) QUẢNG TRỊ
Cho điểm A nằm ngoài đường trũn tõm O bỏn kớnh R Từ A kẻ đường thẳng (d) khụng đi quatõm O, cắt đường trũn (O) tại B và C ( B nằm giữa A và C) Cỏc tiếp tuyến với đường trũn (O)tại B và C cắt nhau tại D Từ D kẻ DH vuụng gúc với AO (H nằm trờn AO), DH cắt cung nhỏ
BC tại M Gọi I là giao điểm của DO và BC
1 Chứng minh OHDC là tứ giỏc nội tiếp được
2 Chứng minh OH.OA = OI.OD
3 Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường trũn (O)
4 Cho OA = 2R Tớnh theo R diện tớch của phần tam giỏc OAM nằm ngoài đường trũn (O)
Câu IV : (3,0 điểm) Hải d Ương
Cho đờng tròn (O), dây AB không đi qua tâm Trên cung nhỏ AB lấy điểm M (M không trùng với A, B) Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H Kẻ MK vuông góc với AN K AN
1) Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đờng tròn.
2) Chứng minh: MN là phân giác của góc BMK.
3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB Gọi E là giao điểm của HK và BN
Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất.
Cõu 4:(3 điểm) Hải Dơng chính thức
Cho tam giỏc MNP cõn tại M cú cậnh đỏy nhỏ hơn cạnh bờn, nội tiếp đường trũn ( O;R) Tiếp tuyến tại N và P của đường trũn lần lượt cắt tia MP và tia
MN tại E và D.
a) Chứng minh: NE2 = EP.EM a) Chứng minh tứ giỏc DEPN kà tứ giỏc nội tiếp.
b) Qua P kẻ đường thẳng vuụng gúc với MN cắt đường trũn (O) tại
K ( K khụng trựng với P) Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2.
Trang 7Bài 4: Hà Giang (3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O, ba đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau ở H Kéo dài AO cắt đờng tròn tại M, AD cắt đờng tròn O ở K ( K khác A, M khác A) Chứng minh rằng :
a, MK song song BC.
b, DH = DK.
c, HM đi qua trung điểm I của BC.
Bài 4: (3 điểm) BèNH THUẬN
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú cỏc cạnh AB = 4,5 cm; AC = 6 cm.
1/ Tớnh độ dài đường cao AH và diện tớch hỡnh trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC.
2/ Trờn cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường trũn (O) đường kớnh MC, BM cắt (O) tại
D; DA cắt (O) tại S; (O) cắt BC tại N Chứng minh:
a/ Cỏc tứ giỏc ABCD, ABNM nội tiếp.
Câu 6: (3,0 điểm) Bắc Ninh
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của nửa ờng tròn vẽ tuyếp tuyến thứ hai MC(C là tiếp điểm) Hạ CH vuông góc với AB, đờng thẳng
đ-MB cắt đờng tròn (O) tại Q và cắt CH tại N Gọi giao điểm của MO và AC là I Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác AMQI nội tiếp.
b/ AQI ACO
c/ CN = NH.
Câu V:(3,0 điểm) Bắc giang
1/ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng cao BH và CK tam giác ABC cắt nhau tại điểm I Kẻ đờng kính AD của đờng tròn tâm O, các đoạn thẳng DI và BC cắt nhau tại M.Chứng minh rằng.
a/Tứ giác AHIK nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
b/OMBC.
2/Cho tam giác ABC vuông tại A,các đờng phân giác trong của goác B và góc C cắt các cạnh AC và AB lần lợt tại D và E Gọi H là giao điểm của BD và CE, biết AD=2cm, DC=
4 cm tính độ dài đoạn thẳng HB.
Câu V:(3,0 điểm) Bắc giang
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB cố định H thuộc đoạn thẳng OA( H khác A;O và trung điểm của OA) Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H MN cắt AK tại E.
1 Chứng minh tứ giác HEKB nội tiếp.
2 Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác AKM.
3 Cho điểm H cố định, xác định vị trí của K để khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MKE nhỏ nhất.
Trang 8Bài 4: (3,5 điểm) ĐĂK LĂK Cho tam giỏc vuụng cõn ADB ( DA = DB) nội tiếp trong đường trũn tõm O Dựng hỡnh bỡnh hành ABCD ; Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ D đến
AC ; K là giao điểm của AC với đường trũn (O) Chứng minh rằng:
1/ HBCD là một tứ giỏc nội tiếp.
2/ DOK 2.BDH
3/ CK CA. 2.BD2
Bài 4 (3,5điểm) BìNH DƯƠNG
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy
điểm F sao cho BF cắt đờng tròn tại C, tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đờng tròn tại D
a) Chứng minh OD // BC
b) Chứng minh hệ thức : BD.BE = BC.BF
c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.
d) Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi Tính diện tích hình thoi AOCD theo R
Bài 4 (3,0 điểm): quảng bình Cho tam giác PQR vuông cân tại P Trong góc PQR kẻ tia Qx bất kỳ cắt PR tại D (D không trùng với P và D không trùng với R) Qua R kẻ đờng thẳng vuông góc với Qx tại E Gọi F là giao điểm của PQ và RE.
d) Chứng minh tứ giác QPER nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
e) Chứng minh tia EP là tia phân giác của góc DEF
f) Tính số đo góc QFD.
g) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng QE Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên cung tròn cố định khi tia Qx thay đổi vị trí nằm giữa hai tia QP và QR
Bài 4: (4,0 điểm) éẠI HỌC TÂY NGUYấN
Cho tam giỏc ABC ( AB < AC) cú 3 gúc nhọn Vẽ đường trũn tõm O đường kớnh BC
cắt cỏc cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và D
1/ Chứng minh AD.AC = AE.AB
2/ Gọi H là giao điểm của DB và CE Gọi K là giao điểm của AH và BC Chứng minh
AHBC
3/ Từ A kẻ cỏc tiếp tuyến AM , AN với đường trũn (O) (M,N là cỏc tiếp điểm).Chứng
minh ANM AKN
4/ Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng
Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P
Chứng minh rằng:
1 Tứ giác CEHD, nội tiếp
2 Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn
3 AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H và M đối xứng nhau qua BC
5 Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
2 -
1
1 1 P
Trang 9Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEC = 900
BE
=> AD.BC = BE.AC
4 Ta có C1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ABC)
C2 = A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> C1 = C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB HM => CHM cân tại C
=> CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC
5 Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn
=> C1 = E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
C1 = E2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
E1 = E2 => EB là tia phân giác của góc FED
Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H Gọi O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp
3 2 1
Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2 Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEA = 900
AD là đờng cao => AD BC => BDA = 900
Nh vậy E và D cùng nhìn AB dới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB.Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn
3 Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến
=> D là trung điểm của BC Theo trên ta có BEC = 900
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE =
BC => tam giác DBE cân tại D => E3 = B1 (2)
Mà B1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3
Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE tại E
Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại E
5 Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm áp dụng định lí Pitago cho
tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm
Trang 10Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc
nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N
y x
N C
D I
M
B O
Theo trên COD = 900 nên tam giác COD vuông tại O có OM CD ( OM là tiếp tuyến )
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM DM,
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM
=> BM OD (2) Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD)
Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO làbán kính
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang Lại
có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đờng trung bình của hình thang ACDB
=> IO // AC , mà AC AB => IO AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đờng tròn đờng kính CD
6 Theo trên AC // BD =>
BD
AC BN
CN
, mà CA = CM; DB = DM nên suy ra
DM
CM BN
CN
=> MN // BD mà BD AB => MN AB
7 ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi
tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CDnhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc
A , O là trung điểm của IK
1 Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2 Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3 Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Lời giải: (HD)
1 Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc
A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B
I1 = ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O)
Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC OC Vậy AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm
AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20 2 12 2 = 16 ( cm)
Trang 11CH2 = AH.OH => OH =
16
12 2 2
Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm
M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm)
Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB
1 Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng
tròn
3 Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2
4 Chứng minh OAHB là hình thoi
K
N P
Và dây cung) => OKM = 900 Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900 nh vậy K, A,
B cùng nhìn OM dới một góc 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OM
Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn
3 Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R
=> OM là trung trực của AB => OM AB tại I
Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đờng cao
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI IM = IA2
4 Ta có OB MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH
=> Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi
5 Theo trên OAHB là hình thoi => OH AB; cũng theo trên OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì
qua O chỉ có một đờng thẳng vuông góc với AB)
6 (HD) Theo trên OAHB là hình thoi => AH = AO = R Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động
nhng luôn cách A cố định một khoảng bằng R Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng
thẳng d là nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là đờng
kính của đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E
1 Chứng minh tam giác BEC cân
2 Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH
3 Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH)
4 Chứng minh BE = BH + DE
Lời giải: (HD)
AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2)
Vì AB CE (gt), do đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến
của BEC => BEC là tam giác cân => B1 = B2
2 1
Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao
cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M
1 Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đờng tròn
2 Chứng minh BM // OP
3 Đờng thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N Chứng
minh tứ giác OBNP là hình bình hành
4 Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt
nhau tại J Chứng minh I, J, K thẳng hàng
Trang 12chắn cung AM => ABM =
2
AOM
(1) OP là tia phân giác AOM
( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ) => AOP =
2 1
K I
J
M
N P
Mà ABM và AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP (4)
Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : PAO=900 (vì PA là tiếp tuyến ); NOB = 900 (gt NOAB)
=> PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5)
Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau)
Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ
Ta cũng có PM OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ (6)
Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có PAO = AON = ONP = 900 => K là trung điểm của PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật) (6)
AONP là hình chữ nhật => APO = NOP ( so le) (7)
Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác APM => APO = MPO (8)
Từ (7) và (8) => IPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đờng cao => IK PO (9)
Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng
Bài 8 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên
nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn
=> KMF + KEF = 1800 Mà KMF và KEF là hai góc đối
của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp
X
2 1 2
1
E K
I
H
F M
B O
A
Ta có IAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => AIB vuông tại A có AM IB ( theo trên)
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => AI2 = IM IB.
Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lí do …… )
=> ABE =MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF (1)
Theo trên ta có AEB = 900 => BE AF hay BE là đờng cao của tam giác ABF (2)
Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân tại B
BAF là tam giác cân tại B có BE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là trung điểm của AF (3)
Từ BE AF => AF HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác HAK (5)
Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân tại A có AE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E làtrung điểm của HK (6)