Chuyên đề chứng minh tứ giác nội tiếp

II-THỜI LƯỢNG: 8Tiết Tiết 1,2,3 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH: 1-Chỉ ra các điểm cùng cách đều một điểm 2-Chứng minh hai góc đối của tứ giác bù nhau 3-Chứng minh hai đỉnh liên tiếp của tứ g

M

I O

H

E N A

L

I

F



Chuyên đề :

TOÁN CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN

I-MỤC TIÊU:

HS:Nắm vững các phương pháp chứng minh nhiều điểm thuộc một đường tròn

HS:Có kỹ năng vận dụng các phương pháp vào bài tập môït cách linh hoạt

HS:Rèn luyện kỷ năng vẽ thêm đường phụ ,chọn phương án giải quyết phù hợp

với đề bài ,rèn luyện tính linh hoạt sáng tạo

II-THỜI LƯỢNG: (8Tiết)

Tiết 1,2,3

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH:

1-Chỉ ra các điểm cùng cách đều một điểm

2-Chứng minh hai góc đối của tứ giác bù nhau

3-Chứng minh hai đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn xuông một đoạn

dưới những góc bằng nhau.(Dựa vào cung chứa góc)

Các cách khác để chứng minh tứ giác nội tiếp

-Chứng minh tứ giác là hình thang cân

-Chứng minh một góc của tứ giác bằng một góc ngoài của góc đối diện

Ví du1ï:

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) M là một điểm bất kỳ thuộc AC.Gọi H,I,K theo

thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến các đường thẳng

AB,AC,BC Chứng minh rằng:

a)các điểm A,M,H,I cùng thuộc một đường tròn

b)Các điểm M,I,K,C cùng thuộc một đường tròn

c)Các điểm I,H,K thẳng hàng

Giải:Giả sử H nằm ngoài cạnh AB ,điểm K nằm trên cạnh BC

a) Tứ giác AHMI có AHM + AIM = 900+900 = 1800

=> AHMI là tứ giác nội tiếp

=> A,H,M,I cùng thuộc một đường tròn

b) MIC = MKC = 900 => I và K thuộc đường tròn có đường

kính MC => M,I,K,C cùng thuộc một đường tròn

c) Từ câu a) => MIH = MAH (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung HM)

Từ câu b) => MIK+ MCK = 1800 (Tính chất của tứ giác …)

Ta lại có MAH = MCK (cùng bù BAM)

=> MIH + MIK = 1800 Vậy H,I,K thẳng hàng

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC, các đường cao AM,BN ,CP cắt nhau tại H

Gọi D,E,F theo thứ tự là trung điểm của BC,AC,AB Gọi (Q) là

đường tròn đi qua D,E,F.Gọi I là trung điểm của HA

a) C/M tứ giác DEIF là tứ giác nội tiếp

B

 O

y

C

E

D

C

E

F O

M

A

C

D H

E I

b) Gọi K,L theo thứ tự là trung điểm của HB,HC C/m K,L thuộc đường tròn (Q) c) C/m:M,N,P thuộc đường tròn (Q)

Bài giải

a) Theo tính chất đường trung bình của tam giác ,FI //BH,

FD //AC ,mà BH  AC nên FI  FD

IFD = 900 Tương tự

DEI = 900 Vậy DEIF là tứ giác nội tiếp đường tròn có đường kính DI Đường tròn này đi qua D,E,F nên là đường tròn (Q)

b) Theo câu a) đường tròn (Q) đi qua trung điểm của

AH ,do đó tương tự đường tròn (Q) cũng đi qua trung

điểm của HB,HC tức là K,L cũng thuộc đường tròn (Q)

c) Ta có IMD = 900 = > M thuộc đường tròn đường kính ID tức là đường tròn (Q) Tương tự N,P cũng thuộc đường tròn (Q)

Ví dụ 3:

Cho đường tròn tâm (O) và đường thẳng xy ở ngoài đường tròn đó Từ O vẽ OA vuông góc với xy ; Từ A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn tại B và C cắt xy tại D và E Chứng minh AD = AE

HD:

Chúng minh :OAD = OBD = 1v

=> B,D thuộc đương tròn đường kính OD hay tứ giác OBAD

nội tiếp một đường tròn đường kính OD

Chứng minh:OCE =1v;OAE =1v

=> OCE + OAE =1v+1v= 2v

=> OCEA nội tiếp

Chứng minh OBD = OCE (g-c-g) => OD =OE

=> DA = AE

Ví dụ 4:Cho đường tròn tâm O AB là đường kính ta kẽ hai đường

thẳng cắt tiếp tuyến của đường tròn tại B ở E và F và cắt

đường tròn tại C và D c/m tứ giác ECDF nội tiếp

HD: Chúng minh CEF = CDA = > CEF + CDF = 2v

=> CEFD nội tiếp một đường tròn

Ví dụ5:

Trên đường tròn (O;R) đường kính AB , lấy hai điểm M,E theo thứ tự

A,M,E,B (hai điểm M,E khác hai điểm A,B).AM cắt BE tại C ;AE cắt BM

tại D

a) Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và

AB

CD 

b) Gọi H là giao điểm của CD và AB Chúng minh

BE.BC = BH.BA

c)Chứng minh các tiếp tuyến tại Mvà E của (O) cắt

nhau tạitrung điểm I của CD

E

C I

A

H

K

 O

N’

 O E

C

M

O’

D

d)Cho biết BAM = 450 và BAE = 300

Tính diện tích tam giác ABC theo R

H.Dẫn:

Câu a:Chứng minh tứ giác MCED nôi tiếp

Cm:CMD + CED = 1v+1v = 2v

Chứng minh:CD AB (Tính chất các đường cao trong tam giác)

Câu b: Chứng minh hai tam giác BEA và BHC đồng dạng

=> BE.BC = BH.BA

Câu c: Chứng minh IM là tiếp tuến của (O)

Ta chúng minh:IMD =MAB => MI là tiếp tuyến của (O)

Tương tự chúng minh trên ta cũng C/m được IE là tiếp tuyến của (O)

Câu d:Tính diện tích tam giác ABC theo R

Tính CH =

3 1

3



R

Từ đó

3 1

3 3

1

3 2 2

1

2









R CH

AB

Ví dụ 6:Cho tam giác ABC cân tại A,nội tiếp tong (O) đường kính AI Gọi E là

trung điểm của AB và K là trung điểm của OI C/mR:AEKC là tứ giác nội

tiếp

Bài giải:

Gọi H là trung điểm của BE thì KH là đường trung bình của

hình thang vuông OEBI ,suy ra HK//OE//BI,mà OEAB KH BE

Từ đó Tam giác KBE cân tại K,suy ra KEB=KBE,Mặt khác

KBE=KCA Vậy KEB=KCA.Do đó Tứ giác AEKC nội tiếp

Ví dụ 7:

Cho đoạn thẳng AB = 2a coi trung điểm là O trên cùng nửa mp bờ

AB dựng nửa (O) đường kính AB và nửa (O’) đường kính AO Trên (O’) lấy

một điểm M (khác A và O) ,tia OM cắt (O) tại C ,gọi D là giao điểm thứ hai của

CA với (O’)

a)Chứng minh tam giác ADM cân

b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OD tại H ,đường tròn ngoại tiếp tam

giác COH cắt (O) tại điểm thứ hai là N ,chứng minh ba điểm A,N và M thẳng

hàng

c)Tại vị trí của M sao cho ME//AB ,hãy tính OM theo a

Hưóng dẫn:

1)Tacó  OAC cân tại O có OD  AC , MOD=DOA  DM AD hay DAM

cân tại D

2)Dễ thấy AOE  COE(c.g.c)  EAO=ECO =900 hay EA  AB nói

cách khác EA là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)

3)Giả sử AM cắt (O) tại N’ ,AOC=2AN’C 

COH=CN’H Dẫn đến tứ giác CHON’ nội tiếp trong một

đường tròn ,từ đó ta có N' N A,M,N



4)Vẽ MK AO Từ GT :EM//AB ,ta suy ra  MEO cân tại M và tứ giác AEMK là hình chữ nhật Đặt ME=MO=x Ta có MO2=AO2-AM2=AO2-AO.AK=AO2 -AO.ME

Vậy x2=a2-ax.Giải ta được:x =  5 1

2

1



a

Tiết 5,6,7,

LUYỆN TẬP:

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn tâm O Trên cạnh

AB lấ điểm E và trên cạnh AC kéo dài về phía C lấy F sao cho BE = CF Vẽ đường kính AA’ của (O)

Chứng minh tam giác A’EF cân và tứ giác AEA’F nôi tiếp

Gọi I là giao điểm của EF và BC Chúng minh IE =IF

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) H là trực tâm BD và CE là

hai đường cao

a) Chứng minh tứ giác ADEH nội tiếp

b) Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC Chứng minh rằng tứ giác

ABH’Cnội tiếp (O)

c) Chúng minh rằng :OA vuông góc DE

Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A lấy D trên AB vẽ đường tròn

dường kính BD cắt BC tại E và CD cắt đường tròn tại F AE cắt (O) Tại G

a) Chứng minh tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp

b) Chúng minh :FG//AC

c) Chúng minh 3 đường ED,CA,BF đồng quy tại một điểm

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A Vẽ (O) tiếp xúc AB tại B và tiếp xúc

AC tại C.Trên cung nhỏ BC ở bên trong tam giác ABC lấy M vẽ MD,ME và MF lần lượt vuông góc với BC ,ABvàAC

a) Chứng minh rằng :Các tứ giác :MDBE và MDCF nội tiếp

b) Chứng minh rằng :MD2 = ME.MF

c) Chứng minh rằng :M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

d) Gọi P và Q lầ lượt là giao điểm của BM với DE và MC với DF.Chứng minh rằng :Tứ giác MPDQ nội tiếp

Bài 5: Cho (O;R),đường kính AB Kẽ tiếp tuyến Bx Mlà một điểm di động

trên Bx (M khác B).AM cắt (O) tạiN.Gọi I là trung điểm của AN

a) C/m: Tứ giác BOIM nội tiếp

b) C/m:Tam giác IBN đồng dạng với tam giác OMB

c) Tìm vị trí của M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có giá trị lớn nhất

Bài 6: Cho hình vuông ABCD lấy M thuộc AB và N thuộc CB sao cho MB=

CN gọi o là giao điểm của hai đường chéo AN cắt DC kéo dài tạiP, BP cắt ON tại Q

a) Chúng minh rằng :Tứ giác BMON nôi tiếp

b) Chúng minh rằng :MN//BP

c) Chứng minh rằng :CQ vuông góc với PB

- GV:Nguyễn Hồng Ân Duyệt của tổ chuyên môn

Duyệt của BGH