1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Chứng minh tứ giác nội tiếp

10 305 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 10
Dung lượng 361,12 KB

Nội dung

4.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp chứng minh -Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm -Chứng minh tứ giỏc cú hai góc đối diện bự -Chứng minh hai đỉnh cựng nhỡn đoạn thẳng tạo hai điểm cũn lại hai gúc -Chứng minh tổng gúc đỉnh với góc đối diện bự -Nếu MA.MB = MC.MD NA.ND = NC.NB thỡ tứ giỏc ABCD nột tiếp (Trong M  AB  CD; N  AD  BC ) -Nếu PA.PC = PB.PD thỡ tứ giỏc ABCD nội tiếp (Trong P  AC  BD ) -Chứng minh tứ giác hỡnh thang cõn; hỡnh chữ nhật; hỡnh vuụng; … Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cựng thuộc đường tròn ta chứng minh điểm lúc Song cần ý tính chất “Qua điểm không thẳng hàng xác định đường tròn” B BÀI TẬP TỔNG HỢP: Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H cắt đường tròn (O) M,N,P Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp Bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H M đối xứng qua BC Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 900 ( Vì BE đường cao) CDH = 900 ( Vì AD đường cao) => CEH + CDH = 1800 A N P E F H - B D - O ( ( C M Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đường cao => BE AC => BEC = 900 CF đường cao => CF AB => BFC = 900 Như E F nhìn BC góc 900 => E F nằm đường tròn đường kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn Xét hai tam giác AEH ADC ta có: AEH = ADC = 900 ; Â góc chung => AEH AE AH  ADC => AD AC => AE.AC = AH.AD * Xét hai tam giác BEC ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; góc chung => BEC BE BC  ADC => AD AC => AD.BC = BE.AC C Ta có C2 = => => C1 = A1 ( phụ với góc ABC) A1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BM) C1 = C2 => CB tia phân giác góc HCM; lại có CB HM CHM cân C => CB đương trung trực HM H M đối xứng qua BC Theo chứng minh bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn => C1 = E1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BF) Cũng theo chứng minh CEHD tứ giác nội tiếp C1 = E2 ( hai góc nội tiếp chắn cung HD) E1 = E2 => EB tia phân giác góc FED Chứng minh tương tự ta có FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn 1 Chứng minh ED = BC Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 900 ( Vì BE đường cao) A O H B D E C CDH = 900 ( Vì AD đường cao) CDH = 1800 => CEH + Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đường cao => BE AC => BEA = 900 AD đường cao => AD BC => BDA = 900 Như E D nhìn AB góc 900 => E D nằm đường tròn đường kính AB Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đường cao nên đường trung tuyến => D trung điểm BC Theo ta có BEC = 900 Vậy tam giác BEC vuông E có ED trung tuyến => DE = BC Vì O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => E1 = A1 (1) Theo DE = BC => tam giác DBE cân D => E3 = B1 (2) Mà B1 = E2 = E2 + A1 ( phụ với góc ACB) => E3 E1 = E3 => E1 + Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE E Vậy DE tiếp tuyến đường tròn (O) E Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông E ta có ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N Chứng minh AC + BD = CD Chứng minh COD = 900 AB2 3.Chứng minh AC BD = 4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD 5.Chứng minh MN AB 6.Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Lời giải: y x D / I M / C N O A B Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà Theo BOM COD = 900 hai góc kề bù => AOM COD = 900 nên tam giác COD vuông O có OM CD ( OM tiếp tuyến ) Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có OM2 = CM DM, AB2 Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = Theo COD = 900 nên OC OD (1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD trung trực BM => BM => OC // BM ( Vì vuông góc với OD) OD (2) Từ (1) Và (2) Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO bán kính Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đường trung bình hình thang ACDB  IO // AC , mà AC AB => IO AB O => AB tiếp tuyến O đường tròn đường kính CD CN AC  Theo AC // BD => BN BD , mà CA = CM; DB = DM nên suy CN CM  BN DM => MN // BD mà BD AB => MN AB ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vuông góc với Ax By Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh B, C, I, K nằm đường tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O) 3 Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Lời giải: (HD) Vì I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A nên BI BK hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B BK hay IBK = 900 Do BI Tương tự ta có ICK = 900 B C nằm đường tròn đường kính IK B, C, I, K nằm đường tròn Ta có C1 = C2 (1) ( CI phân giác góc ACH I1 = 900 (2) ( C2 + IHC = 900 ) A I B H C o K I1 = ICO (3) ( tam giác OIC cân O) Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC OC Vậy AC tiếp tuyến đường tròn (O) Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm

Ngày đăng: 04/10/2016, 10:31

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w