33 chuyên đề khai thác tứ diện vuông cho bài toán bđt và cực trị HH

ĩ t õ tt ự ố tữủ ỡ tr ổ r t số t ợ t t ỹ tự ự r ú tổ ữủ tr ởt số t q t tự ổ t t tự ỹ tr t t ó ú tổ ởt số t q q trồ OABC tự ổ t O OA = a, OB = b, OC = c, S = SABC , S1 = SOAB , S2 = SOBC , S3 = SOAC OH ữớ R, r, R1 ữủt t t t tự ữớ trỏ t t ABC; , , số õ AB, BC, CA õ ABC õ õ OH1 = a1 + b1 + c1 cos2 + cos2 + cos2 = S12 = SHAB S, S22 = SHBC S, S32 = SHCA.S S12 + S22 + S32 = S ỵ Ptr VOABC = 61 abc; Stp = 12 (ab + bc + ca + a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) t õ t s tỹ t tr t 2 2 P ũ ữỡ Pú t tự ữủ t ự r cos.cos + cos.cos + cos.cos 23 B ổ õ B CA t t OB B õ a2 c OB 1 b2 (a2 + c2 ) 2 = + OB = tan = = OB a2 c a2 + c OB a2 c b a2 + c ac tan = cot = ac b a2 + c ữỡ tỹ t ab bc cot = ; cot = c a2 + b a b2 + c t cosB = AB + BC CA2 a2 + b + b + c a2 c = = 2.AB.AC (a2 + b2 )(b2 + c2 ) b2 (a2 + b2 )(b2 + c2 ) r cot.cot = cosB cos.cos + cos.cos + cos.cos t tự t õ cos.cos + cos.cos + cos.cos 2 = b2 2 + c2 2 + (a +b )(b +c ) 2 ( b + b2b+c2 ) a2 +b2 + (b +c )(c +a ) 2 ( c + c2c+a2 ) b2 +c2 a2 (a2 +b2 )(c2 +a2 ) + 12 ( c2a+a2 + a2 ) a2 +b2 = 32 t tr ọ t tự M = tan2 + tan2 + tan2 + cot2 + cot2 + cot2 t tự t õ M= a2 (b2 + c2 ) b2 (c2 + a2 ) c2 (a2 + b2 ) b2 c2 c a2 a2 b2 + + + + + b2 c c a2 a2 b a2 (b2 + c2 ) b2 (c2 + a2 ) c2 (a2 + b2 ) =( a2 b c b c a2 15 b2 c c2 a2 a2 b = + + + + + )+( + + ) 6+ b2 a2 b2 c2 a2 c2 a2 b + a2 c b c + b a2 c a2 + c b 2 r a = b = c tr ọ t M 152 OABC tự ổ t O t cos2 = x; cos2 = y; cos2 = z x + y + z = tan2 1x y+z cos2 = = cos x x ữỡ tỹ ữ t tan2 = x+z x+y ; tan2 = y z õ t t tự t õ y x x y z y z z x + + + + + + + + x y z y x x y+z z+x x+y M= 15 6+ = 2 r x = y = z = = OABC tự ổ t O t ự r cos cos cos + cos + cos cos + tan.tan + tan.tan + tan.tan rữợ t t ự t tự x y z + + y z x 1 + + x y z (x + y + z) , x, y, z > 0() t () x y + x y + y z + z x + x z y x y z + + 3+ + + z y x y z x 2 y z x + + z x y + y z + z x +2 x z y + + z y x t tự ố ú t số ữỡ () x = cos2 ; y = cos2 ; z = cos2 t ữủ cos cos + cos cos + cos cos 1 + + 2 cos cos cos2 = + tan2 + tan2 + tan2 + tan.tan + tan.tan + tan.tan t tự t ự r R1 OH ỷ t tự ỵ s t q sin2A + sin2 B + sin2 C 94 t õ 1 = + + OH a2 b c a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 OH (a + b2 ) + (b2 + c2 ) + (c2 + a2 ) 2OH t õ (a2 + b2 ) + (b2 + c2 ) + (c2 + a2 ) AB + BC + CA2 = 9 (2R1 sinC)2 + (2R1 sinA)2 + (2R1 sinB)2 = 2 4R1 (sin A + sin B + sin2 C) = R12 ứ õ s r R1 OH ỵ Ptr t õ 2 2 SABC = SOAB + SOBC + SOCA 1 AB.BC.CB OA2 OB + OB OC + OC OA2 = 4R1 4 2 2 2 (OA + OB )(OB + OC )(OC + OA ) = OA2 OB + OB OC + OC OA2 4R12 t OA2 = x; OB = y; OC = z t R12 = (x + y)(y + z)(z + x) 4(xy + yz + zx) õ 1 1 xy + yz + zx xyz = + + = OH = OH OA2 OB OC xyz xy + yz + zx t tự ự tữỡ ữỡ ợ 2OH R12 (x + y)(y + z)(z + x) 2xyz xy + yz + zx 4(xy + yz + zx) (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz t tự ố ú t t õ OH R2 r OA = OB = OC t ự r VOABC AB.BC.CA 12 õ OA = CA2 + AB BC ; OB = AB + BC CA2 ; OC = r BC + CA2 AB 2 OA.OB.OC (CA2 + AB BC )(AB + BC CA2 )(BC + CA2 AB ) = VABC = õ (CA2 + AB BC )(AB + BC CA2 ) = AB (CA2 BC )2 AB ữỡ tỹ (AB + BC CA2 )(BC + CA2 AB ) BC r (CA2 + AB BC )(AB + BC CA2 ) CA4 VOABC AB.BC.CA AB BC CA2 = 12 t ự t tự S1 S2 S3 3 + + S + 2S1 S + 2S2 S + 2S3 3+2 t S1 S2 S3 + + S + 2S1 S + 2S2 S + 2S3 2S1 2S2 2S3 2P = + + S + 2S1 S + 2S2 S + 2S3 1 = S( + + ) S + 2s1 S + 2s2 S + 2s3 P = õ 1 + + S + 2s1 S + 2s2 S + 2s3 3S + 2(S1 + S2 + S3 9 = 2 (3 + 3)S 3S + 3(S1 + S2 + S3 r 3 P 2P S = (3 + 3)S 3+2 3+2 t tự số t x, y, z số tỹ ữỡ ự r x (x + y)(x + z) y + (y + z)(y + x) + z (z + x)(z + y) ỹ tự ổ t õ OA = x OB = y OC = z t t õ cos A = = = AB + AC BC 2AB.AC x + y + y + z (y + z) (x + y)(x + z) x (x + y)(x + z) ữỡ tỹ y cos B = (y + z)(y + x) ; cos C = z (z + x)(z + y) õ x (x + y)(x + z) + y (y + z)(y + x) z + (z + x)(z + y) = cos A+cos B+cos C t r a, b, c > : a + b + c = abc ự r 1 + + + a2 + b2 + c2 t sỷ xy + yz + zx = t x + + x2 y + y2 + z + z2 t x = a1 y = 1b z = 1c t õ t t số tỹ ữỡ ự r 1 + + (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) (z + x)(z + y) 4(xy + yz + zx) ỹ tự ổ t õ OA = x OB = y OC = z õ x xy + yz + zx cos A = (x + y)(x + z) sin2 A = (x + y)(x + z) õ s r xy + yz + zx xy + yz + zx xy + yz + zx + + = sin2 A+sin2 B sin2 C (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) (z + x)(z + y) tt xy + yz + zx = t t õ t tự q tở s x2 1 + + +1 y +1 z +1 t a, b, c > : ab + bc + ca = (a + b)(b + c)(c + a) ự r a 3 b c + + () c+a a+b b+c ứ tt a, b, c > : ab + bc + ca = (a + b)(b + c)(c + a) t ữ s () a ab + bc + ca a+b (a + b)(b + c)(c + a) + b ab + bc + ca b+c (a + b)(b + c)(c + a) + + a (a + b)(a + c) 3 (a + b)(b + c)(c + a) c ab + bc + ca c+a c + b ab + bc + ca + (b + a)(b + c) (c + a)(c + b) ab + bc + ca + (c + b)(c + a) (b + a)(b + c) 3 ab + bc + ca () (a + b)(a + c) õ OA = aOB = bOC = c ỹ tự ổ t õ t t t t a+b+a+cbc AB + AC BC = cos A = AB.AC (a + b)(a + c) sin A = cos2 A = ab + bc + ca (a + b)(a + c) ữỡ tỹ ụ õ cos B = cos C = b (b + a)(b + c) c (c + a)(c + b) ; sin B = ab + bc + ca (b + a)(b + c) ; sin C = ab + bc + ca (c + a)(c + b) õ tr t 3 sin A cos C + sin C cos B + sin B cos A ( ) t r ợ < x < t f (x) = sin x + 12 sin 2x t f (x) = cos x + cos 2x, f (x) = (cos x + 1)(2 cos x 1) < x 3 f (x) f ( ) = t P = sin A cos C + sin C cos B + sin B cos A sỷ A = min{A; B; C} õ r trữớ ủ s A B C r t (sin C sin B)(cos B cos A) < B < 3 P sin A cos C + sin C cos A + sin B cos B = sin B + sin 2B A C B r t (sin A sin C)(cos C cos B) < C < 3 P sin A cos B + sin B cos A + sin C cos C = sin C + sin 2C t r ữủ ự ự tọ ữủ ự t tự ự t ố r ỳ t ú tổ tự ổ t t tự ỹ tr r s t t ữủ t ợ tú tự t ố ũ ởt số t s ự r (2 + tan2 )(2 + tan2 )(2 + tan2 ) 64 tr ợ t tự M = (cot cot + cot cot + cot cot )2 + 6(cos cos cos )2 tr ọ t tự P = cos + cos cos + cos cos + cos + + cos2 cos2 cos2 ự 1 1 3 a) + + + ; r a b c a+b+c b) 2R 3(1 + 3) r tở t tr ọ t tự 2 AM BM CM + + 2 AO BO CO2 tr M tự s ọ t 3M O + M A + M B + M C ự r S12 S22 S32 + + 2 2 2 S + S1 S + S2 S + S3 x, y, z > ự r 1 + + x y z xy + yz + zx a, b, c > : a + b + c = abc ự r a b c 3 + + + a2 + b2 + c2 x, y, z > ự r (x + y)(x + z) + x (y + z)(y + x) + y (z + x)(z + y) z