3 chuyên đề 3 vòng tròn lượng giác trong bài toán thời gian

CHUN ĐỀ VỊNG TRỊN LƯỢNG GIÁC TRONG BÀI TỐN THỜI GIAN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Sử dụng tương tự dao động điều hòa chuyển động tròn đều, ta biểu diễn dao động vật (+) thời điểm t1 t2 tương ứng với vị trí M M đường M trịn Khi thời gian để vật di chuyển hai vị trí x1 x2 xác định biểu thức:  (rad )  (rad )  t = = T= T với M1OM =   2 3600 M2  − A x2 x1 x +A B CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH Dạng 1: Xác định thời gian để vật qua li độ cho trước từ thời điểm ban đầu  Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hịa với phương trình li độ x = A cos (t + 0 ) , A  số dương Kể từ thời điểm ban đầu t0 = Xác định thời gian để vật qua vị trí có li độ xD kể từ thời điểm ban đầu  Phương pháp giải: Ta giải dạng tốn theo bước sau Bước 1: Xác định vị trí ban đầu vật biểu diễn tương v0 ứng đường tròn điểm M M o biết  → 0 = xOM chiều dương góc chiều kim đồng hồ 0 o biết x0 = xt =0 v0 +A −A x O x M + v  thuộc nửa đường trịn + v  M thuộc nửa đường tròn v0 Bước 2: Xác định vị trí xD biểu diễn tương ứng đường tròn điểm N N M 0 −A xD O x0 +A x Bước 3: Xác định thời gian để vật qua vị trí xD t =  (rad )  (rad )  = T= T 2 3600  Với  góc mà bán kính quét hai vị trí x0 xD ;  tần số góc dao động điều hòa N M  −A xD O x0 +A x HDedu - Page  Ví dụ minh họa:  Ví dụ 1: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hịa qaunh vị trí cân O trục Ox với   phương trình x = cos  2 t −  cm, t tính giây Kể từ thời điểm t = , thời điểm vật qua vị trí 3  cân lần A 0,42 s B 0,14 s C 0,67 s D 0,25 s  Hướng dẫn: Chọn A N  −4 +2 O +4 x M Biểu diễn dao động chất điểm tương ứng đường trịn o o o t = 0 = −  → điểm M thuộc nửa đường tròn xcb = → điểm N đường tròn 1500 ) (  T= (1) = s MON = 150 → t = 0 360 360 12  2   Ví dụ 2: (Quốc gia – 2011) Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình x = cos  t  ( x tính   cm; t tính s) Kể từ t = , chất điểm qua vị trí có li độ x = −2 cm lần thứ 2011 thời điểm A 3015 s B 6030 s C 3016 s D 6031 s  Hướng dẫn: Chọn C N1  −4 −2 O M x N2 Ta có: 2 = s   2      Biễu diễn dao động vật đường tròn: o t0 = , ta có 0 = → điểm M trùng với biên dương o x = −2 cm → N1 (chuyển động theo chiều âm) N (chuyển động theo chiều dương) đường tròn o T= 2 = HDedu - Page o nhận thấy chu kì, chất điểm qua vị trí x = −2 cm hai lần → ta tách 2011 = 2.1005 + ; chất điểm 1005 chu kì để qua vị trí x = −2 cm 2010 lần, ta cần tính thêm thời gian để chất điểm qua vị trí x = −2 cm lần  1200   = 1005 ( 3) +  = 3016 s → t = 1005T +    120  Dạng 2: Thời gian để vật hai vị trí có li độ cho trước  Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hịa với phương trình li độ x = A cos (t + 0 ) , A  số dương Tại thời điểm t1 vật qua vị trí có li độ x1 , đến thời điểm t2 = t1 + t vật qua vị trí có li độ x2 Xác định khoảng thời gian t  Phương pháp giải: N M  −A x2 x1 +A x Một cách tương tự, ta giải tốn theo bước sau: o Bước 1: Biểu diễn tương ứng đường trịn vị trí vật có li độ x1 o Bước 2: Biểu diễn tương ứng đường trịn vị trí vật có li độ x2 o Bước 3: Xác định thời gian để vật qua vị trí hai vị trí x1 x2 t =  (rad )  (rad )  = T= T 2 3600  Với  góc mà bán kính quét hai vị trí x1 x2 ;  tần số góc dao động điều hịa  Ví dụ minh họa:  Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = s, khoảng thời gian để vật từ vị trí có li độ A A theo chiều dương x1 = − đến vị trí có li độ x2 = + 2 A 0,25 s B 0,15 s C 0,5 s D 0,4 s  Hướng dẫn: Chọn C HDedu - Page −A − A + +A x A  N M Biểu diễn dao động đường tròn o vật chuyển động theo chiều dương → vị trí có li độ x1 , x2 tương ứng với nửa đường tròn o o  = arc sin x1 x + arc sin A A    1  arc sin   + arc sin   2       t = T= ( ) = 0,5 s 3600 3600  Ví dụ 2: Một vật dao động điều hịa với chu kì T = s, khoảng thời gian ngắn để vật từ vị trí có li độ A A x1 = đến vị trí có li độ x2 = + 2 A 0,25 s B 0,15 s C 0,5 s D 0,4 s  Hướng dẫn: Chọn C −A + 12 A + A +A x  N M Biểu diễn dao động vật tương ứng đường tròn o t = tmin → x1 , x2 tương ứng với nửa đường tròn o o  3 x1 x 1 − arc cos = arc cos   − arc cos   = 30 A A 2   300 ) (  t = T= ( ) = 0,5 s 3600 3600  = arc cos  BÀI TẬP RÈN LUYỆN  I Chinh phục lý thuyết Câu 1: Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình x = A cos (t ) Kể từ thời điểm ban đầu t = , thời gian để chất điểm qua vị trí vận tốc cực đại lần đầu HDedu - Page 3  D t =  2 3 Câu 2: Một vật dao động điều hịa với chu kì T Thời gian ngắn để vật hai vị trí biên T T 3T A T B C D Câu 3: Một vật dao động điều hịa với chu kì T biên độ A Cứ sau khoảng thời gian liên tiếp T t = vật lại qua vị trí có li độ A A A A x = A B x = C x =  D x =  2 Câu 4: Một vật dao động điều hịa với chu kì T biên độ A Khoảng thời gian để vật từ vị trí có li độ A A x1 = + đến vị trí có li độ x2 = − theo chiều âm 2 T T T A T B C D Câu 5: Một vật dao động điều hịa với chu kì T Khoảng thời gian để vật từ vị trí có vận tốc cực đại đến vị trí vật đổi chiều chuyển động lần thứ hai T T T 3T A B C D Câu 6: Một vật dao động điều hòa với chu kì T biên độ A Khoảng thời gian để vật từ vị trí có vận tốc cực đại đến vị trí gia tốc cực đại lần T T T 3T A B C D Câu 7: Một vật dao động điều hòa với chu kì T biên độ A Khoảng thời gian ngắn để vật A hai vị trí có li độ x = + T T T 3T A B C D Câu 8: Một vật dao động điều hịa với chu kì T biên độ A Trong chu kì, khoảng thời gian lớn A để vật hai vị trí x = T T 3T 2T A B C D Câu 9: Một vật dao động điều hịa với chu kì T biên độ A Khoảng thời gian ngắn để vật vị trí có li độ cực đại đến vị trí gia tốc vật nửa gia tốc cực đại lần T T 3T 2T A B C D 3 A Câu 10: Một vật dao động điều hịa với chu kì T biên độ A Tại thời điểm t1 vật qua vị trí x1 = + T theo chiều âm, đến thời điểm t2 = t1 + vật qua vị trí có li độ A A A A A x2 = + B x2 = − C x2 = − D x2 = + 2 2 A t = 2 B t =   C t = II Bài tập vận dụng   Câu 1: Cho vật dao động điều hịa với phương trình li độ x = 8cos   t −  cm, t tính giây 6  Vật qua vị trí cân lần thời điểm HDedu - Page s   Câu 2: (BXD – 2020) Cho vật dao động điều hịa với phương trình li độ x = 10 cos   t −  cm, t 3  tính giây Vật qua vị trí biên lần thời điểm 1 A 0,5 s B s C s D s 3   Câu 3: (BXD – 2020) Cho vật dao động điều hịa với phương trình li độ x = 10 cos   t −  cm, t 3  tính giây Vật qua vị trí có tốc độ cực tiểu lần thứ hai vào thời điểm 1 A s B s C s D s 3   Câu 4: (BXD – 2020) Cho vật dao động điều hịa với phương trình vận tốc v = 4 cos   t +  cm/s, 3  t tính giây Vật đổi chiều chuyển động lần vào thời điểm 13 A s B s C s D s 3   Câu 5: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình x = A cos  2 t −  cm, t tính 6  giây A số dương Kể từ thời điểm ban đầu, vật đổi chiều chuyển động lần thứ hai vào thời điểm A s B s C s D s 12 12 12 A Câu 6: Một vật dao động điều hịa có chu kì T Nếu chọn mốc thời gian t = lúc vật qua vị trí x0 = theo chiều dương nửa chu kì đầu tiên, vận tốc vật có giá trị cực đại thời điểm T 11T 5T 3T A B C D 12 12   Câu 7: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 10 cos  2 t −  cm, t tính 3  giây Kể từ thời điểm ban đầu, vật qua vị trí có gia tốc cực đại lần vào thời điểm A s B s C s D s 12 12   Câu 8: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình vận tốc v = 10 cos  2 t −  cm, t 3  tính giây Kể từ thời điểm ban đầu, vật qua vị trí có li độ x = 2,5 cm theo chiều dương lần vào thời điểm A 0,5 s B 0,125 s C 0,15 s D 0,25 s 2   Câu 9: Một vật dao động điều hịa theo phương trình x = 10 cos 10 t −  cm Thời điểm (sau   thời điểm t = ) vật lặp lại vị trí ban đầu 17 A 0,5 s B s C s D s 15 15 15 Câu 10: Vật dao động điều hòa với biên độ A chu kỳ T Khoảng thời gian ngắn vật từ li độ A A x1 = − đến li độ x2 = 2 A 0,5 s B s C s D HDedu - Page 5T 7T 7T T B t = C t = D t = 12 24 12 Câu 11: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa dọc theo đường thẳng với biên độ A Một điểm M nằm cố định đường thẳng đó, phía ngồi khoảng chuyển động vật Tại thời điểm t vật xa M nhất, sau khoảng thời gian ngắn t vật gần M Tốc độ cực đại vật dao động A 2 A A A A B C D t t 2t 3t   Câu 12: Một vật dao động điều hịa, có phương trình li độ x = 8cos  2 t −  cm ( t tính s) Kể từ thời 3  điểm t = , thời điểm vật qua vị trí có li độ x = −4 cm theo chiều âm lần thứ 2019 A 2016,5 s B 2018,6 s C 1008,75 s D 1008,25 s 5 Câu 13: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = s, biên độ A = cm, pha ban đầu Tính từ lúc t = , vật có tọa độ x = −2 cm lần thứ 2019 vào thời điểm A 1502,275 s B 1503,125 s C 1503,375 s D 1009,25 s   Câu 14: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa theo phương trình x = cos   t +  cm ( t tính s) 3  Kể từ t = , chất điểm qua vị trí có li độ x = −2 cm lần thứ 2019 thời điểm A 3016,5 s B 6030,5 s C 2018,33 s D 6031,5 s    Câu 15: Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình x = 10 cos  5 t −  ( x tính cm t 3  tính giây) Trong 4,2 giây từ thời điểm t = , số lần chất điểm qua vị trí có li độ x = −5 cm A 20 lần B 10 lần C 21 lần D 11 lần Câu 16: Một vật dao động điều hòa với tần số góc  biên độ A Trong chu kì thời gian để li độ A vật nhỏ có độ lớn khơng nhỏ T T T 2T A B C D Câu 17: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình x = cos ( t −  ) cm, t tính A t = giây Lấy   10 Kể từ thời điểm ban đầu, vật qua vị trí có gia tốc a = 10 cm/s2 lần thứ 2019 vào thời điểm 6075 6055 675 605 A s B s C s D s 3 3 Câu 18: Một vật dao động điều hịa với tần số góc  biên độ A Trong chu kì thời gian để vận tốc A vật không nhỏ T T T 2T A B C D 3 A Câu 19: Một vật dao động điều hịa với tần số góc  biên độ Trong chu kì thời gian để gia tốc  A vật nhỏ có độ lớn khơng nhỏ T T T T A B C D Câu 20: Một chất điểm dao động điều hoà đoạn thẳng Trên đoạn thẳng có năm điểm theo thứ tự M , N , O , P Q với O vị trí cân Biết 0,05 s chất điểm lại qua điểm M , N , O , P (tốc độ M Q 0) Chu kì A 0,3 s B 0,4 s C 0,2 s D 0,1 s HDedu - Page Câu 21: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hoà đoạn thẳng Trên đoạn thẳng có ba điểm theo thứ tự M , O N với O vị trí cân M , N vị trí mà chất điểm đổi chiều chuyển động Ban đầu chất điểm vị trí M , sau khoảng thời gian t nhỏ vật qua trung điểm đoạn OM Sau khoảng thời gian vật qua trung điểm đoạn ON lần t t A t B 2t C D Câu 22: Một chất điểm dao động điều hồ có vận tốc khơng hai thời điểm liên tiếp t1 = 2, s t2 = 2,9 s Tính từ thời điểm ban đầu ( t0 = s) đến thời điểm t2 chất điểm qua vị trí cân A lần B lần C lần D lần    Câu 23: Một chất điểm dao động điều hồ theo phương trình x = cos  5 t +  cm; (trong x tính 6  cm cịn t tính giây) Trong giây từ thời điểm t = , chất điểm qua vị trí có li độ x = cm A lần B lần C lần D lần   Câu 24: Một vật dao động điều hịa với phương trình x = cos  3 t +  cm, t tính giây Kể từ 6  t = , lần thứ 2020 vật cách vị trí cân đoạn cm 12115 12115 A t = s B t = 412, s C t = 336,5 s D t = s 36 316 Câu 25: Một vật dao động điều hòa với biên độ cm Biết chu kỳ dao động, khoảng thời gian T độ lớn vận tốc không vượt 10 cm/s Lấy  = 10 Tần số góc dao động vật A 2 rad/s B 4 rad/s C 2,5 rad/s D 2 rad/s Câu 26: (Quốc gia – 2013) Một vật nhỏ dao động điều hịa theo phương trình x = A cos ( 4 t ) ( t tính s) Tính từ t = ; khoảng thời gian ngắn để gia tốc vật có độ lớn nửa độ lớn gia tốc cực đại A 0,083 s B 0,104 s C 0,167 s D 0,125 s   Câu 27: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình x = A cos  2 t −  , t tính 3  2 x giây Kể từ thời điểm ban đầu, thời điểm vật qua vị trí có vận tốc v = lần thứ 2020 2019 2021 2019 A s B 2020 s C s D s 12 15 Câu 28: Một vật nhỏ dao động điều hòa đoạn thẳng AB Trên AB có điểm theo thứ tự A , M , N , O , P , Q , B ( O vị trí cân bằng) Biết 0,05 s chất điểm lại qua điểm A , M , N , O , P , Q , B , Q , P Tốc độ vật qua N 10 cm/s Biên độ dao động A cm B cm C cm D cm HDedu - Page ... 2019 thời điểm A 30 16,5 s B 6 030 ,5 s C 2018 ,33 s D 6 031 ,5 s    Câu 15: Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình x = 10 cos  5 t −  ( x tính cm t 3? ??  tính giây) Trong 4,2 giây từ thời. .. (t ) Kể từ thời điểm ban đầu t = , thời gian để chất điểm qua vị trí vận tốc cực đại lần đầu HDedu - Page 3? ??  D t =  2 3? ?? Câu 2: Một vật dao động điều hòa với chu kì T Thời gian ngắn để... đường tròn o t = tmin → x1 , x2 tương ứng với nửa đường tròn o o  3? ?? x1 x 1 − arc cos = arc cos   − arc cos   = 30 A A 2   30 0 ) (  t = T= ( ) = 0,5 s 36 00 36 00  = arc cos  BÀI