SKKN Ứng dụng lượng giác trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

SKKN Ứng dụng lượng giác trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. SKKN Ứng dụng lượng giác trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. SKKN Ứng dụng lượng giác trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

A- ĐẶT VẤN ĐỀ Đổi phương pháp dạy học nói chung phương pháp dạy tốn nói riêng nhà trường phổ thông vấn đề cần thiết phải thực thường xuyên Lựa chọn phương pháp thích hợp cho tiết dạy, dạy Toán theo đối tượng học sinh trình nghệ thuật người thầy Qua trao đổi với nhiều thầy cô học sinh tự đặt câu hỏi cho làm để truyền tải kiến thức không nhỏ theo tinh thần sách giáo khoa cho học sinh? Làm để học sinh có nhìn tổng thể, nắm phương pháp tổng quát để giải lớp toán? Theo tơi để đạt điều đòi hỏi giáo viên phải có nhiều kỹ giải tốn có nhiều thuật tốn có nhiều kinh nghiệm giúp học sinh định hướng giải nhanh toán Bài tốn “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” tốn khó quan tâm nhiều kì thi trung học sở đến Đại học Để giải loại tốn này, đòi hỏi giáo viên, học sinh có kiến thức tổng hợp đại số, giải tích, hình học Để giải tốn có nhiều phương pháp Trong viết nêu phương pháp mà thường dùng dạy học sinh lớp ban Khoa học tự nhiên, đặc biệt lớp Bồi dưỡng học sinh giỏi “Ứng dụng lượng giác tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận Sự phát triển lên tốn học hồn chỉnh dạng tốn học q trình khái qt hóa, tổng quát hóa Những hiểu biết rời rạc việc giải Toán dần dẫn thống nhất, chắp nối thành hệ thống lý thuyết hồn chỉnh Đó sở giúp cho học sinh hoạt động học tập có hiệu cao hoàn thiện chức như: - Chức hình thành, cố kiến thức kỹ - Chức hình thành giới quan vật biện chứng, tạo hứng thú học tập, rèn luyện phẩm chất đạo đức, vận dụng kiến thức vào đời sống - Chức phát triển lực tư duy, hình thành phẩm chất tư khoa học - Chức kiểm tra kiến thức đánh giá trình độ học sinh Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ toán chương trình tốn học phổ thơng Để giải lớp toán ta thường dùng phương pháp như: đạo hàm, đồ thị, sử dụng bất đẳng thức cổ điển…., nhiên tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có điều kiện ban đầu cách nhìn sau số phép biến đổi ta lượng giác hóa toán giải cách dễ dàng thuận lợi Thực trạng vấn đề Để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số thông thường học sinh phải sử dụng kiến thức liên quan đến bất đẳng thức Do đứng trước tốn này, đa số học sinh lúng túng Sử dụng lượng giác chuyển toán đại số, hình học, … sang tốn mang hình thức lượng giác túy Việc lượng giác hóa nghĩ đến liệu tốn có mang dấu hiệu đặc biệt yếu tố Nếu phát được, định hướng được, chuyển sang lượng giác nhiều tốn giải nhanh đơn giản nhờ công thức lượng giác bất đẳng thức lượng giác quen thuộc Trong nhiều năm phân công dạy bồi dưỡng học sinh giỏi dạy lớp thuộc ban Khoa học tự nhiên, chủ đề cho học sinh bồi dưỡng học sinh giỏi (khoảng 12 tiết) vào cuối năm học 11 Đa số học sinh tiếp cận có cách giải, cách nhìn tốn mắt lượng giác hóa phát dấu hiệu cách hiệu Giải pháp tổ chức thực 3.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT a Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: (SGK 12 NC trang 18) Giả sử hàm số f(x) xác định tập D ( D ⊂ ¡ ) a) Nếu tồn điểm x0 ∈ D cho f ( x) ≤ f ( x0 ), ∀x ∈ D số M = f ( x0 ) gọi gía trị lớn hàm số f(x) D Kí hiệu: M = max f ( x) x∈D b) Nếu tồn điểm x0 ∈ D cho f ( x) ≥ f ( x0 ), ∀x ∈ D số m = f ( x0 ) gọi gía trị nhỏ hàm số f(x) D Kí hiệu: m = f ( x) x∈D Từ định nghĩa thông thường để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ta cần tiến hành bước sau: Bước 1: Xác lập bất đẳng thức dạng f ( x) ≤ M (hay f ( x) ≥ m ), với M, m số Bước 2: Kiểm tra dấu đẳng thức “có” xảy Bước 3: Kết luận max (hay min) theo yêu cầu b Các dấu hiệu để lượng giác hóa tốn nhờ phương pháp đặt ẩn phụ:  Trường hợp cho trước điều kiện biến: Điều kiện Đặt ẩn phụ với t Cơ sở lượng giác biến x, y x ≤1 x = sin t ≤  π π x = sin t , t ∈  − ;  x = cos t ≤  2 x = cos t , t ∈ [ 0; π ] x ≤ k,k >  π π x = k sin t , t ∈  − ;   2 x = k cos t , t ∈ [ 0; π ] a2 x2 + b2 y = c2 c  a2 x2 + b2 y  x = a sin t = c sin t + c cos t , t ∈ [ 0;2π ]   y = c cos t = c ( sin t + cos t ) = c  b k k  π   3π  x= , t ∈ 0; ÷∪ π ; ÷ x = ≥k cos t cos t  2   ( a, b, c > ) x ≥k x = k sin t ≤ k x = k cos t ≤ k  Trường hợp điều kiện biến x, y không cho trước mà ẩn hàm số chứng ta cần lưu ý cho học sinh mối liên hệ biểu thức đại số biểu thức lượng giác công thức lượng giác tương ứng Biểu thức Đặt ẩn Công thức lượng giác đại số  π π x = sin t , t ∈  − ;  − sin t = cos t = cos t  2 − x2 − cos t = sin t = sin t x = cos t , t ∈ 0; π [ ] k  π   3π  x= , t ∈  0; ÷ ∪  π ; ÷ x2 − = −1 cos t  2   cos t x2 − x= x2 + x +k 2 x3 − 3x x2 − 2x + x2 x+ y − xy x+ y+z = xyz = tan t = tan t = tan t k  π   3π  , t ∈  0;  ∪  π ;  sin t  2    π π x = tan t , t ∈  − ; ÷  2  π π x = k tan t , t ∈  − ; ÷  2 x = cos t , t ∈ [ 0;π ] x = cos t , t ∈ [ 0;π ]  π π x = tan t , t ∈  − ; ÷  2  x = tan u  π π , u, v ∈  − ; ÷   2  y = tan v x = tan α ; y = tan β ; z = tan γ  π π với α , β , γ ∈  − ; ÷  2 x2 − = −1 sin t = cot t = cot t = cot t x + = tan t + = cos t k2 x + k = k tan t + k = cos t 4cos3 t − 3cos t = cos3t 2 2 2cos t − = cos 2t tan t = tan 2t + tan t tan u + tan v = tan(u + v) − tan u.tan v tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ tan α + tan β ⇔ = − tan γ − tan α tan β ⇔ tan ( α + β ) = tan ( − γ ) ⇔ α + β + γ = kπ * Nếu cho x, y, z > α +β +γ =π xy + yz + zx = tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = tan α + tan β ⇔ = − tan α tan β tan γ x = tan α ; y = tan β ; z = tan γ π  ⇔ tan ( α + β ) = tan  − γ ÷ 2  ⇔ 2α + 2β + 2γ = π + k 2π  π π với α , β , γ ∈  − ; ÷  2 * Nếu cho x, y, z > 2α + 2β + 2γ = π c Những điều cần lưu ý miền giá trị biểu thức lượng giác:  π π * Nếu tập giá trị t  − ;  tập giá trị sint [ −1;1] ; sin t ≤  2 * Nếu tập giá trị t [ 0;π ] tập giá trị cost [ −1;1] ; cos t ≤ * Nếu tập giá trị t [ 0;2π ] tập giá trị a cos t + b sin t − a + b2 ; a + b2     π   3π  * Nếu tập giá trị t  0; ÷∪  π ; ÷ tập giá trị tan t + cot t  2   [ 2;+∞ ) * Điều kiện để phương trình a.cos x + b.sin x = c có nghiệm a + b − c ≥ d Các bước sử dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: - Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa Biến đổi điều kiện biến cho xuất dấu hiệu áp dụng - Bước 2: Đặt ẩn phụ phạm vi góc lượng giác tương ứng thích hợp Đưa biểu thức cho sang biểu thức lượng giác - Bước 3:Thu gọn biểu thức lượng giác Sử dụng bất đẳng thức lượng giác - Bước 4: Chứng tỏ tồn giá trị biến x để đẳng thức xảy - Bước 5: Kết luận 3.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN DẠNG 1: Sử dụng điều kiện biến x với x ≤ k , k > Ví dụ 1: Cho x ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( − x) 2009 + (1+ x) 2009 Giải: Từ điều kiện x ≤ ta nghĩ đến dùng phương pháp lượng giác để tìm Đặt x = cos 2t ,2t ∈ [ 0; π ] Khi ta có: P = ( − cos 2t ) 2009 + ( + cos 2t ) 2009 = ( 2sin t ) 2009 + ( 2cos t ) 2009 = 22009.(sin 4018 t + cos 4018 t ) Suy ra: P ≤ 22009.(sin t + cos t ) hay P ≤ 22009 Ta có: Tồn P = 22009 t = ⇔ sin t.cos t = hay  π Lúc đó: x = t =  x = −1 P = 22009 x = ±1 Vậy xmax ∈[ −1;1] Ví dụ 2: Cho x ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức Giải:  π Tương tự ví dụ 1, đặt x = cos t , t ∈ 0;  ⇒ x ≤  2 ( ) P = x ( x − 3) Lúc đó: P = cos t 4cos t − = 4cos t − 3cos t = cos3t ≤ Ta có: P = ⇔ cos3t = ⇔ t = Suy ra: x = x = −1 Vậy max P = x = ±1 x∈[ −1;1] Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức P = − x + x Giải: Điều kiện: − x ≥ ⇔ x ≤ Thơng qua điều kiện tốn ta đặt x = 3cos t , t ∈ [ 0;π ] Lúc đó: P = − 9cos t + 4.3.cos t = 9.sin t + 12.cos t  sin α =   3   π = 15  sin t + cos t ÷ = 15cos(t − α ) với  ,α ∈  0; ÷ 5   2 cos α =  12 Suy ra: P ≤ 15 Tồn x = để P = 15 P = 15 x = 12 Vậy xmax ∈[ −3;3] Ví dụ 4: Cho x thỏa điều kiện ≤ x ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x3 − 24 x + 45 x − 26 Giải: Từ điều kiện ≤ x ≤ ta suy ra: −2 ≤ x − ≤ ⇔ x − ≤ Đặt x − = cos t ⇔ x = + cos t , t ∈ [ 0;π ] Khi đó: P = 4(2 + cos t )3 − 24(2 + cos t ) + 45(2 + cos t ) − 26 = 4cos3 t − 3cos t = cos3t ≥ −1  π t= Ta có: P = −1 ⇔ cos3t = −1 ⇔  Suy ra: x = x =  t = π P = −1 x = x = Vậy x∈[ 1;3] * Nhận xét: Bài tốn giải phương pháp đạo hàm (chương trình học 12), nhiên giải cách học sinh lớp 11 làm Ví dụ 5: Cho x, y, z số thực dương thỏa: x + y + z + xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + y + z Giải: Từ điều kiện ban đầu ta suy ra: x, y, z ∈ ( 0;2 ) Từ gợi đến phép lượng giác  π Đặt x = 2cos α , y = 2cos β , z = 2cos γ với α , β , γ ∈  0; ÷  2 Ta xem điều kiện x + y + z + xyz = phương trình bậc hai theo ẩn x Từ ta có: x = − yz + Suy ra: 2.cos α = ( − y ) ( − z ) 2 −4cos β cos γ + ( − 4cos β ) ( − 4cos γ ) 2 ⇔ 4.cos α = −4cos β cos γ + 4sin α sin β ⇔ cos α = − cos ( β + γ ) ⇔ cos α = cos ( π − β − γ ) ⇔α + β +γ =π Khi ta có: α +β α −β γ  P = ( cos α + cos β + cos γ ) =  2cos cos + − 2sin ÷ 2 2  3 γ   γ 1  2γ  ≤  2sin + − 2sin ÷ =  −  sin − ÷  ≤ = 2 2      γ π Ta có: P = sin = Suy ra: α = β = γ = hay ( x; y; z ) = ( 1;1;1) 2 P = ( x; y; z ) ( 1;1;1) Vậy xmax ∈[ −3;3] DẠNG 2: Sử dụng điều kiện: x + y = a x + b y = c Ví dụ 1: Cho x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x + y Giải:  x = sin t , t ∈ [ 0;2π ] Từ điều kiện x + y = ta đặt   y = cos t Khi đó: P = sin t + cos t = − sin 2t Do ≤ sin t ≤ 1, ∀t nên ≤ P ≤ x = π Ta có: P = ⇔ sin 2t = ⇔ t = k Suy ra:   y = ±1 π π P = ⇔ sin 2t = ⇔ cos 2t = ⇔ t = + k 4   x = ± Suy ra:  y = ±    x = ± P = Vậy ;  x + y =1 y = ±  m ax P =  x = ±1  x = 2 x + y =1 y =  y = ±1  x = ±1  y = Ví dụ 2: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + xy ) + xy + y (Đề thi Đại học – Khối B 2008) Giải:  x = cos t , t ∈ [ 0;2π ] Từ điều kiện x + y = ta đặt   y = sin t ( cos t + 6cos t.sin t ) + cos 2t + 6sin 2t Khi đó: P = = + 2cos t.sin t + 2sin t + sin 2t − cos 2t Suy ra: ( + sin 2t − cos 2t ) P = + cos 2t + 6sin 2t ⇔ ( + P ) cos 2t + ( − P ) sin t = P − (*) Phương trình (*) có nghiệm theo 2 2 ⇔ ( + P ) + ( − P ) ≥ ( P − 1) ⇔ P + P − 36 ≤ ⇔ −6 ≤ P ≤ t * Với P = , từ (1) suy ra: 4cos 2t + 3sin t = ⇔ cos 2t + sin t = (1) 5  cos α =  π ,α ∈  0; ÷ Từ (1) ta có: Đặt   2 sin α =  α cos ( 2t − α ) = ⇔ t = + kπ α k α  x = cos  + kπ ÷ = ( −1) cos 2  Khi đó: α k α  y = sin  + kπ ÷ = ( −1) sin 2    ; Suy ra: ( x; y ) =  ÷khi k chẵn  10 10    ;− ( x; y ) =  − ÷khi k lẻ 10   10 * Với P = −6 , từ (1) suy ra: −5cos 2t + 12sin t = −13 ⇔ 12 cos 2t − sin t = (1) 13 13  cos β =   π 13 , β ∈  0; ÷ Từ (1) ta có: Đặt   2 sin β = 12  13 β cos ( 2t + β ) = ⇔ t = − + kπ k  β   β x = cos  − + kπ ÷ = ( −1) cos  − ÷    2 Khi đó: k  β   β y = sin  − + kπ ÷ = ( −1) sin  − ÷    2   ;− Suy ra: ( x; y ) =  ÷khi k chẵn 10   10   ; ( x; y ) =  − ÷khi k lẻ  10 10  Vậy max P = 3,min P = −6 Ví dụ 3: Cho x, y hai số thực thay đổi thỏa hệ thức x + y = 2     Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =  x + ÷ +  y + ÷ x   y   Giải:  x = cos t , t ∈ [ 0;2π ] Từ điều kiện x + y = ta đặt  y = sin t  Khi đó: 2    1  P =  cos t + +  sin t + ÷ = cos t + sin t + + +4 ÷ cos t   sin t  cos t sin t  16      = ( cos t + sin t ) 1 + + = 1 − sin 2t ÷.1 + ÷+ 4 ÷  cos t.sin t     sin 2t  25  1 Khi đó: P ≥  − ÷( + 16 ) + =  2 25 π π ⇔ sin 2t = ⇔ cos 2t = ⇔ t = + k Ta có: P =   x = ± Khi đó:  y = ±    x = ± 25 P = Vậy  x + y =1 2 y = ±   x2 + y2 =  2 Ví dụ 4: Cho số thực x, y, z, t thỏa điều kiện:  z + t = 16 Hãy tìm giá  xt + yz ≥ 12  trị lớn biểu thức P = x + z Giải:  x = 3sin a Từ điều kiện x + y = ta đặt   y = 3cos a  z = 4sin b Từ điều kiện z + t = 16 ta đặt  t = 4cos b  Ta có: xt + yz = 12sin a.cos b + 12.cos a.sin b = 12.sin(a + b) ≥ 12 10 Khi đó: sin(a + b) ≥ , kết hợp với sin(a + b) ≤ 1, ∀a, b ta π sin(a + b) = Suy ra: a + b = + k 2π Do đó: π P = x + z = 3sin a + 4sin b = 3sin a + 4sin( − a − k 2π ) = 3sin a + 4cos a 2 2 Suy ra: P ≤ + sin a + cos a ⇒ P ≤  cos a = ±  sin a cos a = ⇔ tan a = Khi đó:  Ta có: P = ⇔ 3 4 sin a = ±   12 16 12  Từ ta nhận được: ( x; y; z; t ) =  ; ; ; ÷ 5 5  12 16 12 ( x; y; z; t ) =  − ; − ; − ; − ÷ Vậy max P = 41 5  5 DẠNG 3: Sử dụng điều kiện x ≥ hay x ≥ m (m > 0) Lưu ý: + Bài tốn có chứa x − m đặt m  π   3π  x= , t ∈ 0; ÷∪ π ; ÷ cos t  2   + Công thức liên quan: x2 − = − = tan t = tan t = tan t cos t x Ví dụ 1: Cho x > Tìm giá trị nhỏ P = x + x2 − Giải:  π , t ∈  0; ÷ Do x > nên đặt x = cos t  2 1 1 1 P= + = + ≥2 Khi đó: cos t cos t cos t sin t cos t sin t −1 cos t (Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương sint, cost) 2 = ≥2 Suy ra: P ≥ sin 2t sin 2t π Ta có: P = 2 ⇔ sin 2t = ⇔ t = Suy ra: x = 11 P = 2 x = Vậy x >1 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn P = x2 − + y2 − xy Giải:  x ≥1  x2 − ≥   Điều kiện:  y − ≥ ⇔  y ≥  xy ≠  xy ≠    x =   π   3π  cos a ; a, b ∈ 0; ÷∪ π ; ÷ Từ điều kiện ta đặt   2   y =  cos b 1 − + −1 2 cos a cos b Khi đó: P = = ( tan a + tan b ) cos a.cos b 1 cos a cos b = sin a.cos b + cos a.sin b = sin( a + b) Suy ra: P ≤ Khi x = y = đẳng thức xảy Vậy P = x = DẠNG 4: Sử dụng lượng giác tốn có xuất biểu thức + x hay x2 + m2  π π Lưu ý: Bài tốn có chứa x + m đặt x = m.tan t , t ∈  − ; ÷  2 m2 Khi đó: x + m = m ( tan t + 1) = cos t + x6 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P = ( + x2 ) Giải:  π π Với x ∈ ¡ , đặt x = tan t , t ∈  − ; ÷  2 sin t sin t 1− + + tan t − tan t + tan t cos t cos t = = Khi đó: P = ( + tan t ) ( + tan t ) cos t 12 = cos t − sin t.cos t + sin t = ( sin t + cos t ) − 3sin t.cos t = − sin 2t 1 ≤ P ≤ Ta có: P = ⇔ sin 2t = ⇒ x = ±1 4 P = ⇔ sin 2t = ⇒ x = Vậy P = ,m ax P = + x + 12 x P = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ( + x2 ) Do ≤ sin 2t ≤ nên Giải:  π π x = tan t , t ∈  − ; ÷  2 + tan t + 3tan t 3cos t + 4sin t.cos t + 3sin t = 2 Khi đó: P = ( + tan t ) ( cos2 t + sin t ) Với x ∈ ¡ , đặt = ( sin t + cos t ) − 2sin t.cos t = − sin 2t 5 Do ≤ sin 2t ≤ nên ≤ P ≤ Ta có: P = ⇔ sin 2t = ⇒ x = 2 P = ⇔ sin 2t = ⇒ x = Vậy P = ,m ax P = ( a + b)(1 − ab) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P = (1 + a )(1 + b ) Giải: Dấu hiệu chuyển sang lượng giác là: + a ,1 + b  π π Đặt a = tan α , b = tan β ;α , β ∈  − ; ÷  2 Khi ta có: ( a + b)(1 − ab) (tan α + tan β )(1 − tan α tan β ) P= = (1 + a )(1 + b ) (1 + tan α )(1 + tan β ) sin(α + β ) cos α cos β − sin α sin β = cos α cos β cos α cos β cos α cos β = sin(α + β )cos(α + β ) = sin [ 2(α + β ) ] 13 1 Do −1 ≤ sin [ 2(α + β ) ] ≤ nên − ≤ sin [ 2(α + β ) ] ≤ 2 1 hay − ≤ P ≤ 2  a = −1 a = Ta có: P = − ⇔ sin  ( α + β )  = −1 Suy ra:   b = b = −1 a = a = Ta có: P = ⇔ sin  ( α + β )  = Suy ra:   b = b = 1 Vậy P = − ,m ax P = 2 Ví dụ 4: Cho x, y hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất, giá ( x − y ) ( − xy ) trị nhỏ biểu thức P = 2 (Đề thi Đại học năm 2008 – Khối D) ( + x ) ( + y ) Giải:  π Đặt x = tan α , y = tan β ;α , β ∈  0; ÷  2 Khi ta có:  sin α sin β   sin α sin β  −  − tan α − tan β ) ( − tan α tan β )  cos α cos β ÷ cos α cos β ÷ (    P= = 2 2 ( + tan α ) ( + tan β ) sin α   sin β   1 + ÷ 1 + ÷  cos α   cos β  ( sin α cos β − cosα sin β ) ( cosα cos β − sin α sin β ) = 2 ( sin α + cos α ) ( sin β + cos β ) = sin ( α − β ) cos ( α + β ) sin 2α − sin β = ( + sin 2α ) ( + sin 2β ) ( + sin 2α ) ( + sin β )   + sin 2α − − sin β   1 =  − ÷=   ( + sin 2α ) ( + sin β )   + sin β + sin 2α ÷  Do ≤ 2α ,2 β ≤ π nên ≤ sin 2α ≤ 1,0 ≤ sin β ≤ 1 Suy ra: − ≤ P ≤ 4 π  sin 2α = x = 1 α = ⇔ Suy ra:  Ta có: P = ⇔  sin β = y =    β = 14 α = sin 2α =  x = ⇔ Ta có: P = − ⇔  π Suy ra:  sin β = y = β =    Ví dụ 5: Cho x, y hai số thực không âm thay đổi thỏa hệ thức xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P = + + − 3( x + y + z ) x y z Giải:  π Đặt x = tan α ; y = tan β ; z = tan γ với α , β , γ ∈  0; ÷  2 Do xy + yz + zx = nên tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = tan α + tan β π  ⇔ = ⇔ tan ( α + β ) = tan  − γ ÷ − tan α tan β tan γ 2  ⇔ 2α + 2β + 2γ = π ( Do α , β , γ > 0) 1 + + − 3(tan α + tan β + tan γ ) Khi đó: P = tan α tan β tan γ = cot α + cot β + cot γ − 3(tan α + tan β + tan γ ) = ( cot α − tan α ) + ( cot α − tan α ) + ( cot α − tan α ) − 2(tan α + tan β + tan γ ) = ( cot 2α + cot 2β + cot 2γ ) − 2(tan α + tan β + tan γ ) = ( cot 2α + cot β − tan γ ) + ( cot 2β + cot 2γ − tan α ) + ( cot 2γ + cot 2α − tan β ) sin ( 2α + β ) 2sin 2γ = sin 2α sin β sin ( 2α − β ) − sin ( 2α + β ) 2sin 2γ 2sin 2γ 4sin γ cos γ ≥ = = = tan γ − sin ( 2α + β ) + cos 2γ 2cos γ ⇒ cot 2α + cot 2β − tan γ ≥ Từ suy ra: P ≥ Với x = y = z = P = Vậy P = DẠNG 5: Sử dụng lượng giác tốn có xuất biểu thức x + y hay Nhận xét: cot 2α + cot 2β = ( x + a) + ( y + b) 2 Lưu ý: Bài tốn có chứa ( x + a ) + ( y + b ) đặt x + a = Asint y+b=Acost Ví dụ 1: Cho x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn 3x+4y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x + y Giải:  x = Asint  y=Acost Bài tốn có chứa kiện x + y giúp ta nghĩ đến việc đặt:  15 ⇒ x2 + y2 =A2 Khi giả thiết cho trở thành: 3A.sint + 4A.cost = 3  hay A  sin t + cost ÷ = tức A.sin(α +t ) = với 5   cosα =  sin α =  Vì sin(α +t ) ≤ nên A ≥ ⇔ A2 ≥ Suy x + y ≥   sin t =   x=  Đẳng thức xãy sin t + cost = tức  hay  5 cost=  y=   5 Vậy giá trị nhỏ cần tìm Ví dụ 2: Cho x, y hai số thực thay đổi thỏa: 14xy +23x2 -25y2 - 24y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x + y Giải:  x = Asint ⇒ x2 + y2 =A2 y=Acost  Tương tự ví dụ 1, đặt:  Khi giả thiết cho trở thành : A2.(14.sintcost + 23cos2t - 25sin2t) -24 =0 ⇔ A2.(7sin2t + 24cos2t - 1) -24 =0 A2 25 ( sin(2t+α )  cosα = 25 −1 = 24 với  sinα = 24  25 Từ kết trên, kết hợp với tạp giá trị hàm sinx ta suy ra: < 25.sin ( 2t + α ) − ≤ 24 Do A2 ≥ (Đẳng thức xảy sin(2t+ α )=1.Vậy giá trị nhỏ cần tìm Ví dụ 3: Cho x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn 5x+12y+7 = 13 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y +2(y-x) +1 Giải: Ta biến đổi biểu thức P = (x-1)2+(y+1)2 -1 2 Như tốn có xuất dấu hiệu ( x + a ) + ( y + b )  x − = A.sin t P= A2 -  y + = A.cost Đặt  Điều kiện cho trở thành: 16 5( A.sin t + 1)+12(A.cost-1)+7 = 13 ⇔ 13 A.sin(t + α ) = 13 ⇔ A.sin t + 12A.cost = 13 ⇔ A.sin(t + α ) =  c os α =  13 Với  Từ suy sinα = 12  13 A ≥ hay P=A − ≥ 18    x − = 13  x = 13 ⇔ Đẳng thức xảy sin(t+ α )=1 hay   y + = 12  y = −1 13 13   Vậy giá trị nhỏ cần tìm 2 Ví dụ 4: Cho x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn 3(x -y )+8xy+14x+2y+8 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y +2(x+y) +1 Giải:  x − = A.sin t  y + = A.cost Tương tự ví dụ 3, biến đổi P = (x+1)2 +(y+1)2 -1 Đặt  Khi P= A2 - Ta tìm giá trị nhỏ P 3.3 BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa hệ thức: x + y = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x3 + y  x + y = 25  2 2) Cho x, y, z, t số thực thỏa hệ:  z + t = 16 Tìm giá trị nhỏ  xz + yt ≥ 20  biểu thức P = x + t 3) Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa hệ thức: x + y = Tìm giá trị lớn 3 nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + y ) − 3xy 4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x − x − 3x + 5) Cho hai số x, y thay đổi thỏa mãn: x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y + y + x 6) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x + 12 + x2 7) Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa hệ thức: x + y = Tìm giá trị lớn 5 3 nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = 16 ( x + y ) − 20 ( x + y ) + ( x + y ) 17 8) Cho x, y , z thỏa mãn điều kiện abc + a + c = b Tìm giá trị lớn nhất, giá trị 1 + + nhỏ biểu thức: P = 2 + a + b + c2 9) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z + xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + y + z 10) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: x + + 1− x +1 P= x + + 1− x +1 11) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z + xyz = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thúc P = xy + yz + zx − xyz 12) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức x ( − y ) + y ( − x2 ) P= ( + x2 ) ( + y2 ) Kiểm nghiệm Trong năm qua với kinh nghiệm tích luỹ thân, áp dụng trực tiếp đề tài qua lớp phân công giảng dạy, lớp bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi đại học Đối với lớp khố, để thực đề tài lồng ghép khéo léo tiết lý thuyết, giải tập ôn chương, tập ôn cuối năm Học sinh vận dụng hiệu hăng say Khi cho tập tương tự, hầu hết học sinh đại trà giải Nhiều tốn loại thuộc loại khó học sinh đại trà biết phương pháp em nhớ lâu xem “tủ” Đối với lớp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, có chương trình dạy riêng song phần áp dụng phương pháp Các phương pháp thực tế, gần gũi với chương trình học nên giúp em ham mê, tìm tòi Đặt biệt với đối tượng học sinh giỏi cho tập nhà, buộc em tìm tòi lời giải để chọn lời giải hay chung cho nhiều khác em tranh luận tham khảo cách giải từ nhiều nguồn như: sách báo, mạng internet, hay thầy cô khác giúp cho thân chúng tơi tích luỹ thêm nhiều kiến thức Năm học 2008, 2011 lớp bồi dưỡng học sinh giỏi mà dạy có học sinh đạt giải cấp tỉnh 18 C- KẾT LUẬN Việc sâu nghiên cứu mở rộng phạm vi lý thuyết để giải tập tốn ln nhu cầu tất thầy trò dạy học toán Việc sử dụng phương pháp lượng giác nêu phần giúp cho thân tự học hỏi trao đổi để đổi góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo ham học học sinh Các phương pháp nêu đề tài phù hợp cho nhiều đối tượng học sinh Đặc biệt khéo léo áp dụng giúp cho học sinh có kỹ vận dụng định giải tập Đồng thời giúp học sinh tin tưởng vào thân, học lên ngày u thích mơn tốn Trong q trình giảng dạy, thân lồng ghép hợp lý tuỳ lớp Có thể giới thiệu cho học sinh lớp 10 (ôn tập cuối năm), lớp 11( đầu năm) lớp 12 (ôn thi) Đề tài mà nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng mở rộng việc sử dụng dấu hiệu liên quan đến đẳng thức hay bất đẳng thức tam giác Đặc biệt nắm phương pháp học sinh vận dụng để chứng minh bất đẳng thức cách hiệu Đề tài mang tính chủ quan, cảm nhận riêng cá nhân nên khơng tránh sai sót Trên tinh thần học hỏi trao đổi, mong ý kiến đóng góp, bổ sung đề tài thầy cô giáo đồng nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT Lê Đăng Bản 19 ... lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x − x − 3x + 5) Cho hai số x, y thay đổi thỏa mãn: x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y + y + x 6) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị. .. bước sử dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: - Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa Biến đổi điều kiện biến cho xuất dấu hiệu áp dụng - Bước 2: Đặt ẩn phụ phạm vi góc lượng giác. .. Tìm giá trị nhỏ  xz + yt ≥ 20  biểu thức P = x + t 3) Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa hệ thức: x + y = Tìm giá trị lớn 3 nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + y ) − 3xy 4) Tìm giá trị