Đang tải... (xem toàn văn)
Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E và F.. ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A).[r]
(1)hình
D
C B
A
hình
a
C B
A
hình
a
C B A
hình
y
x
O A B
CHỦ ĐỀ 9: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG.
Đây kiến thức thường áp dụng đến chương Hình Lớp 7
1 Phương pháp 1: (Hình 1)
* Nếu ABD DBC 1800 ba điểm A; B; C thẳng hàng.
Cơ sở lý thuyết: Góc có số đo 180o góc bẹt
2 Phương pháp 2: ( Hình 2)
Nếu AB // a AC // a ba điểm A; B; C thẳng hàng Cơ sở lý thuyết là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7
3 Phương pháp 3: ( Hình 3)
* Nếu AB a ; AC A ba điểm A; B; C thẳng hàng
Cơ sở phương pháp là: Có đường thẳng
a’ qua điểm O vng góc với đường thẳng a cho trước
* Hoặc chứng minh A; B; C thuộc đường trung trực đoạn thẳng
4 Phương pháp 4: ( Hình 4)
* Nếu tia OA tia OB tia phân giác góc xOy ba điểm O; A; B thẳng hàng
Cơ sở phương pháp là: Mỗi góc có tia
phân giác
* Hoặc : Hai tia OA OB nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , xOA xOB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng
5. Phương pháp 5: Nếu K trung điểm BD, K’ giao điểm BD AC Nếu K’ trung
điểm BD K’ K A, K, C thẳng hàng.
Cơ sở phương pháp là: Mỗi đoạn thẳng có trung điểm
(2)hình
//
// N
M A
E D
C B
hình
= =
/ /
D
M C
B
A
I/ PHƯƠNG PHÁP 1
Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vng góc CA (tia Cx
và điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng
Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh BMC CMD 1800
Do AMB BMC 1800nên cần chứng minh AMB DMC Hướng dẫn
XétAMB CMD có:
AB = DC (gt)
BAM DCM 900
MA = MC (M trung điểm AC)
Do đó: AMB = CMD (c.g.c) Suy ra: AMB DMC
Mà AMB BMC 1800 (kề bù) nên BMC CMD 1800. Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng
Ví dụ Cho tam giác ABC Trên tia đối AB lấy điểm D mà AD = AB, tia đối tia AC
lấy điểm E mà AE = AC Gọi M; N điểm BC ED cho CM = EN Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng
Gợi ý: Chứng minh CAM CAN 1800
Từ suy ba điểm M; A; N thẳng hàng Hướng dẫn
ABC = ADE (c.g.c)
C E
ACM = AEN (c.g.c)
MAC NAE
Mà EAN CAN 1800(vì ba điểm E; A; C thẳng hàng)
=> CAM CAN 1800
(3)Hình = =
/
/
E
D
N M
C B
A
BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1
Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC, tia đối của
tia AC lấy điểm E cho AE = AB Gọi M, N trung điểm BE CD Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng
Bài 2: Cho tam giác ABC vng A có ABC 600 Vẽ tia Cx BC (tia Cx điểm A phía
cùng phía bờ BC), tia Cx lấy điểm E cho CE = CA Trên tia đối tia BC lấy điểm F cho BF = BA Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng
Bài 3: Cho tam giác ABC cân A, điểm D thuộc cạnh AB Trên tia đối tia CA lấy điểm E
sao cho CE = BD Kẻ DH EK vng góc với BC (H K thuộc đường thẳng BC) Gọi M trung điểm HK Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng
Bài 4: Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AB, kẻ Hai
tia Ax By cho BAxABy.Trên Ax lấy hai điểm C E(E nằm A C), By lấy hai điểm D F ( F nằm B D) cho AC = BD, AE = BF Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng
Bài Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng xy // BC Từ điểm M cạnh BC, vẽ các
đường thẳng song song AB AC, đường thẳng cắt xy theo thứ tự D E Chứng minh đường thẳng AM, BD, CE qua điểm
II/ PHƯƠNG PHÁP 2
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Trên Các
đường thẳng BM CN lấy điểm D E cho M trung điểm BD N trung điểm EC Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng
Gợi ý: Ta chứng minh AD // BC AE // BC Hướng dẫn Xét BMC DMA có:
MC = MA (do M trung điểm AC)
BMC DMA (hai góc đối đỉnh)
MB = MD (do M trung điểm BD) Vậy: BMC = DMA (c.g.c)
(4)* *
X
X
/ /
= =
N C
M
x
O D
B
A
theo Tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm E, A, D thẳng hàng
Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt tai trung điểm O đoạn Trên tia AB
lấy lấy điểm M cho B trung điểm AM, tia AD lấy điểm N cho D trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng
Gợi ý: Chứng minh: CM // BD CN // BD từ suy M, C, N thẳng hàng Hướng dẫn
XétAOD COD có:
OA = OC (vì O trung điểm AC)
AOD COB (hai góc đối đỉnh) OD = OB (vì O trung điểm BD)
Vậy AOD = COB (c.g.c)
Suy ra: DAO OCB
Do đó: AD // BC Nên DAB CBM (ở vị trí đồng vị) Hình 8 Xét DAB CBM có :
AD = BC ( AOD = COB), DAB CBM , AB = BM ( B trung điểm AM)
Vậy DAB = CBM (c.g.c) Suy ABD BMC Do BD // CM (1) Lập luận tương tự ta BD // CN (2)
(5)/ /
= =
Hình Q
P
M C
B
A
BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 2
Bài Cho tam giác ABC Vẽ cung trịn tâm C bán kính AB cung trịn tâm B bán kính AC.
Đường trịn tâm A bán kính BC cắt cung tròn tâm C tâm B E F ( E F nằm nửa mặt phẳng bờ BC chứa A) Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng
III/ PHƯƠNG PHÁP 3
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC.
a) Chứng minh AM BC
b) Vẽ hai đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng
Gợi ý: Xử dụng phương pháp giải - Chứng minh AM , PM, QM vng góc BC
- AP, AQ tia phân giác góc BAC Hướng dẫn
Cách Xử dụng phương pháp 3.
a) Chứng minh AM BC
XétΔABM ΔACM có: AB =AC (gt) AM chung
MB = MC (M trung điểm BC)
Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c) Suy ra: AMBAMC(hai góc tương ứng)
Mà AMB AMC 1800(hai góc kề bù) nên AMB AMC 900 Do đó: AM BC (đpcm)
b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng
Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c)
Suy ra: PMB PMC (hai góc tương ứng), mà PMB PMC 1800 nên PMB PMC = 900
Do đó: PM BC
Lập luận tương tự QM BC
Từ điểm M BC có AM BC,PM BC, QM BC
(6)Hình 10 = =
= =
/ /
y x
O D
C B
A Chứng minh :
ΔBPA = ΔCPA BAP CAP Vậy AP tia phân giác BAC (1)
ΔABQ = ΔACQ BAQ CAQ .Vậy AQ tia phân giác BAC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm A; P; Q thẳng hàng
IV/ PHƯƠNG PHÁP 4
Ví dụ: Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm B C cho OB = OC.
Vẽ đường trịn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm A D nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng
Gợi ý: Chứng minh OD OA tia phân giác góc xOy
Hướng dẫn Xét ΔBOD ΔCOD có:
OB = OC (gt) ; OD chung
BD = CD (D giao điểm hai đường tròn tâm B tâm C bán kính)
Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c) => BOD COD
Điểm D nằm góc xOy nên tia OD nằm hai tia Ox Oy
Do OD tia phân giác xOy
Chứng minh tương tự ta OA tia phân giác
của xOy
(7)hình 11 K' K E
F
N M
C B
A =
=
Hình 12 E
N M
B C
A
K K'
= =
BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 4
Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Kẻ BM AC, CN AB (MAC N, AB), H giao
điểm BM CN
a) Chứng minh AM = AN
b) Gọi K trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng
Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi H trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB
chứa C kẻ tia Bx vng góc AB, nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC Bx Cy cắt E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng
V/ PHƯƠNG PHÁP 5
Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng
Gợi ý: Xử dụng phương pháp
Hướng dẫn
Cách 1: Kẻ ME BC ; NF BC ( E ; F BC)
BME CNF vng E F có:
BM = CN (gt), MBENCF ( ACB)
Do đó: BME = CNF(Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: ME = NF
Gọi K’ giao điểm BC MN.
MEK’ NFK’ vng E F có: ME = NF (cmt), EMK ' FNK '( so le ME
// FN) Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g) Do đó: MK’ = NK’
Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K K’
Do ba điểm B,K,C thẳng hàng
Cách Kẻ ME // AC (E BC) ACB MEB (hai góc đồng vị)
Mà ACB ABC nên MBE MEB Vậy ΔMBE cân M
Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta ME = CN Gọi K’ giao điểm BC MN.
(8)Hình 13
12
/ /
108
// = =
M
C B
A
O ME = CN (chứng minh trên)
MEK 'NCK' (so le ME //AC)
Do : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) MK’ = NK’
Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K K’
Do ba điểm B,K,C thẳng hàng
Lưu ý: Cả hai cách giải đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vơ tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý khơng biết sai
Ví dụ Cho tam giác ABC cân A , BAC 1080, Gọi O điểm nằm tia phân giác của
góc C cho CBO 120 Vẽ tam giác BOM ( M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng
Gợi ý: Chứng minh OCA OCM từ suy tia CA tia CM trùng nhau. Hướng dẫn
Tam giác ABC cân A nên
1800 1080 360
2
ABCACB
(tính chất tam giác cân)
Mà CO tia phân giác ACB, nên ACO BCO 180 Do BOC 1500
ΔBOM nên BOM 600.
Vậy : MOC 3600 (150060 ) 1500 Xét ΔBOC ΔMOC có:
OB = OM ( ΔBOM đều)
BOC MOC 1500 OC chung
Do : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c)
Suy ra: OCB OCM mà OCB OCA (gt) nên OCA OCM .