Chuyên đề chứng minh 3 điểm thẳng hàng - Giáo viên Việt Nam

Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E và F.. ( E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A).[r]

hình

 

D

C B

A

hình

 

a

C B

A

hình

 

a

C B A

hình

  y

x

O A B

CHỦ ĐỀ 9: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG.

Đây kiến thức thường áp dụng đến chương Hình Lớp 7

1 Phương pháp 1: (Hình 1)

* Nếu ABD DBC 1800 ba điểm A; B; C thẳng hàng.

Cơ sở lý thuyết: Góc có số đo 180o góc bẹt

2 Phương pháp 2: ( Hình 2)

Nếu AB // a AC // a ba điểm A; B; C thẳng hàng Cơ sở lý thuyết là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7

3 Phương pháp 3: ( Hình 3)

* Nếu AB  a ; AC  A ba điểm A; B; C thẳng hàng

Cơ sở phương pháp là: Có đường thẳng

a’ qua điểm O vng góc với đường thẳng a cho trước

* Hoặc chứng minh A; B; C thuộc đường trung trực đoạn thẳng

4 Phương pháp 4: ( Hình 4)

* Nếu tia OA tia OB tia phân giác góc xOy ba điểm O; A; B thẳng hàng

Cơ sở phương pháp là: Mỗi góc có tia

phân giác

* Hoặc : Hai tia OA OB nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , xOA xOB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng

5. Phương pháp 5: Nếu K trung điểm BD, K’ giao điểm BD AC Nếu K’ trung

điểm BD K’  K A, K, C thẳng hàng.

Cơ sở phương pháp là: Mỗi đoạn thẳng có trung điểm

hình

//

// N

M A

E D

C B

hình

= =

/ /

D

M C

B

A

I/ PHƯƠNG PHÁP 1

Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vng góc CA (tia Cx

và điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng

Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh BMC CMD 1800

Do AMB BMC 1800nên cần chứng minh AMB DMC Hướng dẫn

XétAMB CMD có:

AB = DC (gt)

BAM DCM 900

MA = MC (M trung điểm AC)

Do đó: AMB = CMD (c.g.c) Suy ra: AMB DMC

Mà AMB BMC 1800 (kề bù) nên BMC CMD  1800. Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng

Ví dụ Cho tam giác ABC Trên tia đối AB lấy điểm D mà AD = AB, tia đối tia AC

lấy điểm E mà AE = AC Gọi M; N điểm BC ED cho CM = EN Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng

Gợi ý: Chứng minh CAM CAN  1800

Từ suy ba điểm M; A; N thẳng hàng Hướng dẫn

ABC = ADE (c.g.c)

 

C E

 

ACM = AEN (c.g.c)

 

MAC NAE

 

Mà EAN CAN  1800(vì ba điểm E; A; C thẳng hàng)

=> CAM CAN  1800

Hình = =

/

/

E

D

N M

C B

A

BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1

Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC, tia đối của

tia AC lấy điểm E cho AE = AB Gọi M, N trung điểm BE CD Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng

Bài 2: Cho tam giác ABC vng A có ABC 600 Vẽ tia Cx  BC (tia Cx điểm A phía

cùng phía bờ BC), tia Cx lấy điểm E cho CE = CA Trên tia đối tia BC lấy điểm F cho BF = BA Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng

Bài 3: Cho tam giác ABC cân A, điểm D thuộc cạnh AB Trên tia đối tia CA lấy điểm E

sao cho CE = BD Kẻ DH EK vng góc với BC (H K thuộc đường thẳng BC) Gọi M trung điểm HK Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng

Bài 4: Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AB, kẻ Hai

tia Ax By cho BAxABy.Trên Ax lấy hai điểm C E(E nằm A C), By lấy hai điểm D F ( F nằm B D) cho AC = BD, AE = BF Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng

Bài Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng xy // BC Từ điểm M cạnh BC, vẽ các

đường thẳng song song AB AC, đường thẳng cắt xy theo thứ tự D E Chứng minh đường thẳng AM, BD, CE qua điểm

II/ PHƯƠNG PHÁP 2

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Trên Các

đường thẳng BM CN lấy điểm D E cho M trung điểm BD N trung điểm EC Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng

Gợi ý: Ta chứng minh AD // BC AE // BC Hướng dẫn Xét BMC DMA có:

MC = MA (do M trung điểm AC)

 

BMC DMA (hai góc đối đỉnh)

MB = MD (do M trung điểm BD) Vậy: BMC = DMA (c.g.c)

* *

X

X

/ /

= =

N C

M

x

O D

B

A

theo Tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm E, A, D thẳng hàng

Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt tai trung điểm O đoạn Trên tia AB

lấy lấy điểm M cho B trung điểm AM, tia AD lấy điểm N cho D trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng

Gợi ý: Chứng minh: CM // BD CN // BD từ suy M, C, N thẳng hàng Hướng dẫn

XétAOD COD có:

OA = OC (vì O trung điểm AC)

AOD COB (hai góc đối đỉnh) OD = OB (vì O trung điểm BD)

Vậy AOD = COB (c.g.c)

Suy ra: DAO OCB

Do đó: AD // BC Nên DAB CBM  (ở vị trí đồng vị) Hình 8 Xét DAB CBM có :

AD = BC ( AOD = COB), DAB CBM  , AB = BM ( B trung điểm AM)

Vậy DAB = CBM (c.g.c) Suy ABD BMC Do BD // CM (1) Lập luận tương tự ta BD // CN (2)

/ /

= =

Hình Q

P

M C

B

A

BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 2

Bài Cho tam giác ABC Vẽ cung trịn tâm C bán kính AB cung trịn tâm B bán kính AC.

Đường trịn tâm A bán kính BC cắt cung tròn tâm C tâm B E F ( E F nằm nửa mặt phẳng bờ BC chứa A) Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng

III/ PHƯƠNG PHÁP 3

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC.

a) Chứng minh AM  BC

b) Vẽ hai đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng

Gợi ý: Xử dụng phương pháp giải - Chứng minh AM , PM, QM vng góc BC

- AP, AQ tia phân giác góc BAC Hướng dẫn

Cách Xử dụng phương pháp 3.

a) Chứng minh AM  BC

XétΔABM ΔACM có: AB =AC (gt) AM chung

MB = MC (M trung điểm BC)

Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c) Suy ra: AMBAMC(hai góc tương ứng)

Mà AMB AMC 1800(hai góc kề bù) nên AMB AMC 900 Do đó: AM  BC (đpcm)

b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng

Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c)

Suy ra: PMB PMC  (hai góc tương ứng), mà PMB PMC  1800 nên PMB PMC  = 900

Do đó: PM  BC

Lập luận tương tự QM  BC

Từ điểm M BC có AM  BC,PM  BC, QM  BC

Hình 10 = =

= =

/ /

y x

O D

C B

A Chứng minh :

ΔBPA = ΔCPA  BAP CAP  Vậy AP tia phân giác BAC (1)

ΔABQ = ΔACQ  BAQ CAQ .Vậy AQ tia phân giác BAC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm A; P; Q thẳng hàng

IV/ PHƯƠNG PHÁP 4

Ví dụ: Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm B C cho OB = OC.

Vẽ đường trịn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm A D nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng

Gợi ý: Chứng minh OD OA tia phân giác góc xOy

Hướng dẫn Xét ΔBOD ΔCOD có:

OB = OC (gt) ; OD chung

BD = CD (D giao điểm hai đường tròn tâm B tâm C bán kính)

Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c) => BOD COD 

Điểm D nằm góc xOy nên tia OD nằm hai tia Ox Oy

Do OD tia phân giác xOy

Chứng minh tương tự ta OA tia phân giác

của xOy

hình 11 K' K E

F

N M

C B

A =

=

Hình 12 E

N M

B C

A

K K'

= =

BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 4

Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Kẻ BM AC, CN  AB (MAC N, AB), H giao

điểm BM CN

a) Chứng minh AM = AN

b) Gọi K trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng

Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi H trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB

chứa C kẻ tia Bx vng góc AB, nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC Bx Cy cắt E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng

V/ PHƯƠNG PHÁP 5

Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng

Gợi ý: Xử dụng phương pháp

Hướng dẫn

Cách 1: Kẻ ME  BC ; NF  BC ( E ; F  BC)

BME CNF vng E F có:

BM = CN (gt), MBENCF ( ACB)

Do đó: BME = CNF(Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: ME = NF

Gọi K’ giao điểm BC MN.

MEK’ NFK’ vng E F có: ME = NF (cmt), EMK ' FNK '( so le ME

// FN) Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g) Do đó: MK’ = NK’

Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K  K’

Do ba điểm B,K,C thẳng hàng

Cách Kẻ ME // AC (E  BC) ACB MEB (hai góc đồng vị)

Mà ACB ABC nên MBE MEB  Vậy ΔMBE cân M

Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta ME = CN Gọi K’ giao điểm BC MN.

Hình 13

12

/ /

108

// = =

M

C B

A

O ME = CN (chứng minh trên)

MEK 'NCK' (so le ME //AC)

Do : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g)  MK’ = NK’

Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K  K’

Do ba điểm B,K,C thẳng hàng

Lưu ý: Cả hai cách giải đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vơ tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý khơng biết sai

Ví dụ Cho tam giác ABC cân A , BAC 1080, Gọi O điểm nằm tia phân giác của

góc C cho CBO  120 Vẽ tam giác BOM ( M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng

Gợi ý: Chứng minh OCA OCM  từ suy tia CA tia CM trùng nhau. Hướng dẫn

Tam giác ABC cân A nên

  1800 1080 360

2

ABCACB  

(tính chất tam giác cân)

Mà CO tia phân giác ACB, nên ACO BCO 180 Do BOC  1500

ΔBOM nên BOM  600.

Vậy : MOC  3600 (150060 ) 1500  Xét ΔBOC ΔMOC có:

OB = OM ( ΔBOM đều)

BOC MOC 1500 OC chung

Do : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c)

Suy ra: OCB OCM  mà OCB OCA  (gt) nên OCA OCM  .