Chứng Minh 3 Điểm Thẳng Hàng Phương Pháp Thêm Điểm

CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG PHƯƠNG PHÁP THÊM ĐIỂM Nội dung phương pháp : Khi chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng , khi đã biết mối quan hệ nào đó của C,D,E.. Ví dụ như C là trung điểm c

CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG PHƯƠNG PHÁP THÊM ĐIỂM

Nội dung phương pháp : Khi chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng , khi đã biết  mối quan hệ nào đó của C,D,E . Ví dụ như C là trung điểm của DE chẳng hạn , ta 

sẽ thêm một điểm C’ là giao của AB với một đường DE  đã chứa điểm C . Ta sẽ  tìm cách chứng minh C’ cũng là trung điểm của DE , tức là C’ trùng với C. Đó là  điều phải chứng minh , phương pháp thêm điểm là như vậy . Dưới đây là hình  minh họa và các ví dụ để các em tiện theo dõi nhé .   

 

BÀI TOÁN MINH HỌA : Bài 1:

Cho tam giác ABC, về phía tam giác ABC vẽ tam giác ABD vuông cân tại A. 

Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng ba  điểm M,A,H thẳng hàng. 

Lời giải:

Vẽ  EK  AH tại K, DN  AH  tại N, AH cắt DE tại M 

Xét tam giác HAB  (AHB 90 )0  và tam giac NDA  (DNA 90 )0 có: 

AB = AD ( tam giác ABC vuông cân tại A) 

BAH  NDA ( cùng với góc DAN) 

Do đó HABNDA( cạnh huyền – góc nhọn) 

Tương tự  KAE HCA ( cạnh huyền – góc nhọn) KE  AH 

Ta có DN = KE = AH 

,

Xét tam giác M DN/  và tam giác  /

M EK  có : / / / /

( )

M DN  M EK g c g M DM E

M là trung điểm của DE nên M/ = M 

Vậy ba điểm M,A,H thẳng hàng. 

Bài 2:

Cho tam giác ABC,đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt ở D, E.  Trên các đoạn thẳng BC, DE lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BC = 3BM, DE = 3DN.  

Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng. 

Lời giải:

  Gọi N/  là giao điểm của AM và DE 

Xét tam giác ABC có DE // BC (gt)  DE AD

Xét tam giác ABM có DN/ // BC 

/

DN AD

BM AB

Do đó: 

/

DE DN

BC  BM , mà BC = 3BM (gt), DE = 3 DN (gt) 

Nên có 

/

/

DN DN

N N

BM  BM    

Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng. 

Bài 3:

Cho hai đường tròn (O;R) và (O/;R) tiếp xúc ngoài nhau tại A.  BC, DE là các tiếp tuyến chung  ngoài của hai đường tròn (O) và (O/) (B, D ( )O ;  /

( ))

E O  Gọi M, N lần lượt là trung điểm  của BC và DE.  

Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng. 

Lời giải:

Gọi  / /

,

M N  lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến chung trong tại A của hai đường tròn (O) và (O/) 

với BC, DE. 

Ta có M C/ M A M A/ , / M B/  ( Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ) 

Do đó M/ M. Tương tự N/  N 

Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng. 

Bài 4:

Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AEF (E nằm giữa A 

và F,  BAFFAC). Vẽ đường thẳng qua E vuông s BC góc với OB cắt BC tại M, BF tại N.  Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ba điểm F, M, I thẳng hàng. 

Lời giải:

Vẽ OK EF  tại K => K là trung điểm của EF. 

90

ABO AKO ACO  

, , , ,

A B K C O

  cùng thuộc một đường tròn. 

BAK MCK

Mà ABOB EN, OB AB/ /EN  BAK MEK 

Ta có  MCK MEK(BAK) 

  tứ giác EMKC nội tiếp 

ECM EKM

Mà  ECM  EFB, nên  EKM  EFB MK // BN 

Tam giác EFN có KM // NF, EK = KF  => EM = MN 

 

   

/

 

Do đó: F, M, I thẳng hàng. 

Bài 5:

Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD, CE. Gọi M là  giao điểm của các tiếp tuyến vẽ từ B, từ C của đường tròn (O), N là trung điểm của đoạn thẳng 

DE. 

Chứng minh rằng A, M, N thẳng hàng. 

Lời giải:

Qua M vẽ đường thẳng song song với DE cắt AB, AC lần lượt ở K, S. 

Gọi  Cx là tia đối của tia CM. Ta có    0

90

BEC BDC  

 Tứ giác BEDC nội tiếp 

ADE ABC AED ACB

Mà  ADEMSC AED , BKM ( đồng vị và DE // KS) 

Ta có  ACx ABC( hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) 

 

ACxMCS ( đối đỉnh ) 

Do đó  MCS MSC 

MCS

  cân tại M 

 MC = MS 

Tương tự MB = MK 

Mà MB = MC ( MB, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)) 

Do đó MK = MS 

Gọi M/ là giao điểm của AN và KS 

/

AKM

  có EN // KM/  EN/ AN/

/

  AM S  có ND // M/S  ND/ AN/

Nên  EN/ ND/ AN/

  

  

Mà EN = ND, do đó KM/ = SM/. Ta có M/ = M 

Vậy A, M, N thẳng hàng. 

Bài 6:

Cho  tam  giác  nhọn  ABC  nọi  tiếp  đường  tròn  (O;R).  AD,  BE  là  các  đường  cao  của  tam  giác  ABC. Các tiếp tuyến tại A, B của (O) ắt nhau ở M, N là trung điểm của DE. 

Chứng minh rằng ba điểm M, N, C thẳng hàng. 

Lời giải:

Gọi Bx là tia đối của tia BM 

90

AEB ADB  

  Tứ giác ABDE nội tiếp 

CDE BAE

CDE BKM (KI //AB) 

BAC CBx CBxMBK 

Do đó  BKM MBK 

MKB

  cân tại M  => MB = MK 

Tương tự MA = MI mà MA = MB 

Do vậy MI = MK  (1) 

Gọi N/ là giao điểm của CM và DE 

Tam giác CMI có N/E // MI 

N E CN

MI CM

Tam giác CKM có N/D // KM 

N D CN

MK CM

Từ (1), (2), (3) có N/ E // N/D  

Do đó N/ = N 

Vậy ba điểm M, N, C thẳng hàng. 

Bài 7:

Cho đường tròn (O;R) , A là điểm nằm trên đường tròn (O), H là điểm ở bên trong đường tròn  (O)  sao  cho  AH  =  R 2   Đường  thẳng  vuông  góc  với  AH  tại  H  cắt  đường  tròn  (O)  tại  B,  C.  Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt ở D, E ( khác A). 

Chứng minh rằng D, E, O thẳng hàng. 

Lời giải:

Xét đường tròn đường kính AH có   0  

90 ,

AEH  ADE AHE 

AHEC ( cung phụ với góc EHC) do đó   

ADE C 

Mặt khác  1

2

C  AOB và OA = OB (= R) 

  tam giác OAB cân tại O 

90 2

90

DAO ADE AO DE

Vẽ AK DE tại K 

Xét tam giác AED và tam giác ABC có: 



EAD  ( chung ),   ADE ACB 

Do đó EADABC g g( ) 

Bán kính đường tròn (AED) là  2

2

R

 

Bán kính đường tròn (ABC) là R. 

Nên ta có  AK 2

AH  R. Mà AH R 2(gt) AK  R   (2) 

Từ (1) và (2) ta có K = O 

Vậy D, E, O thẳng hàng. 

Bài 8:

Cho tam giác ABC ( AB > AC) nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho 

BD  =  AC.  Đường  thẳng  qua  D  song  song  với  BC  cắt  AC  tại  H.  Tia  phân  giác  góc  BAC  cắt  đường tròn (O) tại E và cắt DH tại F ( E khác A). Gọi M là trung điểm củ AD. Tia CF cắt đường  tròn (O) tại N. Chứng minh rằng : 

a) E, D, N thẳng hàng. 

b) C, M, N thẳng hàng. 

Lời giải:

  a)  Ta có:  ADF  ABC (đồng vị và DH // BC) 

mà  ANF  ABC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) 

Do đó:  ADF  ANF => Tứ giác AFDN nội tiếp 

FND FAD 

Mà  CAE FAD (AE là tia phân giác của góc BAC) 

Và  CAECNE( hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE) 

Do đó:  FNDCNE  Hai tia ND, NE trùng nhau 

Vậy ba điểm E, D, N thẳng hàng. 

b) Gọi K là giao điểm của CN và AB 

Tam giác ACK có AF là đường phân giác  KF AK

Tam giác KBC có DF // BC  KF KD

    ( định lý Talét)        (2) 

Mà AC = BD (gt) 

Từ (1), (2) và (3) có AK = KN => K là trung điểm của AD nên K = M. 

Vậy C, M, N thẳng hàng. 

Bài 9:

Cho tam giác ABC (AB < BC) nội tiếp đường tròn (O). M là điểm trên cạnh BC sao cho 

 MC = AB. Vẽ đường thẳng qua M song song với AC cắt AB tại N, cắt tia phân giác của  góc  ABC  tại  I.  Gọi  K  là  trung  điểm  của  đoạn  thẳng  BM.  Chứng  minh  rằng  ba  điểm  A,  I,  K  thẳng  hàng. 

Lời giải:

Gọi T là giao điểm của AI và BC. 

Tam giác TAC có MI // AC  TI TM

Tam giác BAT có BI là đường phân giác (gt)  TI BT

Mà MC = AB       (3) 

Vậy ba điểm A, I, K thẳng hàng. 

 

Bài 10:

Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, 

AC lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O. Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng. 

Lời giải: 

  Gọi K là giao điểm của AM và DE, N là giao điểm của OM và DE 

Tam giác ABM có DN // BM  AN DN

Tam giác ACM có NE // MC  AN NE

Mà BM = MC. Do đó DN = NE => N là trung điểm của DE. 

Mặt khác xét tam giác OMC có DK // MC  DK OK

Tam giác OBM có KE // BM  KE OK

Do đó DK = KE => K là trung điểm của DE. Do vậy N = K 

Ta có A, N, O, M thẳng hàng. 

 

 

Bài 11:

Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn (O) đường kính 

AB và các tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By  theo thứ tự tại C và D. Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Gọi E là trung điểm của MH. 

Chứng minh rằng ba điểm B, E, C thẳng hàng. 

Lời giải:

Gọi K là giao điểm của MH và BC 

CA, CM là các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) 

  CA = CM, CO là tia phân giác góc ACM. 

Tam giác CAM cân tại C, CO là đường phân giác nên cũng là đường cao CO AM 

Tam giác MAB nội tiếp đường tròn đường kính AB 

MAB

 vuông tại M. 

Ta có: CO AM BM,  AM CO // BM. 

Xét tam giác HBM và tam giác AOC có: 

90 ,

BHM OAC MBH COA (OC // BM) 

Do đó:  HBM AOC g g( ) MH BH

Tam giác ABC có AC // KH (AC A ,B KH AB) KH BH

AB = 2OA nên 

KH

AC  OA  AC    nên K là trung điểm của MH 

Ta có K = E. vậy ba điểm B, E, C thẳng hàng. 

Bài 12:

Cho đường tròn…tâm O. Từ 1 điểm P nằm ngoài …, ta kẻ đến … hai tiếp tuyến PA và PB.  Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường kính BC. M là trung điểm AH. 

Chứng minh rằng ba điểm P, C, M thẳng hàng. 

 

Lời giải:

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng CA và BP. 

P/ là giao điểm của hai đường thẳng CM và BI. 

Như vậy, để chứng minh ba điểm P, C, M thẳng hàng, ta chỉ việc chứng minh P = P/. 

Thật vậy, ta có:  BAC 900 

Suy ra: BAI 900 

Tam giác BAI vuông tại A, nên:     0

90

AIBABI BAI   

AIB ABI BAP PAI

Mặt khác: AP = PB, nên PI = PB 

Như vậy: P là trung điểm BI       (1) 

Lúc này ta cần chứng minh P/ cũng là trung điểm BI. 

Thật vậy, ta có:  AM/ CM MH, / CM AM/ MH/

Mặt khác: AM = MH, do đó : P/I = P/B 

Như vậy, P/ là trung điểm BI       (2) 

Từ (1) và (2) ta nhận được P = P/ 

Kết luận: ba điểm P, C, M thẳng hàng. 

Bài 13:

Cho đường tròn (O;R), điểm A ở ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai  tiếp điểm) và cát tuyến AMN ( AM < AN). Vẽ dây BD của đường tròn (O) và BD song song với 

MN. Gọi I là tring điểm của MN. Chứng minh rằng C, I, D thẳng hàng. 

Lời giải:

  Cách 1: 

I là trung điểm của MN OI MN  Ta có     0

90

ABO AIO ACO  

 B, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA 

 A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn 

 AIBACB 

Ta có BD // MN (gt) IBD BIA 

Và OI MN, BD // MN 

   

 OI đi qua trung điểm của BD 

Do đó OI là đường trung trực của đoạn thẳng BD 

 tam giác IBD cân tại I 

 IDBIBD 

Mà  BDC BCA, do vậy  BDI  BDC 

  Hai tia DI, DC trùng nhau. 

Vậy C, I, D thẳng hàng. 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN :

Bài 14 :

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn  (O) vẽ nửa đường tròn (I) đường kính OA. C là điểm trên nửa đường tròn (I). Tia OC cắt nửa  đường tròn (I) ở D. Đường thẳng qua D vuông góc với AB cắt AC tại E. Đường tròn ngoại tiếp  tam giác ODE cắt nửa đường tròn (O) ở M (M khác D). Chứng minh rằng A, E, M thẳng hàng.