CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ

Vectơ là chương đầu tiên của hình học lớp 10, vectơ có nhiều ứng dụng thực tế như là tính công trong vật lý. Ngoài ra vectơ còn là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán khó như giải phương trình, giải bất phương trình chứng minh bất đẳng thức. Một trong những ứng dụng của vectơ trong hình học là chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Nói đến hình học đa số học sinh đều sợ vì hình học đòi hỏi học sinh phải tuy duy nhiều và mỗi bài lại có những điểm khác nhau mà học sinh gặp khó khăn trong việc quy lạ về quen. Có những bài hình học đòi hỏi học sinh phải vẽ hình phụ khiến học sinh gặp khá nhiều khó khăn. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng là dạng toán hay gặp trong các đề thi học sinh giỏi và có thể phát triển thành các bài trắc nghiệm sử dụng trong các đề thi khảo sát chất lượng lớp 10 .Sáng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ” tôi chia bài tập theo các mức độ nhận thức của học sinh giúp học sinh làm những bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng một cách dễ dàng. Học sinh sẽ không con thấy lo sợ khi gặp các bài toán hình học.

SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Tốn học mơn học rèn luyện khả tư duy, logic giải vấn đề Đặc biệt mơn hình học địi hỏi học sinh phải tư duy, liên kết giải thiết phát tính chất đặc biệt mà đề cịn ẩn từ đưa hướng giải tốn Vectơ chương hình học lớp 10, vectơ có nhiều ứng dụng thực tế tính cơng vật lý Ngồi vectơ cịn cơng cụ hữu hiệu để giải tốn khó giải phương trình, giải bất phương trình chứng minh bất đẳng thức Một ứng dụng vectơ hình học chứng minh điểm thẳng hàng Nói đến hình học đa số học sinh sợ hình học địi hỏi học sinh phải nhiều lại có điểm khác mà học sinh gặp khó khăn việc quy lạ quen Có hình học địi hỏi học sinh phải vẽ hình phụ khiến học sinh gặp nhiều khó khăn Chứng minh điểm thẳng hàng dạng toán hay gặp đề thi học sinh giỏi phát triển thành trắc nghiệm sử dụng đề thi khảo sát chất lượng lớp 10 Sáng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ” chia tập theo mức độ nhận thức học sinh giúp học sinh làm toán chứng minh điểm thẳng hàng cách dễ dàng Học sinh không thấy lo sợ gặp tốn hình học Sáng kiến kinh nghiệm tơi viết nhiều yếu tố khách quan nên nhiều tồn Rất mong nhận đóng góp đồng nghiệp học sinh để sáng kiến tơi hồn thiện Tên sáng kiến: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Tác giả sáng kiến - Họ tên: Chủ đầu tư sáng kiến SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Lĩnh vực áp dụng sáng kiến - Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng lĩnh vực hình học phẳng - Sáng kiến kinh nghiệm giúp giải tập chứng minh điểm thẳng hàng hình học phẳng, - Các toán vật lý Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử - Ngày 15 tháng 11 năm 2018 Mô tả chất sáng kiến - Nội dung sáng kiến chia làm phần Phần 1: Những tập phân tích vectơ qua vectơ khơng phương Phần 2: Những tập chứng minh điểm thẳng hàng chia theo mức độ nhận thức phát triển số tự luận sang trắc nghiệm Phần 3: Một số toán chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ số đề thi học sinh giỏi - Về khả áp dụng sáng kiến Sáng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ” có khẳ áp dụng cho học sinh khá, giỏi SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ CHỨNG MINH ĐIỂM THẲNG HÀNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ” Để chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ điều qua trọng em học sinh phải biết phân tích vectơ qua vectơ khơng phương Vì phần tơi đưa tập phân tích vectơ qua hai vectơ khơng phương Phần 1: Phân tích vectơ qua vectơ khơng phương Cơ sở lí luận: Cho vectơ khơng phương phân tích qua hai vectơ r r r x = ma + nb r a r b r a r b Khi vectơ r x , nghĩa có cặp số m n cho Bài Cho ∆ABC có trọng tâm G Cho điểm D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB I giao điểm AD EF Đặt uur uuur uuur uuur AI , AG,DE,DC vectơ theo hai vectơ rr u,v Hướng dẫn giải Ta có uur uuur uuu r uuur 1r 1r AI = AD = ( AE + AF ) = u + v ) 2 2 uuur uuur r r AG = AD = u + v 3 uuur uur uuur r r DE = FA = − AF = 0.u + ( −1 )v uuur uuu r uuur uuur r r DC = FE = AE − AF = u − v r uuu r r uuur u = AE; v = AF Hãy phân tích SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Bài Cho tam giác ABC Điểm M nằm cạnh BC cho MB= 2MC Hãy phân tích vectơ uuuu r AM theo hai vectơ r uuur r uuur u = AB, v = AC Hướng dẫn giải Ta có mà ⇒ uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r AM = AB + BM = AB + BC uuur uuur uuu r BC = AC − AB uuuu r uuu r uuur uuu r 1r 2r AM = AB + ( AC − AB ) = u + v 3 Bài Cho tam giác ABC uuuu r uuu r uuur uuu r AM = AB, CN = 2BC Đặt r uuu r r uuur a= AB, b= AC Hãy phân tích Lấy điểm M, N thỏa mãn uuur uuur uuuu r CM , AN , MN qua véc tơ Hướng dẫn giải Vì uuuu r uuu r AM = AB uuur uuu r CN = 2BC Ta có: suy M thuộc cạnh AB , suy N thuộc tia BC AM = AB CN = 2BC ; uuur uuu r uuuu r uuur uuu r 1r r CM = CA + AM =- AC + AB = a- b 3 uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r r r AN = AB + BN = AB + 3BC = AB + 3( AC - AB) =- 2a+ 3b r a r b SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ uuuu r uuur uuur r r r 1r 7r MN = MA + AN =- a- 2a+ 3b=- a+ 3b 3 Bài Cho tam giác N cho ABC 2AN = 5MN a) Phân tích vectơ , cạnh BC lấy M cho G trọng tâm tam giác uuuu r uuur AM , BN qua véc tơ uuur uuuur GC , MN b) Phân tích vectơ qua véc tơ ABC uuur AB uuu r GA và BM = 3CM , đoạn AM lấy uuur AC uur GB Hướng dẫn giải a) Theo giả thiết ta có: suy uuur uuu r BM = BC uuur uuuu r AN = AM uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r AM = AB + BM = AB + BC uuu r uuur uuu r r uuur uuu = AB + AC - AB = AB + AC 4 ( ) uuur uuu r uuur uuu r uuuu r BN = BA + AN =- AB + AM uuu r 5æ1 uuu r uuurö r 15 uuur 23 uuu =- AB + ỗ AB + ACữ =AB + AC ữ ỗ ữ ỗ4 7ố 28 28 ứ b) Vỡ G trọng tâm tam giác ABC nên uuu r uur uuu r r GA + GB + GC = suy uuu r uuu r uur GC =- GA - GB SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ uuuu r r r uuurö uuuu 2ổ1 uuu MN =- AM =- ỗ AB + ACữ ữ ỗ ữ 7ỗ ố4 ứ Ta có =- r r uuu r uur uuu uuu GB- GA GC - GA 14 14 ( ) ( ) r r uur uuu r uur uuu uuu GB- GA - GA - GB- GA 14 14 u u u r u u r 1 = GA + GB =- ( ) ( ) Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N hai điểm nằm hai cạnh AB AB = 3AM , CD = 2CN CD cho G trọng tâm tam giác uuur uuuu r uuur AN , MN , AG vectơ qua véc tơ uuur AB uuur AC Hướng dẫn giải Ta có: uuur uuur uuur uuur uuu r AN = AC + CN = AC - AB uuuu r uuur uuur r uuur uuu r uuu MN = MA + AN =- AB + AC - AB r uuur uuu =- AB + AC Vì G trọng tâm tam giác MNB nên uuur uuuu r uuur uuu r uuu r ỉ uuur uuu r uuu r uuu r uuur 3AG = AM + AN + AB = AB +ỗ AC - ABữ ữ+ AB = AB + AC ỗ ỗ ữ è ø MNB Phân tích SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Suy uuur r uuur uuu AG = AB + AC 18 Phần 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Cơ sở lí luận: Để chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng chứng minh uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r AB = k AC , AB = k BC , BA = kCA, chứng minh vectơ lập từ điểm A, B, C phương từ suy điểm A, B, C thẳng hàng Đôi không chứng minh trực tiếp mà phải chứng minh qua vectơ trung gian Bài tập chứng minh điểm thẳng hàng chia làm mức độ I Mức độ nhận biết Bài tập phần chia thành nhiều phần nhỏ để dẫn dắt học sinh đến bước chứng minh điểm thẳng hàng cách dễ dàng Bài Cho tam giác ABC Đặt r uuu r r uuur a= AB, b= AC a) Hãy dựng điểm M, N thỏa mãn: b) Hãy phân tích uuur uuur uuuu r CM , AN , MN c) Gọi I điểm thỏa: uuu r uuur MI = CM uuuu r uuu r uuur uuu r AM = AB, CN = 2BC qua véc tơ Chứng minh Hướng dẫn giải r a I , A,N r b thẳng hàng SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ a) Vì uuuu r uuu r AM = AB suy M thuộc cạnh AB uuu r AM = AB uuur CN = 2BC ; CN = 2BC b) Ta có: , suy N thuộc tia BC uuur uuu r uuuu r uuur uuu r 1r r CM = CA + AM =- AC + AB = a- b 3 uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r r r AN = AB + BN = AB + 3BC = AB + 3( AC - AB) =- 2a+ 3b uuuu r uuur uuur r r r 1r 7r MN = MA + AN =- a- 2a+ 3b=- a+ 3b 3 c) Ta có: uur uuuur uuu r uuur uuur r r r r r AI = AM + MI = AB + CM = a+ a- b=- (- 2a+ 3b) 3 3 uur uuur Þ AI =- AN Þ A, I, N thẳng hàng Bài Cho điểm O, A, B, C thỏa mãn uuu r uuur uuur r OA + 2OB − 3OC = thẳng hàng Hướng dẫn giải Ta có uuu r uuu r uuur r OA + 2OB − 3OC = uuu r uuur uuur uuur r ⇔ OA − OC + 2OB − 2OC = uuu r uuu r r ⇔ CA + 2CB = uuu r uuu r ⇔ CA = −2CB Suy điểm A, B, C thẳng hàng Chứng minh điểm A, B, C SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D điểm đối xứng A qua B, E AE = điểm đoạn AC cho AC uuur uuur DE , DG a) Hãy phân tích vectơ uuu r uuur AB, AC theo b) Chứng minh điểm D, E, G thẳng hàng Hướng dẫn giải a) ta có uuur uuur uuur uuur uuur DE = AE − AD = AC − AB uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r DG = AG − AD = AB + AC − AB r uuur uuu = − AB + AC 3 ( ) b) Theo phần a ta có uuur uuur uuu r uuur uuu r DE = AC − AB = AC − AB 5 uuur u u u r u u u r r uuur uuur 1 uuur uuu DG = − AB + AC = AC − AB ⇒ DE = DG 3 ( ) ( uuuu r uuur ⇒ DE , DG phương ) ⇒ điểm D, E, G thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC, gọi I trung điểm BC Gọi D, E hai điểm cho uuur uuur uuur BD = DE = EC a) Chứng minh uuu r uuur uuur uuur AB + AC = AD + AE SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ b) tính vectơ uuu r uuu r uuur uuur uuur AS = AB + AC + AD + AE theo uur AI , chứng minh điểm A, I, S thẳng hàng Hướng dẫn giải a) ta có uuur uuur uur AB + AC = AI uuur uuur uur AD + AE = AI uuu r uuur uuur uuur ⇒ AB + AC = AD + AE b) Vì uuu r uuu r uuur uuur uuur uur AS = AB + AC + AD + AE = AI uuu r uur AS = AI uuu r uur AS , AI nên hai vectơ phương nên điểm A, I, S thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC, lấy điểm M, N, P cho: uuu r uuu r r PA + PB = uuuu r uuur PM , PN a) Hãy phân tích uuu r uuur AB, AC theo hai vectơ b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng Hướng dẫn giải 10 uuur uuuu r uuu r uuur MB = MC NA = 2CN , , SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ uuur uuu r uuur AN = AB + BN uuur uuu r uuuu r ⇔ AN = AB + BM uuur uuu r uuuu r uuu r ⇔ AN = AB + AM − AB uuur uuu r uuur ⇔ AN = AB + AC 4 uuur uuu r uuur ⇔ AN = AB + AC ( ) ( ) Để điểm A, N, P thẳng hàng từ (1) (2) ta có −1 k k −1 k −1 : = : ⇔ = ⇔ k = −2 ( k ≠ 1) k −1 k −1 −4 2k Vậy với k=-2 điểm A, N, P thẳng hàng IV Mức độ vận dụng cao Bài tập phần đỏi hỏi học sinh phải tổng hợp nhiều kiến thức giải tốn Những biến đổi hay phân tích vectơ qua hai vectơ khơng phương gặp nhiều khó khăn chưa biết tỉ lệ đoạn thẳng việc tính tỉ lệ đoạn thẳng ứng dụng quan trọng vectơ Bài Cho hai tam giác BCA1, CAB1, ABC A2B2C ABC Gọi Chứng minh A1B1C A2.B2,C G,G1,G2 ; trọng tâm tam giác trọng tâm tam giác G,G1,G2 thẳng hàng tính Hướng dẫn giải 19 GG1 GG2 ABC , A1B1C , SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Vì G , G1 ABC , A1B1C trọng tâm tam giác suy uuuu r uuur uuur uuuu r 3GG1 = GA1 +GB1 +GC uuuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur Û 3GG1 = GA +GB +GC + AA1 + BB1 +CC uuuu r uuur uuur uuur Û 3GG1 = AA1 + BB1 +CC Tương tự G , G2 ABC , A2B2C trọng tâm tam giác suy uuuu r uuur uuur uuuu r 3GG1 = GA1 +GB1 +GC uuuu r uuur uuuu r uuuu r Û 3GG2 = AA2 + BB2 +CC Mặt khác Mà uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuur uuuur AA2 + BB2 +CC = AA1 + BB1 +CC + A1A2 + B1B2 +C 1C A2.B2,C trọng tâm tam giác BCA1, CAB1, ABC uuuu r uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 3( A1A2 + B1B2 +C 1C ) = 3( A1B + AC + B1C + B1A +C 1A +C 1B ) Suy uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uur uuur uuu r = 3( A1A + AB + A1A + AC + B1B + BC + B1B + BA +C 1C +CA +C 1C +CB ) uuur uuur uuur = 6( AA1 + BB1 +CC ) uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuur AA2 + BB2 +CC = 3( AA1 + BB1 +CC ) Do uuuu r uuur uuur uuur Þ GG2 = AA1 + BB1 +CC Vậy uuuu r uuuu r GG2 = 3GG1 Bài Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P nằm đường thẳng BC, CA, AB uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r MB = a MC , NC = bNA, PA = gPB cho 20 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Tìm điều kiện α, β, γ để M, N, P thẳng hàng Hướng dẫn giải uuur MB = r a uuur uuu uuur BC ; BP = AB 1- a g- Ta có: uuur uuur uuur BC = (1 - a)MC ;CN = uuuu r MN = - b uuur AC ; 1- b uuur b uuur AB + ( + )AC 1- a 1- a 1- b Ta có: Và uuur MP = (- a uuur a uuur )AB + AC 1- a 1- g 1- a Để M, N, P thẳng hàng ta phải có - a a 1- a 1- g 1- a = Û abg = 1 b + 1- a 1- a 1- b Bài Cho tam giác cho Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC AM = AB, AN = AC BC lấy E Đặt Tìm ABC x uuu r uuur BE = xBC Gọi O giao điểm CM BN Trên đường thẳng để A, O, E thẳng hàng Hướng dẫn giải 21 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Để tìm x cho điểm A, O, E thẳng hàng cần tính tính tỉ số OM OC Giả sử Ta có uuur uuur uuur uuur ON = nBN OM = mCM ; uuur uuuu r uuur uuuu r uuur AO = AM + MO = AM - mCM uuur uuur uuuu r uuuu r uuur = 1(1 - m)AB + mAC = AM - m(AM - AC ) Và ; uuur uuur uuur uuur uuur AO = AN + NO = AN - nBN uuur uuur uuur uuur uuur = AN - n(AN - AB ) = (1 - n)AC + nAB Vì ïìï ïï í ïï ïï ỵ uuur AO có cách biểu diễn qua (1 - m) = n Û (1 - n) = m ïìï ïï m = í ïï ïï n = ỵ ON = OB OM = OC Vậy Sau tính tỉ số ta phân tích 22 uuur AB uuur AC suy ON OB SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Ta có: uuur uuur uuur AO = AB + AC uuur uuur uuur AE = (1 - x)AB + xAC A, E, O thẳng hàng uuur uuur Û AE = kAO uuur uuur k uuur k uuur 36 Û (1 - x)AB + xAC = AB + AC Û k = ; x = 13 13 x= Vậy 13 điểm A, O, E thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC, cạnh AB, BC ta lấy điểm M, N cho AM BN = ; = MB NC uuur uuur AE = k AC Tìm k Gọi I giao điểm AN CM, E điểm thuộc AC cho để điểm B, I, E thẳng hàng Hướng dẫn giải uur uuur uur uuur AI = xAN ; CI = yCM Đặt Ta có: uur uuur uuur uuur x uuur AI = x(AB + BN ) = xAB + BC uuur x uuur uuur r x uuur 3x uuur x uuur 21x uuuu = xAB + (AC - AB ) = AB + AC = AM + AC 4 Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có: 21 x AI x + = 1Þ x = Þ = 23 AN 23 23 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Tương tự: IC 21 IC 21 = Þ = IM CM 23 Ta có uuur uuur AE = k AC uuur uuu r uuur uuur ⇔ AB + BE = k AB + BC uuu r uuu r uuur ⇔ BE = ( − k ) BA + k BC ( 1) ( ) Mà uur uuur uur BI = BC + CI uur uuur 21 uuuu r ⇔ BI = BC + CM 23 uur uuur 21 uuuu r uuur ⇔ BI = BC + BM − BC 23 uur uuur 21 uuu r ⇔ BI = BC + BA 23 23 uur 15 uuu r uuur ⇔ BI = BA + BC ( ) 23 23 ( ) Từ (1) (2) để điểm B, I, E, thẳng hàng k= Vậy với 17 15 2 = ⇔k= 23 ( − k ) 23k 17 điểm B, I, E thẳng hàng V Phát triển số tập tự luận sang tập trắc nghiệm phần ngày chuyển số tập phần III phần IV sang dạng trắc nghiệm Bài ( phần III ) 24 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Cho tam giác ABC Gọi D, E điểm thỏa mãn K AD cho m= A uuur uuur AK = m AD m= B Tìm m uuur uuur BD = BC , uuur uuur AE = AC Lấy để điểm B, K, E thẳng hàng m=− C m= D Bài ( mục III ) D ABC , Cho gọi M điểm thuộc cạnh BC cho AM, N điểm thỏa mãn k =− A uur uuur NA = k NB k= B Tìm k , I trung điểm đoạn để điểm C, I, N thẳng hàng k =− BM = BC C k= D Bài ( mục III) Cho tam giác ABC, M điểm thuộc cạnh AC cho cho uuur uuuur NB = −3NM , P điểm thuộc BC co uuur uuuu r MA = −2MC uuu r uuur PB = k PC Tìm , N điểm thuộc BM k để điểm A, N, P thẳng hàng A   k ∈  − ; −1 ÷   B  3 k ∈  0; ÷  2 C 3  k ∈  −3; − ÷ 2  Bài ( mục IV ) 25 D 3  k ∈  ;3 ÷ 2  SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P nằm đường thẳng BC, CA, AB uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r MB = aMC , NC = bNA, PA = gPB cho Tìm điều kiện α, β, γ để M, N, P thẳng hàng A αβγ = −1 B αβγ = C αβγ = −2 D αβγ = Bài (bài phần IV) Cho tam giác ABC, cạnh AB, BC ta lấy điểm M, N cho AM BN = ; = MB NC uuur uuur AE = k AC k= A 17 Tìm k Gọi I giao điểm AN CM, E điểm thuộc AC cho để điểm B, I, E thẳng hàng k= B 17 k= C 17 k= D 17 Phần Một số chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ số đề thi học sinh giỏi Bài (đề HSG Hoàn Kiếm- Hà Nội năm học 2014-2015) Cho tam giác ABC đều, O trọng tâm tam giác M điểm nằm tam giác M khác O.Gọi D, E, F hình chiếu vng góc M lên cạnh BC, CA, AB Chứng minh đường thẳng OM qua trọng tâm tam giác DEF Hướng dẫn giải 26 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Ta chứng minh uuuu r uuur uuur uuuu r MD + ME + MF = MO Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC A1, A2; kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC, AB B1, B2; kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC, AC C1, C2 Các tam giác MB1C1, MA2C2, MA1B2 đều, uuuu r uuuur uuuur MD = MB1 + MC1 uuur uuuur uuuur uuur uuuu r uuuur ME = MA2 + MC2 , MF = MA1 + MB2 2 uuuu r uuur uuur uuuur uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuur MD + ME + MF =  MB2 + MC2 + MA1 + MC1 + MA2 + MB1   2 r uuuu r uuur uuur uuuu = MA + MB + MC = MO (1) 2 uuuu r uuur uuur uuuu r MD + ME + MF = 3MG ( ) ( ) ( ( ( ) ) ( ) ( ) ) Gọi G trọng tâm tam giác DEF Ta có Từ (1), (2) ta có r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu MO = 3MG ⇒ MO = 2MG ⇒ M, O, G thẳng hàng Vậy OM qua trọng tâm tam giác DEF Bài (đề HSG Hà Nam năm học 2012-2013) Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c ( b < a) Gọi D, E trung điểm AB, AC Đường phân giác góc C cắt DE P Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC N, M uuuu r uuur uuu r BM , BN , BP a) Tính uuu r uuur BA, BC theo hai vecto theo a, b, c b) Chứng minh P, M, N thẳng hàng Hướng dẫn giải 27 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ a Gọi Q giao điểm AP BC, suy P trung điểm AQ, tam giác ACQ cân C CQ = CA = b suy BQ = BC – CQ = a – b uuur a + c − b uuu r uuuu r a + c − b uuur BN = BA, BM = BC ; 2c 2c uuu r  uuu r a − b uuur  BP =  BA + BC ÷ 2 a  b uuuu r uuur uuuu r a + c − b uuu r a + c − b uuur MN = BN − BM = BA − BC 2c 2c uuuu r uuuu r uuu r r c uuur uuu PM = BM − BP = − BA + BC 2a uuuu r PM = uuuu r −c MN a+c−b suy uuuu r PM phương với uuuu r MN P, M, N thẳng hàng Bài (đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2014-2015) Cho tam giác ABC khơng cân nội tiếp đường trịn tâm O G trọng tâm tam giác ABC Gọi M, N, P trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB, G’ trọng tâm tam giác MNP Chứng minh O, G, G’ thẳng hàng Hướng dẫn giải Kết bản: cho tam giác ABC trọng tâm G.uuur uuu r uuur uuur OA + OB + OC = 3.OG Khi với điểm O ta có Do M, N, P trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB nên: uuur uuur uuuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur OB + OC = 3.OM OC + OA = 3.ON OA + OB + = 3.OP , , 28 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ uuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuu r OA + OB + OC = OM + ON + OP Cộng vế uhệ thức ta được: uuur uuur uuur uuuur ( ) ( ⇔ 2.3.OG = 3.3.OG ' ⇔ 2.OG = 3.OG ' ⇒ O, G, G' ) thẳng hàng Bài (đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017-2018) Cho ba dây cung song song ba tam giác AA1, BB1,CC ABC 1, BCA1,CAB1 đường tròn (O) Chứng minh trực tâm nằm đường thẳng Hướng dẫn giải Gọi H 1, H 2, H Ta có: trực tâm tam giác ABC 1, BCA1,CAB1 uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuur uuur OH = OA + OB + OC OH = OB + OC + OA1 , uuuur uuur uuu r uuur OH = OC + OA + OB1 Suy uuuuu r uuuu r uuuur uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur H 1H = OH - OH = OC - OC + OA1 - OA = C 1C + AA1 uuuuu r uuuur uuuur uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur H 1H = OH - OH = OC - OC + OB1 - OB = C 1C + BB1 Vì dây cung Nên ba vectơ AA1, BB1,CC uuur uuur uuur AA1, BB1,CC Do hai vectơ uuuuur H 1H song song với có phương uuuuu r H 1H phương hay ba điểm 29 H 1, H 2, H thẳng hàng SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Những thông tin cần bảo mật - Không có thơng tin Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến - Để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm hiệu học sinh phải học tích số với vectơ học sinh có nhận thức giỏi 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu - Những chứng minh điểm thẳng hàng, hay tính tỉ số đoạn thẳng lớp hay phải vẽ hình phụ làm cho học sinh gặp nhiều rắc rối Học sinh khơng hiểu lại phải vẽ thêm hình phụ sở tư để vẽ hình phụ Sáng kiến khắc phục nhược điểm 10.1 Đánh giá lợi ích sáng kiến thu theo ý kiến tác giả - Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm với nhóm học sinh có học lực giỏi lớp 10A3 trường THPT Nguyễn Viết Xuân thấy em có làm tốt tập chứng minh điểm thẳng hàng Với sáng kiến kinh nghiệm hy vọng giúp em học sinh làm thi học sinh giỏi trắc nghiệm đạt kết cao 30 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ - Đối với giáo viên trình làm sáng kiến kinh nghiệm, giáo viên phải tìm tài liệu nghiên cứu tập nhờ mà chuyên môn giáo viên nâng cao 10.2 Đánh giá lợi ích thu Sáng kiến thầy cô tổ mơn tham khảo, dùng q trình giảng dạy, đặc biệt cô Nguyễn Thị Huyền đanh giảng dạy khối 10, nhận phản hồi tích cực 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực Nguyễn Thị Huyền THPT Nguyễn Viết Xuân Học sinh ôn thi thpt quốc gia Phan Thị Kim Sang THPT Nguyễn Viết Xuân Học sinh ơn thi học sinh giỏi tốn 10 ơn thi thpt quốc gia áp dụng sáng kiến 31 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Sách giáo khoavà sách giáo viên hình học 10-Bộ giáo dục đào tạo 2.Giải tốn hình học 10 Võ Anh Dũng- Trần Đức Huyên 3.www.google.com 32 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Vĩnh Tường, ngày 31 tháng 01 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) Vĩnh Tường, ngày 31 tháng 01 năm 2019 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) Vĩnh Tường, ngày 29 tháng 01 n Tác giả sáng kiến Phan Thị Kim Sang 33 ... Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ CHỨNG MINH ĐIỂM THẲNG HÀNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ” Để chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ điều qua trọng... qua điểm A, F điểm đối xứng tâm O hình bình hành qua điểm C K trung điểm đoạn OB Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng K trung điểm EF 13 SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Hướng... −2CB Suy điểm A, B, C thẳng hàng Chứng minh điểm A, B, C SKKN: Chứng minh điểm thẳng hàng phương pháp vectơ Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D điểm đối xứng A qua B, E AE = điểm đoạn