Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và được tiếp cận với một vài cách giải khá đơn giản. Tuy nhiên trong đề thi THPT Quốc gia – học sinh giỏi… các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng hơn rất nhiều. Và để giải phương trình vô tỉ cũng có rất nhiều phương pháp. Trong chuyên đề này tôi xin giới thiệu phương pháp “ Đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ”
01.MƠN TỐN CHUN ĐỀ: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ NGƯỜI VIẾT: …… GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình tốn THPT, mà cụ thể phân môn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu tiếp cận với vài cách giải đơn giản Tuy nhiên đề thi THPT Quốc gia – học sinh giỏi… toán giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng nhiều Và để giải phương trình vơ tỉ có nhiều phương pháp Trong chuyên đề xin giới thiệu phương pháp “ Đặt ẩn phụ để giải phương trình vơ tỉ” Chun đề giới thiệu số dạng: Dạng 1: Phương trình có dạng: F ( n ) f ( x) = Dạng 2: Phương trình có dạng: ( m ) f (x) ± g(x) ± 2n f (x)g(x) + n ( f (x) + g(x)) + p = Dạng 3: phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để Dạng 4: Phương trình có dạng: af (x) + bg(x) + c f (x)g(x) = với a,b,c ¹ Dạng 5: Phương pháp dùng ẩn phụ đưa hệ Dạng 6: phương pháp lượng giác hóa Dạng 7: Đặt ẩn phụ đưa dạng tích Đối tượng học sinh bồi dưỡng : Lớp 10; 12 Số tiết dự kiến bồi dưỡng: 06 tiết lớp 06 tiết học nhà NỘI DUNG Phần I: Phương pháp chung: Có bốn bước phương pháp này: Bước 1: Đặt ẩn phụ điều kiện cho ẩn phụ Bước 2: Đưa phương trình ban đầu phương trình có biến ẩn phụ Bước 3: Giải phương trình mới, tìm ẩn phụ thích hợp Bước 4: Thay giá trị tìm vào ẩn phụ tìm nghiệm phương trình ban đầu Nhận xét: mấu chốt phương pháp bước 1, lí định đến tồn lời giải toán Phần 2: Các dạng tốn: Dạng 1: Phương trình có dạng: F ( n ) f ( x) = Phương pháp: Đặt t = n f (x) (nếu n chẵn ta phải thêm điều kiện t ³ ) Ví dụ 1: Giải phương trình x2 + x2 + = 10 Giải Đặt t = x2 + (t ³ 2) ét = Phương trình cho trở thành t + t - 12 = Û ê êt = - ê ë t = thỏa mãn điều kiện Với t = ⇒ x + = ⇔ x = ± Ví dụ Giải phương trình sau : x2 + 2x x - = 3x + x Giải: Điều kiện: - £ x < 0;x ³ Chia hai vế cho x ta nhận được: x + x Đặt t = x - 1 = 3+ x x t = , điều kiện t ≥ Phương trình trở thành: t + 2t − = ⇔ t = −3 x t=1 thỏa mãn t = 1Þ x- 1± = 1Û x = x Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm: x = 1± Có tập ta có cách đặt tương tự: Ví dụ Giải phương trình: x- x2 - + x + x2 - = Giải: Điều kiện: x ³ Nhận xét: x- Đặt t = x - x2 - x + x2 - = x2 - , điều kiện: t ³ Phương trình cho trở thành: t + = Û t = 1( thỏa mãn) t Thay t = tìm x = thỏa mãn điều kiện Bài tập tự luyện: Bài 1: Giải phương trình: ( x + 1) ( x + 4) = x2 + 5x + 28 Bài 2: Giải phương trình: 5x2 + 10x + = - 2x - x2 Bài 3: Giải phương trình: x2 - 6x + = x2 - 6x + Bài 4: Giải phương trình: ( x - 3) ( - x ) + 26 = - x2 + 11x Bài 5: Giải phương trình: x2 - 2x - - ( - x ) ( x + 2) = Dạng 2: Phương trình có dạng: ( m ) f (x) ± g(x) ± 2n f (x)g(x) + n ( f (x) + g(x)) + p = Phương pháp: đặt t = f (x) ± g(x) Ví dụ 1: Giải phương trình + x + 6- x = + (3 + x)(6 - x) Giải: Điều kiện: - £ x £ Đặt t = + x + - x đk t ³ Khi t = + ( + x) ( - x) Þ t2 - ( + x) ( 6- x) = Phương trình cho trở thành t2 - 2t - = => t=3 (t/m) t=-1 (loại) Với t=3 thay vào ta x = - x = Nhận xét: ví dụ ta dùng ẩn phụ đưa hệ, phần tơi trình bày phần sau Ví dụ 2: Giải phương trình: x + + x - = 2x - 12 + x2 - 16 Giải: Điều kiện: x ³ Đặt t = x + + x - đk: t ³ Khi t2 = 2x + x2 - 16 (2) Phương trình trở thành: t2 - t - 12 = => t=4(t/m) t=-3(loại) Với t=4 thay vào (2) ta tìm x=5 Bài tập tự luyện: ( 2x + 3) ( x + 1) - Bài 1: Giải phương trình: 2x + + x + = 3x + Bài 2: Giải phương trình: x - + 3- x - ( x - 1) ( - x ) =1 Bài 3: Giải phương trình: 7- x + x + 2- ( - x ) ( x + 2) =3 Bài 4: Giải phương trình: 3x - + x - = 4x - + 3x2 - 5x + Bài 5: Giải phương trình: + x - x2 = x + 1- x Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ khơng triệt để Phương trình có dạng: af (x) + g(x) f (x) + h(x) = Phương pháp: Đặt t = f (x) phương trình trở thành at2 + g(x)t + h(x) = Ví dụ 1: Giải phương trình 2(1- x) x2 + 2x - = x2 - 2x - Giải: Đặt t = x2 + 2x - điều kiện: t ³ 16 ét = Phương trình trở thành: t2 - 2(1- x)t - 4x = Û ê êt = - 2x ê ë Với t=2 => x2 + 2x - = Û x = - 1± Với t = - 2x => ìï x £ x2 + 2x - = - 2x Û ïí (vô nghiệm) ïï 3x - 2x + = ïỵ Vậy phương trình cho có nghiệm x = - 1± ỉ 3Ví dụ 2: Gii phng trỡnh : x + ỗ ỗ ố ö x2 + 2÷ x = 1+ x2 + ÷ ø Giải: Đặt t = x2 + , t ≥ Phương trình cho trở thành: ét = t2 - ( + x) t - + 3x = Û ê êt = x - ê ë Với t = Þ x2 + = Û x = ± Với t = x - Þ x2 + = x - 1(VN ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = ± Ví dụ 3: Giải phương trình : ( x + 1) x2 - 2x + = x2 + Giải: Đặt : t = x2 - 2x + 3, t ³ 2 Khi phương trình trở thành : ( x + 1) t = x + Û x + 1- ( x + 1) t = Û x2 - 2x + - ( x + 1) t + 2( x - 1) = ét = Û t2 - ( x + 1) t + 2( x - 1) = Û ê êt = x - ê ë Với t = Þ x2 - 2x + = Û x2 - 2x - = Û x = 1± Với t = x - Þ x2 - 2x + = x - 1(VN ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1± Ví dụ 4: Giải phương trình: 2x + + − x = 9x + 16 *Nhận xét: phương trình ta chưa nhìn thấy cách đặt ẩn phụ mà phải qua bước biến đổi đưa dạng ví dụ Giải: ĐK: −2 ≤ x ≤ Bình phương hai vế phương trình ta được: 4(2x + 4) + 16 2(4 − x 2) + 16(2 − x ) = 9x + 16 ⇔ 8(4 − x 2) + 16 2(4 − x 2) = x + 8x Đặt t = 2(4 − x 2) (t ≥ 0) Khi phương trình trở thành: 4t + 16t − x − 8x = ⇔ t1 = x x ∨ t2 = − − 2 Do −2 ≤ x ≤ nên t2 < không thỏa mãn Với t1 = x x x ≥ ⇒ 2(4 − x 2) = ⇔ ⇔ x = 2 2 8(4 − x ) = x ( ) ( ) 2 Ví dụ 5: Giải phương trình: 2x + − = x 1+ 3x + 2x + Giải: Đặt t = 2x + ≥ phương trình cho trở thành: 3(t − 1) = x + 3(t2 − 1) − 3x2 + 8xt ⇔ 3t2 + (8x − 3)t − 3x2 + x = ⇔t = x ∨ t = 1− 3x + Với t = x x x ≥ ⇒ 2x + = ⇔ (VN ) 3 17x + = +Với t = 1− 3x ⇒ 2x + = 1− 3x ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x=0 Ví dụ 6: Giải phương trình: 2014x − 4x + = 2013x 4x − Giải: ĐK: x ≥ Đặt t = 4x − (t ≥ 0) Phương trình cho trở thành: 2014x − 2013tx − t = ⇔ x = t ∨ x = − t (loại) 2014 Với x=t ta có x = 4x − ⇔ x − 4x + = ⇔ x = 1∨ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1, x = Bài tập tự luyện: Bài 1: Giải phương trình: x2 - = 2x x2 - 2x Bài 2: Giải phương trình: x2 + 4x = ( x + 2) x2 - 2x + Bài 3: Giải phương trình: ( 4x - 1) x3 + = 2x3 + 2x + Bài 4: Giải phương trình: x + - = 3x + - x + - x2 Bài 5: Giải phương trình: x2 + x - = ( x + 2) x2 - 2x + Dạng 4: Phương trình có dạng: af (x) + bg(x) + c f (x)g(x) = với a,b,c ¹ Phương pháp: Xét trường hợp g(x) = (nếu có) Xét trường hợp g(x) ¹ , chia vế phương trình cho g(x) đặt t = đk: t ³ ta đưa phương trình cho phương trình bậc hai ẩn t ( ) Ví dụ 1: Giải phương trình : x2 + = x3 + Giải: Phương trình cho dưa dạng 2(x + 1) + 2(x2 - x + 1) = (x + 1)(x2 - x + 1) Chia vế phương trình cho x2 - x + ta x +1 x2 - x + Đặt t = +2= x +1 x - x +1 => t=2 t = x +1 x2 - x + đk t ³ phương trình trở thành 2t2 - 5t + = Thay vào tìm được: x = ± 37 Ví dụ 2: giải phương trình sau : 2x2 + 5x - = x3 - Giải: f (x) g(x) Đk: x ³ ( ) ( ) Phương trình tương đương 3( x - 1) + x2 + x + = ( x - 1) x2 + x + Làm tương tự ví dụ ta : x = ± Bài tập tự luyện: Bài 1: Giải phương trình: 2x2 - x + - x3 + = Bài 2: Giải phương trình: 7x2 - 2x + 14 + x3 + 2x = Bài 3: Giải phương trình: 3x2 + - x4 - = Bài 4: Giải phương trình: 4x2 + 3x + + x3 - = Bài 5: Giải phương trình: x3 - + x + = - 2x2 Dạng 5: Phương pháp dùng ẩn phụ đưa hệ ( ) *Phương trình có dạng: F f (x), n a + f (x), m b - f (x) = Phương pháp: Đặt u = n a + f (x) , v = m b - f (x) ta hệ phương trình ìï F (u, v) = ï í n ïï u + vm = a + b ïỵ Giải hệ ta tìm u,v tìm x Ví dụ 1: Giải phương trình 24 + x + 12 - x = Giải: Đk: x £ 12 Đặt u = 24 + x, v = 12 - x , v ³ ìï u + v = ï Khi ta có hệ í ïï u + v2 = 36 ïỵ éu = 0, v = ê ê Giải hệ ta tìm = - 4, v = 10 = v = ê ë Thay vào ta tìm x = - 24, x = - 88, x = 3 3ỉ x + 35 - x3 ÷ Ví dụ 2: Giải phương trình: x 35 - x ç ÷= 30 ç è ø Giải: Đặt y = 35 - x3 Þ x3 + y3 = 35 ìï xy(x + y) = 30 ï Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau: í , giải hệ ta ïï x + y3 = 35 ïỵ tìm (x;y) = (2;3), ( x;y) = (3;2) Tức nghiệm phương trình x Ỵ {2;3} *Phương trình có dạng x n + b = an ax − b Phương pháp: Đặt t = n ax − b ta đưa hệ đối xứng loại hai Ví dụ 3: Giải phương trình: x3 + = 23 2x - Giải: Đặt t = 2x - ta có: x + = 2t x + = 2t ⇔ 3 3 t + = x x − t = 2(t − x ) x + = 2t ⇔ 2 (x − t )(x + t + tx + 2) = x = x + = 2t ⇔ ⇔ x = −1± x = t Do x + t + tx + > 0,∀t , x Vậy phương trình cho có nghiệm: x = 1;x = −1± *Phương trình có dạng x = a + a + x x = a + t Phương pháp: Đặt t = a + x phương trình ⇔ t = a + x Ví dụ 4: Giải phương trình: x = 2015 + 2015 + x Giải: ĐK: x ³ Đặt t = 2015+ x , t > x = 2015+ t PT ⇔ t = 2015+ x Trừ vế với vế hai phương trình nhận x = t Suy x − x − 2015 = ⇒ x = 1+ 8061 8062 + 8061 ⇒ x= Bài tập tự luyện: Bài 1: Giải phương trình: x +7- x =1 Bài 2: Giải phương trình: x + 17 - x2 + x 17 - x2 = Bài 3: Giải phương trình: - x = 1- x- Bài 4: Giải phương trình: ( x + 1) + = 23 2x + Bài 5: Giải phương trình: x + 4- 5- x = Dạng 6: Phương pháp lượng giác hóa Nếu tốn có chứa a2 - x2 đặt x = a sint với - p p £t£ 2 x = a cost với £ t £ p Nếu tốn có chứa x= a cost é p pù ê- ; ú\ { 0} t Ỵ với x - a đặt x = ê 2ú sint ë û ù\ với t Ỵ é ê0; pû ú ë Nếu tốn có chứa a ỡùù pỹ ù ùý ùợù 2ùỵ ù ổ p pử ỗ ữ x = a tan t t ẻ ỗ- ; ữ ta cú th t vi x +a ữ ữ ỗ ố 2ứ 2 Vớ dụ 1: Giải phương trình: 1+ 1- x2 = 2x2 Giải: ĐK: x £ Đặt x = cost,t Ỵ é0, pù ê ë ú û Khi phương trình trở thành 1+ 1- cos2 t = 2cos2 t Û 2sin2 t + sin t - = Ta tìm sint = Þ x = cost = ± 2 Ví dụ Giải phương trình : é 1+ 1- x ê ( 1+ x) ê ë 3ù 1- x2 ú ( 1- x) ú= + 3 û Giải: Điều kiện : x £ Với x Ỵ [- 1;0]: x Î [0;1] ( 1+ x) - ( 1- x) £ (pt vô nghiệm) é pù 0; ú ta đặt : x = cost, t Ỵ ê ê 2ú Khi phương trình trở thành: ë û ỉ ữ 6cosx ỗ = + sint cost = ỗ1 + sin tữ ữ ữ ç è ø Vậy phương trình có nghiệm : x = ( Ví dụ Giải phương trình : 1+ 1− x = x 1+ 1− x ) Giải: ĐK: π π x ≤ Đặt x = sint ,t ∈ − ; phương trình cho trở thành: 2 1+ cost = sint (1+ 2cost ) t 3t t ⇔ 2cos = 2sin cos 2 t 3t ⇔ cos 2sin − 1÷ = 2 3t sin = π 4π t = ± + k 2 ⇔ ⇔ ,k ∈ ¢ t t = (2k + 1)π cos = Kết hợp điều kiện t suy t = π π Vậy phương trình có nghiệm x = sin = Ví dụ Giải phương trình : x − 3x = x + Giải: ĐK: x ≥ −2 Nhận thấy với x > ta có: ( ) x − 3x = x + x x − > x > x + Vậy ta cần xét với x ∈ [ −2;2] Đặt x = 2cost,t ∈ [ 0;π ] phương trình cho trở thành: 8cos3t − 6cost = 2cost + t ⇔ cos3t = cos 4π t = k ,k ∈ ¢ ⇔ t = k 4π Kết hợp điều kiện t suy t = 4π 4π ,t = Vậy phương trình cho có nghiệm: x = 2cos Ví dụ Giải phương trình : x − 4π 4π , x = 2cos =2 ÷ ÷ x −1 Giải: ĐK: x > nên ta đặt x = π π ,t ∈ − ; \ { 0} phương trình cho trở thành: sint 2 ( − tant ) = sin2 t −1 cos2 t π π ⇔ 4cos6 t + cos2t − = ⇔ cos2 t = ⇔ t = + k , k ∈ ¢ ⇔ 2cos2 t = tant ⇔ 4cos4t = Kết hợp điều kiện t suy t = ± π x=± Vậy phương trình có nghiệm: = ± π sin Bài tập tự luyện: Bài 1: Giải phương trình: x − 3x = − x Bài 2: Giải phương trình: + − x = x(1 + − x ) Bài 3: Giải phương trình: 1 - x2 Bài 4: Giải phương trình: x + Bài 5: Giải phương trình: = x x2 −1 3x 1- x - =2 2 x2 +1 = x + x +1 Dạng 7: Đặt ẩn phụ đưa dạng tích Ví dụ Giải phương trình : x + x + = (1) Giải ĐK: x ≥ − 3 Đặt t = x + ,t ≥ phương trình cho trở thành: t = t2 t2 − + t = ⇔ t t3 − 3t + = ⇔ t − 3t + 1= ( ) ( Với t = ⇒ x + ) 3 = 0⇔ x = − 2 Giải phương trình: t − 3t + = (2) Ta thấy với t >2 có: t − 3t = t + t (t − 4) > t > nên phương trình (2) vơ nghiệm Khi ta xét với t ∈ [ 0;2] π đặt t = 2cosu,u ∈ 0; phương trình (2) trở thành cos3u = − giải phương trình 2 ta tìm u = suy t = 2cos 2π thỏa mãn điều kiện 2π 2π 2π ⇒ x + = 2cos ⇔ x = 4cos2 − 9 Vậy phương trình cho có nghiệm x = − ;x = 4cos2 2π − *Nhận xét: từ cách giải ví dụ cho giải tốn tổng quát sau: Giải phương trình: x + x + a = a2 với a số cho trước Ví dụ Giải phương trình : x − 3x + ( x + 2) = 6x (1) Giải ĐK: x ≥ −2 Phương trình (1) ⇔ x − 3x(x + 2) + ( x + 2) = (2) Đặt t = x + 2,t ≥ phương trình (2) trở thành: x − 3xt + 2t = ⇔ ( x − t ) x = t x = −2t ( x + 2t ) = ⇔ x ≥ ⇔x=2 x − x − = Với x = t ⇒ x + = x ⇔ x ≤ ⇔ x = 2− x − 4x − = Với x = −2t ⇒ −2 x + = x ⇔ Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2;x = − Ví dụ Giải phương trình : 4x + 5x + − x − x + = 9x − Giải Đặt a = 4x + 5x + 1,b = x − x + ⇒ a2 − b2 = 9x − ⇒ a2 − b2 = a − b ⇔ ( a − b ) ( a + b − 1) = Với a = b = ⇒ x = x = a − b = 9x − ⇒ Với a + b − = ⇒ x = 56 2a = 9x − 65 Ví dụ Giải phương trình : 7x + − x − x − + x − 8x + = Giải Đặt a = 7x + 1;b = − x − x − 8;c = x − 8x + Ta có a + b + c = a3 + b3 + c3 = ( ) 3 3 Mặt khác ( a + b + c ) = suy ( a + b + c ) − a + b + c = a = −b ⇔ 3( a + b ) ( b + c ) ( c + a) = ⇔ b = −c c = −a Từ dễ dàng tìm nghiệm phương trình S = { −1;0;1;9} Bài tập tự luyện: Bài 1: Giải phương trình: x + - x = x + + - x2 + 6x + - Bài 2: Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: x +3+ 4x x+3 =4 x ( x + 1- x + 3x + ) x- =1 Bài 4: Giải phương trình: ( x + 2) ( 2x + - x + 1) + 2x2 + 5x + - = Bài 5: Giải phương trình: x = - x - x + - x - x + - x - x KẾT LUẬN Phương trình vơ tỉ nội dung quan trọng chương trình mơn tốn lớp 10 nói riêng bậc THPT nói chung Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy giáo quan tâm Trên số phương pháp mà tơi rút suốt q trình giảng dạy chun đề phương trình vơ tỉ trường THPT Hồ Xuân Hương Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 10, lớp 12 học sinh tiếp thu cách hứng thú, có hiệu quả, nâng cao kĩ giải phương trình vơ tỉ Mặc dù cố gắng, thời gian khả có hạn nên viết khó tránh khỏi thiếu sót Tối mong nhận góp ý q thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp em học sinh để chuyên đề hoàn thiện trở thành tài liệu có ích giảng dạy học tập ... I: Phương pháp chung: Có bốn bước phương pháp này: Bước 1: Đặt ẩn phụ điều kiện cho ẩn phụ Bước 2: Đưa phương trình ban đầu phương trình có biến ẩn phụ Bước 3: Giải phương trình mới, tìm ẩn phụ. .. 5x + Bài 5: Giải phương trình: + x - x2 = x + 1- x Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ khơng triệt để Phương trình có dạng: af (x) + g(x) f (x) + h(x) = Phương pháp: Đặt t = f (x) phương trình trở thành... trường hợp g(x) ¹ , chia vế phương trình cho g(x) đặt t = đk: t ³ ta đưa phương trình cho phương trình bậc hai ẩn t ( ) Ví dụ 1: Giải phương trình : x2 + = x3 + Giải: Phương trình cho dưa dạng 2(x