GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh các kỹ năng giải toán và có cơ hội đạt điểm cao trong kì thi THPT Quốc gia năm học 2015 – 2016, tôi đã viết chuyên đề “Giải phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp hàm số”, đây là quá trình tích lũy kinh nghiệm của bản thân và sự giúp đỡ của đồng nghiệp. Hy vọng chuyên đề này là tài liệu giảng dạy và học tập hữu ích cho giáo viên và học sinh. Chuyên đề này tùy theo từng đơn vị và đối tượng học sinh, giáo viên có thể dạy trong 3 đến 6 tiết đồng thời chọn lọc những ví dụ phù hợp. Trong quá trình viết chuyên đề khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đồng nghiệp và học sinh đóng góp ý kiến để chuyên đề được áp dụng rộng rãi.

SỞ GD VÀ ĐT …………… TRƯỜNG THPT ……………  CHUYÊN ĐỀ ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ  NGƯỜI VIẾT : …………… TỔ CHUN MƠN : TỐN ……………… Luyện thi THPT quốc gia Trang LỜI NÓI ĐẦU Năm học 2015 – 2016 Bộ Giáo dục Đào tạo tiếp tục tổ chức kì thi THPT quốc gia nhằm hai mục đích xét tốt nghiệp tuyển sinh ĐH – CĐ Đề thi phải đảm bảo hai mục đích đó, đề thi có khoảng 60% mức độ khoảng 40% mức độ phân hóa học sinh, 40% mức độ phân hóa học sinh đề thi thường xuất câu giải phương trình hệ phương trình mà phương pháp giải có sử dụng đến tính đơn điệu hàm số Kết kì thi THPT Quốc gia năm học 2014 – 2015 cho thấy số thí sinh làm nhiều phần phân hóa học sinh hội để xét tuyển vào trường ĐH – CĐ tốp cao Nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh kỹ giải toán có hội đạt điểm cao kì thi THPT Quốc gia năm học 2015 – 2016, viết chuyên đề “Giải phương trình hệ phương trình phương pháp hàm số”, q trình tích lũy kinh nghiệm thân giúp đỡ đồng nghiệp Hy vọng chuyên đề tài liệu giảng dạy học tập hữu ích cho giáo viên học sinh Chuyên đề tùy theo đơn vị đối tượng học sinh, giáo viên dạy đến tiết đồng thời chọn lọc ví dụ phù hợp Trong q trình viết chuyên đề khó tránh khỏi thiếu sót, mong đồng nghiệp học sinh đóng góp ý kiến để chuyên đề áp dụng rộng rãi Xin chân thành cảm ơn ! PHẦN I PHƯƠNG TRÌNH A LÝ THUYẾT y  f  x đồng biến nghịch biến a;b I Một số tính chất phương Tính chất Nếu trình f  x   có nhiều x   a;b  nghiệm Tính chất Nếu f '  x   có n nghiệm x   a;b  phương trình nhiều n 1 nghiệm f  x   có x   a;b  Tính chất Nếu f n  x   x  a;b  f n  x  x a;b phương trình f x  có nhiều n nghiệm x   a;b  Tính chất Nếu y  f  x đồng biến nghịch biến a;b f u f  v   u  u,v   a;b   v Lưu ý : Có thể thay a;b a;b,a;b,a;b II Phương pháp Phương trình có nghiệm a Dấu hiệu : Phương trình cần giải phương trình khơng mẫu mực, phức tạp mà phương pháp thông thường không giải giải phức tạp b Thuật tốn - Tìm điều kiện (điều kiện thông thường điều kiện kéo theo) - Biến đổi phương trình dạng f  x   - Chứng minh y  f  xluôn đồng biến nghịch biến a;b ( a;b miền xác định phương trình) - Nhẩm nghiệm x  phương trình x0 (Có thể sử dụng MTCT – lệnh “SHIFT+SOLVE”) - Kết luận : Phương trình có nghiệm x  x Phương trình có tối đa n nghiệm (thơng thường nghiệm) a Dấu hiệu : Phương trình cần giải phương trình khơng mẫu mực, phức tạp mà phương pháp thông thường không giải giải phức tạp b Thuật tốn - Tìm điều kiện (điều kiện thông thường điều kiện kéo theo) - Biến đổi phương trình dạng f  x   - Chỉ f n  x  x  a;b  ( a;b f n  x  miền xác định phương trình) - Nhẩm n nghiệm phương trình x a;b - Kết luận : Phương trình có n nghiệm nhẩm Xét hàm đặc trưng a Dấu hiệu : Phương trình cần giải đưa phương trình đồng bậc b Thuật tốn - Tìm điều kiện (điều kiện thông thường điều kiện kéo theo) - Biến đổi phương trình phương trình đồng bậc - Cố định vế (vế đơn giản hơn), suy hàm đặc trưng f t  - Biến đổi vế lại theo quy luật hàm đặc trưng, ta phương trình f u  f v - Chỉ hàm đặc trưng đồng biến hay nghịch biến miền giá trị u,v - Giải phương trình f u f v  u  v    - Kết luận  3x 1 Ví dụ minh họa: Giải phương trình : x3  3x2  4x   3x  Phân tích : 2 - Đặt u  (*) 3x 1 bậc VP(*) biểu thức bậc ẩn u , vế (*) đồng - Cố định VP(*) = 3x  2   3x 1  u2 1 u  u3  u , Suy hàm đặc trưng f t   t3  t -VT(*)  v3  v , VT(*) biểu thức bậc ẩn x , bậc với bậc hàm đặc trưng, suy v  ax  b ,  ax  b 3   ax  b   x3  3x2  4x    a 1 x3  3a2b  3 x2  3ab2  a  4 x  b3  2  0 a3 1   3a b    2 3ab  a    b  b   a   v  x 1   b  Phương trình (1) trở thành v3  v  u3  u Lưu ý : Có thể tìm hàm đặc trưng nhờ MTCT : Cho vài giá trị x, tính y tìm mối quan hệ x y Lời giải : ĐK : x   (*)  x3  3x2  4x   3x 3x 1   x 13x 1  x 1  2  Xét hàm số f t   t3  t , t   Ta có : f ' t   3t2 1 t  , suy f t 0 Khi : (1)  f  x 1  f  3x 1  đồng biến   x 1   x2  2x 1 3x (do x   nên 1 x  x x0  x x 1  )  Vậy phương trình (*) có nghiệm : x  0, x 1  3x 1  3x 1 B CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Giải phương trình : x5  x3 1 3x   0(1) Giải : ĐK : x  1 3x  f  x   x5  x3 4,  1  Hàm số liên tục  ; Xét hàm số Ta có : f '  Suy f x x 3  3  1 x   5x4  3x2 2 1 3x  x  ;     1  đồng biến ;  3   Suy phương trình f  x   (Phương trình (1)) có nhiều nghiệm x Mặt khác f 1  , x  1 nghiệm phương trình (1) tức Vậy phương trình (1) có nghiệm x  1 Chú ý : Có thể nhẩm nghiệm x  1 máy tính cầm tay “SHIFT + SOLVE” Ví dụ 2: Giải phương trình :2x 1 x2    x(1) Giải : x2  2x 1  2x 1   ĐK :  x   x4  (2)   Xét hàm số f  x   x4 2x 1 Hàm số liên tục Ta có : x2  2x 1  x  4, x  1 ;4   x3  1  ;4      f '  x     x 1  f x Suy đồng biến 1  ;4    f  x   (Phương trình (1)) có nhiều nghiệm Suy phương trình x 1  x  ;4     1 ;4     Mặt khác f 1  , tức x2 15 x  nghiệm phương trình (1) x2  Vậy phương x2 15 trình x2 (1)  8có nghiệm x  Chú ý : - ĐK : 2x 1 điều kiện thông thường ĐK :  x  điều kiện kéo theo (Phương trình bỏ qua) 15 xx2 máy tính cầm tay “SHIFT + SOLVE” - Có thể nhẩmx2nghiệm  1trên Ví dụ 3: Giải phương trình :x2 15  3x  x2  (1) x2 15x2  8 Giải :   3x  x2  Ta có : (1)   Do Xét hàm số  nên 3x    x  Ta có : f '  x   x  x2 15 Suy f x  x 3 x x2  nghịch biến 2   ;  Suy phương trình x 2  3x  2, x   f  x   ;  x2 15    x   3   f x  015(Phương trình (1)) có nhiều nghiệm   3x  x  21 5x nghiệm phương trình (1) một   Mặt khác f 1  , 75 2 3x  43x  4  5x  95x  tức Vậy phương trình (1) có nghiệm x  Chú ý : ĐK : 3x   điều kiện kéo theo (Phương trình bắt buộc phải tìm) Ví dụ 4: Giải phương trình : 3x   5x   x2  6x 13(1) Giải : x   ĐK : 3x  Xét hàm số 5x  3 f  x  13, Hàm số liên tục  ;  Ta có :   f '  x  f' x  x    2x   2       nghịch biến  ; Suy phương trình x  f ''  x    Suy  x  6x f '  x   có nhiều nghiệm x   Suy phương trình f  x   (Phương trình (1)) có nhiều nghiệm Mặt khác f 0   f 1  , tức x  0, x 1 nghiệm (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm : x  0, x 1 x  Ví dụ 5: Giải phương trình : x  x2  3  3x    3x  Giải : ĐK : x  (1)  x3  3x    3x    3x 3  x3  3x   (1)   3x  3x  Xét hàm số f t   t3  3t , t  Ta có : f ' t   3t2   t  , suy f t đồng biến  Khi : (1)  f  x  f   3x  x  3x x   3x x  3x    x0  x0  x  tm x    Vậy phương trình (1) có nghiệm : 2 Ví dụ 6: Giải phương trình : x3 1  23 2x 1 (1) Giải : (1)  x3  2x  2x 1 2x 1  x3  2x    2x 1  2x 1 Xét hàm số f t   t3  2t , t  Ta có : f ' t   3t2   t  , suy f t đồng biến 3 2x 1 Khi : (1)   f  x f   2x 1  x  x3  2x 1  ta phươn  g trình   1  x2 1 x3  x        x3  x  x x 1  *  x  6, x  Xét hàm số g  x   x3  x   x 1 x  6  x2 1 Hàm số liên tục 0;  ' Ta có : g  x   x 1 4x  x  x  3x  Ví dụ16: Giải hệ phương trình : 20; x  đồng biếny2 Suy  ygxy y 2016 x x2 2x922015 1 y y2 14 1   Suy g  x   có nhiều x 0; nghiệm Mặt khác g 1  Vậy phương trình * Với x  1 y  có nghiệm x  1  1 Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1;   1 2 Giải : ĐK : y  xy   1  x 1 Xét hàm số  f t  x 12 1  t Ta có t 1, t  R y  f ' t   1 Khi *  Thay   y 2 1 t2 1 t  t  R , suy f t đồng biến R  f  x 1 f   y   x 1   y  y  x 1  y  x 1 vào ta phương trình 2 x2   2015  Ta có *  x2   2016x x2   x2  *  2016x  2015   x 2015 2016 Xét hàm số g  x  x2   x2   2016x  2015,  Ta có : g'  x   x x2  Suy  x  x2    2016  x 2015 x  2016  2016  x  x2   x2    x2  3 x2  2015 2016 g x nghịch biến trên  2015  ; 2016   Lê Hồng Khơira phương Suy trình g Mặt khác g 1  Vậy phương trình * Với Trường THPT Liễn Sơn x  (Phương trình * ) có nhiều nghiệm có nghiệm x  x 1 y  2 Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm x; y   1;2 y    x  1 2x2 y  y3  2x4  x6 1 Ví dụ 17: Giải hệ phương trình :  2  x   Giải : y  1 ĐK: Từ phương trình   , suy x  2 y 1 Xét phương trình 2x2 y  y3  2x4  x6  y  Với x  hệ   vn 1 2 1  y   y 3 Với x  , chia vế cho 1 x : 1  2   x2 1 2x  x3   x   Xét hàm số f t   2t  t3 , t  Ta có : f ' t    3t2 t  , suy f t đồng biến 0  Khi 1  Thay  y  f  x f   x y  vào 2 x2 Luyện thi THPT quốc gia y x  x  y  x2 ta phương trình :  x  2 Trang 43 Lê Hồng  Khôi Trường THPT Liễn Sơn 1 x * Đặt z  1 z2  x2 1, phương trình x2 1  * z z2   x  2 z  2x    2 zx z2 Với trở thành     x  22  8x   x  22    x    y  tm 3 x2    x2     tm  x   y  Với z  x  x2 1  x vn Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm :  x; y        3;3 ,  x; y   3;3 Luyện thi THPT quốc gia Trang 44 x5  xy4  y10  y6 1 Ví dụ 18: Giải hệ phương trình :  y2   2  4x   Giải : x  ĐK :   yR  Với x5   vn  x 5 y  , từ hệ  4x   6  x 5 y  0, chia vế  y y cho y : 1    y  y Xét hàm số f t   t5  t , t   Ta có : f ' t   5t4 1  , suy f t đồng biến t Với 1  Khi 1  y2  y2  x  x  f  y   y  x  y2 f y y   Thay x  vào   ta phương trình : 6  y y2 1 y2 1  y2  0    y2   0  y2   y2          4  y2 1  2   02 y2 1   y   y   3    y  1  x  tm  tm  y   x     Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm :  x; y   1;1, x; y   1;1  y  12  y y2   x  1 Ví dụ 19: Giải hệ phương trình :   x  x2  2x    2x  y     Giải : thay vào phương trình 2 ĐK : 2x  4y   ta phương  1 2y   y2 1  2x 2 y2  122y1yy2 2 241 x 1  x 1 242 4y 412 y2y y2 x2  2x  trình : t2  x 12  x 1  y2  2   2 y   x 1  *   2 y     x 1  y2  Xét hàm số f t  t   y2  t2  4, t   Ta có : Khi *  Thay t f ' t   1  t   f  x 1 f  2y   x 1  2y  x  2y 1  x  2y 1 vào phương trình 1  y  1    y2  , suy f t đồng biến y 2y y    3y  y 4  y ta phương trình   y2   y2    4y   3y  x tm  4 16  y2    y  3  x  tm y2     Kết luận :Hệ trình  cho phương 5 có1 2 nghiệm :     x; y   ;    x; y  ,   4  ;   Ví dụ 20: Giải hệ phương trình :    3x2 y  1 x2 y2    8x2y3   x2 y  x    2 Giải : Nhận xét : Từ 1  y  0, 2  x2 y  x    x    1   x2 1  3x y    y2 y2 1 1  8x2 y3   x2   3x y   2x y y2 1 1   y 2  1  x2    y 3 x2 x y phương trình 2    y  thay vào 3  2 x2  x  1 x  y 2 1   x  2 y x  2 y  * Xét hàm số f t t2 1 t  t t2 1, t  ' Ta có f t   1 Khi * 1 f    x  Thay xy   t2  t  t 1 f 2 y  , suy f t đồng biến   y  xy  x vào 2 ta phương trình 1 xx20x4y 3y 14 tm  1 Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   4;   Ví dụ: 21: Giải hệ phương trình Giải : 3x2  3y    y  x     x  y 13  x  ĐK :   y 14  y   xy  x2    x1 5  1  2   1   x 13  3 x3x 1  8  y x1 13  3 y 1 Xét hàm số f t   t3  t , t   Ta có : f ' t   3t2 1  t Khi 1  Thay  f  x 1 f  y 1  x 1  y 1  y  x   y  x  vào 2 ta phương trình : 2x 3x   x 1 11 f t đồng biến , suy  Nhận thấy x 11  *  không nghiệm * Với x  11 * 3x   x 1   Xét hàm số g  x    2x 11 0 2x 11 , x   11   11  ; ;     2   10 Ta có g '  x   3x  2x 1   03 x  3x      Với x   y  tm  11  Trên ; g x đồng biến g 8  , suy , *     2x 112  11   11  ;  ; 3x   x 1     2     đồng biến 11   g 3  , suy g x Trên ; , *  2   có nghiệm x3 có nghiệm x  tm Với x   y 10 Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm :  x; y   3;5,  x; y   8;10 y  y2  x2 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải hệ phương trình sau  x3  y   3x  3y y  y2  x2 x 3 20   ĐS :  x; y   0;1  x3 12x  y  y 16  x2  y  y 1 x 1  20 6 4x  ĐS :  x; y   0;2  x3  9x  26x 18  y  y 11y  y4 3x 4 0  x    11 14  ĐS :  x; y   ;   3   x  y  y  3 x  5y   14    3  x3  y2  ĐS :  x; y   1;3,  x; y   2;0  y  3xy 17x  27  x3  3x 13y   2 x  y  xy  y  5x 10   2 5 ;  3   ĐS :  x; y   2;3,  x; y     x3  y 17x  32 y  6x  y  24   y  x    x  y  x   x  y 1 9 ĐS :  x; y   5;6  8x  2x 1  y  y3  3  4x  8x  y  y  y   1  ĐS :  x; y   1;1,  x; y  x2 y2 y3 y 3y2  ;0      x3  3x      3 y2 1 ĐS :  x; y  xy3;1 x2  2xy  y2   x y  2x  y  5y      2xy  x2   1x  x ĐS :  x; y   14;2  y  2x   2 1y  10   y  x  y  1  y    1 5  ĐS ;  :  x; y    8x  2x 1 18x  2     x 11   12 y2   y3 13y   y3  y  y  4x  8x  y1  x  1 y1x 11 ĐS :  x; y   1;0,  x; y  ;1  x   x1  x    y  2 12   4x  ĐS : 5   8x  4x  4x   x; y    3;    y   x  13    x2    y  y2     27x  x3  y   13 1    12 ;   x2  y2  y  2x  1 y  2 14    y   3x  xy2  ĐS :  x; y   ĐS :  x; y   3;5, x; y   8;10  2x3  4x  3x 1  2x3   y3  y 15   x   14  x  y   111  ĐS :  x; y   7;  98  16    x  4 x 1  y4   y  x2  2x  y 1  y2  y   ĐS :  x; y   1;0, x; y   2;1  x  3y   y   3x   17 x1 y   9y2 7x  y    2y3 ĐS :  x; y   3;2,  x; y   8;3   x   x 1 y y  y 18 1   x   13  ,  x; y   12    13 1 ; 13    1x  4y 2 1 1 ;  2   ĐS :  x; y    HẾT ... đề thi thường xuất câu giải phương trình hệ phương trình mà phương pháp giải có sử dụng đến tính đơn điệu hàm số Kết kì thi THPT Quốc gia năm học 2014 – 2015 cho thấy số thí sinh làm nhiều phần... a;b,a;b,a;b II Phương pháp Phương trình có nghiệm a Dấu hiệu : Phương trình cần giải phương trình khơng mẫu mực, phức tạp mà phương pháp thông thường không giải giải phức tạp b Thuật toán... : Phương trình có nghiệm x  x Phương trình có tối đa n nghiệm (thông thường nghiệm) a Dấu hiệu : Phương trình cần giải phương trình khơng mẫu mực, phức tạp mà phương pháp thông thường không giải