CHUYÊN ĐỀ :ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM Số ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Khi đøng trước d⁄ng bài t“p này học sinh thường lúng túng bởi sự đÆi hỏi cao v• tư duy, v• kĩ n«ng V“y đ” giúp c¡c em thành th⁄o trong vi»c xß l‰ d⁄ng bài t“p này cũng như đ” n¥ng cao ch§t lưæng ôn thi THPT QuŁc gia. Tôi chọn mºt trong nhœng gi£i ph¡p gi£i quy‚t nhœng khó kh«n đ” đ⁄t hi»u qu£ cao đó là chuy¶n đ•: Ứng dụng t‰nh đơn đi»u cıa hàm sŁ gi£i phương tr…nh, h» phương tr…nh và b§t phương tr…nh Hi vọng chuy¶n đ• này s‡ đồng hành cùng c¡c b⁄n, giúp đỡ c¡c ban tr¶n con đường đ‚n thành công.

CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Tác giả: Trần Quang TuyếnChức vụ: Giáo viên

Đối tượng học sinh bồi dưỡng: Lớp 12

Số tiết đã bồi dưỡng: 9 tiết

PHÚC YÊN - 2015

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành chuyên đề này, tôi xin trân trọng cảm ơn sâu sắc đếnBan gám hiệu trường THCS & THPT Hai Bà Trưng, đã chỉ đạo hướngdẫn cho tôi trong suốt quá trình viết chuyên đề

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quý Thầy, Cô trong tổ Toán Lý Tin của trường THCS & THPT Hai Bà Trưng đã tận tình đóng góp ý kiếntrong suốt quá trình viết chuyên đề Với những ý kiến đóng góp quý báu

-đã giúp tôi hoàn thiện chuyên đề, đạt được thành công ở cấp cụm và tiếptục được đi báo cáo ở cấp tỉnh

Cuối cùng tôi xin kính chúc quý Thầy, Cô dồi dào sức khỏe và thànhcông trong sự nghiệp cao quý

Xin chân thành cảm ơn!

Vĩnh Phúc, tháng 11 năm 2015

Tác giả

Trần Quang Tuyến

Lời cảm ơn 2

Mở đầu 5

Chương 1 Kiến thức cơ bản về tính đơn điệu của hàm số 7 1.1 Hàm số và tính đơn điệu hàm số 7

1.1.1 Hàm số 7

1.1.2 Tính đơn điệu của hàm số 7

1.2 Các cách xét tính đơn điệu của hàm số 8

1.3 Một số tính chất về đơn điệu của hàm số 9

Chương 2 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình 11 2.1 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình 11 2.1.1 Bài toán 1 Giải phương trình F (x) = 0 (1) 11

2.1.2 Bài toán 2 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình F (x, m) = 0 có nghiệm (n nghiệm) trên K 22

2.2 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình 28 2.2.1 Bài toán 1 Giải hệ phương trình hệ số là hằng số 28 2.2.2 Bài toán 2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 39 2.3 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình 46 2.3.1 Bài toán 1 Giải bất phương trình: F (x) > 0 46

2.3.2 Bài toán 2 Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình F (x, m) > 0 có nghiệm (thỏa mãn với mọi) x trên K 52

2.4 Hệ thống bài tập 57

2.4.1 Bảng mô tả mức độ nhận thức 57

2.4.2 Bài tập tương tự 58

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm 743.1 Mục đích, tổ chức thử nghiệm 743.2 Nội dung thử nghiệm 74Kết luận 80

Tài liệu tham khảo 82

Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là những dạngbài tập mà chúng ta thường gặp trong các kì thi, các cấp và đặc biệt là kìthi THPT Quốc Gia những năm gần đây năm nào cũng có và đó là nhữngbài toán với yêu cầu cao đối với học sinh về tư duy, về kĩ năng.

Khi đứng trước dạng bài tập này học sinh thường lúng túng bởi sựđòi hỏi cao về tư duy, về kĩ năng

Vậy để giúp các em thành thạo trong việc xử lí dạng bài tập nàycũng như để nâng cao chất lượng ôn thi THPT Quốc gia Tôi chọn mộttrong những giải pháp giải quyết những khó khăn để đạt hiệu quả cao đó

1 Mục tiêu của chuyên đề

a) Kiến thức Giúp học sinh hiểu được cách vận dụng tính đơn điệu củahàm số vào để:

• Giải một số bài toán về phương trình

• Giải một số bài toán về hệ phương trình

• Giải một số bài toán về bất phương trình

b) Kĩ năng

• Thực hiện được việc ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào giảiphương trình, hệ phương trình và bất phương trình

• Thực hiện được việc ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào tìm m

để phương trình có nghiệm trên khoảng, hệ phương trình có nghiệm

và bất phương trình có nghiệm trên khoảng

c) Định hướng phát triển năng lực

• Năng lực chung: Giải quyết vấn đề, hợp tác làm việc theo nhóm,ứng dụng công nghệ thông tin, tự học

• Năng lực chuyên biệt: Phân tích, tổng hợp, đánh giá, phát hiệnvấn đề và giải quyết vấn đề, tư duy, logic

2 Cấu trúc chuyên đề

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của chuyên

đề được trình bày trong các chương

Chương 1: Kiến thức cơ bản về tính đơn điệu của hàm số

Chương 2: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình,

hệ phương trình và bất phương trình

Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

Mặc dù rất cố gắng khi thực hiện chuyên đề nhưng sẽ không tránhkhỏi nhiều sai sót trong chuyên đề Tôi rất mong nhận được ý kiến đónggóp để chuyên đề hoàn thiện hơn

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ1.1 Hàm số và tính đơn điệu hàm số

1.1.1 Hàm số

Định nghĩa 1.1 Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ mộtgiá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số kí hiệu

y = f (x) Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x

Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số

Định nghĩa 1.2 Tập xác định của hàm số y = f (x) là tập hợp tất cả các

số thực x sao cho biểu thức f (x) có nghĩa

Định nghĩa 1.3 Đồ thị của hàm số y = f (x) xác định trên tập D là tậphợp tất cả các điểm M (x; f (x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x thuộc D.1.1.2 Tính đơn điệu của hàm số

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng

Định nghĩa 1.4 Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên K Ta nói:

Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, x2thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f (x1) nhỏ hơn f (x2) tức là:

x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1, x2thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f (x1) lớn hơn f (x2) tức là:

x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm sốđơn điệu trên K

Mệnh đề tương đương với định nghĩa tính đơn điệu của hàm sốMệnh đề 1.1

a) f (x) đồng biến trên K ⇔ f (x2) − f (x1)

x2 − x1 > 0, ∀x1, x2 ∈ K, x1 6= x2

f (x) nghịch biến trên K ⇔ f (x2) − f (x1)

x2 − x1 < 0, ∀x1, x2 ∈ K, x1 6= x2.b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.1.2 Các cách xét tính đơn điệu của hàm số

Cách 1 Sử dụng định nghĩa

Dùng định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hoặc điều kiện tươngđương với định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

Cách 2 Sử dụng đạo hàm dựa vào một số định lí sau:

Định lý 1.1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f0(x) > 0 với mọi x thuộc vào K thì hàm số đồng biến trên K.b) Nếu f0(x) < 0 với mọi x thuộc vào K thì hàm số nghịch biến trên K.Chú ý 1.1 Nếu f0(x) = 0, ∀x ∈ K thì f (x) không đổi trên K

Định lý 1.2 Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K

Nếu f0(x) ≥ 0 (f0(x) ≤ 0), ∀x ∈ K và f0(x) = 0 chỉ tại một số hữuhạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K

Định lý 1.3 Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm

f0(x) > 0 trên (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên [a; b]

Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm f0(x) < 0 trên(a; b) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên [a; b]

– Nếu hàm số f (x) đồng biến (nghịch biến) trên K và k > 0, ∀x ∈ Kthì hàm số k.f (x) đồng biến (hay nghịch biến) trên K.

– Nếu hàm số f (x) đồng biến (nghịch biến) trên K và f (x) >

Chứng minh Giả sử phương trình f (x) = C có nghiệm x = a tức là

f (a) = C và f (x) đồng biến (nghịch biến) trên K, ta xét:

• Với x > a suy ra f (x) > f (a) = C (f(x)<f(a)=C) nên phương trình

f (x) = C vô nghiệm

• Với x < a suy ra f (x) < f (a) = C (f(x)>f(a)=C) nên phương trình

f (x) = C vô nghiệm

Vậy phương trình f (x) = C có một nghiệm duy nhất x = a

Tính chất 1.2 Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (nghịch biến), hàm số

y = g(x) nghịch biến (đồng biến) và liên tục trên K thì phương trình

f (x) = g(x) một nghiệm duy nhất

Chứng minh Giả sử x = a là một nghiệm của phương trình f (x) =g(x) trên K tức là f (a) = g(a) Giả sử hàm f (x) đồng biến, hàm g(x)nghịch biến và liên tục trên K, ta xét:

• Với x > a suy ra f (x) > f (a)=g(a)>g(x) nên phương trình vô nghiệm

• Với x < a suy ra f (x) < f (a)=g(a)<g(x) nên phương trình vô nghiệm.Vậy phương trình f (x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = a

Tính chất 1.3 Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (nghịch biến) và liên tụctrên K thì f (u) = f (v) ⇔ u = v với mọi u, v ∈ K

Tính chất 1.4 Nếu hàm số y = f (x) liên tục và có f ”(x) ≥ 0 (f ”(x) ≤ 0)trên K thì phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm trên K.

Tính chất 1.5 Số nghiệm của phương trình f (x) = g(x) là số hoành độgiao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đồ thị hàm số y = g(x)

Tính chất 1.6 Nếu hàm số y = f (x) đồng biến và liên tục trên K thì

f (x) > C ⇔ x > x0 với (f (x0) = C, x0 ∈ K)

Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến và liên tục trên K thì f (x) > C ⇔

x < x0 với (f (x0) = C, x0 ∈ K)

Tính chất 1.7 Nếu hàm số y = f (x) đồng biến và liên tục trên K thì

f (u) > f (v) ⇔ u > v với mọi u, v ∈ K

Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến và liên tục trên K thì f (u) > f (v) ⇔

u < v với mọi u, v ∈ K

Tính chất 1.8 + Bất phương trình f (x) ≥ m đúng (∀x ∈ K) ⇔min

x∈K f (x) ≥ m

Hoặc

Bất phương trình f (x) > m đúng (∀x ∈ K) khi và chỉ khi toàn bộ đồthị hàm số y = f (x) (x ∈ K) nằm ở phía trên đường thẳng (d) : y = m+ Bất phương trình f (x) ≤ m đúng (∀x ∈ K) ⇔ max

x∈K f (x) ≤ mHoặc

Bất phương trình f (x) < m đúng (∀x ∈ K) khi và chỉ khi toàn bộ đồthị hàm số y = f (x) (x ∈ K) nằm ở phía dưới đường thẳng (d) : y = m

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (1)

Bước 2: Biến đổi phương trình (1) đưa về một trong các dạng cơ bản saubằng các phép biến đổi tương đương, biến đổi thành phương trình hệquả, :

f (x) = C, hoặc f (u (x)) = f (v (x))i) Với dạng f (x) = C ta thực hiện:

• Xét tính liên tục và tính đơn điệu của hàm số f (x) trên Khoặc trên miền nào đó mà bài toán yêu cầu

• Tính f (x0) = C, x0 ∈ K, dựa vào tính chất 1.1 có

f (x) = f (x0) ⇔ x = x0ii) Với dạng f (u (x)) = f (v (x)) ta thực hiện:

• Xét tính liên tục và tính đơn điệu của hàm số f (t) trên K hoặctrên miền nào đó mà bài toán yêu cầu

• Dựa vào tính chất 1.3 có

f (u (x)) = f (v (x)) ⇔ u (x) = v (x)

• Giải phương trình u (x) = v (x) là phương trình đơn giản hơn,giải phương trình tìm nghiệm

Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình (1)

Điều kiện xác định 5

3 ≤ x ≤ 12 (*) Có(1) ⇔ √

3x − 5 +√

2x + 3 −√

12 − x = 2 ⇔ f (x) = 2 (2)với f (x) = √

f0(x) = 3

2√3x − 5 +

1

√2x + 3 +

(2) ⇔ x = 3

Do x = 3 thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3

Ví dụ 2.2 Giải phương trình sau

p5x3 − 1 +√3

2x − 1 = 4 − x (1)

Lời giải

Điều kiện xác định x ≥ √31

5 (*) Có(1) ⇔ p5x3 − 1 +√3

2x − 1 + x = 4 ⇔ f (x) = 4 (2)với hàm số f (x) = √

+ 1 > 0, ∀x ∈

1

3

√

5; +∞



Suy ra hàm số y = f (x) đồng biến trên

1

(2) ⇔ x = 1

Do x = 1 thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1



−∞;54

.Có

f0(x) = 21x6 + 3x2 + √ 2

5 − 4x > 0, ∀x ∈



−∞; 54



Suy ra y = f (x) đồng biến trên



−∞;54



và f (1) = 3 Áp dụng tính chất1.1 có

(2) ⇔ x = 1

Do x = 1 thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1

t = 5 − 2x hay 3x = 5 − 2x ⇔ 3x+ 2x − 5 = 0 ⇔ f (x) = 0 (2)

với hàm số f (x) = 3x+ 2x − 5, hàm số f (x) liên tục trên R Có

f0(x) = 3xln 3 + 2 > 0, ∀x ∈ R

Suy ra hàm số y = f (x) đồng biến (−∞; +∞) và f (1) = 0 Áp dụng tínhchất 1.1 có

(2) ⇔ x = 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Ví dụ 2.5 Giải phương trình sau

5x+ 4x+ 3x+ 2x = 1

2x + 1

3x + 1

6x − 2x3 + 5x2 − 7x + 17 (1)Lời giải

6x ln 6 + 6x2 − 10x + 7
> 0, ∀x ∈ R

Suy ra hàm số f (x) là hàm số đồng biến trên (−∞; +∞) và f (1) = 17 Ápdụng tính chất 1.1 có:

(2) ⇔ x = 1

Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 1

Ví dụ 2.6 Giải phương trình log5x = log7(x + 2) (1)

t

− 1 = 0

⇔ f (t) = 0 (2)

Với hàm số f (t) =  1

7

t

+  57

Do x = 5 thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 5

Ví dụ 2.7 Giải phương trình sau

1804(x − 2)2 > 0, ∀x ∈ R

Suy ra hàm số đồng biến trên (3; +∞) và f (11) = 0 Áp dụng tính chất1.1 có

(2) ⇔ x = 11

Do x = 11 thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 11

2 +p9x2 + 3



= 0 (1)Lời giải Phương trình (1) xác định với mọi x ∈ R

(1) ⇔ (2x + 1)



2 +

q(2x + 1)2 + 3



= f (2x) (2)với hàm số f (t) = t3 + t, liên tục trên R Có

f0(t) = 3t2 + 1 > 0, ∀t ∈ RSuy ra hàm số f (t) đồng biến trên (−∞; +∞) Áp dụng tính chất 1.3 có

(2) ⇔ √3

6x + 1 = 2x ⇔ 8x3 − 6x − 1 = 0 (3)

Giải phương trình (3) bằng cách đặt ẩn phụ x = cos t, t ∈ [0; π] Khi đóphương trình (3) trở thành

2 4cos3t − 3 cos t
− 1 = 0 ⇔ cos 3t = 1

t = 7π9

t = 5π9

f0(t) = 2t + 2 > 0, ∀t > 0

Suy ra hàm số đồng biến trên [0; +∞) Áp dụng tính chất 1.3 có

1 +√

3x + 1
2 (x ∈ R) (1)Lời giải

(1) ⇔ x2 + 3x − 2 = 9x

√3x + 1 1 −√

3x + 1
2(−3x)2

f0(t) = 3t2 + 1 > 0, ∀t ≥ 0

Suy ra hàm số đồng biến trên [0; +∞) Áp dụng tính chất 1.3 có

x + 1 =√

3x + 1 ⇔ (x + 1)2 = 3x + 1 ⇔ x2 − x = 0 ⇔ x = 1

Do x = 1 thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1

Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015Lời giải

i

x + 2
= f (x − 1) (3)với hàm số f (t) = (t + 2) t2 + 2
, hàm số f (t) liên tục trên [0; +∞) Có

f0(t) = 3t2 + 4t + 2 = 3



t + 23

2 nên phương trình (2) có nghiệm x =

3 +√

132Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2, x = 3 +

√13

với hàm số f (t) = 2t + t, hàm số f (t) liên tục trên R Có

f0(t) = 2tln 2 + 1 > 0, ∀t ∈ R

Suy ra hàm số đồng biến trên (−∞; +∞) Áp dụng tính chất 1.3 có(2) ⇔ x − 1 = x2 − x ⇔ x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 ⇔ x = 1Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1

Điều kiện xác định

(

x − 1 6= 02x − 1 > 0 ⇔



= 3(x − 1)2 − (2x − 1)

⇔ log3(2x − 1) + (2x − 1) = log3

3(x − 1)2

+ 3(x − 1)2

3(x − 1)2

(2)với hàm số f (t) = log3t + t, hàm số f (t) liên tục trên [0; +∞) Có

f0(t) = 1

t ln 3 + 1 > 0, ∀t > 0Suy ra hàm số đồng biến trên [0; +∞) Áp dụng tính chất 1.3 có

2.1.2 Bài toán 2 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình

F (x, m) = 0 có nghiệm (n nghiệm) trên K

a) Phương pháp

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu có)

Bước 2: Dùng các phép biến đổi tương đương, đưa phương trình đã cho

F (x, m) = 0 về dạng f (x) = m

Tức là: rút tham số m sang một vế, vế còn lại là biểu thức chứa biến

x Đặt biểu thức chứa biến x là f (x)

Bước 3: Xét sự biến thiên của hàm số y = f (x) hoặc h(t) và lập bảngbiến thiên ở trên K hoặc h(t) ở trên K0

Bước 4: Dựa vào tính chất kết luận về m

Điều kiện xác định x ≥ 1 (∗) Với điều kiện trên

Ta có bảng biến thiên của y = f (t)

i Có

(d) : y = m cắt đồ thị (C) : y = f (t), t ∈ 0;√2 ⇔ √2 − 1 ≤ m ≤ 1.Vậy giá trị của m cần tìm là √

2 − 1 ≤ m ≤ 1

Ví dụ 2.18 Tìm m để phương trình:

2p(x + 2) (4 − x) + x2 = 2x − m có nghiệm (1)Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình −2 ≤ x ≤ 4 (*)

g0(t) = 2t − 2, ∀t ∈ [0; 3] , g0(t) = 0 ⇔ t = 1 ∈ [0; 3]

Ta có bảng biến thiên

Điều kiện xác định của phương trình 1 ≤ x ≤ 4 (*).

Ta có bảng biến thiên

Vậy giá trị m cần tìm là 0 ≤ m ≤ 1

Ví dụ 2.20 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

|sin 2x| + (m − 2) |sin x| + (2 − m) |cos x| + 2m = 0 (1)

Lời giải

(1) ⇔ 2 |sin x| |cos x| + (m − 2) (|sin x| − |cos x|) + 2m = 0

Đặt t = |sin x| − |cos x| , điều kiện −1 ≤ t ≤ 1 và 2 |sin x| |cos x| = 1 − t2thay vào phương trình ta có:

3 là giá trị phải tìm

? ? ?

Như vậy:

Qua các ví dụ trên ta thấy việc áp dụng tính đơn điệu của hàm số vào giảimột số dạng toán về phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn.Thông qua các ví dụ đó cung cấp cho học sinh có thêm những kỹ năng giảiphương trình và nhận dạng được những phương trình nào có thể sử dụngtính đơn điệu của hàm số để giải

2.2 ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

2.2.1 Bài toán 1 Giải hệ phương trình hệ số là hằng số

Bài toán Giải hệ phương trình

(

F (x; y) = 0 (1)G(x; y) = 0 (2)Với F (x; y), G(x; y) là các biểu thức phức tạp (bậc cao, hoặc chứa nhiềucăn thức bậc cao khác nhau)

• Biến đổi hệ phương trình về phương trình có dạng f (u) = f (v)

• Từ đó ta xét tính liên tục và tính đơn điệu của hàm số f (t) trên

D hoặc trên một miền nào đó thỏa mãn yêu cầu của bài toán.– Sử dụng tính chất f (u) = f (v) ⇔ u = v thế vào một tronghai phương trình của hệ ta được một ẩn

– Giải phương trình này tìm nghiệm x hoặc y, kiểm tra điềukiện (nếu có)

– Thay nghiệm vừa tìm được vào để tìm giá trị còn lại, kiểm trađiều kiện (nếu có)

Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình ban đầu

Chú ý 2.1 Khi thực hiện giải hệ phương trình bằng phương pháp này tagặp một số khó khăn sau:

• Ở bước 2 muốn làm tốt bước này phải biết lựa chọn phương trình của

hệ rồi biến đổi tương đương đưa phương trình đó về dạng f (u) = f (v),trong đó f (t) là hàm liên tục và đơn điệu trên khoảng K nào đó và

Điều kiện xác định

(

x ≥ −42y − x + 9 ≥ 0 (∗)

x3 − y3 + 17x − 32y = 6x2 − 9y2 − 24

⇔ x3 − 6x2 + 17x − 18 = y3 − 9y2 + 32y − 42

⇔ (x − 2)3 + 5 (x − 2) = (y − 2)3 + 5 (y − 2)

⇔ f (x + 2) = f (y − 2) (3)Với hàm số f (t) = t3 + 5t, hàm số f (t) liên tục trên R Có

f0(t) = 3t2 + 5 > 0, ∀t ∈ R

Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên (−∞; +∞) Áp dụng tính chất 1.3 có

(3) ⇔ x − 2 = y − 3 ⇔ y = x + 1 (4)

Thế y = x + 1 vào (2) để được phương trình một ẩn:

(x + 3)√

x + 4 + (x + 9)√

x + 11 = x2 + 9x + 10 (5)Phương trình (5) có một nghiệm x = 5 nên có thể biến đổi về phương trình

tích số bằng kĩ thuật nhân liên hợp:

phương trình vô nghiệm

Với x = 5 thay vào y = x + 1 có y = 6 thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (5; 6)

Ví dụ 2.22 Giải hệ phương trình

(

4x2 + 1
x + (y − 3)√5 − 2y = 0 (1)4x2 + y2 + 2√

3 − 4x = 7 (2) (x, y ∈ R)Lời giải

y ≤ 52(∗) Ta có

với hàm số f (t) = t2 + 1
t, liên tục trên [0; +∞) Có f0(t) = 3t2 + 1 >

(4)

Giải phương trình (4), nhận thấy x = 0 và x = 3

4 không phải là nghiệmcủa (4)

.Có



Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên

0; 34



và g(1

2) = 0 Áp dụng tínhchất 1.1 có

5 − 4.1

4

2 = 2 (thỏa mãn điều kiện (*)).

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) =  1

2; 2



+



y + 12

(1) ⇔ f (x − 1) = f (y + 1) (3)với hàm số f (t) = t3 − 12t, hàm số f (t) liên tục trên



−3

2;

32

 Có

)Suy ra hàm số f (t) nghịch biến trên



−3

2;

32

 Áp dụng tính chất 1.3(3) ⇔ x − 1 = y + 1 ⇔ y = x − 2 (4)

Thay y = x − 2 vào (2) ta được:

2 (thỏa mãn điều kiện (*)).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

(x; y) =  1

2; −

32



và (x; y) =  3

2; −

12

(x − 1)2



= f y2
(3)với hàm số f (t) = t +√

t + 4, hàm số f (t) liên tục trên [0; +∞) Có

f0(t) = 1 + 1

2√

t + 4 > 0, ∀t ∈ [0; +∞)Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên [0; +∞) và (x − 1)2, y2 ∈ [0; +∞) Ápdụng tính chất 1.3 có

(3) ⇔ (x − 1)2 = y2 ⇔

"

x − 1 = y

x − 1 = −yVới y = x − 1 thế vào phương trình (2) ta được:

x2 − (x − 1)2 − 3x + 3 (x − 1) + 1 = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 3

2Với x = 3

2 thay vào y = x − 1 ta có y =

1

2.Với y = −x + 1 thế vào phương trình (2) ta được:

x2 − (−x + 1)2 − 3x + 3 (−x + 1) + 1 = 0 ⇔ 4x = 3 ⇔ x = 3

4Với x = 3

4 thay vào y = −x + 1 ta có y =

1

4.Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

(x; y) =  3

2;

12



và (x; y) =  3

4;

14



Ví dụ 2.25 Giải hệ phương trình

(

x5 + xy4 = y10+ y6 (1)

√4x + 5 +py2 + 8 = 6 (2) (x, y ∈ R)Lời giải

Điều kiện xác định x ≥ −5

4 (*).

Xét y = 0 thì phương trình (1) suy ra x = 0 thế vào phương trình (2) tathấy không thỏa mãn

√4x + 5 +√

x + 8 = 6 ⇔ g(x) = 6 (4)với hàm số g(x) =√

1 − y = 3√

1 − y (1)

2√

x + 3 = 5 − x − 9y (2) (x, y ∈ R)Lời giải

+) Điều kiện xác định của x, ylà

với hàm số f (t) = 2t3 + t, hàm số f (t) liên tục trên [0; +∞) Có

Điều kiện xác định là

(

−1 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 2 (∗) Ta có(1) ⇔ x3 − 3x = (y − 1)3 − 3 (y − 1) ⇔ f (x) = f (y − 1) (3)

với hàm số f (t) = t3 − 3t, hàm số f (t) liên tục trên [−1; 1] Có

f0(t) = 3t2 − 3 < 0, ∀t ∈ [−1; 1]

Suy ra hàm số f (t) = t3 − 3t nghịch biến trên [−1; 1] và y − 1 ∈ [−1; 1].

Áp dụng tính chất 1.3 có

(3) ⇔ x = y − 1 ⇔ y = x + 1 (4)Thay y = x + 1 vào phương trình (2), ta được

x2 − 2√1 − x2 − 1 = 0 ⇔ √1 − x2 √

1 − x2 + 2
= 0 ⇔ x = ±1Với x = 1 thì thay vào y = x + 1 có y = 2 thỏa mãn điều kiện (*)

Với x = −1 thì thay vào y = x + 1 có y = 0 thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 2) và (x; y) = (−1; 0)

Ví dụ 2.28 Giải hệ phương trình

((y + 3)√

x + 3 = x3 + x (1)

y2 − 2x2 + xy − 5x − 3 + 2y = 0 (2)Lời giải

Với y = x + 1 thay vào (1) ta được:

Ta thấy vế trái của (3) không âm nên vế phải không âm x x2 + 1
≥ 0 ⇒

x ≥ 0 với hàm số f (t) = t3 + t, hàm số f (t) liên tục trên [0; +∞) Có

f0(t) = 3t2 + 1 > 0, ∀t ≥ 0Suy ra hàm số f (t) luôn đồng biến trên [0; +∞) Áp dụng tính chất 1.3 có

Với x = 1 +

√13

3 +√

132

!

với hàm số g(y) = y7 + 2y4 + y − 4, hàm số g(y) liên tục trên [0; +∞) Có

g0(y) = 7y6 + 8y3 + 1 > 0, ∀y ≥ 0

Suy ra hàm số g(y) đồng biến trên [0; +∞) và g(1) = 0 Áp dụng tính chất1.1 có

(5) ⇔ y = 1Với y = 0 thay vào x = y4 + 1 ta có x = 1 thỏa mãn điều kiện (*)

Với y = 1 thay vào x = y4 + 1 ta có x = 2 thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (2; 1)

y − 1

+ logx y − 1

x − 2



= (x − 2015)2 (2)Lời giải

(3) ⇔ x = u hay x = y + 1 (4)

Thay x = y + 1 vào (2) ta có 0 = (x − 2015)2 ⇔ x = 2015, thay vào

x = y + 1 có y = 2014 (thỏa mãn điều kiện (*))

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2015; 2014)

2.2.2 Bài toán 2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

a) Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.31 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

(2x3 − (y + 2) x2 + xy = m

x2 + x − y = 1 − 2m (x, y ∈ R)Lời giải

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

4, ta có (1) ⇔ m (2u + 1) = −u

2 + u ⇔ m = −u2 + u

2u + 1với hàm số f (u) = −u2 + u

f0(u) = −2u

2 + 2u − 1(2u + 1)2 , (∀u ≥ −

2 .Vậy giá trị cần tìm là m ≤ 2 −

√3

2 .

Ví dụ 2.32 Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm:

3

+



y + 1y

3

− 3



x + 1x



− 3



y + 1y

3

+



y + 1y

3

− 3



x + 1x

 

y + 1y

 

x + 1

x + y +

1y

 

y + 1y

với u, v là nghiệm của phương trình : t2 − 5t + (8 − m) = 0 (1)

Để hệ (I) có nghiệm ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn |t| ≥ 2: