CHUYÊN ĐỀ :ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM Số ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Khi đøng trước d⁄ng bài t“p này học sinh thường lúng túng bởi sự đÆi hỏi cao v• tư duy, v• kĩ n«ng V“y đ” giúp c¡c em thành th⁄o trong vi»c xß l‰ d⁄ng bài t“p này cũng như đ” n¥ng cao ch§t lưæng ôn thi THPT QuŁc gia. Tôi chọn mºt trong nhœng gi£i ph¡p gi£i quy‚t nhœng khó kh«n đ” đ⁄t hi»u qu£ cao đó là chuy¶n đ•: Ứng dụng t‰nh đơn đi»u cıa hàm sŁ gi£i phương tr…nh, h» phương tr…nh và b§t phương tr…nh Hi vọng chuy¶n đ• này s‡ đồng hành cùng c¡c b⁄n, giúp đỡ c¡c ban tr¶n con đường đ‚n thành công.

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THCS & THPT HAI BÀ TRƯNG CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Tác giả: Trần Quang Tuyến Chức vụ: Giáo viên Đối tượng học sinh bồi dưỡng: Lớp 12 Số tiết bồi dưỡng: tiết PHÚC YÊN - 2015 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chuyên đề này, xin trân trọng cảm ơn sâu sắc đến Ban gám hiệu trường THCS & THPT Hai Bà Trưng, đạo hướng dẫn cho suốt q trình viết chun đề Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc q Thầy, Cơ tổ Toán - Lý Tin trường THCS & THPT Hai Bà Trưng tận tình đóng góp ý kiến suốt trình viết chuyên đề Với ý kiến đóng góp q báu giúp tơi hồn thiện chuyên đề, đạt thành công cấp cụm tiếp tục báo cáo cấp tỉnh Cuối tơi xin kính chúc q Thầy, Cơ dồi sức khỏe thành công nghiệp cao quý Xin chân thành cảm ơn! Vĩnh Phúc, tháng 11 năm 2015 Tác giả Trần Quang Tuyến Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt Trang Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Chương Kiến thức tính đơn điệu hàm số 1.1 Hàm số tính đơn điệu hàm số 1.1.1 Hàm số 1.1.2 Tính đơn điệu hàm số 1.2 Các cách xét tính đơn điệu hàm số 1.3 Một số tính chất đơn điệu hàm số Chương Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình 11 2.1 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình 11 2.1.1 Bài tốn Giải phương trình F (x) = (1) 11 2.1.2 Bài toán Tìm điều kiện tham số m để phương trình F (x, m) = có nghiệm (n nghiệm) K 2.2 2.3 22 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình 28 2.2.1 Bài tốn Giải hệ phương trình hệ số số 28 2.2.2 Bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 39 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải bất phương trình 46 2.3.1 Bài tốn Giải bất phương trình: F (x) > 2.3.2 Bài tốn Tìm điều kiện tham số m để bất 46 phương trình F (x, m) > có nghiệm (thỏa mãn với 2.4 mọi) x K 52 Hệ thống tập 57 2.4.1 Bảng mô tả mức độ nhận thức 57 2.4.2 Bài tập tương tự 58 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến Chương Thực nghiệm sư phạm 74 3.1 Mục đích, tổ chức thử nghiệm 74 3.2 Nội dung thử nghiệm 74 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 82 Tài liệu tham khảo Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt 82 Trang MỞ ĐẦU Phương trình, hệ phương trình bất phương trình dạng tập mà thường gặp kì thi, cấp đặc biệt kì thi THPT Quốc Gia năm gần năm có tốn với u cầu cao học sinh tư duy, kĩ Khi đứng trước dạng tập học sinh thường lúng túng đòi hỏi cao tư duy, kĩ Vậy để giúp em thành thạo việc xử lí dạng tập để nâng cao chất lượng ôn thi THPT Quốc gia Tôi chọn giải pháp giải khó khăn để đạt hiệu cao chuyên đề: "Ứng dụng tính đơn điệu hàm số giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình" Hi vọng chuyên đề đồng hành bạn, giúp đỡ ban đường đến thành công Mục tiêu chuyên đề a) Kiến thức Giúp học sinh hiểu cách vận dụng tính đơn điệu hàm số vào để: • Giải số tốn phương trình • Giải số tốn hệ phương trình • Giải số tốn bất phương trình b) Kĩ • Thực việc ứng dụng tính đơn điệu hàm số vào giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình • Thực việc ứng dụng tính đơn điệu hàm số vào tìm m để phương trình có nghiệm khoảng, hệ phương trình có nghiệm bất phương trình có nghiệm khoảng Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến c) Định hướng phát triển lực • Năng lực chung: Giải vấn đề, hợp tác làm việc theo nhóm, ứng dụng cơng nghệ thơng tin, tự học • Năng lực chuyên biệt: Phân tích, tổng hợp, đánh giá, phát vấn đề giải vấn đề, tư duy, logic Cấu trúc chuyên đề Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chuyên đề trình bày chương Chương 1: Kiến thức tính đơn điệu hàm số Chương 2: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình Chương 3: Thử nghiệm sư phạm Mặc dù cố gắng thực chuyên đề khơng tránh khỏi nhiều sai sót chun đề Tơi mong nhận ý kiến đóng góp để chuyên đề hồn thiện Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt Trang Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.1 Hàm số tính đơn điệu hàm số 1.1.1 Hàm số Định nghĩa 1.1 Nếu với giá trị x thuộc tập D có giá trị tương ứng y thuộc tập số thực R ta có hàm số kí hiệu y = f (x) Ta gọi x biến số y hàm số x Tập hợp D gọi tập xác định hàm số Định nghĩa 1.2 Tập xác định hàm số y = f (x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f (x) có nghĩa Định nghĩa 1.3 Đồ thị hàm số y = f (x) xác định tập D tập hợp tất điểm M (x; f (x)) mặt phẳng tọa độ với x thuộc D 1.1.2 Tính đơn điệu hàm số Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Định nghĩa 1.4 Giả sử hàm số y = f (x) xác định K Ta nói: Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ x2 f (x1 ) nhỏ f (x2 ) tức là: x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ x2 f (x1 ) lớn f (x2 ) tức là: x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K Mệnh đề tương đương với định nghĩa tính đơn điệu hàm số Mệnh đề 1.1 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến f (x2 ) − f (x1 ) > 0, ∀x1 , x2 ∈ K, x1 = x2 x2 − x1 f (x2 ) − f (x1 ) f (x) nghịch biến K ⇔ < 0, ∀x1 , x2 ∈ K, x1 = x2 x2 − x1 a) f (x) đồng biến K ⇔ b) Nếu hàm số đồng biến K đồ thị lên từ trái sang phải Nếu hàm số nghịch biến K đồ thị xuống từ trái sang phải 1.2 Các cách xét tính đơn điệu hàm số Cách Sử dụng định nghĩa Dùng định nghĩa tính đơn điệu hàm số điều kiện tương đương với định nghĩa tính đơn điệu hàm số Cách Sử dụng đạo hàm dựa vào số định lí sau: Định lý 1.1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm K a) Nếu f (x) > với x thuộc vào K hàm số đồng biến K b) Nếu f (x) < với x thuộc vào K hàm số nghịch biến K Chú ý 1.1 Nếu f (x) = 0, ∀x ∈ K f (x) khơng đổi K Định lý 1.2 Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm K Nếu f (x) ≥ (f (x) ≤ 0), ∀x ∈ K f (x) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K Định lý 1.3 Nếu hàm số y = f (x) liên tục [a; b] có đạo hàm f (x) > (a; b) hàm số y = f (x) đồng biến [a; b] Nếu hàm số y = f (x) liên tục [a; b] có đạo hàm f (x) < (a; b) hàm số y = f (x) nghịch biến [a; b] Chú ý 1.2 • Tổng hai hàm số đồng biến (nghịch biến) K hàm số đồng biến (nghịch biến) K • Tích hai hàm số đồng biến (nghịch biến) dương K hàm số đồng biến (nghịch biến) K Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt Trang Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến – Nếu hàm số f (x) đồng biến (nghịch biến) K k > 0, ∀x ∈ K hàm số k.f (x) đồng biến (hay nghịch biến) K – Nếu hàm số f (x) đồng biến (nghịch biến) K f (x) > nghịch biến (đồng biến) K 0, ∀x ∈ K hàm số f (x) 1.3 Một số tính chất đơn điệu hàm số Tính chất 1.1 Nếu hàm số y = f (x) liên tục đồng biến (nghịch biến) K phương trình f (x) = C K có nghiệm Chứng minh Giả sử phương trình f (x) = C có nghiệm x = a tức f (a) = C f (x) đồng biến (nghịch biến) K, ta xét: • Với x > a suy f (x) > f (a) = C (f(x)f(a)=C) nên phương trình f (x) = C vơ nghiệm Vậy phương trình f (x) = C có nghiệm x = a Tính chất 1.2 Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (nghịch biến), hàm số y = g(x) nghịch biến (đồng biến) liên tục K phương trình f (x) = g(x) nghiệm Chứng minh Giả sử x = a nghiệm phương trình f (x) = g(x) K tức f (a) = g(a) Giả sử hàm f (x) đồng biến, hàm g(x) nghịch biến liên tục K, ta xét: • Với x > a suy f (x) > f (a)=g(a)>g(x) nên phương trình vơ nghiệm • Với x < a suy f (x) < f (a)=g(a) C ⇔ x > x0 với (f (x0 ) = C, x0 ∈ K) Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến liên tục K f (x) > C ⇔ x < x0 với (f (x0 ) = C, x0 ∈ K) Tính chất 1.7 Nếu hàm số y = f (x) đồng biến liên tục K f (u) > f (v) ⇔ u > v với u, v ∈ K Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến liên tục K f (u) > f (v) ⇔ u < v với u, v ∈ K Tính chất 1.8 + Bất phương trình f (x) ≥ m (∀x ∈ K) ⇔ f (x) ≥ m x∈K Hoặc Bất phương trình f (x) > m (∀x ∈ K) toàn đồ thị hàm số y = f (x) (x ∈ K) nằm phía đường thẳng (d) : y = m + Bất phương trình f (x) ≤ m (∀x ∈ K) ⇔ max f (x) ≤ m x∈K Hoặc Bất phương trình f (x) < m (∀x ∈ K) toàn đồ thị hàm số y = f (x) (x ∈ K) nằm phía đường thẳng (d) : y = m Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt Trang 10 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến Bài tập 2.61 Giải hệ phương trình:    8y + √  x2 +1 √ =3 y− x −4  3√   2(x+y) + x+y = 2 Đáp số (x; y) = ; 5 Bài tập 2.62 Giải hệ phương trình: x3 + 2x − y − = x2 (y + 1) y + 4x + + ln y + 2x = Đáp số (x; y) = (0; −1) Bài tập 2.63 Giải hệ phương trình: x2 − 12xy + 20y = ln (x + 1) − ln (1 + y) = x − y Đáp số (x; y) = (0; 0) Bài tập 2.64 Giải hệ phương trình:   ex−y = sin x sin y  √ 8x + + = 2y − 2y + + 8y x ∈ 0; π Đáp số (x; y) = 1 ; 8 Bài tập 2.65 Giải hệ phương trình   x3 − 3x − y − 9y − + ln x − = (1) y+1  y [log2 (x − 3) + log3 y] = x + (2) Đáp số (x; y) = (5; 3) Bài tập 2.66 Giải hệ phương trình 3x2 + 3y + = (y − x) y + xy + x2 + √ √ (x + y − 13) 3y − 14 − x + = Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt Trang 68 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến Đáp số (x; y) = (3; 5) (x; y) = (8; 10) 2.2.2 Bài tốn Bài tập 2.67 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2x2 + xy − y = (1) x2 + xy + y = m (2) √ 14 + √ Đáp số m ≥ 28 + 11 Bài tập 2.68 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x3 − y + 3y − 3x − = (1) √ x2 + − x2 − 2y − y + m = (2) Đáp số −1 ≤ m ≤ Bài tập 2.69 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 3x2 = y − 2y + my 3y = x3 − 2x2 + mx Đáp số m > 25 Bài tập 2.70 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm log2 (x + y) + log3 (xy + 2) = x3 + y − xy = m Đáp số m ≥ Bài tập 2.71 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm √ xy − y + x + y = √ √ 5−x+ 1−y =m √ Đáp số m ∈ Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt √ ; 3 Trang 69 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến Bài tập 2.72 Tìm giá trị lớn tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm x2 + y = |x − y| + x3 − y = m3 Đáp số m = Bài tập 2.73 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm √ 4x2 + x + (y − 3) − 2y = √ √ √ √ − 2y + − 2y + − x + − x = m Đáp số Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt Trang 70 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến 2.3 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải bất phương trình 2.3.1 Bài tốn Bài tập 2.74 Giải bất phương trình sau đây: √ √ x3 + 3x2 + 6x + 16 < + − x Đáp số S = [−2; 1) Bài tập 2.75 Giải bất phương trình sau đây: √ 3 − 2x + √ − 2x ≤ 2x − Đáp số S = 1; Bài tập 2.76 Giải bất phương trình sau √ 2x − + x 1− > x2 x Đáp số: S = √ 5; +∞ Bài tập 2.77 Giải bất phương trình sau x2 − 2x + − x2 − 6x + 11 > √ 3−x− √ x−1 Đáp số: S = [2; 3) Bài tập 2.78 Giải bất phương trình sau 2x2 + 12x + − √ 2x − ≥ x + Đáp số: S = ; +∞ Bài tập 2.79 Giải bất phương trình sau đây: x5 + x3 + x ≤ (x2 + 1)3 − x2 (x2 − x + 1) Đáp số S = (0; +∞) Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt Trang 71 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến Bài tập 2.80 Giải bất phương trình sau đây: √ x2 − 3x + + x4 + x2 + ≤ Đáp số S = √ √ 11 − 21 11 + 21 ; 10 10 Bài tập 2.81 Giải bất phương trình sau đây: x2 − x ≤1 x4 + 3x2 − 2x √ √ −1 − 1+ 2− ;0 ∪ √ Đáp số S = 1+ √ ; +∞ Bài tập 2.82 Giải bất phương trình sau 2x + 2x − >1 x−2 Đáp số: S = [2; +∞) Bài tập 2.83 Giải bất phương trình sau 2x + 3.2−x 2log2 x−log2 (x+6) >1 Đáp số: S = (3; +∞) Bài tập 2.84 Giải bất phương trình sau đây: log2 x2 − 5x + + + log3 x2 − 5x + ≤ Đáp số S = √ √ 5− 5+ ; 2 2.3.2 Bài toán Bài tập 2.85 Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm: x3 − 3x + ≤ m √ x− √ x+1 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt Trang 72 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến Đáp số m ∈ (−1; +∞) Bài tập 2.86 Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn √ √ − 3; : 2 x2 + x + ≥ m (1) + x2 − − √ x+4 x2 + Đáp số m ∈ (−∞; 0) Bài tập 2.87 Tìm giá trị nhỏ tham số m để bất phương trình sau ln đúng: m |x| + 1− x2 +1 ≥2 x2 − x4 √ + x2 + − x2 + (1) √ Đáp số m = 2 − Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt Trang 73 Chương THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 MỤC ĐÍCH, TỔ CHỨC THỬ NGHIỆM a) Mục đích thử nghiệm Thực nghiệm thực nhằm bước đầu kiểm tra tính khả thi tính hiệu Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình b) Tổ chức • Chọn lớp thực nghiệm: Chúng chọn hai lớp 12A2 với sĩ số 33 12A3 với sĩ số 35 năm học 2015-2016 trường THCS&THPT Hai Bà Trưng, Thị xã Phúc Yên, Tỉnh Vĩnh Phúc, lớp học theo chương trình để thử nghiệm sư phạm Lớp 12A2 lớp thử nghiệm, lớp 12A3 lớp đối chứng Mặt chung trình độ nhận thức đối tượng học sinh hai lớp tương đương • Tiến trình thử nghiệm: Số tiết dạy thử nghiệm tiết học tiết học 45 phút Được thực vào chiều ngày 1/11/2015 với số tiết 3, chiều ngày 4/11/2015 với số tiết chiều ngày 6/11/2015 với số tiết Tại phòng học A22, lớp 12A2 Lớp đối chứng biết thông qua số tiết tiết học khóa chun đề Chưa hệ thống thành phương pháp chuyên sâu 3.2 NỘI DUNG THỬ NGHIỆM • Chúng tơi tiến hành giảng dạy kết hợp với biện pháp giáo dục rèn luyện kĩ ứng dụng tính đơn điệu hàm số giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình thơng qua ví dụ đề tài trình bày lớp thực nghiệm khơng áp dụng với lớp không đối chứng Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến • Số tiết dạy thực nghiệm tiết ôn tập chuyên đề trường THCS&THPT Hai Bà Trưng Sử dụng hệ thống tập hệ thống tập xây dựng chương giáo án ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM a) Về phương pháp khả lĩnh hội kiến thức học sinh Giáo viên tổ chức hoạt động rèn luyện kĩ ứng dụng tính đơn điệu hàm số giải phương trình biểu thức thơng qua ơn tập chun đề thơng qua tập ví dụ minh họa đề cập chương Học sinh có khả tiếp thu nắm phương pháp trường THPT Sau đợt thực nghiệm, học sinh nắm bắt vận dụng tốt kĩ Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Hạn chế số sai lầm gặp phương trình, bất phương trình hệ phương trình khó b) Về kết kiểm tra • Đánh giá trình độ ban đầu thơng qua điều tra học lực mơn tốn học sinh đầu năm học 2015 -2016 Giỏi Khá Trung bình Yếu Tổng Lớp 12A2 12 17 33 Lớp 12A3 10 18 35 Bảng 3.1 Bảng giá trị Qua kết ta thấy chất lượng nhóm thử nghiệm nhóm đối chứng tương đương • Đánh giá kết đầu thông qua kiểm tra đánh giá: Đề bài: Thời gian làm 60 phút Câu 1: Giải phương trình √ √ 2015 x + + 2015 x + = 2015 2x2 + + Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt 2015 2x2 + (1) Trang 75 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến Câu 2: Giải bất phương trình |2x − 1| x2 − x + > x3 − 6x2 + 15x − 14 (1) Câu 3: Giải hệ phương √ √ 2y + y + 2x − x = − x (1) √ 2y + + y = + x + (2) Đáp án: Câu 1:(3,5 điểm) Ta thấy: x + = (x + 2) + 2x2 + = (2x2 + 1) + Đặt √ 2015 u= v= 2015 x + ⇒ x + = u2015 ⇒ 2x2 + ⇒ 2x2 + = v 2015 ⇒ √ 2015 x+3= 2015 2015 2x2 + = u2015 + 2015 v 2015 + Do (1) : 2015 2015 u2015 + + u = Với hàm số f (t) = √ 2015 v 2015 + + v ⇔ f (u) = f (v) (2) t2015 + + t hàm số liên tục R có t2014 f (t) = 2015 (t2015 + 1) 2014 + > 0, ∀ ∈ R\ {−1} Suy hàm số f (t) đồng biến (−∞; +∞) Do (2) ⇔ u = v hay 2x2 + = x + ⇔ 2x2 − x − = ⇔ x=1 x = − 21 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 1, x = − 21 Câu 2:(3,5 điểm) (1) ⇔ |2x − 1| (2x − 1)2 + > (x − 2)3 + (x − 2) ⇔ |2x − 1|3 + |2x − 1| > (x − 2)3 + (x − 2) ⇔ f (|2x − 1|) > f (x − 2) (2) Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt Trang 76 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến Với hàm số f (t) = t3 + 3t R Có f (t) = 3t2 + > 0, ∀t Suy hàm số ln đồng biến R Do  x−2 x − ⇔  x−2≥0  (2x − 1)2 > (x − 2)2  x Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm S = R Câu 3:(3 điểm) −4 ≤ x ≤ Điều kiện xác định y∈R (*) √ √ √ (1) ⇔ 2y + y = − x − 2x − x + − x √ √ ⇔ 2y + y = (x − 1) − x + − x √ ⇔ 2y + y = (1 − x)3 + − x √ ⇔ f (y) = f x − x (3) Xét hàm số f (t) = 2t3 + t R Có f (t) = 6t2 + > 0, ∀t ∈ R Suy hàm số f (t) đồng biến R Do (3) ⇔ y = √ 1−x⇔ y≥0 y2 = − x (4) Thế vào (2) ta √ 1−x=4+ x+4 √ √ √ ⇔ − 2x + − x − x + = √ ⇔ Với hàm số g(x) = g (x) = − √ √ − 2x + √ g(x) = g(−3) (5) − 2x + √ 1−x− √ x + [−4; 1] Có 1 − √ − √ < 0, ∀x ∈ (−4; 1) − 2x − x x + Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt Trang 77 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến Suy g(x) nghịch biến [−4; 1] Do (5) ⇔ x = −3 ∈ [−4; 1] x = −3 nghiệm (6) thay vào y = − x ta có y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (−3; 2) Kết quả: Biểu đồ kết số học sinh lớp thực nghiệm lớp đối chứng làm Nhận xét: Đa số học sinh lớp thực nghiệm nhanh chóng giải cài tập phương pháp học cho kết Học sinh lớp đối chứng làm hơn, loay hoay, nhiều thời gian vào biến đổi đại số dẫn đến toán phương tạp hơn, khơng tìm hướng giải Kết đánh giá giáo viên: Kết xử lí sau thống kê cho thấy: • Các tiết dạy thực nghiệm lớp 12A2 có khơng khí học tập sôi nổi, học sinh hứng thú, thi đua tốc độ phát hướng giải quyết, tích cực làm Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt Trang 78 Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến • Hiệu đạt thấy rõ em thực chắn việc giải toán giải phương trình, hệ phương bất phương trình Hơn em có bình tĩnh, tự tín đứng trước tốn khó này, có tốc độ xử lí tốn dạng cách nhanh chóng Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt Trang 79 Kết Luận Chuyên đề với mục đích làm rõ cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia việc ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình, đạt số kết sau: • Từ lí luận đặc biệt vấn đề ôn thi THPT Quốc Gia chuyên đề xác định giải pháp cho việc giải toán phương trình, hệ phương trình bất phương trình khó phức tạp Hình thành cho học sinh cách biến đổi đưa phương trình có hai vế quy tắc ứng dụng tính chất đơn điệu hàm số vào để giải tốn • Đưa phương pháp ứng dụng tính đơn điệu hàm số để rèn luyện kĩ giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình cho học sinh lớp 12, đặc biệt học sinh ôn thi THPT Quốc Gia thơng qua cấu trúc gồm: – Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình : ∗ Bài tốn Giải phương trình F (x) = khơng chứa tham số ∗ Bài tốn Tìm điều kiện tham số m để phương trình F (x, m) = có nghiệm (có n nghiệm) K – Ứng dụng biến thiên hàm số để giải hệ phương trình ∗ Bài tốn Giải hệ phương trình hệ số số ∗ Bài tốn 2.Tìm m để hệ phương trình có nghiệm – Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải bất phương trình: ∗ Bài tốn Giải bất phương trình: F (x) > ∗ Bài tốn Tìm điều kiện tham số m, để bất phương trình F (x, m) > có nghiệm (thỏa mãn với mọi) x K – Bài tập tương tự có đáp số Giải phương trình: Bài tốn có 20 tập Bài tốn có 13 tập Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng GV: Trần Quang Tuyến Giải hệ phương trình: Bài tốn có 33 tập Bài tốn có tập Giải bất phương trình: Bài tốn có 11bài tập Bài tốn có tập Với hệ thống theo dạng thuận lợi cho việc rèn luyện kĩ giải cho học sinh theo bài, dạng có nhiều cách giải khác • Giải pháp đưa chuyên đề thử nghiệm giảng dạy lớp đối tượng trung bình, khá, giỏi Kết thu khả quan, em hăng say học tập, hứng thú tìm tòi mới, hay, em có niềm tin học tập, khơng ngại khó, u thích mơn Toán Tuy nhiên phạm vi thử nghiệm chưa rộng chứng tỏ tính khả thi hiệu chuyên đề Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải pt, hpt bpt Trang 81 Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Hạo (chủ biên) (2007), Sách giáo khoa lớp 10, Đại số, Nxb Giáo dục Việt nam [2] Trần Văn Hạo (chủ biên) (2007), Sách giáo khoa lớp 11, Đại số giải tích, Nxb Giáo dục Việt nam [3] Trần Văn Hạo (chủ biên) (2007), Sách giáo khoa lớp 12, Giải tích, Nxb Giáo dục Việt nam [4] Đặng Thành Nam (2012), Chuyên đề luyện thi Đại học [5] Các đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh, đề thi khảo sát chất lượng ôn thi THPT Quốc Gia tỉnh Vĩnh Phúc [6] Các tài liệu liên quan Internet ... Chương ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2.1 ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2.1.1 Bài tốn Giải phương trình F (x)... để: • Giải số tốn phương trình • Giải số tốn hệ phương trình • Giải số tốn bất phương trình b) Kĩ • Thực việc ứng dụng tính đơn điệu hàm số vào giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình. .. hàm số Chương Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình 11 2.1 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình 11 2.1.1 Bài tốn Giải phương