PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Chun đề Tốn: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Bính Giáo viên trường: THPT Quang Hà Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 12 Số tiết dự kiến: 12 tiết Bình Xuyên, năm 2015 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm giúp em học sinh trang bị kiến thức để giải tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình đề thi THPT Quốc gia tốt hơn, xin giới thiệu chuyên đề “Phương pháp hàm số toán giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình ” Chuyên đề giới thiệu với em cách sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình; sử dụng khái niệm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số để vận dụng toán: Tìm điều kiện tham số để phương trình, bất phương trình hệ phương trình có nghiệm Chun đề soạn theo hướng: - Tóm tắt lý thuyết - Ví dụ minh họa tốn: Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình - Ví dụ minh họa tốn: Tìm điều kiện tham số để phương trình, bất phương trình hệ phương trình có nghiệm - Bài tập tương tự Tôi hi vọng chuyên đề đem đến cho em nhiều điều bổ ích, trang bị cho em kiến thức để chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia tốt hơn, hiệu Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn, thiếu sót điều khơng thể tránh khỏi Do tơi chân thành đón nhận đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp, em học sinh để chuyên đề tốt hơn, hồn thiện Trân trọng! Nguyễn Thị Thúy Bính PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định khoảng K - Hàm số y = f(x) gọi đồng biến (tăng) K với x1, x2 ∈ K mà x1 < x2 f(x1) < f(x2) - Hàm số y = f(x) gọi nghịch biến (giảm) K với x1, x2 ∈ K mà x1 < x2 f(x1) > f(x2) Nhận xét: Hàm số y = f(x) đồng biến K đồ thị đường lên từ trái sang phải Hàm số y = f(x) nghịch biến K đồ thị đường xuống từ trái sang phải Tính đơn điệu dấu đạo hàm Định lý Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K - Nếu f’(x) > ∀x ∈ K hàm số y = f(x) đồng biến K - Nếu f’(x) < ∀x ∈ K hàm số y = f(x) nghịch biến K Chú ý: Hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f’(x) ≥ (hoặc f’(x) ≤ 0) ∀ x ∈ K f’(x) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K II GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định D - Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) D nếu: x  D : f ( x)  M  x0  D : f ( x0 )  M KH : max f ( x ) D - Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D nếu: x  D : f ( x)  m  x0  D : f ( x0 )  m KH : f ( x ) D PHẦN II VÍ DỤ MINH HỌA I Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình 3x   x  x   Giải Điều kiện: x   57 Xét hàm số: f ( x )  x   x  x  với x  D  [  57 ;  )  57 ; ) và: 1 x   0, x   57 f '( x)   Suy f(x) đồng biến D 2 3x  x  x  Ta có: f(x) liên tục [ Mặt khác: f(1) = nên x = nghiệm phương trình Nếu x > f(x) > f(1) = nên phương trình khơng có nghiệm x > Nếu x < f(x) < f(1) = nên phương trình khơng có nghiệm x < Vậy x = nghiêm phương trình Ví dụ Giải phương trình x     2x 2 x Giải 1 Điều kiện:  x  + Xét hàm số: f ( x)  3x   f '( x)  liên tục [-1/3; 2) 2 x 3 1   0, x  ( ; 2)  f(x) đồng biến (-1/3; 2) 3 x  2(2  x)  x + Mặt khác, ta có g(x) = – 2x nghịch biến (-1/3; 2) f(1) = g(1) + Nếu < x < f(x) > f(1) = g(x) < g(1) = nên phương trình khơng có nghiệm < x < Tương tự phương trình khơng có nghiệm -1/3 < x < Vậy x = nghiệm phương trình 3 Ví dụ Giải phương trình 2 x   27 x  27 x  13 x  Giải PT  (3 x  1)3  2(3 x  1)  x   x  + Xét hàm số f(t) = t3 + 2t với t ∈ R Ta có f’(t) = 3t2 + > 0, ∀t Suy hàm số đồng biến R + Phương trình có dạng: f (3 x  1)  f ( x  1) Vì f(x) đồng biến nên: , x   x   f (3 x  1)  f ( x  1) , x   x   f (3 x  1)  f ( x  1) Vậy, PT  x   x   27 x3  27 x  x   x  Ví dụ Giải bất phương trình x  x  x   2(3 x  1) x  Giải Điều kiện: x ≥ 1/3 BPT  x  x   2( x  1)3  x   + Xét hàm số f(t) = 2t3 + t + với t ∈ [1/3; + ∞) Ta có: f’(t) = 6t2 + > 0, ∀t ≥ 1/3 Suy f(t) đồng biến [1/3; + ∞) Mặt khác bất phương trình có dạng: f ( x )  f ( x  1) nên ta có:  3 x  BPT  x  x   x  x      3 x   Kết hợp điều kiện, ta tập nghiệm bất phương trình là: 3 3 [ ; ] [ ; ) 2 2 Ví dụ Giải phương trình (2 x  3) x  12 x  11  3x x   x   Giải PT  (2 x  3) (2 x  3)   x   3 x ( 3 x )   x Xét hàm số: f (t )  t t   t , t  R Ta có: f '(t )  t   t2 t2    0, t Suy hàm số f(t) đồng biến R Mặt khác phương trình có dạng: f(2x + 3) = f(- 3x) Nếu 2x + > - 3x f(2x + 3) > f(- 3x), 2x + < - 3x f(2x + 3) < f(- 3x) 3  x  nên ta 2x + = - 3x Ví dụ Giải phương trình x   x    x  x  Giải Điều kiện: - ≤ x ≤ 2 Xét hàm số f ( x)  x  x  x    x   với x ∈ (- 1; 2) 1  x 1 2  x 1 f ''( x)     0, x  (1; 2) ( x  1) x  (2  x)  x f '( x)  x   Suy ra, f’(x) đồng biến (- 1; 2) nên phương trình f’(x) = có nhiều nghiệm Từ phương trình f(x) = có nhiều nghiệm Mặt khác: f(0) = f(1) = Suy phương trình có nghiệm x = x = BÀI TẬP VẬN DỤNG  y  y  x3  3x  x  2(1) Bài Giải hệ phương trình    x  y   y  1(2) Giải + Điều kiện: - 1≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ PT (1)  y  y  ( x  1)3  ( x  1) + Xét hàm số f(t) = t3 + t với t ∈ R Ta có f’(x) = 3t2 + > ∀t ∈ R Suy hàm số đồng biến R + Phương trình (1) có dạng f(y) = f(x + 1) Nếu y > x + f(y) > f(x + 1) y < x + f(y) < f(x + 1) Vậy ta có y = x + 1, vào (2), ta  x   x   x  Kết luận: hệ phương trình có nghiệm (0;1)  x  y   2 x  1(1) Bài Giải hệ phương trình  3  y  x  y  y  x   0(2) Giải Điều kiện: x ≥ 1/2 Ta có phương trình (2)  (y + 1)3 + y + = (2x)3 + 2x + Xét hàm số f(t) = t3 + t với t ∈ R Ta có f’(t) = 3t2 + > ∀t Suy f(t) đồng biến R + Phương trình (1) có dạng f(y + 1) = f(2x) Vì f(t) đồng biến nên: y + > 2x f(y + 1) > f(2x) Tương tự với y + < 2x + Vậy ta có y + = 2x, vào (1) ta được: x  x  2 x   x  x  2u   u  2u  x   Đặt u   x  Ta hệ phương trình:  Từ tìm nghiệm hệ phương trình cho là: (2  2;3  2)  x  y  x  y  30  28 y (1) Bài Giải hệ phương trình   x   x  y (2) Giải + Điều kiện: x ≥ - 3/2 PT (1)  ( x )3  x  ( y  3)3  y  + Xét hàm số f(t) = t3 + t với t ∈ R Ta có: f’(t) = 3t2 + > 0, ∀t Suy f(t) đồng biến R + Mặt khác phương trình có dạng: f(x2) = f(y + 3) Nếu x2 > y + f(x2) > f(y + 3), x2 < y + f(x2) < f(y + 3) nên ta có x2 = y + Thế vào (2), ta được: x   x2  x  Đặt u    x  x  u   x2  x  u    u  x  u   ( x  u )( x  u  1)  2x  Kết luận: hệ phương trình có nghiệm là: ( 2; 1), (3; 6)  x3  3x  y ( y  3)(1) Bài Giải hệ phương trình  2  y ( y  1)  x  y  x    0(2) Giải x  Điều kiện:  y  x    PT (1)  x3  x  y  y Xét hàm số f(t) = t3 + 3t với t ∈ R Ta có: f’(t) = 3t2 + > 0, ∀t Suy hàm số f(t) đồng biến R Mặt khác phương trình (1) có dạng f(x) = f(y) nên ta x = y 2 Thế vào (2), ta được: x( x  1)  x  x  x     x3  x   x   x  x    x2  ( x  1)( x  x    )0 x 1 x  x2 2  x 1 Vậy nghiệm hệ (1; 1)  x  y  (3 y  1)( y  1)   x(1) Bài Giải hệ phương trình   x  y  87  y  xy (2) Giải + Điều kiện: x + y ≥ Phương trình (1) tương đương: x3 + x = (y + 1)3 + y + + Xét hàm số f(t) = t3 + t với t ∈ R Ta có: f’(t) = 3t2 + > 0, ∀t Suy f(t) đồng biến R + Mặt khác phương trình có dạng: f(x) = f(y + 1) Nếu x > y + f(x) > f(y + 1), x < y + f(x) < f(y + 1) nên ta có: x = y + Thế vào (2) ta được: y   87  y  y  y  y    84  y  y  y  ( y  4)(  y  y  21)  y 1   y  Vậy nghiệm hệ là: (5; 4) 2 y  12 y  25 y  18  (2 x  9) x  4(1) Bài Giải hệ phương trình  2  x   3x  14 x    y  y (2) 10 BBT x - f'(x) + + - 19 f(x) - - Từ đó, ta được: + m < 19 phương trình có hai nghiệm phân biệt + m = 19 phương trình có nghiệm + m > 19 phương trình vơ nghiệm Bài 13 Tìm m để phương trình sau có nghiệm tập số thực  x  x   (m  1)( x    x )  m   Giải Điều kiện: -3 ≤ x ≤ Đặt t  x    x   x  2 t2  t  Phương trình trở thành t – (m – 1)t + m – =  m  t 1 t2  t  Xét hàm số f (t )  với t ∈ [2; 2√2] t 1 t  2t   0, t  [2; 2] Ta có f '( x)  (t  1) BBT 32 t 2 + f'(t) -6+16 f(t) YCBT  3  m  6  16 Bài 14 Tìm m để phương trình x  x  m( x  4) x2   x  x  14  m  có nghiệm thực 4 x Giải + Điều kiện: - 2≤ x < PT  x  x  m  x  x   x  x  64  m  + Đặt t   x  x  t 'x  1 x  2x  x2 BBT → ≤ t ≤ Phương trình trở thành – t2 – mt + 2t – – m = t  2t  m (2) t 1 t  2t  t  2t  + Xét hàm số f (t )  với t ∈ [0; 3] Ta có f '(t )  (t  1) t 1 BBT 33 t f'(t) + - -2 f(t) -9 -6 Phương trình cho có nghiệm x ∈ [- 2; 4) phương trình (2) có nghiệm t ∈ [0; 3]  6  m  2 Bài 15 Xác định m để phương trình sau có nghiệm m(  x   x  2)   x   x   x Giải Điều kiện: - ≤ x ≤ 2 Đặt t   x   x  t 'x  x  x2  x  x2 BBT x -1 t'x tx - + 2 0t  Phương trình trở thành m(t – 2) = - t2 + + t t  t    m(*) t 2 t  4t t  t  Xét hàm số f (t )  với ≤ t ≤ √2 Ta có f '(t )  (t  2) t 2 34 BBT t - f'(t) -1 f(t) - -1     m  1 Bài 16 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt ( x  x  1)(m x   16 x( x  1))  x 1 Giải Điều kiện: x > Phương trình tương đương m x  m x x  m  1 Đặt t   16 x ( x  1)  x  x  x 1 x  16 x( x  1) x 1 x x 1  16 x 1 x x 16  Phương trình trở thành: t    m(*) x 1 t Vì x > nên t > với giá trị t tương ứng có nghiệm x Do phương trình cho có hai nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm thuộc (1; + ∞) Xét hàm số f (t )  t  16 16 , t  Ta có f '(t )  2t  t t BBT 35 t - f'(t) + + 17 + f(t) 12 Từ bảng biến thiên ta có giá trị cần tìm m thỏa mãn: -16 < m < -11 Bài 17 Cho bất phương trình 4  x  x  15  x  x  13  m Tìm m để bất phương trình nghiệm với x thuộc  3;5 Giải Điều kiện: 3  x  Đặt t   x  x  15 Ta có t 'x  x 1  x  x  15 BBT x -3 t'x + - tx 0  t  [0; 4] Bất phương trình trở thành: t2 – 4t – > m Xét hàm số f(t) = t2 – 4t – với t ∈ [0; 4] BBT 36 t f(t) -2 -2 -6 Từ suy ra, yêu cầu toán thỏa mãn m < - Bài 18 Cho bất phương trình m( x  x   1)  x(2  x)  10 Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc 0;1   Giải x 1 ' Đặt t  x  x  Ta có t x  x2  x  BBT x t'x tx 1+ - + 2 1  t  t2  Khi (1) trở thành: m  t 1 t2  t  2t  , t  [1; 2] Ta có: f '( x)   0, t  [1; 2] Xét hàm số f (t )  (t  1) t 1 BBT 37 t + f'(t) f(t) -1 2 Vậy bất phương trình có nghiệm thuộc 0;1    m  2 x  y  m  có nghiệm  x  xy  Bài 19 Tìm m để hệ phương trình  Giải  x  y  m  Hệ phương trình tương đương   xy   x  y  2x  m  y  2x  m  xy    Với điều kiện  , ta có:  (1  x) (do x = không x  xy  (1  x ) y     x  x2  x  m nghiệm) Vậy ta có x Xét hàm số f ( x )  x2  2x 1 / D  (;1] \ 0 x x2  Ta có f(x) liên tục f '( x)   0, x  D x BBT 38 x - f'(x) + + + f(x) - - Từ đó, YCBT  m >  x y  a  y (1) Bài 20 Chứng minh a < hệ  có nghiệm  xy  a  x (2) Giải + Từ hệ ta có (x – y)(xy + x+ y) = Vì a < nên từ hệ suy x > y > Vậy ta có x = y Thế vào (1) ta được: x3 – x2 = - a (3) + Xét hàm số: f(x) = x3 – x2 với x ∈ R Ta có f’(x) = 3x2 – 2x BBT x - + f'(x) - + + f(x) + -4 - 27 Từ suy ra, a < phương trình (3) ln có nghiệm  đpcm  x   y  2(1) Bài 21 Tìm m để hệ sau có nghiệm    x   y  m(2) Giải 39 Điều kiện: ≤ x ≤ 5; 0≤ y ≤ + Đặt t = √y với t ∈ [0;1] Từ (1) ta được: x = t2 – 4t + Thay vào (2): m  4t  t   t + Xét hàm số f (t )  4t  t   t liên tục [0;1] f '(t )  2t 4t  t  t 1 t ; f '(t )   t  BBT t + f'(t) - f(t) Từ suy ra: 1≤ m ≤ √5 Bài 22 Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm  x  ( y  2) x  xy  m   x  x  y   2m Giải ( x  x)(2 x  y )  m Hệ phương trình    x  x  x  y   2m 1  u  x  x, u  Đặt  v  x  y 40 v   2m  u u  v   2m    u  u Hệ phương trình trở thành:  uv  m  m(1)    2u  1 2u  2u  u  u u  Xét f (u )  với Ta có f '(u )  (2u  1)2 2u  BBT u -1 -1+ + f'(u) f(u) + - 2- -5 - Hệ phương trình có nghiệm phương trình (1) có nghiệm thuộc [ Từ BBT  m  1 ; ) 2  x3  y  y  3x   0(1) Bài 23 Xác đinh m để hệ  có nghiệm thực 2  x   x  y  y  m  0(2) Giải + Điều kiện: - 1≤ x ≤ 1; ≤ x ≤ Pt (1)  ( x  1)3  3( x  1)  y  y + Xét hàm số: f(t) = t3 – 3t2 với t ∈ [0; 2] Ta có f’(t) = 3t2 – 6t < ∀t ∈ [0; 2] Suy f(t) nghịch biến [0; 2] + Mặt khác phương trình (1) có dạng: f(x + 1) = f(y) nên ta có y = x + 41 2 Thế vào (2), ta được: x   x  m  Đặt v   x , v  [0;1] Phương trình trở thành: v2 + 2v – = m Xét g(v) = v2 + 2v – với v ∈ [0; 1] BBT v g(v) -1 Từ suy ra: - 1≤ m ≤ Bài 24 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  x2  x   y  x  y    m 4 x   x   ( x  y )  ( )   Giải 2  x  Điều kiện:  2  x  y  x  x  y   (1)  x  x  x  y   x  y    Khi  x  x  y    x   x x y2 4 Với  x  y   x  (1)  x  x  y    Từ suy x   x  y m 2 Thế vào phương trình (2) ta được: ( )   x  x 42 Xét hàm số f ( x)   x  x với x ∈ [0; 2], ta có: f '( x)  3x  x2 BBT x f'(x) f(x) - -16 m Từ đó, ta có YCBT  16  ( )   m   log BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ  x3  y   Bài Giải hệ phương trình  (3  x)  x  y y    x  xy  y10  y Bài Giải hệ phương trình   x   y    x3  y  x  y  x  y   Bài Giải hệ phương trình   y   x  y Bài Giải hệ phương trình  x  x y  x  x  y   3  x  y  6( x  y )  15  x  3 x  y   Bài Giải hệ phương trình  y4 3 )  2( y  19) ( x   x  1)(  43  8x 2 y  x  x   x  y Bài Giải hệ phương trình   y  x   xy  x Bài Xác định a để phương trình x  ax  (2a  1) x  ax   có hai nghiệm lớn Bài Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0;4]: x  x3  22 x  24 x   m  Bài Tìm a để phương trình x  x  x  a   a  có hai nghiệm phân biệt Bài 10 Giả sử phương trình x  x  ax  b  có ba nghiệm phân biệt Hãy xét dấu biểu thức a  3b Bài 11 Cho phương trình x  ax  bx  cx  dx   (a, b, c, d số thực) Biết phương trình có năm nghiệm phân biệt, chứng minh: 2(a  d )  5(b  c ) Bài 12 Tìm m để phương trình Bài 13 Cho phương trình: nghiệm x  13x  m  x   có nghiệm  x  x   x  x  m Tìm m để phương trình có x  y  x  y  Bài 14 Cho hệ phương trình  Xác định m để hệ có nghiệm  xy( x  1)( y  1)  m  x y   xy  x  Bài 15 Xác định m để hệ phương trình:  có nghiệm  x  x  xy  m   xy  y  x  y  Bài 16 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm    x   y  m Bài 17 Tìm m cho bất phương trình sau nghiệm với x ∈ [- 5; 2] 44 3( x    x )  m   x  3x  10  Bài 18 Tìm m để bất phương trình x ∈ R x  x   x  x   4m  m3 với 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12 - Nhà xuất Giáo dục Phương pháp khảo sát hàm số - Võ Đại Mau Khảo sát hàm số - Trần Sĩ Tùng Đề thi đại học – cao đẳng - Bộ giáo dục 46 ... thức để giải tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình đề thi THPT Quốc gia tốt hơn, xin giới thiệu chuyên đề Phương pháp hàm số toán giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình. .. điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình; sử dụng khái niệm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số để vận dụng tốn: Tìm điều kiện tham số để phương trình, bất phương trình hệ phương. .. + + f(x) Phương trình (3) có nghiệm x =1 Kết luận: hệ có nghiệm (1; -1) II Tìm điều kiện tham số để phương trình, bất phương trình hệ phương trình có nghiệm Bài tốn: Tìm m để phương trình f(x)